View
46
Download
4
Category
Preview:
Citation preview
Cours module MS1Organisation du module :
Cours 8hTD 18h (2x1h coef 2 = total coef 4)
DS 2h (coef 5)
1
MS1
ST4ST2 ST3 ST5 ST6 ST8ST7
S1
S2
390h
2
MS2
MS3ST1
MS4 MS5S3&4
Chapitre 1Statique des structures planes
Introduction la RdM Hypothses de travail Actions mcaniques Liaisons extrieures Equilibre des structures Hyperstaticit externe Efforts internes Hyperstaticit interne et totale
3
1. Introduction la RdM
Un peu dhistoire de la RdM...
Chapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
! 1 5 6 4
Gallil 1564 - 1642
1 6 3 5
Robert Hooke 1635 - 1703
1 6 5 4
Jacques 1er
Bernoulli
1654 - 1705
1 7 0 0
Daniel Bernoulli 1700 - 1782
1 7 0 7
Lonard Euler 1707 - 1783
1 7 3 6
Joseph Louis
Lagrange 1736 1813
Charles Augustin Coulomb
1736 - 1806
1 5 6 4
Fondation Acadmie des
Sciences Colbert
1 7 4 7
Fondation
Ecole des Ponts et
Chausses
1 7 7 3
Thomas Young
1773 - 1829
1 7 8 1
Simon Denis
Poisson 1781 - 1840
1 7 8 5
Henri Navier
1785 - 1836
1 7 9 4
Fondations :
Ecole des Travaux Publics
Ecole des Arts et Mtiers
Ecole Centrale Ecole Normale
de lan II
1 7 9 5
Gabriel Lam 1795 - 1870
1 7 8 9
Augustin Louis
Cauchy 1789 - 1857
1 7 9 5
Fondation
Ecole Polytechnique
1 7 9 7
Adhmar Barr de Saint Venant
1797 - 1886
1 7 9 9
Benot Paul Emile
Clapeyron 1799 - 1864
1 8 1 9
George Gabriel
Stokes 1819 - 1903
1 8 2 1
Jourawski
1821 - 1891
1 8 2 4 1 8 3 1
James Clerk Maxwell
1831 - 1879
1 8 2 2
Jacques
Antoine Charles Bresse
1822 - 1883
1 8 3 5
Christian Otto
Mohr 1835 - 1918
1 8 4 7
Alberto Castigliano
1847 - 1884
Gustav Robert Kirchhoff
1824 - 1887
RdM = Rsistance des Matriauxcest une science ancienne lie la construction
4
1. Introduction la RdM
Les objectifs
Chapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
Objet de la RdM : fournir les concepts gnraux de dimensionnement des structures.
Les outils : - lois de la mcanique - lois de comportement des matriaux
Toutefois le dimensionnement des structures nest pas lobjet du cours de RdM. Le calcul des lments structuraux est bas sur des rgles de vrification propres au matriau de construction utilis qui seront abordes en :
- cours de BA- cours de Bois- cours de CM
La RdM permet donc dtablir des outils communs pour ces calculs dans le cadre dhypothses bien prcises en utilisant des modles de calcul mcaniques.
On ne traitera dans ce cours et mme globalement lIUT quune partie de la RdM.
5
1. Introduction la RdM
Dmarches et principes
Chapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
6
1. Introduction la RdM
Dmarches et principes
Chapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
7
Construction
Plan Modle de calcul RdM
Calcul des efforts et dplacements
1. Introduction la RdM
Rgles de calcul en GC
Chapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
Principes gnraux - NotationsBases de calcul - Actions sur les structuresCalcul des structures en BtonCalcul des structures en AcierCalcul des structures mixtes Acier-BtonCalcul des structures en BoisCalcul des ouvrages en MaonnerieCalcul GotechniqueConception et dimensionnement des structures aux sismesCalcul des structures en alliages dAluminium
Eurocode 0 Eurocode 1 Eurocode 2Eurocode 3 Eurocode 4 Eurocode 5 Eurocode 6 Eurocode 7Eurocode 8Eurocode 9
8
2. Hypothses de travail
Nos hypothses pour le modlisation des structures du GC
Chapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
9
Les calculs de RdM sont raliss sur des modles idaliss (simplifis) de structures.
Dans 98% des cas les modles de calcul utilis en Gnie Civil sont des modles 2 dimensions.
Nous nous en tiendrons donc ltude des structures barres planes (2D) charges dans leur plan de symtrie. Dautre part le modle de calcul est construit partir de la ligne moyenne des lments (barres).
!"#! "$! "%!
! &$! &%!
Ligne moyenne : ligne qui joint les centres de gravit des sections
droites successives!
Les efforts sont considrs
comme appliqus sur cette ligne moyenne
'! '!
'! '!
Modle de calcul dun support de couverture
Modle de calcul dun portique
Structures barres
2. Hypothses de travailChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
10
Les sections des barres sont constantes ou lentement variables
Les barres possdent des dimensions transversales petites devant leur longueur
Si les barres sont courbes leur rayon de courbure est grand devant leurs dimensions transversales
2. Hypothses de travailChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
11
Les structures tudies sont :
Proportionnalit et rversibilitentre cause et effet
On est donc dans un domaine restreint du fonctionnement des matriaux
Mais elles subissent de petits dplacementset des petites dformations
Tous les calculs seront donc raliss sur la structure non dforme
Calcul au premier ordre
! F
d
Les efforts appliqus sont constants ou lentement variables : statique pas deffet dynamique
Dformables
Elastiques linaires
2. Hypothses de travailChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
Les sections droites restent planes aprs dformation : hypothse de Navier-Bernoulli
! "#! "$!"#! "$!
Structure non charge
Structure charge
12
3. Modlisation des actions mcaniquesChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
!
Forces actives : W, S, G, I,
Interactions entre
sous-structures,
interactions
sol/structure
Actions appliques sur nos structures
Forces : objets mathmatiques : vecteurs
13
3. Modlisation des actions mcaniquesChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
Les forces concentres (rappels mathmatiques)
14
Une force est reprsente par un vecteur :
- une direction- un sens- un point dapplication- une intensit (N)
! "!
#!
$!
%!&!
#&!
#"!
Rappel sur quelques proprits
Laddition vectorielle :
3. Modlisation des actions mcaniquesChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
Les forces concentres (rappels mathmatiques)
15
Rappel sur quelques proprits
Le produit scalaire :
Le produit vectoriel :
!
"#!
"$!
!
!
"#!
"$!
!
%!
&!
'!
Le rsultat est un scalaire
Le rsultat est un vecteur
3. Modlisation des actions mcaniquesChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
16
Moment dune force
Action distanceF
+o
MF/o
3. Modlisation des actions mcaniquesChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
17
Moment dune force!
!
"!
#!
$!
%&!
%!
'!
(!
)!
Le moment est une grandeur oriente (vecteur !)porte par z
3. Modlisation des actions mcaniquesChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
1814
Moment dune force
!
x
"!
#!
$!
%!
&!
'!
Simplification convention de signe
!
"#!
$%#&!
'! (!)!
#!
Force rpartie
3. Modlisation des actions mcaniquesChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
19
Force uniformment rpartie
!
"#!
$%#&!
'! (!)!
*!
#!
3. Modlisation des actions mcaniquesChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
20
Torseur
!
"#!"$!
"%!&!
'#!'$!
(!'%!
'!
)!*!
+!
Outil mathmatique permettant en 1 point donn la reprsentation
dun ensemble de vecteurs (forces)
!
MFi/o
3. Modlisation des actions mcaniquesChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
21
si R = 0 le torseur reprsente un couple
M=Fd pour tout point du plan
si R = 0 et M = 0 quel que soit le point considr le torseur est appel torseur nul
Torseurs particuliers
!"!
"! #!
4. Modlisation des liaisons extrieuresChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
22
Les liaisons extrieures des structures du GC
Ces liaisons correspondent des modles idaliss des liaisons que lon rencontre dans les structures relles.
Le comportement de la structure est li la nature de ces appuis qui servent bloquer une ou plusieurs composantes du dplacement de chaque point dappui.
On rappelle que dans le plan un dplacement se rsume une translation dans le plan (vecteur admettant 2 composantes suivant des axes orthogonaux) et une rotation autour dun axe perpendiculaire au plan.
Translation
Rotation
4. Modlisation des liaisons extrieuresChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
23
Les liaisons extrieures des structures du GC
Les structures tudies sont lies leur environnement extrieur par des liaisons. En Gnie Civil et dans le cas de structures planes les liaisons extrieures courantes sont au nombre de 3 :
Lappui simple ou appui dilatation, Lappui articul (articulation par abus de langage), Lappui encastr (encastrement par abus de langage).
4. Modlisation des liaisons extrieuresChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
24
Les liaisons extrieures des structures du GC
Au niveau des appuis la structure exerce des actions (forces et/ou couples) sur le milieu extrieur (transmission des efforts).
En vertu du principe daction/raction le milieu extrieur exerce des actions rciproques (gales et opposes) sur la structure. Ces dernires sont appeles ractions et dpendent bien entendu de la nature des appuis assurant la liaison structure/milieu extrieur.
Structure
milieu extrieur
Liaison
4. Modlisation des liaisons extrieuresChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
25
Les liaisons extrieures des structures du GC
Appui simple Appui articul Appui encastr
Dplacement(s) empch(s)
Une translation (dirige selon lorientation de
lappui)
La translation dans toute direction
La translation dans toute direction
La rotation autour de lappui
Grandeurs cinmatiquesDplacements
u v=0
u=0v=0
u=0v=0=0
Grandeurs statiquesRactions
Rx=0Ry
z=0
RxRy
z=0
RxRyz
!
x,!"!
M,!!!y,!#!
!
! !
!"#!
! "#!
"$!
! "#!
"$!z
!
"!Lappui simple est le seul appui orient
4. Modlisation des liaisons extrieuresChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
Modlisation : dcomposition en sous-structures
!
"#$$%!&'$()%*!
+',-.%!/!
0!
1!"! Descente de charges
Dalle
Solive
Poutre principale
Murs porteurs
Fondations ... Sol
4. Modlisation des liaisons extrieuresChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
27
Modlisation : dcomposition en sous-structures
!
"#$$%!&'$()%*!
+',-.%!/!
0!
1!"!
! Actions transmises par la dalle
Actions transmises par la dalle
"#$! "#%!
%!$!
&!
'!
! Actions transmises par les solives
"!#!
$%#! $%"!&!
'!
Descente de charges
On isole llment calculer...
!
"!Les ractions
sont des charges externes
Solive
Poutre
5. Equilibre statique des structures planesChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
28
Notions dquilibre statique
Equilibre dun point
F -F
F - F = 0
F1
F2
F3
F1 + F2 + F3 = 0
Fi = 0
Equilibre dune structure plane
Equilibre obtenu si :- pas de translation densemble- pas de rotation densemble
5. Equilibre statique des structures planesChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
29
Le rle des liaisons extrieures est dempcher le dplacement densemble de la structure ce quon appelle lquilibre statique.
Dun point de vue mcanique, pour assurer cet quilibre statique le torseur de toutes les actions extrieures appliques sur la structure (charges appliques et ractions) doit tre nul :
Cette dernire criture est appele PFS (Principe Fondamental de la Statique).Les deux premires quations traduisent limpossibilit de translation suivant les axes orthogonaux ox et oy (donc dans nimporte quelle direction du plan) alors que la troisime quation interdit la rotation densemble de la structure en nimporte quel point P du plan xy autour de laxe Pz.
Projection dans le plan
Equilibre statique des structures planes
5. Equilibre statique des structures planesChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
30
Equilibre statique des structures planes
Les liaisons ont pour rle le maintien de la
structure en quilibre statique
Pas de dplacement densemble de la structure
3 quations dans le plan
5. Equilibre statique des structures planesChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
31
!
"!
#!
"$%!
&! '!(!)!
!
"!
#!
"$%!
&! '!(!)!
*!
+!
,-&! ,-'!
,.&!
"$/!
Exemple :
6. Degr dhyperstaticit externeChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
Dfinition de lhyperstaticit externe
On note n le nombre de ractions en dbut de problme. Dans le plan lquilibre tant rgit par 3 quations (celles du PFS) on retiendra que :
Si n-3 = 0 le problme est dit isostatique extrieur. Cette expression traduit un quilibre statique global respect et la possibilit de calculer les ractions uniquement partir du PFS,
Si n-3 < 0 lquilibre statique global nest pas forcment respect et la structure peut constituer un mcanisme ou structure cinmatiquement instable. Si cest le cas aucun calcul raliser (en Gnie Civil !!!),
Si n-3 > 0 la structure est dite hyperstatique extrieur de degr n-3. Cette expression traduit un quilibre statique global respect mais limpossibilit de calculer toutes les ractions partir des seules quations du PFS.
Dans le plan on peut crire 3 quations
dquilibre PFS
Les inconnues dterminer sont les
ractions
32
La notion dhyperstaticit externe est lie
la rsolution mathmatique de ce problme
6. Degr dhyperstaticit externeChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
Hyperstaticit externe ...
33
Quelques exemples :
Structures isostatiques externes, hyperstatiques ou mcanismes ?
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
34
Il existe en RdM deux manires de reprsenter les efforts internes
Les actions extrieures (charges appliques et ractions) crent en tout point de la structure des efforts dits internes.
Sollicitations ContraintesRelations
Modlisation des efforts internes
MS2
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
35
Modlisation des efforts internes
Sollicitations
Il sagit dune reprsentation mathmatique simplifie de leffet des charges extrieures qui conduit la dfinition defforts internes calculs au centre de gravit des sections : les sollicitations N, V et M!
Ligne moyenne
"#!
"$!
"%!
"&!
'#!
(#!
)#!
Chaque section se rsume en un point : son
CdG
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
36
Modlisation des efforts internes
Sollicitations
!
Ligne moyenne
"#!
"$!
"%!
"&!
'#!
(#!
)#!
!
Ligne moyenne
"#!
"$!
%#!
!
'#!
"(!
")!
%#!
!
'#!
Partie gauche Partie droite
! "#!
"$!
%#!
!
'#!
Partie gauche
R
MG1
!
"!
#!
$!
%&!
R
MG1
N
V
N : effort NormalV : effort Tranchant
M : Moment flchissant
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
37
Modlisation des efforts internes
Sollicitations
!
Ligne moyenne
"#!
"$!
"%!
"&!
'#!
(#!
)#!
!
"!
#!
$!
%&!
R
MG1
N
V
!
ND
VD MD
VG
NG
MG
La section est en
quilibre (statique)
!
Ligne moyenne
"#!
"$!
%#!
!
'#!
"(!
")!
%#!
!
'#!
Partie gauche Partie droite
VD=-VGND=-NGMD=-MG
fd=-fg
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
38
Exemple de calcul de sollicitations...
!
"!
#!
"$%!
&! '!(!)!
!
"!
#!
"$%!
&! '!(!)!
*!
+!
,-&! ,-'!
,.&!
"$/!
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
Exemple de calcul de sollicitations...!
"!
#!
"$%!
&! '!(!)!
!
"!
#!
"$%!
&! '
!(!)!
*!
+!
#$%! #$%!
(!
,!
En prenant le signe des forces droiteet en regardant droite de la coupure :
NQ = 0VQ = P/2 - P = - P/2MQ = P/2x3L/4 PxL/4 = PL/8
En prenant le signe des forces gauche et en regardant gauche de la coupure :
NQ = 0VQ = P/2 = P/2MQ = - P/2xL/4 = - PL/8
39
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
40
!
"#!
"$!
"%!
&'(!)*+!
&'(!)*+!
&'(!)*+!
,'-!).+!
,'-!).+!
,'-!).+!
Conventions de signe : repre local
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
41
Etats de sollicitations
N seul Compression ou Traction
pure
M seulFlexion pure
M et VFlexion simple
M et V et N Flexion
compose
Vocabulaire li la nature des sollicitations prsentes dans
une section
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
42
Relations particulires : quilibre dun tronon de poutre
!
"!
"#!
$! $#!
%&'!
%!
&'!
&'!
(!
(!)!&(!
*!)!&*!
+!)!&+!
*!+!
Effort normal constant sur le tronon (charge perpendiculaire la ligne moyenne)
Au signe prs la drive premire de V correspond au chargement
Au signe prs la drive premire de M correspond leffort tranchant
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
43
Relations particulires : quilibre dun tronon de poutre
!
"!
"#!
$! $#!
%!
%!
&'!
&'!
(!
(!)!&(!
*!)!&*!
+!)!&+!
*!+!
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
44
Quelques rappels mathmatiques sur les fonctions de base
Fonctions linaires
Forme gnrale : y=ax+b
b : ordonne loriginey
x
a : pente de la droitea>0 droite croissantea
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
45
Quelques rappels mathmatiques sur les fonctions de base
Fonctions paraboliques
Forme gnrale : y=ax +bx+cy
x
2
Variation de la fonction : drive premire y=2ax+bConcavit de la fonction : drive seconde y=2a
Drive positivefonction croissante
Drive ngativefonction dcroissante
Drive nulleextremum
drive seconde ngativeconcavit tourne vers les y
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
46
Quelques rappels mathmatiques sur les fonctions de base
Fonctions paraboliques
Forme gnrale : y=ax +bx+cy
x
2
Variation de la fonction : drive premire y=2ax+bConcavit de la fonction : drive seconde y=2a
Drive positivefonction croissante
Drive ngativefonction dcroissante
Drive nulleextremum
drive seconde positiveconcavit tourne vers les y>0
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
47
Quelques rappels mathmatiques sur les fonctions de base
Autre fonction
Forme gnrale : y=ax +bx +cx +dx+e
y
x
4
Variation de la fonction : drive premire yConcavit de la fonction : drive seconde y
3 2
drive seconde positiveconcavit tourne vers les y>0
drive seconde ngativeconcavit tourne vers les y
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
Chargement du tronon de barre Fonction V(x) Fonction M(x)
Relations mathmatiques
Allures des fonctionsV____M____
Tronon de barre non charg V est constant
V(x)=a
M est linaireM(x)=-ax+b
Tronon de barre avec une charge
rpartieV est linaireV(x)=-px+b
M est parabolique
M(x)=px/2+bx+c
Tronon de barre avec une charge
ponctuelle
V est constant de part et dautre de P.Saut damplitude P sous le point dapplication de P.
M est linaire de part et dautre de P.M admet un point remarquable au niveau du point dapplication de P.
Relations particulires : quilibre dun tronon de poutre
Reprsentation forces droite
!
Ligne moyenne
"#!
"$!
%#!
!
'#!
"(!
")!
%#!
!
'#!
Partie gauche Partie droite
N
V M
x
a>0 a
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
Chargement du tronon de barre Fonction V(x) Fonction M(x)
Relations mathmatiques
Allures des fonctionsV____M____
Tronon de barre non charg V est constant
V(x)=a
M est linaireM(x)=-ax+b
Tronon de barre avec une charge
rpartieV est linaire
V(x)=px+b
M est parabolique
M(x)=-px/2+bx+c
Tronon de barre avec une charge
ponctuelle
V est constant de part et dautre de P.Saut damplitude P sous le point dapplication de P.
M est linaire de part et dautre de P.M admet un point remarquable au niveau du point dapplication de P.
Relations particulires : quilibre dun tronon de poutre
Reprsentation forces gauche
!
Ligne moyenne
"#!
"$!
%#!
!
'#!
"(!
")!
%#!
!
'#!
Partie gauche Partie droite
N
V M
x
a>0 a
7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
Exemple de trac
!
! "#$%!
$%!
fg
50
8. Degr dhyperstaticit interne et totaleChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
51
Hypersaticit interne
Rappel lhyperstaticit externe lie au calcul des ractions
Le degr dhyperstaticit interne est quand lui lie au calcul des
sollicitations1 coupure = 3
inconnus M, N, V
Lors du calcul des sollicitations on est amen couper la structure en deux parties (on isole la partie droite ou gauche). Si cette coupure se fait au niveau dune seule barre on peut alors calculer les 3 inconnues N, M et V.
8. Degr dhyperstaticit interne et totaleChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
52
Hypersaticit interne
Exemple les cadres ferms
En revanche, si cette coupure concerne plusieurs barres, on se sait plus rpartir sur les diffrentes coupures les efforts de droite ou de gauche.
1re coupure3 inconnues et 2 sous structures
calcul immdiat possible
1re coupure3 inconnues mais structure entire
2me coupure3 inconnues de plus et 2 sous structures
8. Degr dhyperstaticit interne et totaleChapitre1
Introduction la RdM
Hypothses de travail
Actions mcaniques
Liaisons extrieures
Equilibre des structures
Hyperstaticit externe
Efforts internes
Hyperstaticit interne et totale
Hypersaticit interne
DH int= 3x nb cadres ferms - nb darticulations internes
Hypersaticit totaleDH tot=DH ext + DH int
Recommended