Embed Size (px)
Citation preview
Dinamika krutog tijela Tehnička fizika 1
01/11/2019 Tehnološki fakultet
Dinamika krutog tijela
• Moment sile.
• Moment inercije.
• Štajnerov teorem.
• Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja.
• Moment impulsa.
• Zakon održanja momenta impulsa.
• Kinetička energija i rad rotacionog kretanja.
Dinamika krutog tijela
• Pod dejstvom sile ne mijenja oblik
• Međusobna rastojanja čestica su ista
• Dvije vrste kretanja: TRANSLACIJA I ROTACIJA
• TRANSLACIJA KRUTOG TIJELA, svodi se na kretanje
materijalne tačke
• Rotaciono kretanje tijela:
sve čestice se kreću po kružnoj putanji
centri kružne linije leže na jednoj pravoj (osa rotacije)
sve čestice imaju istu ugaonu brzinu
Kruto tijelo
Dinamika krutog tijela
• Uticaj sile na rotaciju tijela opisuje se momentom sile.
• Kretanje MT oko ose rotacije:
kretanje je ubrzano
ubrzanje ima Tangencijalnu i Radijalnu komp.
• Sila koja djeluje na materijalnu tačku ima:
radijalnu komponentu,
tangencijalnu komponentu
• Samo dejstvo tangencijalne sile dovodi do rotacije
• Ugaono ubrzanje ima pravac ose rotacije,
• a smjer određuje pravilo desnog zavrtnja
RmFr2
Moment sile
mRFt sinFFt
Dinamika krutog tijela
• Tangencijalna komponenta sile pomnožena sa
poluprečnikom kružne linije definiše moment sile.
• Vektorski proizvod:
• Moment sile:
vektor
jednak vektorskom proizvodu radijus vektora i
tangencijalne komponente sile
pravac je koaksijalan sa osom rotacije
smjer se određuje pravilom desnog zavrtnja
isti smjer kao ugaona brzina i ubrzanje
sinRFFRM t
Moment sile
FRM
Dinamika krutog tijela
FFFxdFxFMMM 212121 ),(
Par sila - spreg sile
FdFxFdFxM
FdM
Dinamika krutog tijela
• Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da
se suprotstavlja rotaciji.
• Moment inercije u rotacionoj dinamici je analogna
veličina masi u dinamici.
• Predstavlja inerciju krutog tijela koje rotira u odnosu na
njegovu rotaciju.
• Moment inercije materijalne tačke:
Skalarna veličina, jednaka proizvodu mase i kvadrata
njenog rastojanja od ose rotacije.
Moment inercije
2mRI
Dinamika krutog tijela
• Moment inercije tijela u odnosu na osu rotacije.
tijelo podijeli na elementarne mase ∆mi
svaka elementarna masa ima svoje rastojanje od
ose rotacije Ri
moment inercije ∆miRi
• Ako je gustina tijela:
• Ili u graničnim slučajevima:
Moment inercije
222
22
2
11 ... iinn RmRmRmRmI
V
m
ii VRI
2
V
dVRdmRI 22
Dinamika krutog tijela
• Omogućava izračunavanje momenta inercije u odnosu
na bilo koju osu rotacije.
Moment inercije u odnosu na proizvoljnu osu jednak je momentu
inercije u odnosu na osu koja prolazi kroz težište tijela i paralelna je datoj
osi koji se uvećava za proizvod mase tijela i kvadrata rastojanja između tih
osa.
• Štajnerova teorema svodi izračunavanje momenta inercije u odnosu na
proizvoljnu osu, na izračunavanje momenta inercije u odnosu na osu koja
prolazi kroz težište tijela.
Štajnerova teorema.
2
0 mdII
d
Dinamika krutog tijela
• Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja.
• Moment impulsa tijela L materijalne tačke oko
nepokretne ose rotacije je vektorski proizvod njenog
vektora položaja r i vektora impulsa tijela:
Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja.
IM
prL
IL
dt
Ld
dt
Id
dt
dIIM
Dinamika krutog tijela
Zakon održanja momenta impulsa.
dt
Ld
dt
Id
dt
dIIM
dt
dI
dt
dI
dt
Id
dt
LdM
0
constL
0M
U izolovanom sistemu, moment impulsa je konstantan.
• Pri rotaciji krutog tijela (bez translatornog kretanja):
• Vrši se sumiranje kinetičke energije za svaki djelić
krutog tijela:
• Pri složenom kretanju ukupna kinetička energija je
suma kinetičke energije translatornog kretanja centra
mase i rotacionog kretanja tijela:
• Ako se pri rotaciji tijelo obrne za ugao θ (u radijanima)
pod uticajem momenta sile M, izvršeni rad je:
Kinetička energija i rad rotacionog kretanja.
ii rv
2
2
222iiii
ki
rmvmE
2
2IE kR
22
22Imv
E Ck
MA
Gravitacija
• Keplerovi zakoni.
• Zakon gravitacije.
• Gravitaciono polje.
• Ubrzanje zemljine teže.
• Kosmičke brzine.
Gravitacija
• Modeli kretanja nebeskih tijela:
Geocentrični model (grčki fizičar Ptolomej u II vijeku) – Zemlja miruje,
centar je vasione a ostala nebeska tijela se kreću oko nje.
Heliocentrični sistem (poljski fizičar Kopernik u XVI vijeku) – Sunce je
centar oko koga se kreću ostale planete
• Kepler je u XVII vijeku formulisao zakone kretanja oko
Sunca:
I zakon: Planete se kreću oko Sunca po eliptičnim
putanjama, u čijem se jednom fokusu (žiži) nalazi Sunce
Keplerovi zakoni
Gravitacija
• Kepler je u XVII vijeku formulisao zakone kretanja oko
Sunca:
II zakon: Duž koja spaja položaj planete sa Suncem
prekrije u jednakim vremenskim intervalima jednake
površine, bez obzira na udaljenost od Sunca.
Kada je planeta bliže Suncu kreće se brže nego kada je
dalje od Sunca.
Keplerovi zakoni
Gravitacija
• Kepler je u XVII vijeku formulisao zakone kretanja oko
Sunca:
III zakon: Kvadrat perioda (vremena obilaska planete
oko Sunca) proporcionalan je trećem stepenu srednje
udaljenosti planete od Sunca.
Za dvije planete je:
Keplerovi zakoni
3
2
3
1
2
2
2
1
r
r
T
T
m 1049597870.1AJ 1 11
Gravitacija
• Na osnovu Keplerovih zakona i Njutnovih zakona
mehanike Njutn je definisao univerzalni zakon
gravitacije
• Na svaku planetu djeluje sila usmjerena ka Suncu čiji
je intenzitet:
srazmjeran masi planete
obrnuto srazmjeran kvadratu rastojanja između
planete i Sunca
Zakon gravitacije.
2 r
mkF
p
Gravitacija
• Polazeći od III Njutnovog zakona mehanike Njutn je
pretpostavio da:
Sunce je izvor sile privlačenja koja djeluje na
planete,
planete privlače Sunce silom istog intenziteta ali
suprotnog smijera koja je srazmjerna masi Sunca.
Zakon gravitacije.
2
r
mmF
ps
2
211 Nm
1067,6kg
Kevendiš 1798. godine odredio gravitacionu konstantu.
Gravitacija
• Njutn je uopštio zakon gravitacije kao interakciju svih
tijela u vasioni bez obzira na njihovu veličinu i nazvao
ga univerzalni zakon gravitacije:
Dva tijela se privlače silom istog intenziteta koja je
srazmjerna njihovim masama, a obrnuto srazmjerna
kvadratu njihovog rastojanja.
Zakon gravitacije.
2
21 r
mmFg
2
211 Nm
1067,6kg
Kevendiš 1798. godine odredio gravitacionu konstantu.
Gravitacija
• Tijelo se nalazi na površini Zemlje ili u neposrednoj
blizini:
Težina tijela prema II Njutnovom zakonu:
Ista sila iskazana preko gravitacionog zakona:
Gravitaciono ubrzanje Zemlje:
Poluprečnik Zemlje na ekvatoru za 40 km veći od poluprečnika na polovima.
Gravitaciona sila najveća na polovima, a najmanja na ekvatoru.
Gravitaciono ubrzanje.
mgQ
2
z
zg
R
mmF
2 g
z
z
R
mmm
2 g
z
z
R
m
2m/s 81,9 g
2m/s 78,9 g 2m/s 83,9 g 2m/s 81,9 g
ekvator pol 45°
Gravitacija
• Prostor u kome jedno tijelo djeluje na drugo gravitacionom silom naziva
se gravitaciono polje tog tijela.
• Gravitaciono polje se kvantitativno opisuje jačinom gravitacionog polja.
• Jačina gravitacionog polja u nekoj tački brojno je jednaka sili kojom
gravitaciono polje djeluje na jedinicu mase u tom polju.
• Vektorska veličina čiji je pravac i smijer jednak pravcu i smijeru
gravitacione sile.
Gravitaciono polje.
020
2
rr
mr
m
r
mm
m
FG
p
p
p
Gravitacija
• Brzina koju treba da ima tijelo da bi se kretalo oko zemlje po putanji čiji je
poluprečnik blizak poluprečniku Zemlje.
• Računa se za sloj na visini do 200 km koji je skoro idealan vakuum i
nema otpora kretanju.
Prva kosmička brzina.
km/s 91,712
2
1 gRR
mv
R
mm
R
mv zz
Gravitacija
• Najmanja brzina kojom treba da se izbaci tijelo sa
neke planete da bi izašlo iz zone dejstva
gravitacionog polja te planete.
• Takovo tijelo ulazi u zonu dejstva Sunca i postaje nova
planeta.
• Da bi izašlo iz zone dejstva Zemlje tijelo mora da ima
dovoljnu kinetičku energiju da izvrši rad protiv
gravitacione sile sa njene površine poluprečnika R do
beskonačnosti.
Druga kosmička brzina.
km/s 2.11221
2
1
2
2
2
2
22
2
2
gRR
mv
Rmm
mv
rmm
r
drmmdr
r
mmFdr
mv
zz
Rz
R
z
R R
z
Gravitacija
• Treća kosmička brzina.
• Najmanja brzina kojom treba da se izbaci tijelo sa
neke planete da bi izašlo iz zone dejstva Sunca.
• Četvrta kosmička brzina.
• Najmanja brzina kojom treba da se izbaci tijelo sa
neke planete da bi izašlo iz zone dejstva naše
Galaksije i otišlo u vasionu.
km/s 7.163 v
km/s 2904 v
