Comment Déterminer les coordonnées du centre de...

Comment Déterminer

les coordonnées du centre de gravité d’une section de mur de soutènement par la méthode des Moments Statiques.

Ce Drop est réalisé en collaboration avec le Fond Social Européen et la Région Basse Normandie

Pour commencer nous allons nous poser quelques questions d’importance sur les murs de soutènement.

Un mur de soutènement est un élément préfabriqué mis en place manuellement à l’aide d’une grue et d’élingues, et destiné à soutenir des terres.

Voila ce que cela peut donner lorsque l’ouvrage est correctement réalisé.

Dans le cas contraire, lorsque le mur est mal dimensionné, la poussée des terres peut provoquer un basculement ou une rupture du mur, comme ci-dessus…

Ou plus grave comme ici… Alors une question se pose…

Comment prévenir le

risque de basculement

d’un mur de soutènement

en béton préfabriqué

En effectuant le

Calcul du Basculement

Pour cela, vous allez avoir besoin de faire appel à vos connaissances et vos compétences en Mathématiques et en Sciences Physiques.

En effectuant le

Calcul du Basculement

N°1: Bilan des forces appliquées

N°2: Coordonnées du Centre de Gravité

N°3: Moments de forces

N°4: Condition de basculement

Le calcul du basculement nécessite de savoir faire les 4 opérations ci-dessus. Ce travail n’est pas compliqué, mais assez long. Nous allons dans toute la suite de ce Drop nous intéresser uniquement au point n°2.

Déterminer les

coordonnées du Centre

de gravité d’un mur de

soutènement…

Maitrise ce calcul est indispensable pour vérifier la condition de basculement d’un mur de soutènement.

Faisons l’inventaire du matériel dont vous allez avoir besoin.

Une Calculette. Seules les 4 opérations sont nécessaires…

De quoi écrire et effacer…

Dossier Technique

Le dossier technique qui contient les plans et les cotes nécessaires, Ainsi qu’une grille d’aide au calcul, que vous pouvez télécharger ci contre sur idropproject.com…

ATTENTION

Aucun des schémas de ce Drop n’est à l’échelle…

cependant toutes les valeurs

données sont cohérentes avec les éléments du dossier technique.

Dans un premier temps, vérifions que vous posséder les connaissances nécessaires à l’apprentissage qui va suivre…

A maitriser

au préalable

Calculer la surface d’un rectangle.

Calculer la surface d’un triangle rectangle.

Connaitre la position du centre de gravité

des figures simples.

Savoir utiliser un repère et des

coordonnées cartésiennes.

Pour ne pas rencontrer de difficultés avec ce qui va suivre, vérifiez que vous êtes OK avec les 4 notions ci dessus…

Vous êtes OK ?, Alors nous pouvons commencer…

1 ml

Le calcul qui va suivre s’effectue sur une tranche de mur de soutènement de 1 ml de largeur…

1 ml

…et va vous permettre, à son terme, de déterminer les coordonnées XG et YG du mur de soutènement dans le repère cartésien indiqué sur le schéma de droite…

…Phase 1…

Je définis la

section d’étude.

…Définissez la section d’étude du mur de soutènement en utilisant les données du dossier technique que vous vous êtes procuré…

…Phase 2…

O

Je positionne

le repère.

…positionnez un repère comme indiqué ci-dessus, en plaçant le centre dans l’angle en bas à gauche de la semelle du mur de soutènement, et 2 axes verticaux et horizontaux …

…phase 3, l’avant dernière …

O

Je décompose la

section en figures

simples.

- Rectangles

- Carrés

- Triangles rectangles

…Décomposez votre section de mur en figures géométriques simples, à savoir des rectangles et des triangles rectangles…

…la phase 4, la plus longue, consiste à mener le calcul des coordonnées XG et YG du centre de gravité…

O

N°2 : Triangle rectangle Rouge

N°1 : Rectangle Bleu

N°3 : Triangle rectangle Vert

N°4 : Rectangle Jaune

Je numérote les

figures.

…Commencez par numéroter chacun des figures de votre décomposition, il y a différentes décompositions possibles, mais le résultat final reste identique…

ATTENTION

Méthode

des triangles

rectangles

Méthode

des

rectangles

…Attention, les calculs qui vont suivre sont différents, selon qu’ils sont menés à partir d’un triangle ou d’un rectangle…

…Commençons par le rectangle bleu…

O

…Vous allez compléter la première ligne de votre grille de calcul…

O

ZOOM

Largeur

Lo

ng

ue

ur

…Commencez par calculer la surface du rectangle bleu, Les mesures nécessaires sont dans votre dossier technique…

O

ZOOM

5184 cm²

18 cm

28

8 c

m

Longueur x Largeur

…Vous devez trouver un résultat de 5 184 cm2 …

Si vous n’avez pas cette feuille demandez là à votre formateur.

1 5184 cm²

…Reportez le numéro de l’élément ainsi que la surface trouvée dans la première ligne de la grille d’aide au calcul …

O

ZOOM

…A présent déterminons les coordonnées du centre de gravité du rectangle bleu …

Le CENTRE DE GRAVITE d’un rectangle (carré)

se trouve à l’intersection des 2 DIAGONALES.

A mémoriser si vous vous ne vous en souveniez pas.

Centre de Gravité

Diagonale

O

ZOOM

18 cm

28

8 c

m

58 cm 15

cm

15

9 c

m

…Les mesures de votre dossier technique vous permettent de calculer les coordonnées du centre de gravité du rectangle bleu (n° 1) … Vous devez trouver XG1 = 67 cm et YG1 = 159 cm.

67 cm

Si vous n’avez pas cette feuille demandez la à votre formateur.

1 5184 cm² 67 cm 159 cm

…Vous pouvez alors compléter les cases XGi et YGi de la première ligne.

Si vous n’avez pas cette feuille demandez la à votre formateur.

1 5184 cm² 67 cm 159 cm

…Les 2 cases restantes se détermines par le calcul.

Si vous n’avez pas cette feuille demandez la à votre formateur.

1 5184 cm² 67 cm 159 cm

X

=

…En multipliant la surface et XG1 vous obtenez le Moment statique par rapport à Y.

Si vous n’avez pas cette feuille demandez la à votre formateur.

1 5184 cm² 67 cm 159 cm 347328

X

=

Si vous n’avez pas cette feuille demandez la à votre formateur.

1 5184 cm² 67 cm 159 cm 347328

X

=

…En multipliant la surface et YG1 vous obtenez le Moment statique par rapport à X.

Si vous n’avez pas cette feuille demandez la à votre formateur.

1 5184 cm² 67 cm 159 cm 347328 824256

…Bravo! Vous avez terminé le remplissage de la première ligne de votre Grille d’aide au calcul. Les autres lignes se remplissent de la même façon, nous allons les faire ensemble.

…Passons à la figure n°2, le Triangle Rectangle Rouge…

O …Et remplissons la 2ème ligne de la grille de calcul…

O

ZOOM

Largeur X Longueur

2

58 cm

25

cm

725 cm²

…Calculez la surface du triangle rectangle rouge en utilisant les mesures figurant dans le dossier technique, vous devez trouver 725 cm2 …

2 725 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez la à votre formateur.

…Inscrivez le n° du triangle (2) et sa surface dans la deuxième ligne de votre Grille …

O

ZOOM

…Déterminez à présent les coordonnées du centre de gravité du triangle rouge …

Le CENTRE DE GRAVITE d’un triangle

se trouve à l’intersection des 3 MEDIANES,

c’est-à-dire des droites qui relient chaque SOMMET au MILIEU du côté opposé.

Centre de Gravité

Médiane

Milieu du côté opposé

A mémoriser si vous vous ne vous en souveniez pas.

Dans un TRIANGLE RECTANGLE, il est facile de repérer la position du

CENTRE DE GRAVITE en utilisant la régler des 2/3.

A mémoriser si vous vous ne vous en souveniez pas.

1/3

2/3

1

/3

Centre de Gravité

2/3

Angle Droit

O

ZOOM

…Appliquez la règle précédente dans le triangle rouge…

O 58 cm

25

cm

Angle droit 19,3 cm

8,3

cm

…Appliquez la règle précédente dans le triangle rouge, pour déterminer les distances à l’angle droit en appliquant la propriété des 1/3…

O 58 cm

25

cm

Angle droit 19,3 cm

8,3

cm

15

cm

23

,3 c

m

38,7 cm

…Puis par soustraction, déterminez les coordonnées du centre de gravité du triangle rouge dans le repère. Vous devez trouver XG2 = 38,7 cm et YG2 = 23,3 cm.

2 725 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez là à votre formateur.

38,7 cm 23,3 cm

…inscrivez ces valeurs dans la 2ème ligne de la grille

2 725 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez là à votre formateur.

38,7 cm 23,3 cm

…Complétez les 2 dernières cases de la même façon que pour la ligne 1.

2 725 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez là à votre formateur.

38,7 cm 23,3 cm

X

=

…Vous devez trouver : Moment statique / Y = 28 057,5.

2 725 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez là à votre formateur.

38,7 cm 23,3 cm

X

=

28057,5

…Vous devez trouver : Moment statique / X = 16 892,5.

2 725 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez là à votre formateur.

38,7 cm 23,3 cm 28057,5 16892,5

1 5184 cm² 67 cm 159 cm 347328 824256

…Bravo ! Votre 2ème ligne est complète.

…Procédons ensemble de la même façon pour le triangle vert (figure n°3)

O … Et complétons la 3ème ligne de la grille de calcul.

O

ZOOM

Longueur

La

rge

ur

Calculer la surface du triangle rectangle vert de la même façon que précédemment…

O

ZOOM

126 cm

25

cm

1575 cm²

Les mesures du dossier technique vous permettent de trouver une surface de 1 575 cm2 …

3 1575 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez là à votre formateur.

Vous pouvez commencer à remplir la 3ème ligne de votre grille…

O

ZOOM

Centre

de Gravité

126 cm

25

cm

Déterminez à présent les coordonnées du centre de gravité du triangle vert…

O

ZOOM

126 cm

25

cm

Recherchez les dimensions nécessaires dans votre dossier technique…

O

ZOOM

42 cm

8,3

cm

Appliquez la règle des 1/3 pour déterminer les distances à l’angle droit…

O

ZOOM 2

3,3

cm

58 cm 18 cm

15

cm

42 cm

8,3

cm

A l’aide des mesures du dossier technique, déterminez les coordonnées du centre de gravité du triangle vert. Vous devez trouver XG3 = 118 cm et YG3 = 23,3 cm.

118 cm

3 1575 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez la à votre formateur.

118 cm 23,3 cm

Inscrivez les valeurs de XGi et YGi dans votre grille de calcul…

3 1575 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez là à votre formateur.

118 cm 23,3 cm 185850

Utilisez les valeurs appropriées pour calculer le moment statique par rapport à Y, soit 185 850 …

3 1575 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez là à votre formateur.

118 cm 23,3 cm 185850 36697,5

… Et les valeurs appropriées pour calculer le moment statique par rapport à X, soit 36 697,5…

3 1575 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez là à votre formateur.

118 cm 23,3 cm 185850 36697,5

2 725 cm² 38,7 cm 23,3 cm 28057,5 16892,5

1 5184 cm² 67 cm 159 cm 347328 824256

… Vous venez de terminer votre 3ème ligne,…

… Il reste à traiter le rectangle jaune n°4 …

O

… pour compléter la 4ème ligne de la grille de calcul,…

O

ZOOM

126 cm 58 cm 18 cm

15

cm

… A l’aide des données du dossier technique, déterminez la surface du triangle jaune.

O

ZOOM

202 cm

15

cm

… Vous devez trouver 3 030 cm2…

4 3030 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez la à votre formateur.

… Vous pouvez inscrire votre résultat dans la grille…

O

ZOOM

… Déterminez à présent les coordonnées du centre de gravité du rectangle jaune, à l’aide des mesures du dossier technique…

O

ZOOM

202 cm

15

cm

… En appliquant la même méthode que pour le rectangle bleu précédent…

O

ZOOM

101 cm

7,5

cm

… Vous trouvez comme coordonnées: XG4= 101 cm YG4 = 7,5 cm …

4 3030 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez la à votre formateur.

101 cm 7,5 cm

… Vous complétez votre 4ème ligne avec les coordonnées trouvées...

4 3030 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez la à votre formateur.

101 cm 7,5 cm 306030

… Il ne vous reste plus qu’à calculer le moments statique / Y, soit 306 030…

4 3030 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez la à votre formateur.

101 cm 7,5 cm 306030 22725

… Et le moment statique / X, soit 22 725…

4 3030 cm²

Si vous n’avez pas cette feuille demandez la à votre formateur.

101 cm 7,5 cm 306030 22725

3 1575 cm² 118 cm 23,3 cm 185850 36697,5

2 725 cm² 38,7 cm 23,3 cm 28057,5 16892,5

1 5184 cm² 67 cm 159 cm 347328 824256

… Voila… Votre grille est prête pour le calcul final qui va vous permettre de déterminer les coordonnées du centre de gravité du mur de soutènement, à partir des données de chacun des éléments.

… Avant de passer à la suite, peut être pouvez vous reprendre mentalement les étapes précédentes, puis faire une pause de quelques minutes…

Si vous n’avez pas cette feuille demandez la à votre formateur.

4 3030 cm² 101 cm 7,5 cm 306030 22725

3 1575 cm² 118 cm 23,3 cm 185850 36697,5

2 725 cm² 38,7 cm 23,3 cm 28057,5 16892,5

1 5184 cm² 67 cm 159 cm 347328 824256

10 514 867 265,5 900 571

+ + +

Pour conclure le calcul, il suffit d’additionner les valeurs des surfaces, les Moments statiques/Y, puis les Moments statiques/X.

10 514 867 265,5 900 571

Somme des moments statiques / Y

Somme des Surfaces

Somme des Surfaces

Somme des moments statiques / X

Reportez les résultats de vos additions dans les fractions ci-dessus, qui vous donnent les coordonnées du centre de gravité du mur de soutènement.

10 514 867 265,5 900 571

10 514

10 514

867 265,5

900 571

10 514 867 265,5 900 571

10 514

10 514

867 265,5

900 571

82,48 cm

85,65 cm

… Puis effectuez le calcul de vos fractions.

O

Tracer le

Centre de

Gravité de la

section de mur

82,48 cm

85,6

5 c

m

X

… reportez ensuite les coordonnées calculées sur votre repère.

O 82,48 cm

85,6

5 c

m

Centre de Gravité

X

Tracer le

Centre de

Gravité de la

section de mur

… Puis tracez le centre de gravité du mur de soutènement. C’EST TERMINE… BRAVO !!

Comme vous le constatez, le travail n’est pas difficile, mais il nécessite rigueur et précision. Reprenons ensemble les différentes étapes.

Dossier Technique

Calcul de surface

Centre de gravité

Repère/ Coordonnées

Voici le matériel et les notions dont vous avez besoin.

1 ml

Le but de ce Drop est de déterminer les coordonnées du Centre de Gravité du mur de soutènement, puis de le tracer .

O

N°2 : Triangle Rouge

N°1 : Rectangle Bleu

N°3 : Triangle Vert

N°4 : rectangle Jaune

Décomposez et numérotez vos figures simples.

Surface Surface Surface Surface

Coordonnées Centre de Gravité

Coordonnées Centre de Gravité

Coordonnées Centre de Gravité

Coordonnées Centre de Gravité

1 2

Pour chaque figure, déterminez Surface et Coordonnées du Centre de gravité et inscrivez ces valeurs dans votre grille d’aide au calcul.

1 2

A l’aide des surfaces et des XGi…

1 2

Déterminez les moments statiques par rapport à Y. Attention, les X servent à calculer les moments / Y et inversement.

1 2

A l’aide des surfaces et des YGi…

1 2

…Déterminez les moments statiques par rapport à X. Attention, les Y servent à calculer les moments / X .

1 2

…A présent, pour conclure, vous allez utiliser les colonnes des Surfaces, des Moments statiques/Y, puis des Moments statiques/X…

1 2

+ + + S My Mx

…Additionnez les cases de chaque colonne et notez les résultats …

1 2

S My Mx

…reportez la somme des surfaces et la somme des Moments Statiques/Y dans la fraction XG…

1 2

S My Mx

S My XG

…Et calculez XG…

1 2

S Mx My

…reportez la somme des surfaces et la somme des Moments Statiques/X dans la fraction YG…

1 2

S Mx My

S My

YG

…Et calculez YG…

1 2

S My Mx

S Mx

YG

S My

XG

…Vous disposez à présent des coordonnées XG et YG du centre de gravité du mur de soutènement…

YG

XG

…Vous pouvez mettre de coté votre travail …

YG

XG

O X

Y

…reportez les coordonnées du centre de gravité sur les axes de votre repère …

O X

Y

YG

XG

…Et tracez le centre de gravité du mur de soutènement…

O X

Y

YG

XG

Position du Centre de Gravité du mur

…Et tracez le centre de gravité du mur de soutènement…

G

Calcul du Basculement

Bilan des forces appliquées

Coordonnées du Centre de Gravité

Moments de forces

Condition de basculement

X

X X

…Vous venez de découvrir la méthode qui permet de calculer les coordonnées du centre de gravité d’un mur de soutènement. Pour être en mesure d’effectuer un calcul complet de basculement, il vous faudra savoir faire un Bilan des forces, calculer des moments de forces et vérifier la condition de basculement … Ceci est pour plus tard. Pour ne pas perdre ce que vous venez de comprendre, à vous de le mémoriser

Drop #001

Détermination du Centre de gravité

d’une section de mur de soutènement

par la méthode des moments statiques.

Bac Pro TP

CIFA-TP Septembre 2012 ©

Conception / réalisation Charles Aïvar.

Contrôle / test Régis Cordier.

« iDropProject »

Réalisé avec le concours de

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