CI25 RDM Partie 2 FLEXION 2015 Déformée Contrainte Dimensionnement

8/15/2019 CI25 RDM Partie 2 FLEXION 2015 Déformée Contrainte Dimensionnement

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CI25 Solides déformables /RDM PARTIE 2 : FLEXION (Déformée, Contraintes, Dimensionnement)

JC ROLIN 10/2015 Lycée G.Eiffel Dijon 1

Solides déformables

Cours de Résistance des Matériaux (RDM)PARTIE 2 : FLEXION (Déformée / Contraintes / Dimensionnement)

Contenu

1 SOLLICITATION DE FLEXION ................................................................................ 2

1.1 MISE EN SITUATION DE LA SOLLICITATION DE FLEXION ..................................................................................................... 2 1.2 FLEXION PLANE ET FLEXION PLANE SIMPLE ........................................................ ............................................................. 3 1.3 FLEXION PURE ......................................................................................................................................................... 3 EXEMPLE DE FLEXION SIMPLE ET PURE ........................................................................................................................................ 3

2 DEFORMATION DUE A LA FLEXION ..................................................................... 4

2.1 EXPERIMENTATION : DEFORMEE ET FLECHE ............................................................................................................ 4 2.2 DEPLACEMENT OU PIVOTEMENT D’UNE SECTION DROITE (S) .............................................................. ............................... 4

3 DEMARCHE DE CALCUL D’UNE POUTRE .............................................................. 5

3.1 APPLICATION DU PFS POUR LES ACTIONS AUX APPUIS ..................................................................................................... 5

3.2 IDENTIFICATION DU NOMBRE DE TRONÇONS A ETUDIER ................................................................................................... 5 3.3 RECHERCHE DU TORSEUR DE COHESION DE CHAQUE TRONÇON ........................................................... ............................... 5 3.4 DIAGRAMMES DES SOLLICITATIONS LE LONG DE LA POUTRE .............................................................................................. 6

4 EQUATION DE LA DEFORME ET FLECHE MAXIMALE ............................................ 7

4.1 DEFORMATION D’UNE POUTRE ................................................................................................................................... 7 4.2 EQUATION DE LA COURBE DE LA DEFORMEE OBTENUE PAR INTEGRATION ............................................................................ 7 4.3 APPLICATION A LA POUTRE SUIVANTE .............................................................. ............................................................. 7 4.4 FORMULAIRES DE FLECHES F POUR QUELQUES CAS USUELS ............................................................................................... 8

5 CONTRAINTES AU SEIN D’UNE POUTRE EN FLEXION ........................................... 9

5.1 OBJECTIF GENERAL DU CALCUL DES CONTRAINTES ......................................................... .................................................. 9 5.2 REPARTITION DES CONTRAINTES EN FLEXION ................................................................................................................. 9 5.3 CALCUL DU MOMENT QUADRATIQUE (UNITE M

4 OU MM

4) ........................................................ ....................................... 9

5.4 CONTRAINTE NORMALE MAXIMALE ........................................................................................................................... 10

6 DIMENSIONNEMENT D’UNE POUTRE EN FLEXION ............................................ 11

6.1 CONDITION DE RESISTANCE ................................................................ ............................................................... ....... 11 6.2 CONCENTRATION DE CONTRAINTES ........................................................................................................................... 11

7 EXEMPLES A DEVELOPPER ................................................................................ 11

8 FORMULAIRE DE FLEXION ................................................................................ 12

9 EXTRAIT CATALOGUE DE POUTRES METALLIQUES ............................................ 12


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1 SOLLICITATION DE FLEXION

1.1 Mise en situation de la sollicitation de flexion

Les sollicitations en flexion sont très fréquentes dans les poutres, on prendra comme exemple :

Mécanique : arbre de transmission Châssis d’un véhicule… ici de camion

Aéronautique : aile d’avion Pale d’hélicoptère

Architecture des bâtiments : Charpente, porte à faux, balcon… Flèche d’un mât

Poutres et poutrelles métalliques

En charpente métallique, une poutrelle désigne un produit

sidérurgique en acier laminé à chaud ayant une forme de I,

de H ou de U.

IPE UPE HPE

Dans le programme de TSI, les études de flexion se limitent à la flexion plane simple


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CI25 Solides déformables /RDM PARTIE 2 : FLEXION (Déformée, Contraintes,

Dimensionnement)


1.2 Flexion plane et flexion plane simple

Une poutre est soumise à de la flexion plane si

- Les actions mécaniques extérieures à la poutre sont composées de forces coplanaires et de

couples perpendiculaires au plan que forment les forces extérieures

- Le plan que forment les forces extérieures est un plan de symétrie de la poutre.

F1

F2

C

Plan de symétrie

F3

La longueur de la poutre est selon

l’axe0

x .

Le torseur de cohésion est réduit en

tout point G du tronçon à :

BaseLoca leG

coh

Mfz

Ty

N

T

0

0

0

Flexion plane : il existe une résultante normale Nx

FLEXION PLANE SIMPLE :On distingue la flexion plane simple de la flexion plane par l’absence du terme d’effort normal Nx ,

la situation de la poutre est alors isostatique.

Le torseur de cohésion est alors selon l’orientation du moment de flexion (autour de y ou z ).

BaseLocaleG

coh

0

Mfy

0

Tz

0

0

T

ou BaseLocaleG

coh

Mfz0

0

0Ty

0

T

1.3 Flexion pure

Un tronçon de poutre est sollicité en flexion pure si, en tout point G du tronçon,

- La section présente un plan de symétrie

- le torseur de cohésion se réduit à un couple perpendiculaire au plan de symétrie.

BaseLoca leG

coh MfyT

0

0

0

0

0

ou

BaseLocaleG

coh

Mfz

T

0

0

0

0

0

FF FF

Flexion pure

x0

y0

z0

G

A B

Flexion plane

simple

Flexion plane

simple

DC

Gz0

y0

Symétrie

Section quelconque

de la poutre

Exemple de flexion simple et pure

La zone entre B et C est soumise à 2 moments de signe opposés dus aux efforts en A, B, C et D,elle est en flexion pure.

Il n’y pas d’effort normal Nx car l’appui en C est un appui simple laissant le degré de liberté

selon0

x .

Mettre en place le

repère global

Illustrer une poutre

déformée en 3 D

pour les 2 cas de

flexion simple


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Dimensionnement)


2 DEFORMATION DUE A LA FLEXION

2.1 Expérimentation : DEFORMEE ET FLECHE

La poutre (AB) est soumise à une sollicitation de flexion simple. Observons la déformation des

fibres de la poutre (ligne parallèle à la ligne moyenne AB) et le déplacement des sections droites.

G

G’

A’’

A’

A

B’’

B

B’

P1

P2

A’’

A’

AP’1

P’2

B’’

B’

B

Avant déformation

Après déformation

F

F

y0

x0

Section (S)

Section (S’)

y

x

Dé formée

da

DEFORMEE : La ligne moyenne « après déformation » est appelée

déformée.

FLECHE : La valeur du déplacement vertical d’un point M appartenant à

la ligne moyenne ( ] AB[M ) est appelé flèche au point M.

DEFORMATIONS

CONSTATEES : Les fibres « du

dessus »

raccourcissent

(ex : fibre

supérieure A’’B’’)

Les fibres « du

dessous »

s’allongent

(ex : fibre inférieure

A’B’)

Les fibres du planmédian ne

subissent pas de

variations de

longueur.

2.2 Déplacement ou pivotement d’une section droite (S)

D'après l'hypothèse de Navier et Bernoulli, les sections

droites restent planes et normales à la ligne moyenne après

déformation, tout se passe donc comme si la section droite

(S) avait pivoté d'un angle faible dα autour de l'axe )z,G(

pour venir en (S').

On peut donc dire que les déformations relatives Lo

L x

en un point M sont proportionnelles à l'ordonnée y de ce

point.

D’autre part, la loi de Hooke lie la contrainte σx, la

déformation εx et le module d’élasticité ou de Young E,

par : σx = E. εx

G x

y

(S)(S’)

da

x0

La contrainte normale σx en un point M d'une section droite (S) est proportionnelle à

l'ordonnée y de ce point.

Localiser la flèche

maximale et illustrer.


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3 DEMARCHE DE CALCUL D’UNE POUTRE

3.1 Application du PFS pour les actions aux appuis

En général le problème est plan, on applique :

le TRS en projection sur0

x et0

y , mais en

flexion pure il n’y a pas de résultante sur 0 x

le TMS en projection sur0

z .

Il faut bien identifier la nature de liaisons pour

connaître le nomme d’inconnues de chacune

d’entre elle.

FF FF

Flexion pure

x0

y0

z0

G

A B

Flexion plane

simple

Flexion plane

simple

DC

Articulation en A : RAx et RAy Appui simple en C : RCy

PFS avec 3 inconnues à déterminer

3.2 Identification du nombre de tronçons à étudier

On balaye la poutre de gauche à droite :

chaque appui et chaque force ponctuelle présente le long de la poutre détermine un nouveau tronçon.

pas de changement de tronçon le long d’une charge répartie.

Exemples :

FF FF

Flexion pure

x0

y0

z0

G

A B

Flexion planesimple

Flexion planesimple

DC

Appui simple en A, articulation en

B, charge ponctuelle P.

2 charges ponctuelles et 2 appuis, 3 intervalles

distincts.

2 appuis et une charge répartie,

3.3 Recherche du torseur de cohésion de chaque tronçon

Une poutre en bois est sollicitée en porte à faux par une force

concentrée à son extrémité et on néglige son poids propre.

On donne L = 4m, a = 0, 5m et F = −20kN.

Pour chaque tronçon (P-) est la partie à gauche, (P+) celle à

droite.

On choisit d’isoler le tronçon le plus facile pour les calculs et

on applique le PFS en introduisant le torseur de cohésion.

1)

Définition des appuis et forme d’écriture du torseur de cohésion

2) Calcul des actions d’appuis :

Ce calcul préliminaire est nécessaire dans quasi tous les cas on utilise le PFS = TRS = TMS dans le plan

Il est souvent utile de mettre en place les résultantes sous forme de vecteurs sur le dessin

TRS sur l’axe x .

TRS sur l’axe y .

TMS sur l’axe z au point A.


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3)

Torseur de cohésion dans le tronçon AB en isolant la partie gauche de AB soit (P-) :

PFS en G avec 0 < x < L :

TRS sur y :

TMS sur z en G :

On trouve le torseur de cohésion suivant valable entre A et B.

),,()/(

0

0

0

/

0

z y xG

coh

LaF x

LaF T

4) Torseur de cohésion dans le tronçon BC en isolant la partie droite de BC soit (P+) :

PFS en G avec L < x < L+a :

La partie droite étant retenue on étudie – {Tcoh}

TRS projeté sur y :

TMS sur z en G :

On trouve le torseur de cohésion suivant valable entre B et C.

),,()(

0

0

0

0

z y xG

coh

xa L F

F T

5)

Vérification de la relation entre effort tranchant et

moment fléchissant : )()( xT xdx

dM y

fz

6) Recherche de la localisation de la contrainte

maximale et expression de Mfz maxi.

3.4 Diagrammes des sollicitations le long de la poutre

Ces diagrammes représentent la variation de l’effort tranchant Ty et du

moment de flexion Mfz tout au long de la poutre.

On peut remarquer deux points utiles à la vérification des résultats : L’aire totale pour Ty en sommant sur la longueur de la poutre de A à

C est nulle (TRS vérifié).

Et )()( xT xdx

dM y

fz

On voit d’un coup d’œil que la contrainte maximale est localisée au

point B.


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4 EQUATION DE LA DEFORME ET FLECHE MAXIMALE

4.1 Déformation d’une poutre

On montre ci-contre pour une poutre en

charge l’évolution de la ligne moyenne.

En l’absence de chargement cette ligne est

confondue avec l’axe x, les points (AIJBD)

sont alignés.

Sous chargement la ligne moyenne se

déplace les points (AIJBD) ne sont plus

alignés mais appartiennent à la DEFORMEE.

La déformée est la fonction y = f(x) de la

ligne moyenne d’une poutre sous charge,

dans le repère global (A, x, y).

En un point G quelconque de la déformée,

la pente de sa tangente est pour les petits

angles avec G en radians :

Tan G = G = y’ = f’(x)

Cet angle correspond au pivotement de la

section droite de la poutre.

CONDITIONS AUX LIMITES ET FLECHE

On remarque qu’au niveau des appuis en A

et B, la position de la ligne moyenne n’a pas

changé : yA et yB = 0.

Au point I, la déformation passe par un

extrémum (maxi ici), la dérivée de la

déformée est nulle : y’I = 0

FLECHES : On nomme « flèches » les valeursmaximales de la déformation pour un

tronçon, ici en I et D.

Flèche en I = yi et flèche en D = yD

Exemples usuels de conditions aux limites

4.2 Equation de la courbe de la déformée obtenue par intégration

L’étude en géométrie analytique de la relation entre le pivotement de la section droite de centre G(x) et la contrainte

normale dans la poutre (paragraphe 2.2) permet d’établir une relation simple entre :

le moment fléchissant Mfz,

le moment quadratique I(G,z) de la section de la poutre

le module d’élasticité longitudinal ou module de Young E,

la dérivée seconde de la fonction de la déformée.

)(''..),(

x Mf y I E z z G Relation valable pour les petites déformations

Remarque 1 : On peut donc établir l’équation de la déformée à partir du moment fléchissant par 2 intégrations successives,

en recherchant les constantes d’intégration par les conditions aux limites.

Remarque 2 : Comme la relation Mfz dépend du tronçon de la poutre, la méthode par intégration doit être réalisée pour

chacun de ses tronçons.

4.3 Application à la poutre suivante

De A à C : Mfz = x.(F/2)

=' ' y. I . E ) z ,G(

=' y. I . E ) z ,G(

= y. I . E ) z ,G(

De C à B : Mfz = (x - L). F/2

=' ' y. I . E ) z ,G(

=' y. I . E ) z ,G(

= y. I . E ) z ,G(


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Conditions aux limites et recherche des

constantes d’intégration. De A à C De C à B

Equation de la déformée

Localisation de la déformée maximale ou

flèche.

Montrer que la flèche est :

) z ,G(

3

I . E .48

L. F - f =

4.4

Formulaires de flèches f pour quelques cas usuelsPoutre encastrée et charge ponctuelle F (N) en extrémité Poutre encastrée et charge répartie homogène p (N/m)

Poutre sur appuis avec charge ponctuelle en milieu de poutre Poutre sur appuis avec charge répartie linéaire p (N/m)


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5 CONTRAINTES AU SEIN D’UNE POUTRE EN FLEXION

5.1 Objectif général du calcul des contraintesCalculer les contraintes au sein du matériau de la poutre à différents objectifs :

Vérifier sa résistance pour dimensionner sa section et le choisir lors d’une conception (contrainte normale) ;

o non dépassement de sa limite à la rupture Rr ;

o exploitation dans le domaine élastique Re ;

Vérifier sa déformation afin qu’elle reste dans les limites acceptables de son contexte d’emploi (déformée) ; Satisfaire des critères économiques en utilisant le minimum de matière, mais au bon endroit (moment quadratique)

5.2 Répartition des contraintes en flexionConsidérons une section droite (S) d’abscisse x, et un point M de coordonnées (x,y,z) appartenant à

cette surface (S). La répartition des contraintes normales dépend de x et de y :

Gx

y

sx0

(traction)

Répartition de s X dans une section (S) d’abscisse x

sx(x,y)

x

y

M

G(x)z

y

Section S

M(x,y,z)

x

y. I

) x( Mfz ) y , x(

Gz

x =s

Avec IGz moment

quadratique par rapport àl’axe )z,G(

Pour l’exemple précédent :

Pour y = 0, 0x s

la contrainte normale est nulle tout le long de la fibre neutre

Pour y > 0, 0x s

sollicitation de compression

Pour y < 0, 0x s sollicitation de traction

En flexion plane simple, il apparait 2 termes non nuls dans le torseur de cohésion : Ty et Mfz (ou

Tz / Mfy).

En flexion pure, on néglige la contrainte tangentielle induite par l’effort tranchant.

5.3 Calcul du moment quadratique (unité m4 ou mm

4)

Le moment quadratique (IGz ou IGy) caractérise la répartition de surface (S) autour d’un axe.

Un moment quadratique élevé traduit une grande rigidité de la poutre.

Définitions pour le calcul des moments quadratiques

Flexion simple due à

Mfz, rotation des

sections normales

autour de z, et Mfy

(rotation autour de y).

ds.²yI)S(

Gz

ds.²zI)S(

Gy

Pour la torsion simple

due à Mt, rotation des

sections autour de x

Formulaire pour quelques sections simples

Section circulaire

Valeurs maximales pour y = z = d/2

Fondamental pour la

recherche de la contrainte

maximale sur une poutre

En concours il faut

savoir exploiter ces

résultats qui doivent

être connus pour ces

2 formes simples


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Dimensionnement)


Section rectangulaire

Valeurs maximales pour y = h/2 et z = b/2

Si section carrée, h = b

Exercice induitif…

Réaliser un « pont » entre deux tables (e≈10cm) permettant de déposer un stylo en toute sécurité

à l’aide d’une feuille de papier A4.

Solution : Feuille pliée ou ondulée permet d’augmenter I(G,z) /y

Comparaison du moment quadratique d’une poutre creuse et d’une poutre pleine de même

section de matière.Calculer le moment quadratique d’une poutre pleine carrée

de 20 mm de côté.

Faire la même chose si la section est conservée pour une

poutre creuse d’épaisseur 5 mm.

Déduire auparavant ses dimensions…

5.4 Contrainte normale maximale

Rappel de l’expression de la contrainte : y. I

) x( Mfz ) y , x(

Gz

x =s

On repère déjà la section S la plus sollicitée sur le diagramme du moment fléchissant c'est-à-dire l’abscisse x où

Mfz est maximal.

La contrainte ) y , x( xs est maximale quand y est maximal

Bien souvent, les fabricants de profilés donnent les caractéristiques des sections de leurs poutres et notammentv

IGz

appelé

le module de flexion Avec ymaxv =

La contrainte maximale se calcule alors par :

s

v

I

Mfz

Gz

max

maxx

Répartition de la contrainte normale dans une section de poutre circulaire

Résistance en flexion ↔ Placer la matière loin de la fibre neutre

Ci-dessous poutre dite IPN


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Déduire les modules de flexion :

d’une poutre circulaire, I(G,z) = I(G,y)

d’une poutre rectangulaire I(G,z) et I(G,y)

6

DIMENSIONNEMENT D’UNE POUTRE EN FLEXION

6.1 Condition de résistance

Nous venons de voir que la sollicitation dominante est une contrainte normale. La limite utilisée pour le dimensionnement

sera donc la résistance pratique à l’extension (Rpe) qui tient compte d’un coefficient de sécurité s.

Comme pour les sollicitations de traction/compression, on dimensionnera la poutre de telle manière que

Pemaxx Rs avec

s

RR

e

Pe

6.2 Concentration de contraintes

Du fait des accidents de forme, on majorera la contrainte maximale nominale (cf. 0.1.1) calculée dans une section droite parun coefficient K (donné par des abaques).

Ainsi 1K

nomx

maxx

s

s

7 EXEMPLES A DEVELOPPER

Faire l’étude complète des 3 exemples suivants en tenant compte des symétries éventuelles pour simplifier :

Action aux appuis et recherche du torseur de cohésion, tracé des diagrammes NX, TY et MfZ

Recherche de l’équation de la déformée et de la flèche (maximale).

Exemple 1 :POUTRE SUR DEUX APPUIS AVEC CHARGE

CONCENTREE AU MILIEU

Montrer que la valeur de la flèche maxi en C est :

Exemple 2 :

POUTRE SUR DEUX APPUIS AVEC CHARGE

UNIFORMEMENT REPARTIE (Bâtiment : plancher,toit de super marché avec neige…)

Montrer que la valeur de

la flèche maxi en C est :

Exemple 3 :

POUTRE ENCASTREE AVEC CHARGE

CONCENTREE A UNE EXTREMITE

(Bras de robot avec moteur bloqué, grue…)

Montrer que la flèche

maximale en A est


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8 FORMULAIRE DE FLEXION

9 EXTRAIT CATALOGUE DE POUTRES METALLIQUES

Poutre IPE

Documents

CI25 RDM Partie 2 FLEXION 2015 Déformée Contrainte Dimensionnement