EIGENVECTORES Y EIGENVALORES

CONCEPTOS Y APLICACIONES

Matemáticas Aplicadas Dr. Adrián Pozos Estrada

CONCEPTOS BASICOS

Los eigenvectores o vectores propios de una

transformación lineal son los vectores no nulos que al ser

transformados producen un múltiplo escalar de si

mismos.

T(v) = lv

Transformación

lineal

Vector propio

Valor propio

Vector propio

CONCEPTOS BASICOS

Desde el punto de vista ingenieril, comúnmente

empleamos matrices para representar transformaciones.

[T]v = lv

Transformación

lineal en forma

matricial

Vector propio

Valor propio

Vector propio

CONCEPTOS BASICOS

Vectores y valores propios de matrices cuadradas.

Polinomio característico.

Sea A una matriz de nxn, sus vectores y valores propios se

pueden determinar de la siguiente manera:

Av = lv Av – lv = 0 (A – lI)v = 0

donde I es la matriz identidad.

CONCEPTOS BASICOS

(A – l I) v = 0

Por tanto, para que exista solución diferente a la trivial

para v, se debe verificar que:

det(A – l I) = 0

no nulo

CONCEPTOS BASICOS

det(A – l I) = 0

Lo que resulta en un polinomio en función de l.

El grado del polinomio dependerá del orden de la matriz A.

APLICACIONES

Rotación de elementos geométricos (ver notas)

Modelos de crecimiento poblacional

Solución de ecuaciones diferenciales (ver notas)

Procesos de Markov

Diagonalización de matrices (ver notas)

Transformación de imágenes

Vibraciones en estructuras

Resumen de pasos para obtener los eigenvalores y eigenvectores

Calcule el determinante de

Determine las raíces del polinomio característico

Para cada eigenvalor, resuelva la ecuación

Teoremas

Los eigenvalores de una matriz cuadrada A son las raíces de la ecuación característica correspondiente.

Si x es un eigenvector de una matriz A correspondiente a un eigenvalor l, también los es kx con cualquier

EIGENVECTORES Y EIGENVALORES EJEMPLO NUMÉRICO

EJEMPLO DE APLICACIÓN (DINÁMICCA ESTRUCTURAL)

EIGENVECTORES Y EIGENVALORES

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