Deret Fourier 2.ppt - Gunadarma...

KALKULUS 4

Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA.

SARMAG TEKNIK MESIN

1. Deret Fourier

1.1. Fungsi Periodik

1.2. Fungsi Genap dan Ganjil,1.3. Deret Trigonometri,1.4. Bentuk umum Deret Fourier,1.5. Kondisi Dirichlet,1.6. Deret Fourier sinus atau cosinus separuh jangkauan.

2. Integral Fourier

KALKULUS 4 - SILABUS

2. Integral Fourier

3. Fungsi Gamma dan Fungsi Beta

3.1. Fungsi Gamma

3.2. Fungsi Beta3.3. Penerapan fungsi Gamma dan fungsi Beta

4. Transformasi Laplace

4.1. Definisi dan sifat Transformasi Laplace

4.2. Invers dari transformasi Laplace4.3. Teorema Konvolusi4.4. Penerapan transformasi Laplace dalam penyelesaian P. D.

dengan syarat batas.

Teorema

Andaikan

1. f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada sejumlah hingga titik, pada interval (-L, L),

1.5. KONDISI DIRICHLET

2. f(x) periodik di luar interval (-L, L) dengan

periode 2L,

3. f(x) dan f’(x) kontinyu bagian demi bagian pada (-L, L),

TeoremaMaka deret

dengan koefisien a dan b , konvergen ke

1.5. Kondisi Dirichlet

dengan koefisien an dan bn , konvergen ke

a. f(x) jika x adalah titik dimana f(x) kontinyu,

b. jika x adalah titik dimana f(x)

diskontinyu. f(x+0) adalah limit kanan dari f(x).

f(x-0) adalah limit kiri dari f(x).

2

)0x(f)0x(f −++

Contoh:

Perhatikan fungsi

1.5. Kondisi Dirichlet

8 :Periode , 0 x 4- ,5

4x0 ,0)x(f

<<

≤≤=

Bagaimana mendefinisikan f(x) pada x = -4 , x = 0,

dan x = 4 agar konvergen ke f(x) untuk setiap x ?

Jawab: …

0 x 4- ,5 <<

Jawab:

memenuhi kondisi Dirichlet.

1.5. Kondisi Dirichlet

8 :Periode , 0 x 4- ,5

4x0 ,0)x(f

<<

≤≤=

memenuhi kondisi Dirichlet.f(x) diskontinyu pada x = -4 , x = 0, dan x = 4 .

5

4 8 12 16-4-8-12-16

0X

Jawab:Deret Fourier dari fungsi tersebut

1.5. Kondisi Dirichlet

4

xn sin )n cos (-1

n

5

1n

2

5 (x)f

ππ+

π

∞

=

+= ∑

Pada x = -4, deret tersebut konvergen ke

Pada x = 0, deret tersebut konvergen ke

2

5

2

50

2

)04(f)04(f=

+=

−−++−

2

5

2

05

2

)04(f)04(f=

+=

−−++−

Pada x = 4, deret tersebut konvergen ke

Dengan demikian f(x) dapat ditulis sebagai

1.5. Kondisi Dirichlet

2

5

2

50

2

)04(f)04(f=

+=

−−++−

-4x,2

5 =

8 :Periode ,

4x,2

5

4x0,5

0x,2

5

0x4-,0

-4x,2

5

)x(f

=

<<

=

<<

=

=

Latihan:Definisikan fungsi berikut pada titik-titik diskontinyu sedemikian hingga fungsi tersebut konvergen ke f(x) untuk setiap x

1.5. Kondisi Dirichlet

5x0 ,3 ≤≤

01 :Periode , 10 x 5 ,25

5x0 ,x)x(f .3

2 :Periode , 0 x - ,0

x0 , xosc)x(f .2

10 :Periode , 0 x 5- ,3

5x0 ,3)x(f .1

2

<<

≤≤=

π

<<π

π≤≤=

<<−

≤≤=

IDENTITAS PARSEVAL

Jika an dan bn koefisien deret Fourier yang bersesuaian dengan f(x)

dan f(x) memenuhi syarat Dirichlet, maka

1.5. Kondisi Dirichlet

maka

)b(a 2

a dx ))x(f(

L

1 2

n

2

n

1n

2

0

L

L

2++= ∑∫

∞

=−

Contoh:Perhatikan deret Fourier

1.5. Kondisi Dirichlet

4

xn sin )n cos (-1

n

5

1n

2

5 (x)f

ππ+

π

∞

=

+= ∑

Dari fungsi

1n =

8 :Periode , 0 x 4- ,5

4x0 ,0)x(f

<<

≤≤=

Contoh:Berikan Identitas Parseval dari deret Fourier

1.5. Kondisi Dirichlet

4

xn sin )n cos (-1

n

5

2

5 (x)f

ππ+

π

∞

+= ∑

a0bn

L

Identitas Parseval:

4 sin )n cos (-1

n1n

2

(x)f π+

π=

+= ∑L

2

1n

24

4

2 )n cos1(n

5

2

5 dx ))x(f(

4

1

π+−

π

+= ∑∫∞

=−

∑∫∞

=−

π+−

π

+=

1n

2

22

4

4

2 )n cos 1(n

25

2

25 dx ))x(f(

4

1

Contoh:

1.5. Kondisi Dirichlet

∑∫∞

=−

π+−

π

+=

1n

2

22

4

4

2 )n cos 1(n

25

2

25 dx ))x(f(

4

1

(1) (2)

... ... dx )0( dx )5( 4

1 dx ))x(f(

4

14

0

2

0

4

2

4

4

2=+= ∫∫∫

−−

(1)

(2) ... ... )n cos 1(n

25

2

25

1n

2

22=π+−

π

+ ∑∞

=

Contoh:

1.5. Kondisi Dirichlet

dx )0( dx )5( 4

1 dx ))x(f(

4

14

0

2

0

4

2

4

4

2

∫∫∫−−

+=(1)

dx 0 dx 52 4

1

40

∫∫ +=

404

∫∫−

(-4)) -(0 4

25 x)(25

4

1 0

4- ==

25(4)4

25==

25 dx ))x(f( 4

14

4

2=∫

−

Contoh:

1.5. Kondisi Dirichlet

(2) =π+−

π

+ ∑∞

=1n

2

22)n cos 1(

n

25

2

25

)2 cos 1( 2

25 ) cos 1(

25

2

25 2

22

2

2+π+−

π

+π+−

π

+=

Untuk n ganjil, cos nπ = -1.Untuk n genap, cos nπ = 1

... )3 cos 1( 3

25

)2 cos 1( 2

) cos 1( 2

2

22

222

+π+−

π

+

+π+−

π

+π+−

π

+=

Contoh:

1.5. Kondisi Dirichlet

(2)

... )3 cos 1( 3

25

)2 cos 1( 2

25 ) cos 1(

25

2

25

2

22

2

22

2

2

+π+−

π

+

+π+−

π

+π+−

π

+=

)1)( 1( 25

)-1)( 1( 25

25

22++−++−+=

... )-1)( 1( 3

25

)1)( 1( 2

)-1)( 1( 2

2

22

222

++−

π

+

++−

π

++−

π

+=

... )2( 3

25 )0(

2

25 )2(

25

2

25 2

22

2

22

2

2+−

π

+

π

+−

π

+=

... 7

4.25

5

4.25

3

4.25

4.25

2

25

2222222+

π

+

π

+

π

+

π

+=

Contoh:

1.5. Kondisi Dirichlet

(2)

... 7

4.25

5

4.25

3

4.25

4.25

2

25

2222222+

π

+

π

+

π

+

π

+=

=π+−

π

+ ∑∞

=1n

2

22)n cos 1(

n

25

2

25

7532 ππππ

++++

π

+= ... 7

1

5

1

3

1 1

100

2

25

2222

Contoh:

1.5. Kondisi Dirichlet

(1) = (2)

++++

π

+= ... 7

1

5

1

3

1 1

100

2

2525

2222

11125 2π

Jadi

... 7

1

5

1

3

1 1

1002

25-25

222

2

++++=π

... 7

1

5

1

3

1 1

8 222

2

++++=π

8 ...

7

1

5

1

3

1 1

2

222

π=++++

Contoh:Bila diketahui

Tentukan jumlah dari deret

1.5. Kondisi Dirichlet

8 ...

7

1

5

1

3

1 1

2

222

π=++++

Tentukan jumlah dari deret

Jawab: …

... 5

1

4

1

3

1

2

1 1

2222+++++

Latihan:Bila diketahui

Buktikan bahwa

1.5. Kondisi Dirichlet

90 ...

4

1

3

1

2

1 1

2

444

π=++++

Buktikan bahwa

Bukti: …

96 ...

7

1

5

1

3

1 1

2

444

π=++++

Deret Fourier sinus separuh jangkauan adalah deret

Fourier yang hanya menyajikan bagian sinus saja.

1.6. DERET FOURIER SINUS DAN COSINUS SEPARUH JANGKAUAN

πL

xn2

Deret Fourier sinus separuh jangkauan

∫π

==

L

0

nn dx L

xnsin f(x)

L

2b , 0a

∑∞

=

π=

1n

nL

xnsin b )x(f

Deret Fourier cosinus separuh jangkauan adalah

deret Fourier yang hanya menyajikan bagian

cosinus saja.

1.6. Deret Fourier Sinus dan Cosinus Separuh Jangkauan

Deret Fourier cosinus separuh jangkauan

∫π

==

L

0

nn dx L

xn cos f(x)

L

2a , 0b

∑∞

=

π+=

1n

n0

L

xncos a

2

a)x(f

Latihan:

1. Uraikan f(x) = x , 0 ≤ x ≤ 2 dalam deret Fourier

sinus separuh jangkauan. (L = 2).

1.6. Deret Fourier Sinus dan Cosinus Separuh Jangkauan

sinus separuh jangkauan. (L = 2).

2. Uraikan f(x) = x , 0 ≤ x ≤ 2 dalam deret Fourier

cosinus separuh jangkauan. (L = 2).