Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je...

Dinamika krutog tijela Tehnička fizika 1

01/11/2019 Tehnološki fakultet

Dinamika krutog tijela

• Moment sile.

• Moment inercije.

• Štajnerov teorem.

• Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja.

• Moment impulsa.

• Zakon održanja momenta impulsa.

• Kinetička energija i rad rotacionog kretanja.

Dinamika krutog tijela

• Pod dejstvom sile ne mijenja oblik

• Međusobna rastojanja čestica su ista

• Dvije vrste kretanja: TRANSLACIJA I ROTACIJA

• TRANSLACIJA KRUTOG TIJELA, svodi se na kretanje

materijalne tačke

• Rotaciono kretanje tijela:

sve čestice se kreću po kružnoj putanji

centri kružne linije leže na jednoj pravoj (osa rotacije)

sve čestice imaju istu ugaonu brzinu

Kruto tijelo

Dinamika krutog tijela

• Uticaj sile na rotaciju tijela opisuje se momentom sile.

• Kretanje MT oko ose rotacije:

kretanje je ubrzano

ubrzanje ima Tangencijalnu i Radijalnu komp.

• Sila koja djeluje na materijalnu tačku ima:

radijalnu komponentu,

tangencijalnu komponentu

• Samo dejstvo tangencijalne sile dovodi do rotacije

• Ugaono ubrzanje ima pravac ose rotacije,

• a smjer određuje pravilo desnog zavrtnja

RmFr2

Moment sile

mRFt sinFFt

Dinamika krutog tijela

• Tangencijalna komponenta sile pomnožena sa

poluprečnikom kružne linije definiše moment sile.

• Vektorski proizvod:

• Moment sile:

vektor

jednak vektorskom proizvodu radijus vektora i

tangencijalne komponente sile

pravac je koaksijalan sa osom rotacije

smjer se određuje pravilom desnog zavrtnja

isti smjer kao ugaona brzina i ubrzanje

sinRFFRM t

Moment sile

FRM

Dinamika krutog tijela

FFFxdFxFMMM 212121 ),(

Par sila - spreg sile

FdFxFdFxM

FdM

Dinamika krutog tijela

• Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da

se suprotstavlja rotaciji.

• Moment inercije u rotacionoj dinamici je analogna

veličina masi u dinamici.

• Predstavlja inerciju krutog tijela koje rotira u odnosu na

njegovu rotaciju.

• Moment inercije materijalne tačke:

Skalarna veličina, jednaka proizvodu mase i kvadrata

njenog rastojanja od ose rotacije.

Moment inercije

2mRI

Dinamika krutog tijela

• Moment inercije tijela u odnosu na osu rotacije.

tijelo podijeli na elementarne mase ∆mi

svaka elementarna masa ima svoje rastojanje od

ose rotacije Ri

moment inercije ∆miRi

• Ako je gustina tijela:

• Ili u graničnim slučajevima:

Moment inercije

222

22

2

11 ... iinn RmRmRmRmI

V

m

ii VRI

2

V

dVRdmRI 22

Dinamika krutog tijela

• Omogućava izračunavanje momenta inercije u odnosu

na bilo koju osu rotacije.

Moment inercije u odnosu na proizvoljnu osu jednak je momentu

inercije u odnosu na osu koja prolazi kroz težište tijela i paralelna je datoj

osi koji se uvećava za proizvod mase tijela i kvadrata rastojanja između tih

osa.

• Štajnerova teorema svodi izračunavanje momenta inercije u odnosu na

proizvoljnu osu, na izračunavanje momenta inercije u odnosu na osu koja

prolazi kroz težište tijela.

Štajnerova teorema.

2

0 mdII

d

Dinamika krutog tijela

• Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja.

• Moment impulsa tijela L materijalne tačke oko

nepokretne ose rotacije je vektorski proizvod njenog

vektora položaja r i vektora impulsa tijela:

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja.

IM

prL

IL

dt

Ld

dt

Id

dt

dIIM

Dinamika krutog tijela

Zakon održanja momenta impulsa.

dt

Ld

dt

Id

dt

dIIM

dt

dI

dt

dI

dt

Id

dt

LdM

0

constL

0M

U izolovanom sistemu, moment impulsa je konstantan.

• Pri rotaciji krutog tijela (bez translatornog kretanja):

• Vrši se sumiranje kinetičke energije za svaki djelić

krutog tijela:

• Pri složenom kretanju ukupna kinetička energija je

suma kinetičke energije translatornog kretanja centra

mase i rotacionog kretanja tijela:

• Ako se pri rotaciji tijelo obrne za ugao θ (u radijanima)

pod uticajem momenta sile M, izvršeni rad je:

Kinetička energija i rad rotacionog kretanja.

ii rv

2

2

222iiii

ki

rmvmE

2

2IE kR

22

22Imv

E Ck

MA

Gravitacija

• Keplerovi zakoni.

• Zakon gravitacije.

• Gravitaciono polje.

• Ubrzanje zemljine teže.

• Kosmičke brzine.

Gravitacija

• Modeli kretanja nebeskih tijela:

Geocentrični model (grčki fizičar Ptolomej u II vijeku) – Zemlja miruje,

centar je vasione a ostala nebeska tijela se kreću oko nje.

Heliocentrični sistem (poljski fizičar Kopernik u XVI vijeku) – Sunce je

centar oko koga se kreću ostale planete

• Kepler je u XVII vijeku formulisao zakone kretanja oko

Sunca:

I zakon: Planete se kreću oko Sunca po eliptičnim

putanjama, u čijem se jednom fokusu (žiži) nalazi Sunce

Keplerovi zakoni

Gravitacija

• Kepler je u XVII vijeku formulisao zakone kretanja oko

Sunca:

II zakon: Duž koja spaja položaj planete sa Suncem

prekrije u jednakim vremenskim intervalima jednake

površine, bez obzira na udaljenost od Sunca.

Kada je planeta bliže Suncu kreće se brže nego kada je

dalje od Sunca.

Keplerovi zakoni

Gravitacija

• Kepler je u XVII vijeku formulisao zakone kretanja oko

Sunca:

III zakon: Kvadrat perioda (vremena obilaska planete

oko Sunca) proporcionalan je trećem stepenu srednje

udaljenosti planete od Sunca.

Za dvije planete je:

Keplerovi zakoni

3

2

3

1

2

2

2

1

r

r

T

T

m 1049597870.1AJ 1 11

Gravitacija

• Na osnovu Keplerovih zakona i Njutnovih zakona

mehanike Njutn je definisao univerzalni zakon

gravitacije

• Na svaku planetu djeluje sila usmjerena ka Suncu čiji

je intenzitet:

srazmjeran masi planete

obrnuto srazmjeran kvadratu rastojanja između

planete i Sunca

Zakon gravitacije.

2 r

mkF

p

Gravitacija

• Polazeći od III Njutnovog zakona mehanike Njutn je

pretpostavio da:

Sunce je izvor sile privlačenja koja djeluje na

planete,

planete privlače Sunce silom istog intenziteta ali

suprotnog smijera koja je srazmjerna masi Sunca.

Zakon gravitacije.

2

r

mmF

ps

2

211 Nm

1067,6kg

Kevendiš 1798. godine odredio gravitacionu konstantu.

Gravitacija

• Njutn je uopštio zakon gravitacije kao interakciju svih

tijela u vasioni bez obzira na njihovu veličinu i nazvao

ga univerzalni zakon gravitacije:

Dva tijela se privlače silom istog intenziteta koja je

srazmjerna njihovim masama, a obrnuto srazmjerna

kvadratu njihovog rastojanja.

Zakon gravitacije.

2

21 r

mmFg

2

211 Nm

1067,6kg

Kevendiš 1798. godine odredio gravitacionu konstantu.

Gravitacija

• Tijelo se nalazi na površini Zemlje ili u neposrednoj

blizini:

Težina tijela prema II Njutnovom zakonu:

Ista sila iskazana preko gravitacionog zakona:

Gravitaciono ubrzanje Zemlje:

Poluprečnik Zemlje na ekvatoru za 40 km veći od poluprečnika na polovima.

Gravitaciona sila najveća na polovima, a najmanja na ekvatoru.

Gravitaciono ubrzanje.

mgQ

2

z

zg

R

mmF

2 g

z

z

R

mmm

2 g

z

z

R

m

2m/s 81,9 g

2m/s 78,9 g 2m/s 83,9 g 2m/s 81,9 g

ekvator pol 45°

Gravitacija

• Prostor u kome jedno tijelo djeluje na drugo gravitacionom silom naziva

se gravitaciono polje tog tijela.

• Gravitaciono polje se kvantitativno opisuje jačinom gravitacionog polja.

• Jačina gravitacionog polja u nekoj tački brojno je jednaka sili kojom

gravitaciono polje djeluje na jedinicu mase u tom polju.

• Vektorska veličina čiji je pravac i smijer jednak pravcu i smijeru

gravitacione sile.

Gravitaciono polje.

020

2

rr

mr

m

r

mm

m

FG

p

p

p

Gravitacija

• Brzina koju treba da ima tijelo da bi se kretalo oko zemlje po putanji čiji je

poluprečnik blizak poluprečniku Zemlje.

• Računa se za sloj na visini do 200 km koji je skoro idealan vakuum i

nema otpora kretanju.

Prva kosmička brzina.

km/s 91,712

2

1 gRR

mv

R

mm

R

mv zz

Gravitacija

• Najmanja brzina kojom treba da se izbaci tijelo sa

neke planete da bi izašlo iz zone dejstva

gravitacionog polja te planete.

• Takovo tijelo ulazi u zonu dejstva Sunca i postaje nova

planeta.

• Da bi izašlo iz zone dejstva Zemlje tijelo mora da ima

dovoljnu kinetičku energiju da izvrši rad protiv

gravitacione sile sa njene površine poluprečnika R do

beskonačnosti.

Druga kosmička brzina.

km/s 2.11221

2

1

2

2

2

2

22

2

2

gRR

mv

Rmm

mv

rmm

r

drmmdr

r

mmFdr

mv

zz

Rz

R

z

R R

z

Gravitacija

• Treća kosmička brzina.

• Najmanja brzina kojom treba da se izbaci tijelo sa

neke planete da bi izašlo iz zone dejstva Sunca.

• Četvrta kosmička brzina.

• Najmanja brzina kojom treba da se izbaci tijelo sa

neke planete da bi izašlo iz zone dejstva naše

Galaksije i otišlo u vasionu.

km/s 7.163 v

km/s 2904 v