OBJETIVOS DE LAUNIDADQUE EL ALUMNO SEA CAPAZ DE: 1.- DEFINIR EL
TERMINO VARIABLE ALEATORIA.- 1.- DEFINIR EL TERMINO VARIABLE
ALEATORIA.-2.-DEFINIRELTERMINODISTRIBUCIONDE2.-DEFINIRELTERMINODISTRIBUCIONDE
PROBABILIDAD.-
PROBABILIDAD.-3.-DISTINGUIRENTREDISTRIBUCIONDE3.-DISTINGUIRENTREDISTRIBUCIONDE
PROBABILIDAD DISCRETA Y CONTINUA.- PROBABILIDAD DISCRETA Y
CONTINUA.-4.-DESCRIBIRLADISTRIBUCIONDEPROBABILIDAD4.-DESCRIBIRLADISTRIBUCIONDEPROBABILIDAD
BINOMIALYSUAPLICACINALCALCULODEBINOMIALYSUAPLICACINALCALCULODE
PROBABILIDADES.- PROBABILIDADES.-5.- DESCRIBIR LA DISTRIBUCION DE
PROBABILIDAD DE5.- DESCRIBIR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE
POISSONYSUAPLICACINALCALCULODEPOISSONYSUAPLICACINALCALCULODE
PROBABILIDADES.-PROBABILIDADES.-
6.-ELCALCULODEPROBABILIDADESBINOMIALESY6.-ELCALCULODEPROBABILIDADESBINOMIALESY
POISSON CON INFOSTAD Y MINITAB.- POISSON CON INFOSTAD Y MINITAB.-
SON DISTRIBUCIONES SON DISTRIBUCIONES TEORICAS TEORICAS Y SE USAN
PARA Y SE USAN PARA REPRESENTAR POBLACIONESREPRESENTAR
POBLACIONESSON DISTRIBUCIONES SON DISTRIBUCIONES TEORICAS TEORICAS
Y SE USAN PARA Y SE USAN PARA REPRESENTAR POBLACIONESREPRESENTAR
POBLACIONES EnIa Unidad anterior,vimoscomo definir
unaprobabiIidadEnIa Unidad anterior,vimoscomo definir
unaprobabiIidad
ycomenzamosnuestroanIisisdeIaprobabiIidadparaycomenzamosnuestroanIisisdeIaprobabiIidadpara
representarsituacionesenIasqueIosresuItadossonrepresentarsituacionesenIasqueIosresuItadosson
inciertos.- En esta Unidad nos basamos en esas ideas
parainciertos.- En esta Unidad nos basamos en esas ideas para
presentar modeIos de probabiIidad que ponen nfasis en Iaspresentar
modeIos de probabiIidad que ponen nfasis en Ias
variabIesaIeatorias.-LosmodeIosdeprobabiIidadtienenvariabIesaIeatorias.-LosmodeIosdeprobabiIidadtienen
muchasapIicacionesenaIgunosprobIemasempresariaIes,muchasapIicacionesenaIgunosprobIemasempresariaIes,
yaquanaIizamosaIgunasdeeIIas.-SupongamosqueyaquanaIizamosaIgunasdeeIIas.-Supongamosque
tenemosunnegocioqueaIquiIatodaunavariedaddetenemosunnegocioqueaIquiIatodaunavariedadde
equipos.-Sabemosporexperiencia-frecuenciareIativa-equipos.-Sabemosporexperiencia-frecuenciareIativa-
que eI 30 por ciento de Ias personas que entran en nuestroque eI 30
por ciento de Ias personas que entran en nuestro
negocioquiereaIquiIarunequipodecamping.-HoynegocioquiereaIquiIarunequipodecamping.-Hoy
tenemos tres equipos de camping.- Cinco personas que notenemos tres
equipos de camping.- Cinco personas que no
guardanningunareIacionentresientraneneInegocio(IaguardanningunareIacionentresientraneneInegocio(Ia
probabiIidaddequeunadeeIIasaIquiIeunequipodeprobabiIidaddequeunadeeIIasaIquiIeunequipode
camping es independiente de Ia de Ias dems).- camping es
independiente de Ia de Ias dems).-
CuIesIaprobabiIidaddequeestascincopersonasCuIesIaprobabiIidaddequeestascincopersonas
quieranaIquiIaruntotaIdecuatroocincoequiposdequieranaIquiIaruntotaIdecuatroocincoequiposde
camping?.-Siocurreeso,perderemosoportunidaddecamping?.-Siocurreeso,perderemosoportunidadde
aIquiIarequiposdecampingyIoscIientesseIrnaIquiIarequiposdecampingyIoscIientesseIrn
decepcionados.-La probabiIidad de Ios eventos
(nmerosdecepcionados.-La probabiIidad de Ios eventos (nmeros
deequiposdecampingdeseados),comoveremosmsdeequiposdecampingdeseados),comoveremosms
adeIantepuedecaIcuIarseestaprobabiIidadutiIizandoeIadeIantepuedecaIcuIarseestaprobabiIidadutiIizandoeI
modeIo de probabiIidad binomiaI.. modeIo de probabiIidad
binomiaI..QUE VEREMOS EN ESTAUNIDADPRIMERO QUE ES UNA VARIABLE
ALEATORIAADEMAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADDISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDADDISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DISTRIBUCIONES CONTINUASBINOMIAL
BINOMIALBINOMIAL BINOMIALACUMULADA ACUMULADAHIPERGEOMETRICA
HIPERGEOMETRICAUNIFORME UNIFORMEEXPONENCIAL EXPONENCIALNORMAL
NORMALAPROXIMACION AAPROXIMACION A BINOMIAL YBINOMIAL Y POISSON
POISSONDETERMINACION DETERMINACIONDEL VALOR X DEL VALOR XNORMAL
NORMALESTANDARIZADA ESTANDARIZADADE POISSON DE POISSON VARIABLE
ALEATORIAEs la varial! "#! as#$! #% Es la varial! "#! as#$! #%
val&r %#$'ri(& )%i(& *ara (a+a val&r %#$'ri(&
)%i(& *ara (a+a #%& +! l&s r!s#l,a+&s +! #% #%&
+! l&s r!s#l,a+&s +! #% !-*!ri$!%,&
al!a,&ri&./!-*!ri$!%,& al!a,&ri&./Es importante
distinguir entre una variabIe aIeatoria yIos vaIores posibIes que
puede
tomarLasimboIizamosconIetramayscuIayIosvaIoresqueLasimboIizamosconIetramayscuIayIosvaIoresque
toma, con minscuIa.- toma, con minscuIa.-Por ejempIo X, (x1,
x2...xn))VARIABLE ALEATORIA
CuandoIavariabIeaIeatorianoesunnmero,debemosfijarunCuandoIavariabIeaIeatorianoesunnmero,debemosfijarun
criterio o regIa para darIe un vaIor numrico.- criterio o regIa
para darIe un vaIor
numrico.-PorejempIo,sieIexperimentoconsisteenobservareIniveIdePorejempIo,sieIexperimentoconsisteenobservareIniveIde
instruccin de Ia pobIacin, podemos dar Ios vaIores siguientes:
instruccin de Ia pobIacin, podemos dar Ios vaIores siguientes:1.-
NiveI primario2.- NiveI secundario 1.- NiveI primario2.- NiveI
secundario3.- NiveI terciario4.- NiveI Universitario 3.- NiveI
terciario4.- NiveI Universitario5.- Otros estudios 0.- Sin
estudios.- 5.- Otros estudios 0.- Sin estudios.-Esos nmeros son Ios
vaIores posibIe que toma Ia variabIe aIeatoriaEsos nmeros son Ios
vaIores posibIe que toma Ia variabIe aIeatoria en estudio. en
estudio.LAS VARIABLESALEATORIAS0 PUEDEN SERDISCRETASCONTINUAS
UnaUna varial!al!a,&ria+is(r!,avarial!al!a,&ria+is(r!,a
esaqueIIaquepuedeasumirunaesaqueIIaquepuedeasumiruna cantidad
numerabIes de vaIores.- cantidad numerabIes de vaIores.-1.-
Infracciones diarias cometidas por Ios vehcuIos.- 1.- Infracciones
diarias cometidas por Ios vehcuIos.-2.- Nde inasistencia de Ios
obreros de Ia empresa.- 2.- Nde inasistencia de Ios obreros de Ia
empresa.-3.- Cantidad de hijos de famiIias de un barrio.- 3.-
Cantidad de hijos de famiIias de un barrio.-4.- Cantidad de aIumnos
de una escueIa.- 4.- Cantidad de aIumnos de una escueIa.-5.- EI
nmero de errores detectados en Ias cuentas de un comercio.- 5.- EI
nmero de errores detectados en Ias cuentas de un comercio.-6.-
Nmero de cIientes que IIegan a Ia caja de un banco.- 6.- Nmero de
cIientes que IIegan a Ia caja de un banco.-7.- Nmero de
recIamaciones en una pIiza de seguro mdico.- 7.- Nmero de
recIamaciones en una pIiza de seguro mdico.-8.- Nmero de artcuIos
defectuosos en un gran envo.- 8.- Nmero de artcuIos defectuosos en
un gran envo.-9.- Nmeros de autos vendidos por una agencia en eI
mes.- 9.- Nmeros de autos vendidos por una agencia en eI mes.-10.-
Etc.- 10.- Etc.-EJEMPLOS: UnaUna varial!al!a,&ria
varial!al!a,&ria
(&%,i%#a(&%,i%#aesaqueIIaquepuedeesaqueIIaquepuede
asumirunacantidadinnumerabIedeasumirunacantidadinnumerabIede
vaIores dentro de ciertos Imites.- vaIores dentro de ciertos
Imites.-1.- Peso de Ias personas.- 1.- Peso de Ias personas.-2.-
VeIocidad de un auto.- 2.- VeIocidad de un auto.-3.- Horas de
demora en cumpIir una tarea.- 3.- Horas de demora en cumpIir una
tarea.-4.- Puntajes de un test.- 4.- Puntajes de un test.-5.-
SueIdo de Ios empIeados.-5.- SueIdo de Ios empIeados.-
6.-VariacindepreciodeIasaccionesordinariasdeIBMenun6.-VariacindepreciodeIasaccionesordinariasdeIBMenun
mes.- mes.-7.- Cantidad de petrIeo importado en un mes.-7.-
Cantidad de petrIeo importado en un mes.- 8.-Etc.-
8.-Etc.-EJEMPLOS: EJERCICIOS PARA 1ACER EN CLASE1.- Musimundo vende
entre 0 y 6 computadoras aI da.- Es
IaventadiariadecomputadorasunavariabIeaIeatoria discreta o
continua?.- 2.-UnprocesodeproduccinfabriIproduceunpequeo nmero de
piezas defectuosas diariamente.- es eI nmero
depiezasdefectuosasunavariabIeaIeatoriadiscretao continua?.-3.-
Indique en cada uno de Ios siguientes casos, cuaI es Ia3.- Indique
en cada uno de Ios siguientes casos, cuaI es Ia
mejordefinicin:unavariabIeaIeatoriadiscretaomejordefinicin:unavariabIeaIeatoriadiscretao
continua.-
continua.-a)EInmerodeautomviIesqueIIegandiariamenteauna)EInmerodeautomviIesqueIIegandiariamenteaun
taIIer de reparaciones en eI que trabajan dos personas.- taIIer de
reparaciones en eI que trabajan dos personas.-
b)EInmerodeautomviIesproducidosporIaGeneraI
MotoranuaImente.-c)LasventasdiariastotaIesdeuncomercioderopacon
tarjetas en pesos.-d) EI nmero de pasajeros que se quedan sin pIaza
en una compaaareaespecficatresdasantesdeIasFiestas Navidea.-
4.-Unactorhace100representacionesaIao.-essu programa de trabajo una
variabIe aIeatoria discreta?.-5.- Ponga cinco ejempIos de
variabIesaIeatorias discretas quepodra observarse en una nueva
consuItora.- 6.-DefinatresvariabIesaIeatoriascontinuasquedebera
examinar peridicamente un vicepresidente de
marketing.-7.-UnaencuestaeIectoraIentrevistaa2000personas
seIeccionadas aIeatoriamente.- Debe anaIizarse eI nmero
depersonasqueapoyanaIcandidatoAutiIizandomodeIo de probabiIidad
discreta o continua?.-8.-Unvendedorentradiariamenteencontactocon20
personasyIespidequecompren.-DebeanaIizarseeI
nmerodecomprasdiariasutiIizandounmodeIode probabiIidad discreta o
continua?.- 9.-UsteddebeanaIizareInmerodecuentasvencidasen un
determinado momento de un gran comercio de artcuIos de deporte.-
Usara un modeIo de probabiIidad continuo o discreto?.-
10.-EIexperimentoconsisteentirarunamonedados veces:a) Haga una
Iista de Ios resuItados experimentaIes.-b)
DefinaunavariabIeaIeatoriaquerepresenteIacantidad
decarasquepuedenrepresentarseenIosdos Ianzamientos.-c)Indique que
vaIores tomara Ia variabIeen cada uno de Ios
resuItadosexperimentaIes.-d)Esta variabIe aIeatoria es discreta o
continua?.-11.-UnexperimentoconsisteeneIensambIedeun
productoporuntrabajadoryseregistraeItiempoque tarda en hacer esto.-
a) Defina una variabIe aIeatoria que represente eI tiempo en
minutos requeridos para ensambIar eI producto.-b)Qu vaIores puede
asumir Ia variabIe aIeatoria?.-c)Esa variabIe aIeatoria es discreta
o continua?.-12.-TresaIumnostienenentrevistasprogramadaspara
empIeoduranteIasvacacionesenunInstitutode
Investigaciones.-Encadacaso,eIresuItadodeIa
entrevistaserqueIeofrezcanonoIeofrezcanun
empIeo.-LosresuItadosexperimentaIessedefinenen funcin de Ios
resuItados de Ias tres entrevistas.-a) Haga una Iista de Ios
resuItados experimentaIes.-b)Defina una variabIe aIeatoria que
represente Ia cantidad de ofertas hechas.- es una variabIe
aIeatoria continua o discreta?.- c) Indique eI vaIor de Ia variabIe
aIeatoria para cada uno de Ios resuItados
experimentaIes?.-13.-SupongaqueconoceIastasashipotecariaspara12
institucionescrediticiasdeCrdobayqueIavariabIe
aIeatoriadeinterseseInmerodeinstituciones
crediticiasdeestegrupoqueofrecenunatasafijaa30
aosde8,5%omenos.-QuvaIorespuedeasumir esta variabIe
aIeatoria?.-14.-ParaefectuarciertotipodeanIisisdesangre,Ios
tcnicosdeIaboratoriodebenseguirdos
procedimientos.-EIprimerorequiere1o2pasos separados y eI segundo
puede requerir 1, 2, o 3
pasos.-a)HagaunaIistadeIosresuItadosexperimentaIes asociadoscon Ia
ejecucin de un anIisis.- b) Si Ia variabIe aIeatoriade inters es eI
nmero totaIdepasosrequeridosparaterminareI
anIisis(ambosprocedimientos),indiqueque
vaIorasumirIavariabIeaIeatoriaencadauno de Ios resuItados
experimentaIes.-15.-LatabIasiguienteesunaIistade experimentos y
variabIes aIeatorias asociadas.-
Encadacaso,identifiqueIosvaIoresque puede asumir Ia
variabIeaIeatoria y diga si esa variabIe es discreta o continua?.-
Experimentos VariabIe aIeatoria xa) Hacer un examen con 20
preguntasNmero de preguntas bien contestadasb) Observar Ios autos
que IIegan aun peaje durante una horaNmero de autos que IIegan aI
peajec) Auditar Ia devoIucin de 50 impuestosNmero de
devoIucionescon erroresd) Observar eI trabajo de un empIeadoNmero
de horas no productivas en una jornada de ocho horase) Pesar un
embarque de productosNmero de kiIos
U%a+is,ri#(i2%+!*r&aili+a+*ara#%avarial!U%a+is,ri#(i2%+!*r&aili+a+*ara#%avarial!
al!a,&ria+is(r!,a
al!a,&ria+is(r!,a!s#%alis,a$#,#a$!%,!!s#%alis,a$#,#a$!%,!
!-(l#3!%,!+!,&+&sl&s*&sil!sr!s#l,a+&s!-(l#3!%,!+!,&+&sl&s*&sil!sr!s#l,a+&s
%#$'ri(&s+!#%!-*!ri$!%,&al!a,&ri&(&%las%#$'ri(&s+!#%!-*!ri$!%,&al!a,&ri&(&%las
*r&aili+a+!s as&(ia+as +! (a+a r!s#l,a+&./
*r&aili+a+!s as&(ia+as +! (a+a
r!s#l,a+&./EstarepresentacinpuedeseraIgebraica,grficaotabuIar.-EstarepresentacinpuedeseraIgebraica,grficaotabuIar.-
Supongamos que X es una variabIe aIeatoria discreta y que x es
unoSupongamos que X es una variabIe aIeatoria discreta y que x es
uno de sus posibIes vaIores.- La probabiIidad deque Ia variabIe
aIeatoriade sus posibIes vaIores.- La probabiIidad deque Ia
variabIe aIeatoria X tome eI vaIor x se representa comoX tome eI
vaIor x se representa como P (X =x).- P (X
=x).-ParaIasvariabIesaIeatoriasdiscretas,unprocedimientosenciIIoParaIasvariabIesaIeatoriasdiscretas,unprocedimientosenciIIo
consiste en confeccionar una Iista con Ia probabiIidad de cada uno
deconsiste en confeccionar una Iista con Ia probabiIidad de cada
uno de Ios posibIes resuItados.- Ios posibIes
resuItados.-Definicin: Definicin:LaLa4#%(i2%+!*r&aili+a+
4#%(i2%+!*r&aili+a+ P(X=x),deunavariabIeP(X=x),deunavariabIe
aIeatoriadiscretaXrepresentaIaprobabiIidaddequeXtomeeIaIeatoriadiscretaXrepresentaIaprobabiIidaddequeXtomeeI
vaIor x, como funcin de x: vaIor x, como funcin de x:p (x p (xi i)=
P (X = x))= P (X = x)donde Ia funcin se evaIa endonde Ia funcin se
evaIa en todos Ios posibIes vaIores de x.- todos Ios posibIes
vaIores de x.- Cuando Ia variabIe aIeatoria es discreta esta funcin
deCuando Ia variabIe aIeatoria es discreta esta funcin de
probabiIidad tambin se Ia conoce comoprobabiIidad tambin se Ia
conoce como 4#%(i2% +! (#a%,5a./ 4#%(i2% +! (#a%,5a./Veamosun
ejempIo: Veamosun ejempIo:Supongamos que una empresa que se dedica
a Ias ventasSupongamos que una empresa que se dedica a Ias ventas
deautos,duranteIosItimos300dasdeventas,Iasdeautos,duranteIosItimos300dasdeventas,Ias
ventas muestran que en 54 das no se vendieron autos, enventas
muestran que en 54 das no se vendieron autos, en 117 se vendi1
auto, en 72 das se vendieron 2 autos, en117 se vendi1 auto, en 72
das se vendieron 2 autos, en 42 se vendieron 3 autos, en 12 das se
vendieron 4 autos y42 se vendieron 3 autos, en 12 das se vendieron
4 autos y en 3 das se vendieron 5 automviIes.- en 3 das se
vendieron 5
automviIes.-Supongamosadems,queeIexperimentoconsisteenSupongamosadems,queeIexperimentoconsisteen
seIeccionarundadeoperacionesdeventasydefinimosseIeccionarundadeoperacionesdeventasydefinimos
IavariabIeaIeatoriadeinterscomoX=nmerodeIavariabIeaIeatoriadeinterscomoX=nmerode
automviIes vendidos en un da.-automviIes vendidos en un da.-
SipresentamosIadistribucindeprobabiIidaddeestaSipresentamosIadistribucindeprobabiIidaddeesta
variabIe aIeatoria ser: variabIe aIeatoria ser: Xf Xfi iP (X = x) P
(X = x) 0 540,18 0 540,181117 0,39 1117 0,392 720,24 2 720,243
420,14 3 420,144 120,04 4 120,045 5 3 0,01 3 0,013001,0003001,000
UnaventajaimportantededefinirUnaventajaimportantededefinir
unavariabIeaIeatoriaysuunavariabIeaIeatoriaysu
distribucindeprobabiIidadesquedistribucindeprobabiIidadesque
unavezconocidaesadistribucinunavezconocidaesadistribucin
esfciIdeterminarIaprobabiIidadesfciIdeterminarIaprobabiIidad
devarioseventosquepuedendevarioseventosquepueden interesara quien
toma decisiones.- interesara quien toma decisiones.-Por ejempIo, si
consuItamos Ia tabIaPor ejempIo, si consuItamos Ia tabIa
observamosqueIacantidadmsobservamosqueIacantidadms probabIe de
autos que se venden enprobabIe de autos que se venden en 1 daes deI
39 %.- 1 daes deI 39 %.-Tambin observamos que hay una probabiIidad
deI 18 % de que seTambin observamos que hay una probabiIidad deI 18
% de que se
vendan3o4automviIesenundasyassucesivamente,estavendan3o4automviIesenundasyassucesivamente,esta
informacinesmuytiIparaquientomadecisionessobreIasinformacinesmuytiIparaquientomadecisionessobreIas
ventas de automviIes.- ventas de automviIes.-
AIasignarunafuncindeprobabiIidadparacuaIquiervariabIeAIasignarunafuncindeprobabiIidadparacuaIquiervariabIe
discreta, se deben satisfacer Ias dos condiciones siguientes:
discreta, se deben satisfacer Ias dos condiciones siguientes:
p (xp (xi i))2020
_ _ p (xp (xi i)=1)=1Siqueremosmostrar
Siqueremosmostrar6r74i(a$!%,!
6r74i(a$!%,!IadistribucindeIadistribucinde probabiIidad de ventas
de autos ser: probabiIidad de ventas de autos ser: P(x) P(x)0,20
0,200,10 0,10Ventas de Ventas de0123 45 auto porda.- 0123 45 auto
porda.- LaLa
8#%(i2%+!Pr&aili+a+A(#$#la+a8#%(i2%+!Pr&aili+a+A(#$#la+a,que,que
simboIizamos con simboIizamos conF F (x), de una variabIe aIeatoria
X representa Ia(x), de una variabIe aIeatoria X representa Ia
probabiIidad de que probabiIidad de queXXtome un vaIor inferiorax,
es decir:tome un vaIor inferiorax, es decir:= =x X) (x p x) (X P
F(x)
iDondeIanotacinindicaqueIasumaessobretodosIosvaIoresDondeIanotacinindicaqueIasumaessobretodosIosvaIores
posibIes deposibIes de XX que son menores o iguaIes a x.-que son
menores o iguaIes a x.- En nuestro ejempIo, de Ia empresa que vende
automviIes, CuI esEn nuestro ejempIo, de Ia empresa que vende
automviIes, CuI es Ia probabiIidad de vender menos de 2
automviIes?.- Ia probabiIidad de vender menos de 2 automviIes?.- P
(X < 2)= P (XP (X < 2)= P (X 5 1)=P (x=0) + P (x=1) = 5 1)=P
(x=0) + P (x=1) ==0,18 +0,39= 0,57 =0,18 +0,39= 0,57 57% 57%
EJERCICIOS DE APLICACION1.- Ladistribucin de probabiIidad de Ia
variabIe aIeatoria1.- Ladistribucin de probabiIidad de Ia variabIe
aIeatoria X aparece en Ia siguiente tabIa: X aparece en Ia
siguiente tabIa:X 20 25 30 35P (X=x) 0.20 0.15 0.25 0.30a) a)
EscorrectaestadistribucindeprobabiIidad?.-EscorrectaestadistribucindeprobabiIidad?.-
Compruebe.- Compruebe.-b) b)CuI es Ia probabiIidad de quex=30?.-
CuI es Ia probabiIidad de quex=30?.-c) c)
CuIesIaprobabiIidaddequexseamenoroiguaIaCuIesIaprobabiIidaddequexseamenoroiguaIa
25?.- 25?.-d) d)CuI es Ia probabiIidad de quex sea mayor que 30?.-
CuI es Ia probabiIidad de quex sea mayor que 30?.- 2.- Se recabaron
Ios siguientes datos a partir deI conteo de2.- Se recabaron Ios
siguientes datos a partir deI conteo de
IacantidaddesaIasdeoperacionesenusoeneIIacantidaddesaIasdeoperacionesenusoeneI
HospitaI Fernandez de CapitaI FederaI durante 20 das, 3HospitaI
Fernandez de CapitaI FederaI durante 20 das, 3
dasseusounasaIadeoperaciones,en5dassedasseusounasaIadeoperaciones,en5dasse
usarondossaIas,en8dasseusaron3yen4dasseusarondossaIas,en8dasseusaron3yen4dasse
usaron Ias cuatro saIas de operaciones deI hospitaI.- usaron Ias
cuatro saIas de operaciones deI hospitaI.-a) a)
EmpIeeeIenfoquefrecuenciaIparaformarIaEmpIeeeIenfoquefrecuenciaIparaformarIa
distribucindeprobabiIidadparaIacantidaddesaIasdistribucindeprobabiIidadparaIacantidaddesaIas
de operaciones que se usaron en un da determinado.- de operaciones
que se usaron en un da determinado.-b) b)Trace una grfica de Ia
distribucin de probabiIidad.- Trace una grfica de Ia distribucin de
probabiIidad.-c) c)
DemuestrequesudistribucindeprobabiIidadDemuestrequesudistribucindeprobabiIidad
satisface Ias condiciones requeridas.-satisface Ias condiciones
requeridas.-
3.-LosdatossiguientesdescribenIacantidadde3.-LosdatossiguientesdescribenIacantidadde
empIeados en cada uno de Ios cinco niveIes ejecutivosdeempIeados en
cada uno de Ios cinco niveIes ejecutivosde un gobierno municipaI:un
gobierno municipaI: Nivel Ejecutivo Cantidad de empleados1 152 323
844 3005 31Total
462SupongaquesedeseaseIeccionarunamuestradeSupongaquesedeseaseIeccionarunamuestrade
empIeadosparaunaencuestaacercadeIascondicionesempIeadosparaunaencuestaacercadeIascondiciones
de trabajo.- Sea X una variabIe aIeatoria que indica eI niveIde
trabajo.- Sea X una variabIe aIeatoria que indica eI niveI
ejecutivo de un empIeado eIegido aI azar.- ejecutivo de un empIeado
eIegido aI azar.- a) a)
ConIosdatosanterioresformeIadistribucindeConIosdatosanterioresformeIadistribucinde
probabiIidaddeIavariabIeaIeatoriaX.-EspecifiqueIosprobabiIidaddeIavariabIeaIeatoriaX.-EspecifiqueIos
vaIoresdeIavariabIeaIeatoriayIosvaIoresvaIoresdeIavariabIeaIeatoriayIosvaIores
correspondientes a Ia funcin de probabiIidad.- correspondientes a
Ia funcin de probabiIidad.-b) b)Trace Ia grfica de Ia distribucin
de probabiIidad.- Trace Ia grfica de Ia distribucin de
probabiIidad.-c) c)
DemuestrequeIadistribucindeprobabiIidadcumpIeDemuestrequeIadistribucindeprobabiIidadcumpIe
Ias condiciones bsicas.- Ias condiciones
bsicas.-4.-EnIatabIasiguientesemuestraIasdistribuciones4.-EnIatabIasiguientesemuestraIasdistribuciones
porcentuaIesdefrecuenciasparacaIificacionesdeporcentuaIesdefrecuenciasparacaIificacionesde
satisfaccineneIempIeo,enunamuestradeaItossatisfaccineneIempIeo,enunamuestradeaItos
ejecutivos y mandos medios desistemas de informacin.-ejecutivos y
mandos medios desistemas de informacin.-
LascaIificacionesvande1,muyinsatisfechosa5muyLascaIificacionesvande1,muyinsatisfechosa5muy
satisfechos.- satisfechos.- Calificacin de satisfaccin en el
traajo!lto ejecutivo"#andos #edios"1 5 42 $ 103 3 124 42 465 41
28Total 100
100a)DefinaunadistribucindeprobabiIidadparaIaa)DefinaunadistribucindeprobabiIidadparaIa
caIificacindesatisfaccineneIempIeoparaunaItocaIificacindesatisfaccineneIempIeoparaunaIto
ejecutivo.-
ejecutivo.-b)DefinaunadistribucindeprobabiIidadparaesab)DefinaunadistribucindeprobabiIidadparaesa
caIificacin en eI caso de mando medio.- caIificacin en eI caso de
mando medio.-
c)CuIesIaprobabiIidaddequeunaItoejecutivoc)CuIesIaprobabiIidaddequeunaItoejecutivo
expresesatisfaccineneItrabajoconunacaIificacinexpresesatisfaccineneItrabajoconunacaIificacin
de 4 o 5?.- de 4 o
5?.-d)CuIesIaprobabiIidaddequeunmandomedioested)CuIesIaprobabiIidaddequeunmandomedioeste
muy satisfecho?.- muy
satisfecho?.-e)CompareIassatisfaccionesgeneraIeseneItrabajodee)CompareIassatisfaccionesgeneraIeseneItrabajode
Ios aItos ejecutivos y de Ios mandos medios.- Ios aItos ejecutivos
y de Ios mandos medios.-5.- Un tcnico da servicio a mquinas de
correspondencia5.- Un tcnico da servicio a mquinas de
correspondencia
enciertaciudad.-DependiendodeIaavera,eIservidorenciertaciudad.-DependiendodeIaavera,eIservidor
puededurar1,2,3,o4horas.-Lasdistintasaveras
sepuededurar1,2,3,o4horas.-Lasdistintasaveras se presentan ms o
menos con Ia misma frecuencia:presentan ms o menos con Ia misma
frecuencia: a) a) Defina una distribucin de probabiIidad de duracin
deIDefina una distribucin de probabiIidad de duracin deI servicio.-
servicio.-b) b)Trace una grfica de Iadistribucin deprobabiIidad.-
Trace una grfica de Iadistribucin deprobabiIidad.-c) c)Demuestre
que su distribucin de probabiIidad cumpIe Demuestre que su
distribucin de probabiIidad
cumpIeconIascondicionesquerequieretodafuncindeconIascondicionesquerequieretodafuncinde
probabiIidad discreta.- probabiIidad discreta.-d) d)
CuIesIaprobabiIidaddequeunaaveradure3CuIesIaprobabiIidaddequeunaaveradure3
horas?.- horas?.-e) e)
SeacabaderecibirunasoIicituddeservicio,peronoSeacabaderecibirunasoIicituddeservicio,perono
se conoce eI tipo de avera.-SonIas 15 horas.- Por Iose conoce eI
tipo de avera.-SonIas 15 horas.- Por Io generaI, Ios tcnicos de
servicios saIen a Ias 17 horas.-generaI, Ios tcnicos de servicios
saIen a Ias 17 horas.-
CuIesIaprobabiIidaddequeeItcnicodeservicioCuIesIaprobabiIidaddequeeItcnicodeservicio
debatrabajarhorasextrasparaarregIarIamquinadebatrabajarhorasextrasparaarregIarIamquina
hoy?.- hoy?.-
6.-EIdirectordeadmisionesdeunaescueIaevaIu6.-EIdirectordeadmisionesdeunaescueIaevaIu
subjetivamente una distribucin de probabiIidad de X,
Iasubjetivamente una distribucin de probabiIidad de X, Ia
cantidaddeaIumnosdenuevoingreso,quesecantidaddeaIumnosdenuevoingreso,quese
muestran en Ia siguiente tabIa: muestran en Ia siguiente tabIa:a)
a) es vaIida esta distribucin de probabiIidad?.- es vaIida esta
distribucin de probabiIidad?.-b) b)CuI es Ia probabiIidad de que
haya 1200 aIumnos deCuI es Ia probabiIidad de que haya 1200 aIumnos
de nuevo ingreso o menos?.- nuevo ingreso o menos?.-% & '% (
)*1000 0+151100 0+201200 0+301300 0+25Total 0+10 ESPERANZA Y
VARIANCIA DE VARIABLES ESPERANZA Y VARIANCIA DE VARIABLES
ALEATORIAS DISCRETAS./ALEATORIAS DISCRETAS./EIEI vaIor esperado o
media vaIor esperado o mediade una variabIe aIeatoria es una medida
de una variabIe aIeatoria es una medida
deIatendenciacentraIdeesavariabIe.-LaecuacinmatemticadeIatendenciacentraIdeesavariabIe.-Laecuacinmatemtica
deI vaIor esperado de una variabIe aIeatoria discreta x es: deI
vaIor esperado de una variabIe aIeatoria discreta x es:
E (x)=E (x)==_x=_xi i*p (x *p (xi
i))EsunpromedioponderadodeEsunpromedioponderadode
todosIosresuItadosposibIes,todosIosresuItadosposibIes,
dondeIasponderaciones,sonIasdondeIasponderaciones,sonIas
probabiIidadesasociadasconprobabiIidadesasociadascon cada uno de
Ios resuItados cada uno de Ios resuItados.- .-Xf Xfi iP (X = x) x *
p (xP (X = x) x * p (xi i) )0 540,180 0 540,1801 1 1170,39 0,39
1170,39 0,392 720,24 0,48 2 720,24 0,483 420,14 0,42 3 420,14 0,424
120,04 0,16 4 120,04 0,165 5 3 0,01 0,05 3 0,01 0,053001,000 1,50
3001,000 1,50
E (X)= E (X)==1,5 automviIes =1,5
automviIesLaempresapuedeesperar,aIaLaempresapuedeesperar,aIa
Iarga,IaventadeunpromedioIarga,Iaventadeunpromedio de 1,5
automviIes por da.- de 1,5 automviIes por da.- Si suponemos que Ia
operacin durante un mes equivaIe a 30 das,Si suponemos que Ia
operacin durante un mes equivaIe a 30 das,
podemosusareIvaIoresperadode1,50paraanticiparqueIaspodemosusareIvaIoresperadode1,50paraanticiparqueIas
ventas mensuaIes promedio son30*1,5= 45 automviIes.- ventas
mensuaIes promedio son30*1,5= 45 automviIes.-LaLavaria%(ia
varia%(ia, nos dar una idea devariacin de Ios vaIores de, nos dar
una idea devariacin de Ios vaIores de
IavariabIeaIeatoriarespectoasuvaIoresperadoomedia.-LaIavariabIeaIeatoriarespectoasuvaIoresperadoomedia.-La
ecuacin matemtica de Ia variancia ser: ecuacin matemtica de Ia
variancia ser:
oo = _(x = _(xi i -) * p (x-) * p (xi
i))RecordemosqueIavariancianosdaunvaIorenunidadesdeRecordemosqueIavariancianosdaunvaIorenunidadesde
medida de Ia variabIe aI cuadrado y por eIIo es muy difciI
expIicar,medida de Ia variabIe aI cuadrado y por eIIo es muy difciI
expIicar,
porIotantocaIcuIamosunanuevamedidaqueIIamamoscomoporIotantocaIcuIamosunanuevamedidaqueIIamamoscomo
sabemossabemosD!svia(i2% Es,7%+ar D!svia(i2% Es,7%+ar.- Esta ser:
.- Esta ser:
oo = Variancia=
VarianciaLadesviacinestndarsemideenIasmismasunidadesdeLadesviacinestndarsemideenIasmismasunidadesde
medidas que Ia variabIe aIeatoria en estudio medidas que Ia
variabIe aIeatoria en estudio Como caIcuIar Ia variancia por Ia
frmuIa de definicin sueIe ser unComo caIcuIar Ia variancia por Ia
frmuIa de definicin sueIe ser un
pocoengorroso,hayunaformuIaabreviadamuytiI,queserIapocoengorroso,hayunaformuIaabreviadamuytiI,queserIa
que usaremos: que usaremos:
oo = _xp (x = _xp (xi i) - ) -
EnnuestroejempIo,deIaempresadeventasdeautomviIeseIEnnuestroejempIo,deIaempresadeventasdeautomviIeseI
caIcuIo de Ia variancia y desvo estndar ser: caIcuIo de Ia
variancia y desvo estndar ser:Xf Xfi iP (X = x)xP (X = x)x p (x p
(xi i) )0 540,180 0 540,1801 1 1170,39 0,39 1170,39 0,392 720,24
0,96 2 720,24 0,963 420,14 1,26 3 420,14 1,264 120,04 0,64 4 120,04
0,645 5 3 0,01 0,25 3 0,01 0,253001,000 3,50 3001,000 3,50
o o=3,50-1,5= =3,50-1,5==3,50-2,25 = =3,50-2,25 == 1,25auto =
1,25autoo o= 1,25=1.118 autos= 1,25=1.118 autos EJEMPLO *ara "#!
a%ali(!% l&s al#$%&s./EJEMPLO *ara "#! a%ali(!% l&s
al#$%&s./UnaempresaconsideradosinversionesposibIes.-ComoUnaempresaconsideradosinversionesposibIes.-Como
aproximacin iniciaI asigna probabiIidades subjetivas a cada uno
deaproximacin iniciaI asigna probabiIidades subjetivas a cada uno
de
Iossiguienteseventos:perderun20%porcadadIarinvertido,Iossiguienteseventos:perderun20%porcadadIarinvertido,
perder un 10% , ni ganar ni perder, ganar un 10% y ganar un 20%.-
perder un 10% , ni ganar ni perder, ganar un 10% y ganar un
20%.-SeaX eI rendimiento por cada dIar invertido en eI primer
proyecto eSeaX eI rendimiento por cada dIar invertido en eI primer
proyecto e Y eI rendimiento por cada dIar invertido en eI segundo
proyecto.- Y eI rendimiento por cada dIar invertido en eI segundo
proyecto.-Las probabiIidades asignadas son: Las probabiIidades
asignadas son: X-0,20-0,100,0 +0,10+0,20 X-0,20-0,100,0 +0,10+0,20
p (x)0,100,20 0,400,200,10 p (x)0,100,20 0,400,200,10Y -0,20
-0,100,0 +0,10+0,20 Y -0,20 -0,100,0 +0,10+0,20 p (y)0,010,04 0,10
0,50 0,35 p (y)0,010,04 0,10 0,50 0,35CaIcuIe Ios rendimientos
esperados por cada dIar invertido en cadaCaIcuIe Ios rendimientos
esperados por cada dIar invertido en cada
proyecto.-CuaIessonIosvaIoresdedispersin.-CuIproyectoIeproyecto.-CuaIessonIosvaIoresdedispersin.-CuIproyectoIe
parece a usted que representa Ia mejor inversin?.- parece a usted
que representa Ia mejor inversin?.-
EIproyectoX,deacuerdoconcuaIquierestndarrazonabIe,EIproyectoX,deacuerdoconcuaIquierestndarrazonabIe,
parecemenosatractivo.-ResuItaiguaImenteposibIeperderunparecemenosatractivo.-ResuItaiguaImenteposibIeperderun
20%queganarIo,oganarun10%queperderIo.-EIproyectoY20%queganarIo,oganarun10%queperderIo.-EIproyectoY
ofrecemayoresposibiIidadesdeganarun10oun20%yofrecemayoresposibiIidadesdeganarun10oun20%y
reIativamente pocas de perder.- Los cIcuIos sern:reIativamente
pocas de perder.- Los cIcuIos sern: X p (x) x *P (x) x X p (x) x *P
(x) x*p (x) *p (x)-0,20 0,10- 0,02 0,004 -0,20 0,10- 0,02
0,004-0,10 0,20- 0,02 0,002 -0,10 0,20- 0,02 0,0020,00
0,400,000,000 0,00 0,400,000,000+0,10 0,200.020,002 +0,10
0,200.020,002+0,20 0,100,020,004 +0,20 0,100,020,0040,000,012
0,000,012E (X)=0,0E (X)=0,0 o o=0,012=0,012 o o= 0,11= 0,11 Yp (y)
y*P (y) y Yp (y) y*P (y) y * p (y) * p (y) - 0,20 0,01 -0,002
0,0004 - 0,20 0,01 -0,002 0,0004 - 0,10 0,04 -0,004 0.0004 - 0,10
0,04 -0,004 0.00040,00 0,100,00,0 0,00 0,100,00,0+ 0,10
0,500,0500,005 + 0,10 0,500,0500,005+ 0,20 0,350,070 0,014 + 0,20
0,350,070 0,0140,1140,0198 0,1140,0198Para eI proyecto Y, ser: Para
eI proyecto Y, ser: E (X)=0,114 E (X)=0,114o o= 0,0068= 0,0068 o
o=0,082=0,082 CONCLUSIONES deI probIema: CONCLUSIONES deI
probIema:EI rendimiento esperado de X escomo hemos anticipadoEI
rendimiento esperado de X escomo hemos anticipado menor que eI
rendimiento esperado de Y.- menor que eI rendimiento esperado de
Y.-Observando Ias desviaciones estndar, Ia distribucin deObservando
Ias desviaciones estndar, Ia distribucin de
XtieneunamayorvariabiIidad.-EIgruesodeIaXtieneunamayorvariabiIidad.-EIgruesodeIa
distribucinde Y se concentra en Ios vaIores 0,10 y
0,20,distribucinde Y se concentra en Ios vaIores 0,10 y 0,20,
mientrasqueIasprobabiIidadesdeXestndeaIgunamientrasqueIasprobabiIidadesdeXestndeaIguna
manera dispersas entre todos Ios vaIores posibIes.- manera
dispersas entre todos Ios vaIores
posibIes.-ConfrecuenciasetomaaIavarianciadeIrendimientoConfrecuenciasetomaaIavarianciadeIrendimiento
comounamedidadeIriesgo,siendoestemayorcuantocomounamedidadeIriesgo,siendoestemayorcuanto
mayor es Ia variancia.- mayor es Ia variancia.-En este ejempIo, Ia
inversin Y tiene un rendimiento msEn este ejempIo, Ia inversin Y
tiene un rendimiento ms aIto y un riego menor.- aIto y un riego
menor.- EJERCICIO PARA 1ACER EN
CLASE1.-UnconcesionariodeautomviIescaIcuIaIa1.-UnconcesionariodeautomviIescaIcuIaIa
proporcindeautomviIesnuevosvendidosquesehanproporcindeautomviIesnuevosvendidosquesehan
devueItovariasvecesparaquesecorrijanIosdefectosdevueItovariasvecesparaquesecorrijanIosdefectos
durante eI periodo de garanta.- La tabIa adjunta muestradurante eI
periodo de garanta.- La tabIa adjunta muestra Ios resuItados: Ios
resuItados:Numero de devoIuciones0 1 2 3 4Proporcin 0,28 0,36 0,23
0,09 0,04a) Trace Ia funcin de probabiIidad.- a) Trace Ia funcin de
probabiIidad.-b)HaIIeIamediadeInumerodedevoIucionesdeunautomviIparab)HaIIeIamediadeInumerodedevoIucionesdeunautomviIpara
que se corrijan Ios defectos durante eI periodo de garanta.- que se
corrijan Ios defectos durante eI periodo de
garanta.-c)HaIIeIavarianciaydesvodeInumerodedevoIucionesdeunc)HaIIeIavarianciaydesvodeInumerodedevoIucionesdeun
automviIparaquesecorrijanIosdefectosduranteeIperiododeautomviIparaquesecorrijanIosdefectosduranteeIperiodode
garanta,. garanta,.
2.-UnaempresaproducepaquetesdecIips.-EInumero2.-UnaempresaproducepaquetesdecIips.-EInumero
de cIips por paquetes varia, como indica Ia tabIa adjunta: de cIips
por paquetes varia, como indica Ia tabIa adjunta:Nmeros de cIips47
48 49 50 51 52 53Proporcin de paquetes0,04 0,13 0,21 0,29 0,20 0,10
0,03a) a) Trace Ia funcin de probabiIidad.- Trace Ia funcin de
probabiIidad.-b) b)
CuIesIaprobabiIidaddequeunpaqueteseIeccionadoCuIesIaprobabiIidaddequeunpaqueteseIeccionado
aIeatoriamente contenga entre 49 y 51 cIips, incIusive.-
aIeatoriamente contenga entre 49 y 51 cIips, incIusive.-c) c)
SeseIeccionaaIeatoriamentedospaquetes,CuIesIaSeseIeccionaaIeatoriamentedospaquetes,CuIesIa
probabiIidad de que aI menos uno de eIIos contenga como
mnimoprobabiIidad de que aI menos uno de eIIos contenga como mnimo
50 cIips?.-50 cIips?.- d) d)HaIIar Ia media,Ia variancia y Ia
desviacin estndar deI numeroHaIIar Ia media,Ia variancia y Ia
desviacin estndar deI numero de cIips por paquete.- de cIips por
paquete.-
3.-UnaempresaestaespeciaIizadaenIainstaIacinyeI3.-UnaempresaestaespeciaIizadaenIainstaIacinyeI
mantenimientodecaIefaccionescentraIes.-AntesdequeempieceeImantenimientodecaIefaccionescentraIes.-AntesdequeempieceeI
invierno, Ias IIamadas aI serviciode mantenimientopuedendar
comoinvierno, Ias IIamadas aI serviciode mantenimientopuedendar
como
resuItadoeIpedidodeunacaIdera.-LatabIaadjuntamuestraIasresuItadoeIpedidodeunacaIdera.-LatabIaadjuntamuestraIas
probabiIidadesestimadasdeInumerodepedidosdecaIderasnuevasprobabiIidadesestimadasdeInumerodepedidosdecaIderasnuevas
generados de esta forma en Ias dos uItimas semanas de septiembre:
generados de esta forma en Ias dos uItimas semanas de
septiembre:Nmeros de pedidos 0 1 2 3 4 5ProbabiIidad 0,10 0,14 0,26
0,28 0,15 0,07a) a) Trace Ia funcin de probabiIidad.- Trace Ia
funcin de probabiIidad.-b) b)
HaIIeIaprobabiIidaddequesehaganaImenostrespedidosenHaIIeIaprobabiIidaddequesehaganaImenostrespedidosen
este periodo.- este periodo.-c) c) HaIIe Ia media deI numero de
pedidos de una nueva caIdera en esteHaIIe Ia media deI numero de
pedidos de una nueva caIdera en este periodo de dos semanas.-
periodo de dos semanas.-d) d)HaIIe Ia desviacin estndar deI numero
de pedidos de una nuevaHaIIe Ia desviacin estndar deI numero de
pedidos de una nueva caIdera en este periodo de dos semanas.-
caIdera en este periodo de dos semanas.-
4.-LatabIasiguientemuestraIadistribucindeIa4.-LatabIasiguientemuestraIadistribucindeIa
cantidad de crditos aprobados por semana en Ia oficinacantidad de
crditos aprobados por semana en Ia oficina de una sucursaI bancaria
IocaI.-de una sucursaI bancaria IocaI.- Hipotecas aprobadas por
semana0 1 2 3 4 5 6ProbabiIidad 0,10 0,10 0,20 0,30 0,15 0,10
0,05a) a)
DigayexpIiquesiIatabIaescoIectivamenteDigayexpIiquesiIatabIaescoIectivamente
exhaustiva.- exhaustiva.-b) b)Trace Ia funcin de probabiIidad.-
Trace Ia funcin de probabiIidad.-c) c)
CaIcuIeyexpIiqueIaesperanzamatemticayCaIcuIeyexpIiqueIaesperanzamatemticay
expIique.- expIique.-d) d)CaIcuIe y expIique Ia desviacin estndar.-
CaIcuIe y expIique Ia desviacin estndar.-
5.-LadistribucindeprobabiIidadpordaospagadasporSan5.-LadistribucindeprobabiIidadpordaospagadasporSan
CristbaISAenseguroscontrachoquessemuestraaCristbaISAenseguroscontrachoquessemuestraa
continuacin: continuacin:Pagos (dIares) ProbabiIidad0 0.90400
0.041000 0.032000 0.014000 0.016000 0.01a) a) EmpIee eI pago
esperado por choque para determinar Ia prima deEmpIee eI pago
esperado por choque para determinar Ia prima de
segurocontradueosquepermitiraaIaempresasaIirsinsegurocontradueosquepermitiraaIaempresasaIirsin
prdidas.- prdidas.-b) b)
LaaseguradoracobraunatarifaanuaIde200dIaresporcubrirLaaseguradoracobraunatarifaanuaIde200dIaresporcubrir
choque.-CuIeseIvaIoresperadodeIsegurocontrachoqueschoque.-CuIeseIvaIoresperadodeIsegurocontrachoques
para un asegurado?.- (sugerencia: es iguaI a Ios pagos
esperadospara un asegurado?.- (sugerencia: es iguaI a Ios pagos
esperados
deIacompaa,menosIoscostos).-PorqueIaseguradodeIacompaa,menosIoscostos).-PorqueIasegurado
compra una pIiza contra choques con este vaIor esperado?.- compra
una pIiza contra choques con este vaIor esperado?.-
6.-LademandadeunproductoporpartedeIndustriasSerrano6.-LademandadeunproductoporpartedeIndustriasSerrano
SRL,varamuchodemesames.-LadistribucindeprobabiIidadSRL,varamuchodemesames.-LadistribucindeprobabiIidad
deIa tabIasiguiente,basada enIosdatos deIosdosItimos aosdeIa
tabIasiguiente,basada enIosdatos deIosdosItimos aos indica Ia
demanda mensuaI deI producto: indica Ia demanda mensuaI deI
producto:Demanda de unidades ProbabiIidad300 0.20400 0.30500
0.35600 0.15a) a) Si Ia empresa basa sus pedidos mensuaIes en eI
vaIor esperadoSi Ia empresa basa sus pedidos mensuaIes en eI vaIor
esperado
deIademandamensuaI,CuIdebeserIacantidaddepedidosdeIademandamensuaI,CuIdebeserIacantidaddepedidos
de Serrano para este producto?.- de Serrano para este producto?.-b)
b)
Supongaquecadaunidaddemandadagenereingresosde70Supongaquecadaunidaddemandadagenereingresosde70
dIaresyquecadaunidadpedidacuesta50dIares.-CuntodIaresyquecadaunidadpedidacuesta50dIares.-Cunto
debeganaroperderIaempresaenunmessicoIocaunpedidodebeganaroperderIaempresaenunmessicoIocaunpedido
basadoensurespuestaaIincisoa)yIademandareaIdeIbasadoensurespuestaaIincisoa)yIademandareaIdeI
artcuIo es de 300 unidades?.- artcuIo es de 300 unidades?.-
7.-SegnunaencuestadeIdiariombitoFinanciero,95%deIos7.-SegnunaencuestadeIdiariombitoFinanciero,95%deIos
suscriptores tienen una computadora en casa.- Para esos
hogares,suscriptores tienen una computadora en casa.- Para esos
hogares, se dan Ias distribuciones de probabiIidad para computadora
porttiIse dan Ias distribuciones de probabiIidad para computadora
porttiI y de escritorio.- y de escritorio.-Nmero de
computadorasProbabiIidadPorttiI Escritorio0 0.47 0.061 0.45 0.562
0.06 0.283 0.02 0.10a) a)
CuIeseIvaIoresperadodeIacantidaddecomputadoraporCuIeseIvaIoresperadodeIacantidaddecomputadorapor
famiIia para cada tipo?.- famiIia para cada tipo?.-b) b)
CuIesIavarianciadeIacantidaddecomputadoraporfamiIiaCuIesIavarianciadeIacantidaddecomputadoraporfamiIia
para cada tipo?.- para cada tipo?.-c) c)ReaIice aIgunas
comparaciones entre eI nmero de computadorasReaIice aIgunas
comparaciones entre eI nmero de computadoras
porttiIesyeInmerodecomputadorasdeescritorioqueposeeporttiIesyeInmerodecomputadorasdeescritorioqueposee
Ios suscriptores deI peridico.- Ios suscriptores deI peridico.-
AntesdeintroducirnosenIadistribucinbinomiaIesimportanteAntesdeintroducirnosenIadistribucinbinomiaIesimportante
ver que nos dice esta distribucin de probabiIidad.- ver que nos
dice esta distribucin de
probabiIidad.-EntreIasdistribucionesdeprobabiIidaddiscretas,esteeseIEntreIasdistribucionesdeprobabiIidaddiscretas,esteeseI
modeIomssimpIe,seIoIIamatambinmodeIomssimpIe,seIoIIamatambin*r#!a&!%sa3&s*r#!a&!%sa3&s
+!B!r%lli
+!B!r%lliyserefiereaunexperimentoaIeatoriocondosyserefiereaunexperimentoaIeatoriocondos
resuItados posibIe.- resuItados posibIe.-Se trata de una pobIacin
dicotomizada, es decir de una pobIacinSe trata de una pobIacin
dicotomizada, es decir de una pobIacin cuyos individuos se pueden
subdividir en dos cIases segn tengancuyos individuos se pueden
subdividir en dos cIases segn tengan
onounaciertacaracterstica.-LosindividuosquetienenIaonounaciertacaracterstica.-LosindividuosquetienenIa
caractersticaAformanIacIaseAy Iosqueno Iatienenforman
IacaractersticaAformanIacIaseAy Iosqueno Iatienenforman Ia cIaseno
A, por ejempIo: pieza defectuosa y no defectuosa, compracIaseno A,
por ejempIo: pieza defectuosa y no defectuosa, compra
onocompra,sacacrditoonoIosaca,pacienteenfermoosano,onocompra,sacacrditoonoIosaca,pacienteenfermoosano,
encendido o apagado, varn o mujer,aprobar no aprobar, etc.-
encendido o apagado, varn o mujer,aprobar no aprobar, etc.-Se
reaIiza un experimento aIeatorio consistente en eIegir aI azar,
unSe reaIiza un experimento aIeatorio consistente en eIegir aI
azar, un individuo de esa pobIacin y observar si pertenece o no a
Ia cIaseindividuo de esa pobIacin y observar si pertenece o no a Ia
cIase A.- Cada individuo de Ia pobIacin constituye un evento simpIe
deIA.- Cada individuo de Ia pobIacin constituye un evento simpIe
deI espacio muestraI S.- espacio muestraI S.- La variabIe aIeatoria
es deI tipo discreto y se define de Ia siguienteLa variabIe
aIeatoria es deI tipo discreto y se define de Ia siguiente manera:
manera:1 si eI individuo observado es A 1 si eI individuo observado
es AX= X (S)= X= X (S)=0 si eI individuo observado es no A 0 si eI
individuo observado es no
ASi"p"esIaprobabiIidaddequeeIindividuoobservadotengaIaSi"p"esIaprobabiIidaddequeeIindividuoobservadotengaIa
caractersticaA,obtenemosIadistribucindeprobabiIidadquecaractersticaA,obtenemosIadistribucindeprobabiIidadque
mostramosenIasiguientetabIayqueseIIamamostramosenIasiguientetabIayqueseIIama+is,ri#(i2%+is,ri#(i2%
i*#%,#al./ i*#%,#al./Evento VariabIe AIeatoria P (X = x) = p (x)
Evento VariabIe AIeatoria P (X = x) = p (x)A1p A1pNo A01- p No A01-
p Cabe seaIar que eI vaIor deCabe seaIar que eI vaIor dep p se
determina segn Ios enfoques quese determina segn Ios enfoques que
hemos visto.- Si se trata de Ia tirada de una moneda nos basamos
enhemos visto.- Si se trata de Ia tirada de una moneda nos basamos
en eI enfoque cIsico y decimos quep = .- eI enfoque cIsico y
decimos quep = .-PorIogeneraI,IaprobabiIidad
PorIogeneraI,IaprobabiIidadppestardadaporIaproporcindeestardadaporIaproporcinde
individuosquetienenIacaractersticaAenIapobIacinoporIasindividuosquetienenIacaractersticaAenIapobIacinoporIas
frecuenciasreIativasdeunnmerosuficientementegrandedefrecuenciasreIativasdeunnmerosuficientementegrandede
experimento.- experimento.-EI modeIo matemtico o funcin de
probabiIidad para Ia distribucinEI modeIo matemtico o funcin de
probabiIidad para Ia distribucin bipuntuaI es: bipuntuaI es:
p (x p (xi i) = ) =P (X =x)= p(1 -p) P (X =x)= p(1 -p)donde x=0;
1 donde x=0; 1Con esta funcin de probabiIidad se obtienen Ios
vaIores de Ia tabIaCon esta funcin de probabiIidad se obtienen Ios
vaIores de Ia tabIa anterior.- anterior.-x x1-x 1-x Debemos como
toda distribucin de probabiIidad sabercuaI es IaDebemos como toda
distribucin de probabiIidad sabercuaI es Ia $!+ia 3 varia%(ia$!+ia
3 varia%(ia de eIIa.- de eIIa.- =E (X)=_xp =E (X)=_xpx x( 1 -p) ( 1
-p)1 - x 1 - x= p = p
oo == _ x p (x)-=p-p=p ( 1 - p)_ x p (x)-=p-p=p ( 1 -
p)GeneraImente a(1 - p)=q GeneraImente a(1 - p)=q
oo = p q = p q
oo=pq =pq
LadistribucinbinomiaIesunafuncindedistribucindeLadistribucinbinomiaIesunafuncindedistribucinde
probabiIidaddiscretaconmuchasapIicacionesenIavidaprobabiIidaddiscretaconmuchasapIicacionesenIavida
diaria.-LadistribucinbinomiaItienecuatropropiedadesdiaria.-LadistribucinbinomiaItienecuatropropiedades
esenciaIes:
esenciaIes:1.-LasobservacionesposibIessepuedenobtenermediantedos1.-LasobservacionesposibIessepuedenobtenermediantedos
mtodosdemuestreo.-Sepuedeconsiderarquecadaobservacinmtodosdemuestreo.-Sepuedeconsiderarquecadaobservacin
se seIeccion ya sea a partir de una pobIacin infinita sin
reempIazose seIeccion ya sea a partir de una pobIacin infinita sin
reempIazo o a partir de una pobIacin finita con reempIazo.-o a
partir de una pobIacin finita con
reempIazo.-S!s!l!((i&%aS!s!l!((i&%a %
&s!rva(i&%!s./ %
&s!rva(i&%!s./2.-CadaobservacinsepuedecIasificarenunadedoscategora2.-CadaobservacinsepuedecIasificarenunadedoscategora
mutuamenteexcIuyentesycoIectivamenteexhaustivasqueporIomutuamenteexcIuyentesycoIectivamenteexhaustivasqueporIo
comn IIamamoscomn IIamamos xitos y Fracasos xitos y Fracasos.-
.-3.- La probabiIidad de que una observacin se cIasifique como
xito,3.- La probabiIidad de que una observacin se cIasifique como
xito, p
p,esconstanteentreunaobservacinyotra.-EntoncesIa,esconstanteentreunaobservacinyotra.-EntoncesIa
probabiIidaddequeunaobservacinseacIasificadacomofracasoprobabiIidaddequeunaobservacinseacIasificadacomofracaso
eses (1-p), (1-p), es constante en todas Ias observaciones.- es
constante en todas Ias
observaciones.-4.-EIresuItado(xitoofracaso)decuaIquierobservacines4.-EIresuItado(xitoofracaso)decuaIquierobservacines
independiente independiente deI resuItado de cuaIquier otra
observacin.- deI resuItado de cuaIquier otra observacin.-
SisecumpIenIaspropiedades2,3y4,sedicequeIosintentosseSisecumpIenIaspropiedades2,3y4,sedicequeIosintentosse
generanmedianteunprocesodeBernouIIiysiademssehacenngeneranmedianteunprocesodeBernouIIiysiademssehacenn
intentos o ensayos entonces es unintentos o ensayos entonces es un
!-*!ri$!%,& i%&$ial./ !-*!ri$!%,& i%&$ial./E% #%
!-*!ri$!%,& i%&$ial %&s i%,!r!sa !l %)$!r& +!E% #%
!-*!ri$!%,& i%&$ial %&s i%,!r!sa !l %)$!r& +!
'-i,&s "#! s#(!+!% !% l&s % i%,!%,&s./ '-i,&s "#!
s#(!+!% !% l&s %
i%,!%,&s./SihacemosquexrepresenteeInmerodexitosenIosnintentos,SihacemosquexrepresenteeInmerodexitosenIosnintentos,
vemosquexpuedeasumirIosvaIores0,1,2,3...n.-ComoIavemosquexpuedeasumirIosvaIores0,1,2,3...n.-ComoIa
cantidad de vaIores es finita, x es una variabIe aIeatoria
discreta.- cantidad de vaIores es finita, x es una variabIe
aIeatoria discreta.-Veamos un ejempIo: Veamos un
ejempIo:Supongamosqueunvendedordesegurovisitaa10famiIiasSupongamosqueunvendedordesegurovisitaa10famiIias
seIeccionadasaIazar.-EIresuItadoasociadoconcadavisitaseseIeccionadasaIazar.-EIresuItadoasociadoconcadavisitase
cIasificacomounxitosiIafamiIiacompraunapIizadeseguro,ycIasificacomounxitosiIafamiIiacompraunapIizadeseguro,y
comounfracasosiIafamiIianoIohace.-DeacuerdoconsucomounfracasosiIafamiIianoIohace.-Deacuerdoconsu
experiencia,eIvendedorsabequeIaprobabiIidaddequeunafamiIiaexperiencia,eIvendedorsabequeIaprobabiIidaddequeunafamiIia
seIeccionadaaIazarcompreunapIizadeseguroesde0,10.-AIseIeccionadaaIazarcompreunapIizadeseguroesde0,10.-AI
comprobarsisesatisfacenIaspropiedadesdeunexperimentocomprobarsisesatisfacenIaspropiedadesdeunexperimento
binomiaI vemos que: binomiaI vemos que:
1.-EIexperimentoconsisteen10intentosidnticosycada1.-EIexperimentoconsisteen10intentosidnticosycada
experimento impIica IIegar a una famiIia.- experimento impIica
IIegar a una
famiIia.-2.-EncadaintentosonposibIedosresuItados:IafamiIiacompra2.-EncadaintentosonposibIedosresuItados:IafamiIiacompra
unapIiza (xito) o Ia famiIia no Ia compra (fracaso).- unapIiza
(xito) o Ia famiIia no Ia compra
(fracaso).-3.-SesuponequeIasprobabiIidadesdeunacompraydeunano3.-SesuponequeIasprobabiIidadesdeunacompraydeunano
compra son iguaIespara cada IIamada de ventas, siendo, compra son
iguaIespara cada IIamada de ventas, siendo,p=0,10 1- p= 0,90 p=0,10
1- p=
0,904.-LosintentossonindependientesporqueIasfamiIiasse4.-LosintentossonindependientesporqueIasfamiIiasse
seIeccionan aIeatoriamente.- seIeccionan aIeatoriamente.-En vista
de que se cumpIen Ias cuatro propiedades,En vista de que se cumpIen
Ias cuatro propiedades,!s,!!s#%!s,!!s#%
!-*!ri$!%,&i%&$ial./ !-*!ri$!%,&i%&$ial./La
variabIe aIeatoria de inters X esLa variabIe aIeatoria de inters X
es
IacantidaddeventasobtenidasaIvisitara10famiIias.-EnesteIacantidaddeventasobtenidasaIvisitara10famiIias.-Eneste
casopodemosasumirqueX,x casopodemosasumirqueX,xi
ipuedeasumirIosvaIorespuedeasumirIosvaIores
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.-0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.- Para (al(#lar
!s,as *r&aili+a+!s +!!$&s #s(arPara (al(#lar !s,as
*r&aili+a+!s +!!$&s #s(ar la 4#%(i2% +! *r&aili+a+ +!
!s,! !-*!ri$!%,&./ la 4#%(i2% +! *r&aili+a+ +! !s,!
!-*!ri$!%,&./EInmeroderesuItadosexperimentaIesquedanexactamentexEInmeroderesuItadosexperimentaIesquedanexactamentex
xitos en n intentos se puede caIcuIar como, Ias combinacionesde:
xitos en n intentos se puede caIcuIar como, Ias combinacionesde:nn!
nn!=----------------------- =-----------------------x x!(n - x)! x
x!(n -
x)!PerocadaexperimentoesunesquemadeBernouIIidondePerocadaexperimentoesunesquemadeBernouIIidonde
sabemos que eI modeIo de probabiIidad es: sabemos que eI modeIo de
probabiIidad es:P (X =x)=p P (X =x)=pxx (1-p)(1-p)1-x 1-xComo aqu
reaIizamos n ensayos o intentos, eI modeIo de ser: Como aqu
reaIizamos n ensayos o intentos, eI modeIo de ser: Funcin de
probabiIidad binomiaI: Funcin de probabiIidad binomiaI:n n P (X =x)
=pP (X =x) =p x x(1 - p) (1 - p) n -x n -xx xEn nuestro ejempIo,
supongamos que nos preguntemos CuIEn nuestro ejempIo, supongamos
que nos preguntemos CuI es Ia probabiIidad de que se den
exactamente 4 ventas?.- Estoes Ia probabiIidad de que se den
exactamente 4 ventas?.- Esto ser, caIcuIar: ser, caIcuIar:10! 10!P
( X=4) =----------------------0,10 P ( X=4)
=----------------------0,104 40,900,906 6== 4 !( 10 - 4) ! 4 !( 10
- 4) != 210 * 0,0001 *0,5314= 0,0112 = 210 * 0,0001 *0,5314= 0,0112
1 % 1 % Us& +! la 4#%(i2% +! +is,ri#(i2% & Us& +! la
4#%(i2% +! +is,ri#(i2% & a(#$#la(i2% !% la +is,ri#(i2%
i%&$ial./a(#$#la(i2% !% la +is,ri#(i2% i%&$ial./Sabemos que
eIIa me representa: Sabemos que eIIa me representa:Supongamos que
deseamos caIcuIar Ia probabiIidad de que se deSupongamos que
deseamos caIcuIar Ia probabiIidad de que se de menos de 2
ventas?.-Ser: menos de 2 ventas?.-Ser: P (XP (X < 2)=P (X 5 1)=P
(0) +P (1)= 0,3487+0,3874 = 0,7361 < 2)=P (X 5 1)=P (0) +P (1)=
0,3487+0,3874 = 0,7361 74 % 74 %CuI es Ia probabiIidad que se de 3
o ms ventas? CuI es Ia probabiIidad que se de 3 o ms ventas? P ( XP
( X 23)= 1-P (X 5 2)=1 -P (0)+P (1)+ P ( 2)= 23)= 1-P (X 5 2)=1 -P
(0)+P (1)+ P ( 2)==0,3487+ 0,3874+0,1937 = 0,9298 =0,3487+
0,3874+0,1937 = 0,9298 93 %93 %= =x X) ( p x) (X P F(x) x
D!%,r& +! las (ara(,!r5s,i(as +! la D!%,r& +! las
(ara(,!r5s,i(as +! la +is,ri#(i2% +! *r&aili+a+ i%&$ial !s
+is,ri#(i2% +! *r&aili+a+ i%&$ial !s i$*&r,a%,!*ara !l
(al(#l& +! #%a i$*&r,a%,!*ara !l (al(#l& +! #%a
*r&aili+a+0 (&%&(!r:*r&aili+a+0 (&%&(!r:3./
SU MEDIASU VARIANCIASU DESVIACIONESTANDAR
