condução unidimensional transiente

TRANSFERÊNCIA DE

CALOR E MASSA/

TRANSFERÊNCIA DE

CALOR I

Cap. III Condução de Calor Unidimensional Transiente

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE TECNOLOGIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

Condução de Calor Unidimensional

Transiente

•Introdução

•Sistemas Concentrados

•Condução de Calor em regime

Transiente com Efeitos Espaciais

•Fluxo de calor transiente num

sólido semi-finito

A variação de temperatura no corpo agora será

estudada de acordo com a variação do tempo.

INTRODUÇÃO

Corpo sólido

m = massa

V = volume

ρ = massa específicaTi = temperatura inicial

INTRODUÇÃO

O balanço dos fluxos de energia através da fronteira do

sistema e as alterações internas que podem ocorrer

podem ser expressas duma forma geral como:

INTRODUÇÃO

A

transferência

de calor

para o corpo

durante dt

O aumento

no

de energia

do corpo

durante dt

INTRODUÇÃO

INTRODUÇÃO

1. Equação permite-nos determinar a temperatura T (t) de um corpo no tempo t, ou, alternativamente, o tempo t necessário para atingir a temperatura para um valor especificado T (t).

2. A temperatura de um corpo se aproxima dos T da temperatura ambiente de forma exponencial. A temperatura do corpo muda rapidamente no início, mas em vez lentamente mais tarde. Um valor elevado de b indica que o corpo se aproxima da temperatura ambiente em um curto período de tempo.Quanto maior o valor do expoente b, maior a taxa de decaimento da temperatura. Note-se que b é proporcional à área de superfície, mas inversamente proporcionais à massa e do calor específico do corpo. Isto não é surpreendente, uma vez que demora mais tempo a aquecer ou arrefecer uma massa maior, especialmente quando se tem um grande calor específico.

INTRODUÇÃO

Uma vez que a temperatura T (t) no instante t está disponível a partir da Equação

anterior , A taxa de transferência de calor por convecção entre o corpo e o seu meio

ambiente em que o tempo pode ser determinada a partir da lei de Newton de

arrefecimento como:

A quantidade total de transferência de calor entre o corpo e o meio circundante

durante o intervalo de tempo t = 0 e t é simplesmente a mudança no conteúdo de

energia do corpo:

A quantidade de transferência de calor atingir o seu limite superior, quando o corpo

atinge a temperatura circundante T∞. Assim, a transferência de calor máxima entre o

corpo e os seus arredores é

INTRODUÇÃO

Critérios para Análise de Sistemas

concentrados

A análise de sistemas concentrados certamente oferece uma grande

comodidade na análise de transferência de calor, e, naturalmente, é

necessário saber-se quando é apropriado usá-la.

O primeiro passo para estabelecer um critério para a aplicabilidade da

análise de sistemas concentrados é a definição de um comprimento

característico como:

E o número de Biot é:

Critérios para Análise de Sistemas

concentrados

Critérios para Análise de Sistemas

concentrados

Quando um corpo sólido é aquecido pelo fluido quente ao seu redor (como

sendo uma batata cozida em um forno), o calor é primeiro transferido por

convecção ao corpo e posteriormente conduzido dentro do corpo. O número de

Biot é a razão entre a resistência interna de um corpo a condução de calor, pela

sua resistência externa à convecção de calor.

Critérios para Análise de Sistemas

concentrados

Um pequeno número de Biotrepresenta uma pequenaresistência à condução decalor e assim, pequenosgradientes de temperaturadentro do corpo.

A análise de sistemasconcentrados pressupõe umadistribuição uniforme detemperatura por todo o corpo,que será o único caso em quea resistência térmica do corpoà condução de calor (aresistência de condução) ézero. Deste modo, a análise desistemas concentrados é exataquando Bi = 0 e aproximadaquando Bi>0.

É geralmente aceite que a análise de sistemas concentrados é aplicável se:

Quando este critério é satisfeito,as temperaturas no interior docorpo em relação ao o ambiente(ou seja, T – T∞) permanecem nafaixa de 5 por cento, mesmopara geometrias bemarredondadas como uma bolaesférica.

Critérios para Análise de Sistemas

concentrados

A temperatura de uma corrente de

gás é para ser medida por um

termopar cuja junção pode ser

aproximada como uma esfera de 1

mm de diâmetro, como mostrado na

Figura. As propriedades da junção

são k=35 W/m.°C, ρ= 8500

kg/m³, e Cp=320 J/kg·°C, e o

coeficiente de transferência de calor

por convecção entre a junção e o

gás é h= 210 W/m².°C. Determinar

quanto tempo vai demorar para o

termopar para ler 99 por cento da

diferença de temperatura inicial.

Condução de Calor em regime

Transiente com Efeitos Espaciais

As circunstâncias em que a variação da temperatura dentro

do corpo foi desprezível, isto é, corpos que permanecem

quase isotérmicos durante um processo. Os corpos

relativamente pequenos de materiais altamente condutivos

aproximam-se deste comportamento. Em geral, porém, a

temperatura dentro de um corpo varia de ponto para ponto,

bem como com o tempo.

Condução de Calor em regime

Transiente com Efeitos Espaciais

Condução de Calor em regime

Transiente com Efeitos Espaciais

Condução de Calor em regime

Transiente com Efeitos Espaciais

A formulação de problemas para a determinação da distribuição de temperatura unidimensional transiente T(x, t) em uma parede resulta numa equação diferencial parcial, que pode ser resolvida usando técnicas de matemática avançada. A solução, no entanto, implica normalmente séries infinitas, que são complexas de se resolver.

Portanto, são claras as motivações para apresentar a solução em forma de tabelas ou gráficos. No entanto, a solução envolve os parâmetros x, L, t, k, h, Ti, e T∞, que são muitos para se fazer qualquer apresentação gráfica dos resultados práticos.

Temperatura adimensional

Distância do centro adimensional

Coeficiente de transferência de calor adimensional

Tempo adimensional

Condução de Calor em regime

Transiente com Efeitos Espaciais

Os termos nas soluções convergem rapidamente com o aumento do tempo e

para τ>0,2, mantendo o primeiro termo e negligenciando os restantes da

série, resulta um erro inferior a 2%. Geralmente o interesse está em soluções

para tempos τ > 0,2, assim é conveniente expressar a solução que usa este

único termo como:

Condução de Calor em regime

Transiente com Efeitos Espaciais

Condução de Calor em regime

Transiente com Efeitos Espaciais

A função J(o) é a função de Bessel de ordem zero do primeiro tipo e os seus valores

podem ser determinados por tabelas. É de notar que o cos(0) =J0(0)=1 e o limite de

sen(x)/x também é 1. Estas relações simplificam as anteriores, dando origem às

seguintes, para o caso do centro da parede plana, cilindro ou esfera:

Condução de Calor em regime

Transiente com Efeitos Espaciais

Basta conhecer o número de Biot, as relações anteriores podem ser usadas para

determinar a temperatura de qualquer ponto do corpo.A temperatura do corpo

varia desde a temperatura inicial Ti até a temperatura do meio T∞ que é o fim do

processo de condução em regime transiente. Dai, a quantidade máxima de calor que

o corpo pode ganhar ou perder, (no caso de Ti> T∞) é a simples variação da energia

que o corpo tinha, e é dada por:

Condução de Calor em regime

Transiente com Efeitos Espaciais

Os gráficos de temperatura transiente nas três figuras seguintes, para uma

grande parede plana, um cilindro longo e uma esfera foram primeiramente

apresentados pelo MP Heisler em 1947 e são chamados de cartas de

Heisler. Eles foram completados em 1961 como gráficos de transferência

de calor em regime transiente por H. Gröber. Há três gráficos associados a

cada geometria: o primeiro gráfico serve para determinar a temperatura

no centro da geometria num dado tempo t. O segundo para determinar a

temperatura em outros locais ao mesmo tempo, em termos de T0 e o

terceiro gráfico serve para determinar a quantidade total de calor

transferido até ao tempo t. Estas cartas são válidas para τ>0,2.

Carta para placa plana infinita

Temperatura do painel intermediário (a partir de M. P. Heisler)

Carta para placa plana infinita

Distribuição de temperatura(a partir de M. P. Heisler)

Carta para placa plana infinita

Transferência de calor (a partir de H. Gröber et al.)

Carta para cilindro longo

Temperatura central (a partir de M. P. Heisler)

Carta para cilindro longo

Distribuição de

temperatura (a partir de

M. P. Heisler)

Carta para cilindro longo

De transferência de calor (a partir de H. Gröber et al.)

Condução de Calor em regime

Transiente com Efeitos Espaciais

As frações do calor transferido podem também ser

determinadas das relações baseadas nas

equações já discutidas:

APLICAÇÃO

Numa instalação de produção, de grandes placas de latão, de 4 cm de espessura, que são inicialmente a uma temperatura uniforme de 20 °C são aquecidas, passando-os através de um forno, que é mantido a 500 °C. As placas permanecem no forno durante um período de 7 min. Tomando os coeficientes de convecção e radiação combinada de transferência de calor a ser h=120 W/m2 · ° C, determine a temperatura da superfície das placas quando elas saem do forno.

k=110 W/m·°C

ρ=8530 kg/m³

Cp=380 J/kg·°C

Um cabo de 20 cm de diâmetrocilíndrica feita de aço inoxidável304 sai de um forno a umatemperatura uniforme de 600 °C.O veio é então deixada aarrefecer lentamente em umacâmara de ambiente a 200 °C,com um coeficiente médio detransferência de calor de h = 80W/m²·°C. Determinar atemperatura no centro do veio 45min após o início do processo dearrefecimento. Além disso,determinar a transferência decalor por unidade de comprimentodo eixo, durante este período detempo.

k=14.9 W/m·°C,

ρ=7900 kg/m³

Cp=477 J/kg · °C

APLICAÇÃO

Condução de calor transiente em

sólidos semi-infinito.

Um sólido semi-infinito é um corpo idealizado que tem uma superfície plana e

única e estende-se até ao infinito em todas as direções. Esse corpo idealizado é

usado para indicar que a alteração da temperatura na parte do corpo em que

estamos interessados (região próxima à superfície) ocorre devido a condições

térmicas em uma única superfície. A terra, por exemplo, pode ser considerada um

meio semi-infinito em determinar a variação da temperatura próximo à

superfície.

Considere-se um sólido semi-finito mantido a temperatura Ti. A temperatura

da superfície é subitamente baixada e mantida a temperatura T0. Pretende-

se encontrar uma expressão para a distribuição das temperaturas em função

do tempo

Condução de calor transiente em

sólidos semi-infinito.

Variação da temperatura com a posição e o tempo num sólido semi-infinito inicialmente a Ti submetido à convecção num ambiente a T∞, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de h.

Condução de calor transiente em

sólidos semi-infinito.

A solução exata do problema com recurso às

Transformadas de Laplace é expressa como:

Condução de calor transiente em

sólidos semi-infinito.

Onde a função erf(ξ) erro de Gauss é definida como:

Apesar de sua aparência simples, a integral da equação anterior não pode ser realizada analiticamente. Portanto, é avaliada numericamente para diferentes valores, e os resultados estão listados em tabela. Para o caso especial de h →∞, a temperatura da superfície Ts torna-se igual à temperatura do fluido T∞:

Condução de calor transiente em

sólidos semi-infinito.

O fluxo de calor transmitido para ou do ambiente pode-se calcular da Lei

de Fourier

O fluxo de calor numa posição x é dado por:

Derivando a equação obtém-se:

Condução de calor transiente em

sólidos semi-infinito.

Na superfície o fluxo de calor é:

O calor na superfície é avaliado do gradiente de

temperaturas em x = 0

Condução de calor transiente em

sólidos semi-infinito.

Condução de calor transiente em

sólidos semi-infinito.

APLICAÇÃO

Nas áreas em que a temperatura do ar permanece abaixo de 0 ° C, durante períodos de tempo prolongados, o congelamento da água nos tubos subterrâneos é uma grande preocupação. Felizmente, o solo mantém-se relativamente quente durante estes períodos, e leva semanas para as temperaturas sub-resfriadas para chegar à corrente de água no solo. Assim, o solo de forma eficaz serve como isolamento para proteger a água do sub-resfriamento das temperaturas no inverno. O solo a uma localização particular é coberto com cobertura de neve, a -10 ° C por um período contínuo de três meses, e as propriedades do solo média nesse local são k = 0,4 W / m ° C e ·α=0,15 106 m²/s. Assumindo uma temperatura inicial uniforme de 15 ° C para o chão, determinar a profundidade de enterramento mínimo para evitar que os tubos de água a partir de zero.