Distribuciones Discretas de Probabilidad

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

DE PROBABILIDA

D

Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su suma).

Una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en experimento aleatorio.

El comportamiento de una variable aleatoria queda descrito por su distribución discreta de probabilidad sin importar que ésta se represente gráficamente por un histograma, en forma tabular o por medio de una fórmula.

En consecuencia, las variables aleatorias discretas que se asocian con estos experimentos pueden describirse, esencialmente, por la misma distribución de probabilidad y por lo tanto se representan por una sola fórmula.

Distribución discreta uniforme

La más simple de todas las distribuciones discretas de probabilidad es aquella en la cual la variable aleatoria asume cada uno de sus valores con idéntica probabilidad.

Tal distribución de probabilidad recibe el nombre de distribución uniforme discreta.

Distribución discreta uniforme

Si la variable aleatoria X asume

los valores con iguales probabilidades, entonces la

distribución discreta uniforme es:

𝒇 (𝒙 ;𝒌)=𝟏𝒌

𝒙=𝒙𝟏 ,𝒙𝟐…𝒙𝒌 ,

Ejemplo 1.1

Cuando un foco se selecciona al azar de una caja que contiene un foco de 40 watts, uno de 60, uno de 75 y uno de 100, cada elemento del espacio muestral S={40,60,75,100} ocurre con una probabilidad de ¼. Por lo tanto, se tiene una distribución uniforme con:

𝒇 (𝒙 ;𝟒)=𝟏𝟒 𝒙=𝟒𝟎 ,𝟔𝟎 ,𝟕𝟓 ,𝟏𝟎𝟎

Cuando se lanza un dado, cada elemento del espacio muestral S={1,2,3,,5,6} ocurre con una probabilidad de 1/6. Por lo tanto, se tiene una distribución uniforme con:

𝒇 (𝒙 ;𝟔)=𝟏𝟔 𝒙=𝟏 ,𝟐 ,𝟑 ,𝟒 ,𝟓 ,𝟔

Ejemplo 1.2

La representación gráfica de la distribución uniforme por medio de un histograma siempre es un conjunto de rectángulos con la misma altura. El histograma para el ejemplo 1.2 se muestra en la figura

1 2 3 4 5 60

1/9

1/5

Series1

Distribución Binomial

Frecuentemente un experimento consiste en ensayos repetidos, cada uno en dos posibles resultados que pueden llamarse éxito y fracaso.

La aplicación más obvia se da en la prueba de artículos a medida que salen de una línea de producción, donde cada prueba o experimento puede indicar si uno de ellos está o no defectuoso.

Puede considerarse el experimento de retirar cartas en sucesión de un paquete cualquiera y a cada intento se le puede designar como éxito y o fracaso, dependiendo de si la carta es de corazones o no.

Si se reemplaza cada carta y el paquete se baraja antes de usar nuevamente, los dos experimentos descritos tienen propiedades similares en el sentido de que los intentos repetidos son independientes y la probabilidad de éxito permanece constante para cada uno de ellos.

El proceso de Bernoulli

El experimento consiste en n intentos repetidos.

Los resultados de cada uno de los intentos pueden clasificarse como un éxito o como un fracaso.

La probabilidad de éxito, representada por p, permanece constante para todos los intentos.

Los intentos repetidos son independientes.

Considérese el conjunto de experimentos de Bernoulli donde tres artículos se seleccionan aleatoriamente de un proceso de manufactura; se inspeccionan y se clasifican como defectuosos o no defectuosos.

Un artículo defectuoso se considera un éxito. El número de éxitos es una variable aleatoria que asume valores enteros de cero a 3. Los ocho posibles resultados y sus correspondientes valores de X son:

Ejemplo 1.3

Resultado X

NNN 0

NDN 1

NND 1

DNN 1

NDD 2

DND 2

DDN 2

DDD 3

Dado que los artículos se seleccionan en forma independiente de un proceso que se supone produce un 25% de piezas defectuosas,

𝑃 (𝑁𝐷𝑁 )=𝑃 (𝑁 )𝑃 (𝐷 ) 𝑃 (𝑁 )=( 34 )( 14 )( 34 )= 964

Mediante cálculos similares se obtienen las probabilidades para los otros posibles resultados. Por lo tanto, la distribución de probabilidad de X es:

X 0 1 2 3

F(x) 9/64

La posibilidad de recibir de manera errónea un bit transmitido por una canal de transmisión digital, es 0.1. Además, supóngase que los ensayos de transmisión son independientes.

Sea X= Número de bits recibidos con error en los próximos cuatro que serán transmitidos.

Descríbase el espacio muestral de este experimento e indíquese el valor de X en cada resultado.

Ejemplo 1.4

En este experimento se indica con E un bit erróneo, y con C un bit sin error, esto es recibido correctamente. Con esto el espacio muestral de este experimento puede describirse como una lista de cuatro letras que indican qué bits fueron recibidos con y sin error.

Por ejemplo , el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erróneos, y los otros dos se recibieron correctamente, Por consiguiente, el espacio muestral

Resultado X Resultado X

CCCC 0 ECCC 1

CCCE 1 ECCE 2

CCEC 1 ECEC 2

CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2

CECE 2 EECE 3

CEEC 2 EEEC 3

CEEE 3 EEEE 4

El evento en que X=2 está formado por 6 resultados.

El número X de éxitos en n experimentos de Bernoulli recibe el nombre de variable aleatoria binomial.

La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria discreta se llama distribución binomial y sus valores se representan por b(x;n,p), dado que estos últimos dependen del número de intentos y de la probabilidad de éxito en un intento determinado.

Entonces, para la distribución de probabilidad de X, el número de defectuosos, es:

𝑃( =2)= (2)= (2;3,1/4)𝑋 𝑓 𝑏

Distribución Binomial

Un experimento puede resultar un éxito con una probabilidad p y en un fracaso con una probabilidad

q=1-p. Entonces la distribución de probabilidad de la variable

aleatoria binomial X, el número de éxitos en n experimentos

independientes, es:

𝑏 (𝑥 ;𝑛 ,𝑝 )=(𝑛𝑥)𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 𝑥=0,1,2 ,…𝑛 .

Nótese que cuando n=3 y p=1/4, la distribución de probabilidad de X, el número de artículos defectuosos, puede escribirse como:

𝑏(𝑥 ;3 , 14 )=( 3𝑥 )(14)𝑥

(34 )3−𝑥

𝑥=0,1,2,3 ,

En vez de hacerlo en la forma tabular anterior.

Ejemplo 1.5

La probabilidad de que cierta clase de componente pase con éxito una determinada prueba de impacto es ¾. Encuentre la probabilidad de que exactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se prueban pasen la prueba.

Suponiendo que las pruebas son independientes y que p=3/4 para cada una de ellas, se obtiene

𝑏(2 ;4 , 34 )=(42)(34)2

(14)2

El nombre de distribución binomial se deriva del hecho de que los n+1 términos en la expansión binomial de , corresponden a los diversos valores de para Esto es,

(𝒒+𝒑)𝒏=(𝒏𝟎)𝒒𝒏+(𝒏𝟏)𝒑𝒒𝒏−𝟏+(𝒏𝟎)𝒑𝟐𝒒𝒏−𝟐+…+(𝒏𝒏)𝒑𝒏

𝒃 (𝟎 ;𝒏 ,𝒑 )+𝒃 (𝟏 ;𝒏 ,𝒑 )+𝒃 (𝟐 ;𝒏 ,𝒑 )+…+𝒃 (𝒏 ;𝒏 ,𝒑 ) .

Dado que p+q= 1, se observa que una condición que debe cumplirse para cualquier distribución de probabilidad.

Con frecuencia el interés se centra en problemas donde es necesario encontrar P(X<r) o P(a≤X≥b). Por fortuna, se dispone de las sumas binomiales B(r,n,p)= que se dan en las tablas estadísticas.

La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es 0.4. Si se sabe que 15 personas han contraído esta enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que:

a) Al menos 10 sobrevivan.b) Sobrevivan entre 3 y 8 personas.c) Sobrevivan exactamente 5 personas.

Ejemplo 1.6

Ejemplo 1.7

La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una molécula rara particular es de 10%. Supóngase que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula.

Encuéntrese la probabilidad de que en las 18 muestras siguientes, exactamente dos contengan la molécula rara.

Encuéntrese la probabilidad de que al menos 4 muestras contengan la molécula rara.

Encuéntrese la probabilidad de que 3≤x<7.