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• Discussão sobre sistemas lineares.
Profª Cristiane Cozin – cristianecozin@unibrasil.com.br
Aula 6 – Sistemas LinearesTipos de Sistemas Lineares:
Vimos pelos exemplos anteriores que podemos ter várias situações para um sistema linear.
Vejamos o que acontece a um sistema de uma equação a uma incógnita: ax=b;
1o ) Se a 0, temos que 2o ) Se a = b = 0, temos que qualquer número real é
solução da equação. 3o ) Se a = 0 e b 0, ficamos com 0.x = b e a
equação não tem solução.
xba
Aula 6 – Sistemas LinearesTipos de Sistemas Lineares:
No caso em que temos um sistema com duas equações e duas incógnitas, temos uma interpretação geométrica bastante simples das situações colocadas anteriormente.
As equações (1) e (2) podem ser interpretadas como duas retas no plano e temos as seguintes interpretações geométricas: 1o ) Solução Única: Retas se interceptam num único
ponto.
ax by ca x b y c
( 1 ) ( 2 )1 1 1
Aula 6 – Sistemas LinearesTipos de Sistemas Lineares:
2o ) Infinitas Soluções: Retas coincidentes:
3o ) Não existe solução: Retas Paralelas:
Observação: Interpretação análoga pode ser dada a um sistema de 3 equações e três incógnitas. Neste caso cada equação representa um plano no espaço.
Aula 6 – Sistemas LinearesTipos de Sistemas Lineares:
Para Sistemas Lineares:
Uma única solução e neste caso dizemos que o sistema é possível ( compatível, consistente ) e determinado.
Infinitas soluções e neste caso dizemos que ele é possível e indeterminado.
Nenhuma solução e neste caso dizemos que o sistema é impossível (incompatível, inconsistente).
S
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
......
................................................
Aula 6 – Sistemas LinearesTipos de Sistemas Lineares:
Regra Geral:
Existe um número associado a uma matriz, através do qual podemos identificar em qual das três situações anteriores se enquadra um sistema linear, bastando para isto analisar a matriz, reduzida por linhas, associadas ao sistema.
determinado (solução única)possível
Sistema indeterminado (infinitas soluções)impossível (sem solução)
Aula 6 – Sistemas LinearesTipos de Sistemas Lineares:
Definição: Dada uma matriz Amxn , seja Bmxn tal que, A ~ B e B é linha reduzida à forma escada. O posto de A, que denotaremos por p (ou p(A)) é o número de linhas não nulas de B.
Exemplos:
1)
2)
0 0 2 1 2 01 2 1 0 0 1 B. Temos p(A)=2.2 4 2 0 0 0
A
1 1 1 1 1 0 0 01 1 2 2 0 1 0 0 B. Temos p(A)=3.1 6 3 3 0 0 1 1
A
Aula 6 – Sistemas LinearesTipos de Sistemas Lineares:
Seja S um sistema de m equações e n incógnitas:
S admite solução se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes, pa = pc = p.
Se as duas matrizes têm o mesmo posto e p = n, então a solução será única.
Se as duas matrizes têm o mesmo posto e p < n , então o sistema é indeterminado. Podemos então escolher n – p incógnitas e escrever as outras p incógnitas em função destas. Dizemos que n – p é o grau de liberdade do sistema.
Aula 6 – Sistemas LinearesTipos de Sistemas Lineares:
Exemplo: Supondo que as matrizes a seguir são as matrizes ampliadas de sistemas de equações, analise se os sistemas correspondentes são possíveis e determinados, possíveis e indeterminados ou impossíveis.
1) 2) 3) 4)
1001000000100003210010001
2220111020104442
200010101101
010010104442
Aula 6 – Sistemas Lineares6ª Lista de Exercícios:
1) Usando o método de Gauss, discuta em função de k o seguinte sistema:
2) Determine o valor de c para que o sistema abaixo seja possível e indeterminado:
y x kx y zx y z
02 3 23 2 7
x y zx y zx z y c
2 3 13 2 2
8 5
Aula 6 – Sistemas Lineares6ª Lista de Exercícios:
3) Dado o sistema S, determine:
a) Os valores de a para que S seja possível e determinado.
b) Os valores de a para que S seja possível e indeterminado.
c) Os valores de a para que S seja impossível.
2333
1
zayxazyxzyx
Aula 5 – Sistemas Lineares6ª Lista de Exercícios - Respostas:
1) Se k 5 o sistema é impossível e se k = 5 o sistema é possível e indeterminado.
2) Qualquer valor de c 0.
3) a) a 1 e a 3. b) Não existe a. c) a = 1 e a = 3.
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