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Espaces vectoriels

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1 Structure d’espace vectoriel

2 Sous-espaces vectoriels

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Dans tout le chapitre, le corps R peut etre remplace par C. On travailleraprincipalement avec R.

On a vu precedemment qu’on pouvait additionner des objets qui ne sontpas des nombres : des vecteurs et des matrices. On peut aussi additionnerdes fonctions, des polynomes..... Plutot que d’etudier les proprietes del’addition pour chaque type d’objet qu’on veut additionner, on va chercherun vocabulaire et des proprietes qui marcheront dans tous les cas. On vadonc etudier un cadre completement theorique, qui pourra s’adapterensuite a toutes les situations pratiques.

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Plan

1 Structure d’espace vectoriel

2 Sous-espaces vectoriels

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Definition

Definition

On appelle espace vectoriel sur R ou R-espace vectoriel un ensemble Enon vide muni de :

une loi de composition interne appelee addition de l’espace vectorielE , notee

+ : E × E → E(u, v) 7→ u + v

une loi de composition externe appelee produit par un scalaire et notee

· : R× E → E(λ, v) 7→ λ · v

verifiant les proprietes (EV1)- (EV8).Les elements de E sont appeles les vecteurs et ceux de R les scalaires. Onpourra noter λv = λ · v mais l’ordre doit etre imperativement respecte.

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Definition

(E ,+) est un groupe commutatif, c’est-a-dire :

(EV1) la loi + est associative :

∀u, v ,w ∈ E , (u + v) + w = u + (v + w).

(EV2) la loi + possede un element neutre note 0E (ou 0) :

∃0E ∈ E , ∀v ∈ E , v + 0E = 0E + v = v .

(EV3) tout element de E est symetrisable :

∀u ∈ E , ∃u′ ∈ E , u + u′ = 0E .

Le symetrique de u sera note −u et appele l’oppose de u.

(EV4) la loi + est commutative :

∀u, v ∈ E , u + v = v + u.

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Definition

la loi de composition externe verifie :

(EV5) distributivite par rapport a la somme des scalaires :

∀λ, µ ∈ R, ∀v ∈ E , (λ+ µ) · v = λ · v + µ · v .

(EV6) distributivite par rapport a la somme des vecteurs :

∀λ ∈ R∀u, v ∈ E , λ · (u + v) = λ · u + λ · v .

(EV7) associativite mixte :

∀λ, µ ∈ R,∀u, v ∈ E , (λµ) · v = λ · (µ · v).

(EV8 l’element unite 1 de R est element neutre pour le produit par unscalaire :

∀v ∈ E , 1 · v = v .

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Exemples fondamentaux

Les ensembles Rn deja etudie precedemment sont des R−espacesvectoriels. On peut en effet verifier que chacune des 8 proprietesdefinissant un R−espace vectoriel sont satisfaites. En particulier,

l’ensemble des vecteurs du plan et l’ensemble des vecteurs de l’espaceforment deux espaces vectoriels sur R.

Soit F(D) l’ensemble des fonctions definies sur un sous ensemble D de R,a valeurs dans R. Pour tous f , g ∈ F et λ ∈ R, on note respectivement(f + g) et (λf ) les fonctions definies par

(f + g) : D → Rx 7→ f (x) + g(x)

et(λf ) : D → R

x 7→ λf (x).

(F(D),+, ·) est un R–espace vectoriel.Verifions que c’est un espace vectoriel sur R.

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C muni de l’addition des complexes et de la multiplication par un nombrereel est un R-espace vectoriel

L’ensemble (R[X ],+, ·) des polynomes a coefficients dans R muni del’addition classique des polynomes et de la multiplication d’un polynomepar un scalaire, est un R−espace vectoriel.

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Premieres proprietes

Proposition

Soit (E ,+, ·) un R-espace vectoriel. On a

1 ∀u ∈ E , 0R · u = 0E (multiplication par le nombre 0)

2 ∀α ∈ R, α · 0E = 0E (multiplication par le vecteur nul)

3 ∀α ∈ R, ∀u ∈ E , α · u = 0E =⇒ α = 0R ou u = 0E (regle duproduit nul)

4 ∀u ∈ E , (−1) · u = −u (oppose d’un vecteur)

5 ∀α, β ∈ R, ∀u ∈ E , (α− β) · u = α · u − β · u6 ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ E , α · (u − v) = α · u − α · v

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Demonstration.

Soit u ∈ E , pour tout λ ∈ K, on a

λ · u = (0K + λ)u = 0Ku + λu

Or, λu a un oppose, que j’ajoutes de chaque cote de l’egalite

λ · u − (λ · u) = 0Ku + λu − (λ · u),⇒ 0E = 0K · u + 0E

Donc 0Ku = 0E ;

Soit α ∈ K. Pour tout u ∈ E , on a

αu = α(u + 0E ) = αu + α0E

αu ayant un oppose, on l’ajoute de chaque cote pour simplifier αu eton a 0E = α · 0E .

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Soient α ∈ K, u ∈ E tels que α.u = 0E . Si α 6= 0K , alors le nombreα−1 ∈ K, donc on peut multiplier par α−1 :

α−1(αu) = α−10E = 0E

Orα−1(αu) = (α−1α)u = 1.u = u

Donc on obtient u = 0E .Sinon, on a α = 0K .

Soit u ∈ E ,

u + (−1)u = 1.u + (−1)u = (1− 1)u = 0K .u = 0E

donc (−1)u est l’oppose de u, c’est a dire −u.

Pour (α, β) ∈ R2, u ∈ E ,

(α− β)u = (α + (−β))u = αu + (−β)u = αu − βu

Pour α ∈ R, u, v ∈ E , on a

α(u − v) = αu + α(−v) = αu + α(−1)v = αu − αv

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Combinaisons lineaires

Definition

Soit (E ,+, ·) un R-espace vectoriel, et (u1, . . . , un) une famille finie devecteurs de E .On appelle combinaison lineaire des vecteurs de la famille (u1, . . . , un) toutvecteur u qui peut s’ecrire

u = λ1u1 + · · ·+ λnun ou λ1, . . . , λn ∈ R

Exemples:

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Plan

1 Structure d’espace vectoriel

2 Sous-espaces vectoriels

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Definition et caracterisation

Dans cette partie, (E ,+, .) represente un R-espace vectoriel.

Definition

Une partie non vide F de E est un sous-espace vectoriel (s.e.v.) de E si etseulement si F est stable par l’addition et par le produit externec’est-a-dire si et seulement si on a :

∀u, v ∈ F , u + v ∈ F

∀λ ∈ R∀v ∈ F , λ · v ∈ F .

Theoreme

Si F est un sous-espace vectoriel de E , alors (F ,+, ·) est un espacevectoriel.

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Remarque: Pour montrer qu’un ensemble est muni d’une structured’espace vectoriel, on montre presque toujours en utilisant ce theoremeque c’est un sous-espace vectoriel d’un plus � gros � espace vectorielconnu. C’est la facon la plus rapide de montrer qu’on est en presence d’unespace vectoriel sans revenir aux 8 points de la definition.

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Proposition (caracterisation d’un sous-espace vectoriel)

Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si elleverifie :

1 0E ∈ F .

2 ∀λ, µ ∈ R, ∀u, v ∈ F , λu + µv ∈ F .

Remarque:

1 On peut remplacer la deuxieme condition par

∀α ∈ R, ∀u, v ∈ F , αu + v ∈ F .

2 Tout sous-espace vectoriel de E contient 0E . Une facon de prouverqu’une partie F de E n’est pas un s.e.v. de E est donc de montrerque 0E 6∈ F .

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Corollaire

Un sous-espace vectoriel F d’un espace vectoriel E est stable parcombinaisons lineaires des vecteurs qui le constituent. Autrement dit, ona :

∀n ∈ N∗, ∀λ1, . . . , λn ∈ R, ∀v1, . . . , vn ∈ F , λ1v1 +λ2v2 + · · ·+λnvn ∈ F .

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Exemples:

1 E et {0} sont des s.e.v. de l’espace vectoriel E appeles sous-espacesvectoriels triviaux de E .

2 R et iR = {iy , y ∈ R} sont des sous-espaces vectoriels du R−espacevectoriel C.

3 Une droite vectorielle−→D du plan vectoriel

−→P est un sous-espace

vectoriel de l’ensemble des vecteurs du plan.

4 L’ensemble C0([0; 1],R) des fonctions continues sur [0, 1] est unsous-espace vectoriel de F([0; 1],R).

5 Soit n ∈ N. L’ensemble (Rn[X ],+, ·) est un R−espace-vectoriel.

6 Les sous-espace vectoriels des cours precedents sur Rn sont dessous-espaces vectoriels (au sens general). Par exemple L’ensembleF = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn, x1 + · · ·+ xn = 0} est un sous-espacevectoriel de (Rn,+, ·).

7 Par contre F = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn, x1 + · · ·+ xn = 1} n’est pas unsous-espace vectoriel de (Rn,+, ·).

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Intersection de sous-espaces vectoriels

Proposition

Si F et G sont deux s.e.v. de E , alors leur intersectionF ∩ G = {v ∈ E | v ∈ F et v ∈ G} est un sous-espace vectoriel de E .

Demonstration.

Exemple: Dans l’espace vectoriel (R3,+, ·), les sous-ensemblesF =

{(x , y , z) ∈ R3, x + y + z = 0

}et

G ={

(x , y , z) ∈ R3, 2x − y + 3z = 0}

sont des sous-espaces vectoriels.D’apres la proposition 4, on en deduit que F ∩ G , qui est le sous-ensemble{

(x , y , z) ∈ R3, x + y + z = 0 et 2x − y + 3z = 0}

est aussi unsous-espace vectoriel de R3.

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Remarque: Attention, la reunion de deux sous-espaces vectoriels n’est pasnecessairement un sous-espace vectoriel. Par exemple, R ∪ iR n’est pas unsous-espace vectoriel de C. En effet R ∪ iR n’est pas stable pas addition,par exemple (1 + i) /∈ R ∪ iR alors que 1 et i ∈ R appartiennent a iR.

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Sous-espace vectoriel engendre par des vecteurs

Definition

Soit u1, u2, . . . , un des vecteurs de E . L’ensemble des combinaisonslineaires de ces vecteurs est un sous-espace vectoriel de E qu’on appelle lesous-espace vectoriel engendre par les vecteurs u1 . . . , un et qu’on noteVect({u1, . . . , un}) : on a

Vect({u1, . . . , un}) ={ n∑

k=1

λkuk , (λ1, . . . , λn) ∈ Rn}.

Si u est un vecteur quelconque de E , on peut ecrire :

u ∈ Vect({u1, . . . , un}) ⇐⇒ ∃λ1, . . . , λn ∈ K, u = λ1u1 + · · ·+ λnun.

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Exemples:

Si a est un element non nul de E alors Vect({a}) = {λa, λ ∈ R} estegalement note Ra et on l’appelle droite vectorielle engendree par a.

Si a et b sont deux elements non nuls et non colineaires de E alorsVect({a, b}) = {λa + µb, (λ, µ) ∈ R2} est appele le plan vectorielengendre par a et b.

Dans le R-espace vectoriel (C,+, ·),

Vect({1}) = R, Vect({i}) = iR,

Vect({1,−1}) = R, et Vect({1, i}) = C.

Les Vect vu dans : Rn sont des exemples de Vect au sens general. Parexemple, F = Vect {(1, 0,−1), (0, 1,−1)} dans R3.

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L’ensemble des solutions de l’equation differentielle homogeney ′ + y = 0 s’ecrit comme un Vect, donc c’est un sous-espace vectorielde F(R,R).

Plus generalement, l’ensemble des solutions d’une equationdifferentielle lineaire homogene d’ordre 1 (respectivement d’ordre 2)est une droite vectorielle (resp. un plan vectoriel).

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Somme de deux sous-espaces vectoriels

Definition

Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E . L’ensembleF + G = {u + v , u ∈ F , v ∈ G} est un sous-espace vectoriel de E qu’onappelle la somme des sous-espaces vectoriels F et G .

Autrement dit, F + G est l’ensemble des vecteurs qui peuvent sedecomposer en la somme d’un element de F et d’un element de G .

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Demonstration.

Soit w ,w ′ ∈ F + G , et a, b ∈ K. Par definition, il existe u, u′ ∈ F etv , v ′ ∈ G tels que w = u + v etw ′ = u′ + v ′. Comme F et G sontinclus dans E et que l’addition est interne a E , w est bien un elementde E . Donc F + G ⊂ E .

On a

a.w + b.w ′ = a.u + a.v + b.u′ + b.v ′ = (a.u + b.u′)︸ ︷︷ ︸∈F

+ (a.v + b.v ′)︸ ︷︷ ︸∈G

En effet : u, u′ ∈ F qui est un s.e.v donc a.u + b.u′ ∈ F . De memea.v + b.v ′ ∈ G . Donc a.w + b.w ′ ∈ F + G .

Enfin, 0E ∈ F et 0E ∈ G car ce sont des s.e.v, donc0E = 0E + 0E ∈ F + G .

On a F + G ⊂ E , 0E ∈ F + G et∀w ,w ′ ∈ F + G , ∀a, b ∈ K, a.w + b.w ′ ∈ F + G , donc F + G est unun sous-espace vectoriel de E .

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Definition

On dit que deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont supplementairessi tout vecteur de E peut se decomposer de facon unique comme sommed’un vecteur de F et d’un vecteur de G .

Theoreme

Les sous-espaces vectoriels F et G sont supplementaires si, et seulement si,

F + G = E et F ∩ G = {0E}.

Dans ce cas, on note E = F ⊕ G .

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Demonstration. ⇒ Si F et G sont supplementaires, alors tout vecteurde E est la somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G , doncF + G = E . Soit x ∈ F ∩G . On peut ecrire x = x + 0E (x ∈ F et 0E ∈ G )et x = 0E + x (0E ∈ F et x ∈ G ). Comme la decomposition est unique, on

a x = 0E et ainsi F ∩ G = {0E}.⇐ Soit F et G deux sous-espaces vectoriels tels que F + G = E et

F ∩ G = {0E}. Tout vecteur de E peut s’ecrire comme la somme d’unvecteur de F et d’un vecteur de G . Supposons que le vecteur w possededeux decompositions

w = u1 + v1 = u2 + v2 avec u1, u2 ∈ F , et v1, v2 ∈ G .

On a alors u1 − u2 = v2 − v1. Or u1 − u2 ∈ F et v2 − v1 ∈ G donc levecteur u1 − u2 = v2 − v1 appartient a F ∩ G = {0E}. On a donc u1 = u2

et v1 = v2, autrement dit la decomposition est donc unique et F et G sontsupplementaires.

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Exemples:

1 Dans le plan vectoriel, deux droites vectorielles distinctes formentdeux s.e.v. supplementaires.

2 Dans l’espace vectoriel de dimension 3, un plan vectoriel et une droitevectorielle n’appartenant pas a ce plan forment deux sous-espacesvectoriels supplementaires.

3 Soit E = F(R,R) et P l’ensemble des fonctions reelles paires et Il’ensemble des fonctions reelles impaires.Montrons que P et I sont deux sous-espaces vectorielssupplementaires de E .

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