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電路學第一章電路元件與基本定律
李健榮助理教授Department of Electronic Engineering
National Taipei University of Technology
本章大綱
• 定義與單位• 電荷與電流• 電壓、能量與功率• 電路元件• 被動元件與主動元件• 歐姆定律• 克希荷夫定律
Department of Electronic Engineering, NTUT2/26
定義與單位 (I)
• 電路元件是指實驗室或工廠中常見之實際元件,如:電阻器、電感器、電容器、電池、二極體、電晶體、電動機、發電機等。利用導線把元件連接起來便可得實際電路。
• 分析電路時為使所求得的數據(如:電流、電壓、功率、能量等)符合量測的意義,必須採用標準單位系統。單位系統經常採用國際單位系統(International systemof units),簡稱 SI制。SI制的優點是導入十進位系統。
• 在 SI制中,電流的基本單位是安培 (Ampere簡寫A)、電壓的基本單位是伏特 (Volt簡寫V) 。
Department of Electronic Engineering, NTUT3/26
定義與單位 (II)
• 下表列舉 SI制配合實際應用,常用的 10次方及其簡寫符號。
量級 字首 符號
109 十億 (Giga) G
106 百萬 (Mega) M
103 仟 (Kilo) k
10–3 毫 (Milli) m
10–6 微 (Micro) µ
10–9 奈 (Nano) n
10–12 微微 (Pico) p
Department of Electronic Engineering, NTUT4/26
電荷與電流 (I)
• 電流為單位時間 (sec)內,通過某一截面積的電荷量(C)
即 ,其單位為安培 (A)。
• 由上可得在時間 t0和 t1之間,進入某一元件的全部電荷為
dqi
dt=
( ) ( ) 1
01 0
t
T tq q t q t idt= − = ∫
元件的電流流向
A B
i 注意:所考慮的電路元件都是電中性的,即沒有正或負電荷能在元件內累積,亦即有一正 (負) 電荷流進,要有一正 (負)電荷流出。
Department of Electronic Engineering, NTUT5/26
範例 (I)
• 例1:進入元件的全部電荷是 q = 5t2 – 8t mC,試求 t = 0 s
和 t = 2 s時之電流 i 值。
• 例2:進入一端點電流 i = 20t – 5 mA,試求 t = 1 s和 t = 4 s
之間,進入端點的全部電荷。
Department of Electronic Engineering, NTUT6/26
電壓、能量和功率 (I)
• 電壓為移動1單位(1庫侖)電荷,從元件之一端點移至另一端點所作的功,其單位為伏特(Voltage,簡寫V)。
• 若在某元件上移動1單位電荷須作功1焦耳,代表此元件上有1 V之電壓,即1 V = 1 J/C。電壓又稱電位差或電壓降。
• 為瞭解能量是電路供給元件或由元件供給電路,必須知道元件上電壓的極性和流過元件的電流方向;若正電流進入電壓正端點,那外力必須去推動電流,即供給或釋放能量給元件,因而元件吸收能量;若正電流從正端點流出 (進入負端點),則元件釋放能量給外接電路。
電壓極性表示法
A Bv+ -
Department of Electronic Engineering, NTUT7/26
電壓、能量和功率 (II)
• 考慮釋放能量到電路元件的速率時,若元件上電壓是v,一很小電荷∆q從正端點流過元件移向負端點,則元件吸收能量為∆w,即
• 若流過元件所需時間是∆t,則功的變化率或能量w的變化率(或消耗率)為
• 能量變化率即為功率p的定義,所以
w v q∆ = ⋅ ∆
0 0lim limt t
w qv
t t∆ → ∆ →
∆ ∆=∆ ∆
dw dqv v i
dt dt= = ⋅
dwp v i
dt= = ⋅ vi 單位為 (J/C), (C/S)或(J/S),
一般定義 1 J/S為1瓦特 (Watt,簡寫W)。
Department of Electronic Engineering, NTUT8/26
電壓、能量和功率 (III)
• 右圖的元件所吸收的功率為 p = vi,
• 欲計算在時間 t0和 t1之間,釋放到元件的能量,可積分
• 假設時間開始於t = –∞,且元件的能量為零,即
• 若在上式中t0 = –∞,則從時間開始到 t1釋放的能量為
有電壓 v、電流 i 之元件
A Bv+ -
i
dwp v i
dt= = ⋅ ( ) ( ) ( )1
01 0
t
tw t w t v i dt− = ⋅∫
( ) 0w −∞ =
( ) ( )tw t v i dt
−∞= ⋅∫ ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1
01
t t t
tw t v i dt v i dt v i dt
−∞ −∞= ⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )1
01 0
t
tw t w t v i dt= + ⋅∫
由於電流為流入電壓之正極性,故元件吸收 vi之功率,若是電流方向相反或是電壓極性相反,則元件為對外釋放 vi功率。
Department of Electronic Engineering, NTUT9/26
範例 (I)
• 例3: 電路如下圖所示,進入元件A 端點的電流 i = 4 A,
求 (a)元件吸收功率 (b)在時間 t = 0 s 和 t = 4 s 間釋
放到元件的能量。
V6
+
−
A
B
(a) 吸收功率 p = vi (正電流進入正端點 ),
(b) t = 0 ~ 4 s期間釋放到元件上的能量
故吸收功率
Department of Electronic Engineering, NTUT10/26
範例 (II)
• 例4: 一個兩端點元件吸收能量如下圖,若電壓 v(t) = cos100πt
(V),求t = 1 ms和t = 4 ms進入正端點的電流。
At t = 1 ms:
13
10
0 2 8
w (mJ)
t (ms)
At t = 4 ms:
Department of Electronic Engineering, NTUT11/26
電路元件-電壓源
• 電壓源(Voltage Source)電壓源可提供電路元件兩端點間之電壓,其所提供之電壓值可為常數,或是時變者。
• 以電壓極性變化分為:(a) 直流電壓源(b) 交流電壓源
• 依電源電壓值與電路元件之關係可分為:(a) 獨立電壓源(b) 相依電壓源
Department of Electronic Engineering, NTUT12/26
直流與交流電壓源
• 直流電壓源:電源電壓的正負極性不隨時間而改變。
• 交流電壓源:電源電壓的正負極性隨時間而改變。
V
0(a)
v t( )
t
(b)0
v t( )
t
(a)
v t( )
t
(b)
v t( )
t
(c)
v t( )
t
Department of Electronic Engineering, NTUT13/26
獨立與相依電壓源
• 獨立電壓源:獨立電壓源是兩端點元件,如電池,其在端點間維持一特定電壓,此電壓與電路上其它元件的電流或電壓完全無關。
• 相依電壓源:相依 (或被控制)電壓源其端電壓與電路上某些元件的電壓或電流有關,其電路符號如右圖 (a);一個被電壓控制的電壓源 (VCVS)是與電路上某些電壓有關的電源,如右圖(b);一個被電流控制的電壓源 (CCVS)是與電路上某些電流有關的電源,如右圖 (c)。
+-
(a) 時變
v t( )+
-v
(b) 定值 (a)
+-
任意網路
+-
+
-
(b) VCVS
v1 v= mv1+-
(c) CCVS
v = gi1v
i1
任意網路
Department of Electronic Engineering, NTUT14/26
電路元件-電流源
• 電流源(Current Source)電流源可提供電路元件兩端點間之電流,其所提供之電流值可為常數,或是時變者。
• 依電流源所提供之流向可分為:(a) 直流電流源(b) 交流電流源
• 依電源電流值與電路元件之關係可分為:(a) 獨立電流源(b) 相依電流源
Department of Electronic Engineering, NTUT15/26
直流與交流電流源
• 直流電流源:所提供的電流方向是固定值。
• 交流電流源:所提供的電流方向是交流變化者。
(a)
i(t)
I
t(b)
t
i(t)
(a)
t
i(t)
(b)
t
i(t)
Department of Electronic Engineering, NTUT16/26
獨立與相依電流源
• 獨立電流源:提供特定電流的兩端點元件,此電流與電路上其它元件的電壓或電流完全無關。
• 相依電流源:一個相依 (或被控制) 電流源所提供的電流,與電路上某些元件的電壓或電流有關,其電路符號如右圖 (a);一個被電壓控制的電流源 (VCCS) 其電流受到某些元件上之電壓所控制,如右圖 (b);一個被電流控制的電流源 (CCCS) 其電流被某些元件之電流所控制如右圖
i t I( )或
獨立電流i(t) 為時變, I 為定值
+
-
(b) VCCS
v1 i = gv1
(c) CCCS(a)
i
i1任任任任意意意意網網網網路路路路
任任任任意意意意網網網網路路路路
i = bi1
Department of Electronic Engineering, NTUT17/26
電阻器
• 電阻器(Resistor)某元件跨接於一個理想電壓源的端點間,其所產生之電流與電壓成正比,則該元件稱為電阻器(Resistor)。即 ,電阻的單位 (V/A) 稱為歐姆(Ohm),以希臘字母 Ω表示。
• 電阻的倒數稱為電導 (Conductance)。即 ,電導的單位 (A/V) 稱為姆歐 (Mho),或西門子 (Siemens,簡寫S),以符號母歐或 S表示。
( ) ( )R v t i t=
1G R=
(a) 線性電阻器
0 1
v Ri=
i
R
(b) 非線性電阻器v
i
斜率=電阻
Department of Electronic Engineering, NTUT18/26
電容器
• 電容器(Capacitor)是由上下兩片導體以及導體中間加介質材料所構成的兩端點元件。電容器上所儲存的電荷q與其端電壓v成正比,即
• 故電容的單位為庫侖/伏特(C/V),稱為法拉(Farad,簡寫F)。常以微法拉 微微法拉 為單位。
• 電容器中的電壓與電流v-i關係,可由 及
得到
q Cv=
6F 10 Fµ −=12F 10 Fp −=
q Cv=i dq dt=dv
i Cdt
= i
電容器的電路符號
+
−
v C
Department of Electronic Engineering, NTUT19/26
電感器
• 電感器(Inductor)是將導線繞成線圈形狀而組成的兩端點元件。電感器上的磁通量與其電流成正比,即 ,此處為 N匝數,L 為比例常數稱為電感器的電感量,單位為亨利(Henry,簡寫H)。
• 根據法拉第定律知改變磁通量 會在線圈兩端產生電壓v,此為電磁感應原理,即:
N Liφ =
φ
d div N L
dt dt
φ= =
L
v−+
i
電感器的電路符號
Department of Electronic Engineering, NTUT20/26
被動元件 (I)
• 一個元件其消耗或儲存的能量若是符合下面定義,則稱其為被動元件,否則為主動元件。
• 電阻器:其消耗的能量為
故電阻器為被動元件。
( ) ( ) ( ) ( )0
0
t tw t p t dt p t dt p t dt
−∞ −∞= = +∫ ∫ ∫ ( )
00
tp t dt= + ∫
( ) ( ) ( ) ( )0 0
0t t
w t p t dt i t v t dt= = ≥∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
0 0 0 00 0
t t t t t v tw t p t dt p t dt v t i t dt i t Rdt dt
R−∞= = + = = ⋅ = ≥∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Department of Electronic Engineering, NTUT21/26
被動元件(II)
• 電容器:其儲存的能量為
故電容器為被動元件。
• 電感器:其儲存的能量為
故電感器亦為被動元件。
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
00 0
1
2
t t t t
C
dv tw t v t i t dt v t C dt C v t dv t Cv t
dt−∞
= = = =
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 10 0
2 2Cw t C v t v Cv t = − = ≥
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
00 0
12
t t t t
L
di tw t v t i t dt i t L dt L i t di t Li t
dt−∞
= = = =
∫ ∫ ∫
( ) ( )210
2Lw t Li t= ≥
Department of Electronic Engineering, NTUT22/26
歐姆定律 (Ohm’s Law)
• 若一個電壓 v(t) 加在一個電阻器 R兩端,並有電流 i(t) 流過R,若電壓之極性與電流之方向如下圖所示,
則 ,此即歐姆定律,由此式亦可得
或
+ −v t( )
i t( ) R
( ) ( )v t i t R= ⋅
( ) ( )v ti t
R=
( )( )
v tR
i t=
Department of Electronic Engineering, NTUT23/26
克希荷夫電流定律 (KCL)
• 進入任何節點的電流代數和為零。其數學通式為
其中in是進入節點的第n項電流,N是進入節點的電流數目。
• 離開任何節點的電流代數和為零。其數學通式為
其中in是進入節點的第 n項電流,N是進入節點的電流數目。
• 進入任何節點的電流和= 離開這結點的電流和。
• 進入或離開任何封閉曲面(超節點)的電流代數和為零:
1
0N
nn
i=
=∑
1
0N
nn
i=
=∑
1 2 3 4 0i i i i+ + + =
i2
a
b
c
d
i1
i4
i6 i5
i8
i7
i3
Department of Electronic Engineering, NTUT24/26
克希荷夫電壓定律 (KVL)
• 克希荷夫電壓定律(KVL):環繞任何環路的電壓代數和 = 零
• 環繞任何環路上電壓升之和 = 電壓降之和。
1. a → b 路徑中,首先遇到+號,故 v1 取正號。(此路徑為電壓降)2. a → c 路徑中,首先遇到+號,故 v2 取正號。(此路徑為電壓降)3. c → d 路徑中,首先遇到+號,故 v3 取正號。(此路徑為電壓降)4. d → c 路徑中,首先遇到-號,故 v4 取負號。(此路徑為電壓升)
因此依 KVL 可得 v1+ v2 + v3- v4 = 0
v4 為電壓升(自電源之負端至正端為電壓升)
v3 為電壓降(自元件之正端至負端為電壓降)
v2 為電壓降(自電源之正端至負端為電壓降)
v1 為電壓降(自元件之正端至負端為電壓降)
因此依 KVL 可得 v4 = v1+ v2 + v3
+−
+ −
+−
+
−
v1
a b
d c
v2
v3
v4
Department of Electronic Engineering, NTUT25/26
本章總結
• 本章說明了電流、電壓、能量以及功率之定義以及描述各量值之單位。
• 電壓源或電流源依其極性可分為直流電源或交流電源;而依其與電路中元件之間的關係可分為獨立電源或相依電源。
• 能提供能量者為主動元件而消耗(或儲存)能量者稱為被動元件,如電阻、電容與電感為常見的被動元件。
• 歐姆實驗定律指出了流經一電阻元件的電流與其上跨壓之間的關係。
• 克希荷夫電壓與電流定律指出了電荷不滅的電路形式。依據電路行為須遵守歐姆定律與克希荷夫定律的原則,在一定條件下則可求解電路中之未知電壓與電流。下一章將利用此兩定律來說明其他實用的電路分析定理。
Department of Electronic Engineering, NTUT26/26
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