DISTRIBUSI PROBABILITAS

DISTRIBUSI DISTRIBUSI PROBABILITASPROBABILITAS

Pertemuan 5

1

Variabel RandomVariabel Random ::adalah suatu fungsi yang menghubungkan

sebuah bilangan riil dengan setiap unsur didalam ruang sampel S.

Untuk menyatakan variabel random digunakan sebuah huruf besar, misalkan X. Sedangkan huruf kecilnya, misalkan x, menunjukkan salah satu dari nilainya.

2

Contoh :Contoh :S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC,

CBC, CCB, CCC} dengan B menunjukkan “tanpa

cacat (baik)” dan C menunjukkan “cacat”.

Variabel random X yang menyatakan jumlah barang yang cacat pada saat tiga komponen elektronik diuji, maka ditulis X = 0, 1, 2, 3.

3

Variabel random diskrit:Variabel random diskrit:

Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan terhingga atau urutan yang tidak terbatas dengan unsur sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Diskrit, dan variabel random yang didefinisikan disebut Variabel Random Diskrit.

4

Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan tak terhingga yang sama dengan jumlah titik-titik didalam sebuah segmen garis, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Kontinu, dan variabel random yang didefinisikan disebut Variabel Random Kontinu.

5

Variabel random kontinu:Variabel random kontinu:

Distribusi Probabilitas :Distribusi Probabilitas :

Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilitas X (distribusi X)

6

Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit X (1) : X (1) :

Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku : - P(X = x) = f(x)

-

-

7

1)(1

n

x

xf

0)( xf

Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :

8

xuntuktfxXPxFxt

)()()(

Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit X (2) : X (2) :

Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit X (3) : X (3) : Nilai ekspektasi X adalah nilai

tengah (rata-rata) dari variabel random diskrit X.

Dinyatakan dengan E(X), yaitu:

9

)(.)( ii xfxXE

Contoh:Contoh:Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer

yang serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu pembelian acak 2 dari mikrokomputer ini,

Carilah distribusi probabilitas untuk jumlah yang cacat.

Carilah distribusi kumulatif untuk jumlah yang cacat.

Dengan menggunakan F(x), buktikan f(2) = 3/28

Hitung nilai rata-rata X.

10

Jawab (1):Jawab (1): Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan

sebagai banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah tersebut. Maka dapat dituliskan :

X = banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah

= 0, 1, 2 Sehingga dapat dihitung :

11

28

10

2

8

2

5

0

3

)0()0(

XPf28

15

2

8

1

5

1

3

)1()1(

XPf 28

3

2

8

0

5

2

3

)2()2(

XPf

Jadi, distribusi probabilitas dari X adalah

x 0 1 2

f(x) 10/28 15/28 3/28

Rumus distribusi probabilitas adalah 2,1,0,

2

8

2

5.

3

)()(

xuntukxx

xfxXP

Jawab (2):Jawab (2):Distribusi kumulatif F(x) adalah :F(0) = f(0) = 10/28 F(1) = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 =

25/28F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28

+ 3/28 = 1Sehingga :

0 , untuk x < 0F(x) = 10/28 , untuk 0 x < 1

25/28 , untuk 1 x < 21 , untuk x 2

12

Jawab (3):Jawab (3):Dengan menggunakan F(x), maka

f(2) = F(2) – F(1)= 1 – 25/28= 3/28

Nilai Ekspektasi X adalahE(X) = 0.f(0) + 1.f(1) + 2.F(2) = (0). (10/28) + (1). (15/28) +

(2). (3/28) = 21/28

13

Distribusi Probabilitas Kontinu Distribusi Probabilitas Kontinu X (1):X (1):Himpunan pasangan tersusun (x, f(x))

adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random kontinu X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku :

14

Rxsemuauntukxf ,0)(

1)(

dxxf

b

a

dxxfbxaP )()(

Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :

15

xuntuktdtfxXPxFx

,)()()(

)()()( aFbFbxaP

Distribusi Probabilitas Kontinu Distribusi Probabilitas Kontinu X (2):X (2):

Distribusi Probabilitas Kontinu Distribusi Probabilitas Kontinu X (3):X (3):

Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random kontinu X.

Dinyatakan dengan E(X), yaitu:

16

dxxfxXE )(.)(

Contoh:Contoh:Suatu variabel random X

mempunyai fungsi probabilitas f(x) = 1/3 pada interval 1 x 4◦Tunjukkan bahwa luas daerah dibawah

kurva f sama dengan 1.◦Hitunglah P(1,5 < x < 3)◦Hitunglah P( x < 2,5)◦Hitunglah P(x 3,0)◦Hitug F(x), kemudian gunakan

menghitung P( x < 2,5)◦Hitung nilai E(X)

17