Drag Forces on Slender Rods - Ohioneiman/biophys-2011/Chapter6_2.pdfTotal bending moment at point x...

Drag Forces on Slender Rods

•Force applied results in translation, rotation, bending or buckling

•Speed of motion determined by Hydrodynamic Properties

•Drag Forces and their effects

vF or )||( ⊥= γ

ωγ )or ( arT =

Alberts et al, Molecular Biology of the Cell, 2002York U. Molecular Motors group (http://motility.york.ac.uk/)

Dynamics of Bending and Buckling• Bending of filament gives rise to motion perpendicular to filament

• At each portion along length of the rod, Drag force/length =

tycxvcxf∂∂

−=−= ⊥⊥⊥⊥ )()(

∫ −= ⊥

L

x

dxxxxfxM ').')('()(

)(

twiceatingDifferenti

2

2

xfxM

⊥=∂∂

EIxM

xy

tycxvcxf

)(

)()(

2

2

=∂∂

∂∂

−=−= ⊥⊥⊥⊥

equation Beam icHydrodynam theas toreferred is This

4

4

ty

EIc

xy

∂∂

−=∂∂ ⊥

•This is solved by using separation of variables

Total bending moment at point x due to drag forces

• How long does it take for a bent rod to relax to straight position?

• Solving Hydrodynamic beam equations with appropriate boundary conditions 

Boundary conditions

ty

EIc

xy

∂∂

−=∂∂ ⊥

4

4

02

2

02

2

3

3

03

3

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

==== LxxLxx xy

xy

xy

xy

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= −

22coshsin

22cossinh),( / Lx

LLx

Letxy n

nn

nt

nn

αααατ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= −

22sinhcos

22sincosh),( / Lx

LLx

Letxy n

nn

nt

nn

αααατ

n odd

n even

Solution

,....3,2,1)2/1(

4

/

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

≅

=

⊥

−

nnL

EIc

eamplitude

n

t n

πτ

τ

Thermal Bending of Filaments

• Thermal forces cause fluctuation in shape of filament• DNA or unfolded chain of amino acids become highly unstructured

• Straight actin filament or ordered set of amino acid must be rigid to maintain their structure

• How rigid?  And what is the flexural rigidity ?

Persistence Length

kTEIL

Lss

p

p

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

2exp)0()(cos[ θθ

Thermal Bending of Semi flexible Polymers

• For semi flexible polymers, Original length = persistence length Persistence length can be calculated by using  mean squared end to end length 

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ppp L

LLLLR 1exp2 22

0

2 =

<<

R

LpLfor

LLR

LpLfor

p2

2 =

>>

Entropic Elasticity of a Freely Jointed Chain

Mechanics of proteins having segmental Flexibility which have Globular or rigid coil domains Linked by flexible regions

θcosnbX =

• Force extension curve : measured by determining F , which extends the chain by <X>

Where , 

is the Langevin function 

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=kTFbLnbX .

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛kTFbL

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−

kTFb

ee

eekTFbL

kTFb

kTFb

kTFb

kTFb

1

• For small values of F , 

which compares to F = kx ( Force applied on a spring)

Where, k=

kTFb

kTFbL

31

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

kTFbnbX

31.=

XnbkTF 2

3=

2

3nbkT

Worm Like Chain

• Length of rod > persistence length • For freely jointed chain , • For slender rods in three dimensions, L>>Lp

which is called Kuhn length • In the absence of force , worm like chain is equal to freely jointed chain whose segment length b is twice the persistence length (Lp)

22 nbR =

pLLR 22 ≅ Lnb =

bLp =2

Summary

• Resistance of slender rods to bending forces defined by flexural rigidity (EI)

• If bending moments are known, shape can be calculated by beam equation

• If rod is in a fluid, bending opposed by drag forces• Flexible rods are also bent by thermal forces• Persistence length defines thermal fluctuations• Models like freely jointed chain and worm like chain