EC431!1!51 Lecture Mean Variance Portfolio 2

แนวคิดเรื่อง

การจัดกลุมสนิทรัพยเสีย่งที่เหมาะสม

Optimal Risky Portfolios

จุดประสงคของการเรียนวันนี้

ศึกษาแนวคดิเกี่ยวกับการลดความเสี่ยงของกลุมสินทรัพยเสี่ยง

ศึกษาวธิกีารสราง Optimal Risky Portfolio

แนวคิดเกี่ยวกับเรื่องการกระจายความเสีย่ง

ถาตอนนี้นักศึกษามหีุนของบริษทัผลิตรม

ความผันผวนของอัตราผลตอบแทนที่จะไดจากหุนตัวนี้ คืออะไร

กรรมการบรษิทัมีนโยบายทําการตลาดรุกกลุมวัยทํางานในกรุงเทพใหพก

รม รุนมินิ ติดตัวในชวงหนาฝน

นักสิ่งแวดลอมชี้ปนี้หนารอนจะยาวนานกวาทุกป และมีโอกาสเกิดฝนแลง

เกิดภาวะเศรษฐกิจตกต่ํา

ถาเลือก ถือหุน 2 ตวัจะเกิดอะไรขึ้น....

ใหนักศึกษาแบงเงินออม ครึ่งหนึ่งมาถือหุน บริษัทผลิตครีมกันแดด

กรรมการบริษัท กระตุนยอดขาด โดยให เปย ปานแดง มาโฆษณาผลิตภัณฑครีมกันแดดในชวงซัมเมอร

นักสิ่งแวดลอมชี้ปนี้หนารอนจะยาวนานกวาทุกป และมีโอกาสเกิดฝนแลง

เกิดภาวะเศรษฐกิจตกต่ํา

จะเห็นไดวา หากนักศึกษาเลือกถือทั้งหุนบริษัทรมและหุนบริษัทครีมกันแดด

หากเกิดปญหาหนารอนยาวนานมากขึ้น ผลตอบแทนทีจ่ะไดจากหุนบริษัทรมจะลดลงทันที ในขณะทีบ่ริษัทครีมกันแดดมีโอกาสเพิ่มขึ้นในการไดกําไรจากการขาย ซึ่งหมายถงึผลตอบแทนที่มากขึ้น

The two effects are offsetting and stabilize portfolio return

Why end diversification at only two stocks?

If we diversify into many more securities, we continue

to spread out our exposure to firm-specific factor, and

portfolio volatility should continue to fall

However!, we can not avoid the common risk—the

common macroeconomic factors. For example,

business cycle risk

The reduction of risk to very low levels in the case of independent risk sources is sometimes called “the insurance principle”

The risk that remains even after extensive diversification is called “market risk” / systematic risk / nondiversifiablerisk

The risk that can be eliminated by diversification is calledunique risk, firm-specific risk, nonsystematic risk, or diversifiable risk

Risk Reduction with Diversification

Number of Securities

St. Deviation

Market Risk

Unique Risk

Portfolio Diversification

ทบทวน คณิตศาสตรและสถิติ

ผลตอบแทนของสินทรัพย j ณ เวลา s

rjs = (Ws – W0) / W0

ผลตอบแทนที่คาดวาจะไดจากสินทรพัย j

E(rj) = ∑sαsrjs

ความแปรปรวนของผลตอบแทนของสินทรัพย j

σ2j = ∑sαs[rjs- E(rj)]

2

คาความคาดเคลื่อนของผลตอบแทนของสินทรพัย j

σj = √σ2j

คาความแปรปรวนรวม (Covariance) ระหวางผลตอบแทนสินทรัพย i และ j

Cov(ri, rj)= E[(ris- E(ri)) (rjs- E(rj))]

=∑sαs[ris- E(ri)] [rjs- E(rj)]

คาสหสมัพันธ (Correlation) ระหวางผลตอบแทนสินทรัพย i และ j (บอกระดับความสัมพันธแบบเสนตรง)

ρij = Cov(ri, rj) / (σiσj)

-1 ≤ ρij≤ 1

โดยถา คาสหสมัพันธ ρij = 1 => ผลตอบแทนสินทรัพย i และ j มีความสมัพันธกันอยางเต็มที่ ในแบบเสนตรง

ρij = -1 => I ผลตอบแทนสินทรัพย i และ j มีความสัมพันธกันอยางเต็มที่ ในแบบเสนตรง แตเปนความสัมพันธแบบผกผัน

ทบทวน คณิตศาสตรและสถิติ (ตอ)

ตัวอยางที่ 1: สินทรัพย j

60%

40% $80,000 Bad State: rbad = -20%$10,000

Expected Return:

E(rj) = ∑sαsrjs = 60%(50%) + 40%(-20%) = 22%

Variance:

σ2j = ∑sαs[rjs- E(rj)]

2 = 60%(50%-22%)2 + 40%(-20%-22%)2 = 11.76%

Standard Deviation:

σ

$150,000 Good State: rgood = 50%

j = √σ2j = √11.76% = 34.293%

ตัวอยางที่ 2: หลักทรัพย บ. โดม

ปจจุบัน ราคาของหลักทรัพย ตอนตนป คือ 25 บาท ตอ 1 หุน โดยมีการวิเคราะหวา

ราคาของหลักทรัพยนี้หลังสิ้นป มีโอกาสเปนไปตามตารางตอไปนี้

ความนาจะเปน (Pi) ราคา ณ สิ้นป ผลตอบแทน (Ri)

.1 20 -20

.2 22.5 -10

.4 25 0

.2 30 20

.1 40 60

1.0

ทบทวนคณิตศาสตรและสถิติ (ตอ)

คุณสมบัติ 4 ประการ ของ Mean และ Var

กําหนดให ũ เปนตัวแปรเชิงสุม (random variable) a คอื

1) E(ũ+a) = a + E(ũ)

2) E(aũ) = aE(ũ)

3) Var(ũ+a) = Var(ũ)

4) Var(aũ) = a2Var(ũ)

rx ~ N(E(rx), σ2x) & ry ~ N(E(ry), σ2

y)

คุณยังสามารถคํานวณหา คาความแปรปรวนของผลตอบแทนของกลุมหลักทรัพย (Portfolio Variance) ไดดังนี้:

σ2p = E[rp - E(rp)]

2

= E[(arx + bry)-E[arx + bry]]2

= E[(arx - aE[rx])+(bry - bE[bry])]2

= E[a2(rx - E[rx])2 + b2(ry - E[ry])

2 + 2ab(rx- E[rx])(ry - E[ry])]

= a2 σ2x + b2 σ2

y + 2abCov(rx, ry)

= a2 σ2x + b2 σ2

y + 2abCov(rx, ry)

σ2p = a2 σ2

x + b2 σ2y + 2abσxσyρxy

σp = √(a2 σ2x + b2 σ2

y + 2abσxσyρxy)

σp = √(a2 σ2x + b2 σ2

y + 2abσxσyρxy)

จากสมการขางตน จะเห็นไดวา ถา σp มีคาบวก และเพิ่มขึ้น ρxy ก็จะเพิ่มตามไปดวยนัย:

หากเรามีกลุมสินทรัพยที่ประกอบดวยสินทรัพย a และ b ยิ่งคาสหสัมพันธ (Correlation) ระหวาง a และ b มีคาทีน่อยเทาไร คาความแปรปรวนของกลุมสินทรัพยนี้ยิ่งจะมีคานอยลงเทานั้น

การกระจายกลุมสินทรัพย (Diversification) : ดังนั้น หากคุณตองการจะรักษาระดับผลตอบแทนคาดหมายไวทีร่ะดับผลตอบแทนของสินทรัพย X แตตองการลดความเสี่ยงจากความผนัผวนของผลตอบแทนสินทรัพย X คุณสามารถทาํไดโดยพยายามเลอืกสินทรัพยอีกประเภทหนึ่ง (Y) โดยสินทรัพย Y ตองใหผลตอบแทนคาดหมายเหมือนกันกับ X แตทัง้นี้สินทรัพย X และสินทรัพย Y ตองมีความสัมพันธเชิงเสนตรงไปในทิศทางตรงกนัขามใหมากที่สุด (highly negatively correlated)

คาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุมหลักทรัพย คือ

หลักการกระจายความเสี่ยง (Diversification)

Proposition: portfolio of less than perfectly correlated assets always offer better risk-return opportunities than the individual component assets on their own.

Proof:

If ρxy = 1 (perfectly positively correlated)

then, σp = aσx + bσy

If < 1 (less than perfectly correlated)

then, σp < aσx + bσy

พิจารณาสินทรัพย 2 ประเภท—A และ B

กําหนดให มีสินทรพัยทางการเงิน 2 ประเภท คือ A และ B

โดยกําหนดให

AR =

AX =

BX =

BR =

PR =

สัดสวนของเงินลงทุนในสินทรัพย A

สัดสวนของเงินลงทุนในสินทรัพย B

คาคาดหมายของผลตอบแทนใน A

คาคาดหมายของผลตอบแทนใน B

คาคาดหมายของผลตอบแทนใน กลุม

หลักทรัพย

( )

( ) ( )( )

12 2 2 2 2

122 2 2 2

11

( ) ?

2

1 2 1

A B

B A

P

P A A B B A B AB

AB AB A B

P A A A B A A AB A B

X Xor X X

E R

X X X X

X X X X

σ σ σ σ

σ ρ σ σ

σ σ σ ρ σ σ

+ == −

=

= + +

=

∴ = + − + −

ดังนั้น เราจะไดวา

จากสูตรคํานวณสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุมหลักทรัพย

Varying the portion on X & Y

13%

%8E(rp)

a0% 100%

Suppose:

rA ~ N(13%, (20%)2) & rB ~ N(8%, (12%)2)

E(rp) = E[arA+ brB]=aE(rA)+ bE(rB)

Varying the portion on X & Y

20%

12%

σp

a0% 100%

Suppose:

rA ~ N(13%, (20%)2) & rB ~ N(8%, (12%)2)

σp = √(a2 σ2A + b2 σ2

B + 2abσAσBρAB)

ρxy=-1

ρxy=1

ρxy=0.3

Min-Variance opportunity set with the 2 risky assets opportunity set with the 2 risky assets

ρ = 1

13%

%8

12% 20%

ρ = .3

ρ = -1

ρ = -1

σp

E(rp)

PerfectHedging

นักลงทุนแตละคนจะเลือก Optimal portfolio ณ จุดไหน

จาก Opportunity Set ขึ้นอยูกับลักษณะฟงกชัน

อรรถประโยชนของแตละราย

กลาวคอื นกัลงทุนที่มีลักษณะกลัวความเสี่ยง (หลีกเลี่ยงความ

เสี่ยง) มาก จะชอบกลุมสินทรัพยเสี่ยงที่ใหผลตอบแทนของ

portfolioต่ําและความเสี่ยงต่ํา (กลุม portfolio ทางดานซายของ

Opportunity Set) ในทางตรงกันขาม กลุม นกัลงทุนที่กลัวความ

เสี่ยงนอย กม็ักจะนิยมเลือก กลุมสินทรัพยเสี่ยงที่ใหผลตอบแทน

สูง แตความเสี่ยงก็สูงตามไปดวย ซึ่งไดแกกลุม Portfolio ทาง

ดานขวาของ Opportunity Set)

The relationship depends on correlation coefficient.-1.0 < ρ < +1.0The smaller the correlation, the greater the risk reduction potential.If ρ = +1.0, no risk reduction is possible.

Correlation Effects

Figure:The Opportunity Set of the Debt and Equity

Funds and Two Feasible CALs

Figure: The Opportunity Set of the Debt and Equity Funds

with the Optimal CAL and the Optimal Risky Portfolio

Asset Allocation with Stocks, Bonds and Bills

เนื่องจากเราตองการเลือก กลุมหลักทรัพยเสี่ยง ณ จุดที่ทําใหความชันของ

เสน CAL สูงที่สุด ในรูปคือ จุด P ดังนั้น

เปาหมายคือ ตองการหาสัดสวนเงินลงทุนใน Risky Assets ระหวาง

สินทรัพยเสี่ยงตัวที่ 1 (หุนสามัญ) wE และ สินทรัพยเสี่ยงตัวที่ 2 (หุนกู) wD ที่

ทําใหคา reward-to-variability ratio [Sp] มีคามากสุด

p

fpp

rrES

σ−

=)(

Asset Allocation with Stocks, Bonds and Bills

(Cont.)

ดังนั้น เราสามารถเขียนปญหาการหาคาเหมาะสมสุดแบบมีเงื่อนไข ได คือ

Subject to ∑ wi = 1

ในกรณีที่ มีสินทรัพยเสี่ยง 2 ประเภท สัดสวนการลงทุนที่เหมาะสม

เพื่อใหไดกลุมสินทรัพยเสี่ยงที่จุด P คือ

( )2 2 2

( ) ( ) (1 ) ( )

2 cov ,p f A A A B f

pp A A B B A B A B

E r r w E r w E r rMaxS

w w w w r rσ σ σ

− + − −= =

⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

2

2 2

[ ( ) ] [ ( ) ]cov( , )[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]cov( , )

A f B B f A BA

A f B B f A A f B f A B

E r r E r r r rw

E r r E r r E r r E r r r rσ

σ σ− − −

=− + − − − + −

DE ww −=1

Example:

An investor with a coefficient of risk aversion A=4Take a position in risky portfolio ?Consists of Bonds and Stock?

Figure: Determination of the Optimal Overall

Portfolio

Figure: The Proportions of the Optimal Overall

Portfolio

สรุปขั้นตอนในการสราง (the complete portfolio)

[1]. ทําการคํานวณหา พฤติกรรมของผลตอบแทนในสินทรัพยเสี่ยงแตละ

ประเภท (expected returns, variances, covariances)

[2]. สรางกลุมหลักทรัพยเสี่ยง (the risky portfolio)

- ทําการคํานวณหากลุมหลักทรัพยเสี่ยงที่เหมาะสม P /กลุมที่ทําให

Slope ของเสน CAL มีคามากสุด (the optimal risky portfolio)

- ทําการคํานวณหาคุณสมบัติของกลุมหลักทรัพยเสี่ยงที่เหมาะสม Pที่

สรางขึ้น (expected returns, variances)

[3]. ทําการคํานวณจัดสรรเงินลงทุน ระหวางกลุมสินทรัพยเสี่ยง (Risky

portfolio) และสินทรัพยปราศจากความเสี่ยง โดยในขั้นตอนนี้ตองอาศัย

ขอมูลฟงกชันอรรถประโยชนของนักลงทุนแตละรายเขามาประกอบ

Capital Allocation and the Separation Property

จากขั้นตอนในหนาที่แลว เราจะเห็นไดวาในการสรางเสน CAL ขึ้นมานั้น

ไมจําเปนตองอาศัยขอมูลฟงกชันอรรถประโยชนของนักลงทุน (สะทอน

ระดับความกลัวความเสี่ยง/ Degree of Risk Aversion) เขามารวมในการ

สราง

ซึ่งผลดังกลาวนี้ เราเรียกวา separation property สะทอนแนวคิดใน

การแกปญหาการเลือกกลุมสินทรัพย (the portfolio choice problem)

วาสามารถกระทําการแกปญหาแยกกันอยางเปนอิสระได 2 สวน คือ

สวนแรก ทําการกําหนดกลุมสินทรัพยเสี่ยงที่เหมาะสมและสรางเสน CAL

สวนที่สอง คือ เลือกการจัดสรรเงินลงทุนระหวางสินทรัพยปราศจากความ

เสี่ยงและกลุมสินทรัพยเสี่ยงที่เหมาะสม

เพิม่เตมิคุณสมบตัิของเสน opportunity set

σp

E(rp)

σp

E(rp)

Concave Function: สอดคลองคุณสมบัติที่วา

กลุมสินทรัพยเสี่ยงไมสามารถที่จะมคีวามเสีย่ง

เกินไปกวากรณีความเสียงกลุมสินทรัพยที่คา

Correlation = 1

Convex Function: ขัดแยงคุณสมบัติที่วา

กลุมสินทรัพยเสี่ยงไมสามารถที่จะมคีวามเสีย่ง

เกินไปกวากรณีความเสียงกลุมสินทรัพยที่คา

Correlation = 1

The Efficient Frontier

กรณีทีเ่รามีสินทรัพยเสี่ยงจํานวน N ประเภท ในทางทฤษฎี! เรา

สามารถทําการสรางกลุมสินทรัพยเสี่ยงไดทกุรูปแบบ

เหตุที่กลาววา ในทางทฤษฎี เนื่องจากวามันมีความเปนไปได

จํานวนนับไมถวนที่จะสราง Portfolio จากสินทรพัยเสี่ยง N ตัว

โดยกระจายน้ําหนกัเงินลงทุนทีเ่ปนไปไดทัง้หมด (All possible

percentage composition)

สมมติวา Portfolio ที่สรางไดทัง้หมดเปนไปตาม กราฟตอไปนี ้

Risk and Return Possibilities for Various

Assets and Portfolios

B

E

C

D

A

F

Expected Return

Risk

....จากรูป อาศัยแนวคิดที่เรียนมา ทีว่านักลงเปนคน

ละโมบ (Prefer more return than less) และ กลวัความ

เสี่ยง (prefer less risk to more)

ดังนั้น เราจะหา เซตของกลุมสนิทรัพยเสี่ยงที่

1. ใหผลตอบแทนที่มากกวา ณ ระดับความเสี่ยงเดียวกัน

2. ใหความเสี่ยงที่นอยกวา ณ ระดบัผลตอบแทนที่เทากัน

Figure: The Minimum-Variance Frontier of

Risky Assets

Figure The Efficient Frontier of Risky Assets with

the Optimal CAL

The Efficient Portfolio Set

การบานครั้งที่ 2

เอกสารหมายเลข 6 /หนังสือ BKM

บทที่ 7 ขอ 13-17, 18-23

บทที่ 8 ขอ 1-8 ,21-27