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Fenômenos de Transporte

Capitulo 8 cont.

Condução de calor Transiente

Prof. Dr. Christian J. Coronado Rodriguez

IEM - UNIFEI

Prof. Christian R. CoronadoUNIFEI 2015

Condução de calor transitória

Se as condições de contorno térmica sãodependentes do tempo, a equação completa da conduçãode calor é requerida para descrever o processo decondução.

O modelo matemático inclui a distribuição detemperatura inicial no corpo, bem como as condições decontorno térmicas nas superfícies do corpo.


ANÁLISE CONCENTRADA

Um corpo inicialmente a uma temperatura

uniforme, T0, experimenta repentinamente uma

mudança térmica em seu meio circunvizinho. A taxa com

que essa mudança é sentida no interior dependerá da

resistência à transferência de calor oferecida em suas

superfícies e a resistência oferecida internamente, dentro

do material.

A temperatura dependente do tempo pode ser

determinada através do uso de uma análise concentrada.


A primeira lei para o corpo irregular mostrado na figura é:


Em t > 0, a temperatura do fluido ao redor do solido é

alterada para T∞. Se a resistência interna for desprezada, a

temperatura do corpo será uniforme, a expressão para a primeira

lei torna-se:

A condição inicial é t =0 e T = T0

A distribuição de temperatura no corpo é obtida pela

integração da Eq. anterior:


A é a constante de integração. A condição inicial é determinadapara achar a constante de integração.

A expressão final para a temperatura do corpo é:

Essa expressão pode ser transformada em uma formaadimensional através da introdução de alguns grupos adimensionais.

Temperatura:


Um comprimento característico Lc, é definido como:

A difusividade térmica é introduzida:

O expoente na Eq. Anterior, pode ser expresso em termos dedois grupos adimensionais que são muito utilizados em TC. Essessão o número de Biot e o número de Fourier.


A temperatura do corpo em forma adimensional torna-se:

O numero de Biot pode ser usado para determinar se

erros significativos são introduzidos no cálculo da resposta

transitória de um corpo usando a análise concentrada. Tem

sido mostrado que uma precisão razoável pode ser obtida

utilizando uma analise concentrada se Bi < 0,1.

A taxa de TC em qualquer instante pode ser determinada

a traves de:


A quantidade total de energia ganha pelo corpo no

tempo “t” pode ser encontrada a traves de:

Isso representa a quantidade máxima de energia que

pode ser ganha pelo corpo. Se houver geração interna de

calor no corpo que comece em t=0, a equação diferencial

da energia será:


Uma esfera solida de aço, AISI 1010, com 1 cm

de diâmetro, inicialmente a 15 °C, é colocada em uma

corrente de ar, T∞ = 60°C.

Estimar a temperatura dessa esfera em função

do tempo depois de ter sido colocada na corrente de

ar quente. O coeficiente médio de transferência de

calor por convecção é de 20 W//m2 °C.

Exemplo





A taxa na qual calor é transferido para a esfera

pode ser calculado a partir da temperatura

conhecida da esfera.


ANÁLISE UNIDIMENSIONAL

Se o fluxo de calor transitório em um corpo for

considerado unidimensional, T (x, t), e na ausência de

geração interna de calor, a equação da condução de calor

no sistema de coordenadas cartesianas reduz-se a:

t

T

x

T

∂

∂=

∂

∂

α

1

2

2

Quatro configurações específicas serãoconsideradas, nas quais a TC é unidimensional


a) Solido semi-infinito

� Existem muitas situações nas quais um corpo comporta-

se, termicamente como um solido semi-infinito.

� Considere uma mudança súbita na temperatura do fluido

adjacente à placa mostrada na Fig. ocorrendo em t=0


Como resultado do distúrbio térmico uma onda de temperaturamove-se da superfície para dentro do material. Enquanto a onda detemperatura não atingir outra fronteira ou encontrar outra onda detemperatura originada em outra fronteira, ela irá se comportar como seestivesse sendo transmitida dentro de um solido semi-infinito. Assim, se0 < t< t1, onde t1 é o tempo requerido para a onda de temperatura atingir aonda de temperatura de outra fronteira, a solução de solido semi-infinito ésatisfatória para a placa.

O solido semi-infinito mostrado na figura a seguir esta inicialmentea uma temperatura uniforme, T0. A superfície do corpo em x = 0experimenta uma mudança súbita na sua condição de contorno. Adistribuição de temperatura no solido pode ser determinada com asseguintes expressões:


A. Mudança súbita na temperatura da superfície (tipo função

degrau). A distribuição de temperatura é:

B. Mudança súbita no fluxo de calor (tipo função degrau):



C. Mudança súbita na temperatura no fluido (tipo função degrau):


Uma parede muito grossa de carvalho está inicialmente a uma

temperatura uniforme de 20 °C. Ela é exposta repentinamente a uma

corrente quente de gás, T∞ = 200 °C. Estimar a temperatura da superfície da

madeira 10 seg. depois do gás entrar em contato coma a madeira. O

coeficiente de transferência de calor por convecção é de 100 W/m2 °C.

EXEMPLO


A temperatura da superfície, x = 0 em t=10 s, pode ser estimada assumindo que a parede se comporte como uma placa semi-infinita a traves da Eq. (Caso C).

A temperatura a uma localização de 3 cm a partir da superfície daparede 10 s após o gás entrar em contato com a madeira pode serdeterminada através da mesma Eq.



A resposta transitória de uma placa infinita frente a umamudança nas condições de contorno é obtida através da soluçãoda Eq. de condução de calor transitória unidimensional com adistribuição da temperatura inicial na placa e as condições decontorno térmicas. Para a placa que esta na figura, que estainicialmente a uma temperatura uniforme T0 o modelomatemático é o que segue.

b) Placa infinita


A Eq. da condução de calor transitório

(unidimensional) é:


Uma analise do modelo matemático para a placa infinita,

descrito pela equação diferencial e as condições de contorno e inicial,

indica que a distribuição de temperatura na placa é uma função de

nove variáveis T(x, ρ, T0, L, T∞, k, h, c, t). Com o intuito de reduzir o

numero de variáveis, grupos adimensionais serão formados. Um

adimensional do comprimento, temperatura, e tempo (numero de

Fourier) será definido

A eq. Diferencial (unidimensional) pode ser expressa em termos

dessas variáveis utilizando



A condição de contorno em X=L, expressa em termos dos

grupos adimensionais anteriormente introduzido, é:


As Eqs. anteriores indicam que a temperatura adimensional pode

ser expressa como uma função de somente três grupos adimensionais (X,

Fo, Bi), sendo uma redução significativa no numero de variáveis que são

requeridas para apresentar a solução para uma distribuição de

temperatura transitória em uma placa infinita.

A distribuição de temperatura em uma placa infinita, na superfície

adiabática, no plano de simetria, e na superfície em contato com o fluido

pode ser obtida das Figs a seguir. O comprimento característico usado na

definição do comprimento adimensional é a distancia do plano

adiabático à superfície em contato com o fluido, L. O calor adimensional

perdido por uma placa a uma temperatura inicial T0 é:





Uma grande parede solida de tijolo com 15 cm de espessura

atinge uma temperatura uniforme de 0 °C durante uma noite de

inverno.

Ás 9:00 horas da manhã o ar adjacente à parede aquece-se

até uma temperatura de 15 °C. O ar mantém esta temperatura até

as 15:00 horas. Estimar a temperatura na linha de centro e na

superfície da parede de tijolo ao meio-dia.

Determinar também a temperatura media do tijolo e a

quantidade de calor que foi transferida do ar para o tijolo.

O coeficiente de transferência de calor por convecção pode

ser considerado constante é igual a 50 W/m2 °C.

EXEMPLO





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