View
0
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
GEN1101
คณตศาสตรในชวตประจาวน
Mathematics for Daily Life
(ฉบบแกไขสมบรณ ปการศกษา 6778)
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน
(ปกใน)
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน
คานา
เอกสารประกอบการสอนรายวชา GEN1101: คณตศาสตรในชวตประจาวน (Mathematics
for Daily Life) คณะผจดทาไดเรยบเรยงและแบงวชาเปน 6 บท ประกอบไปดวย การใหเหตผล
พBนทCและปรมาตร อตราสวน สดสวนและรอยละ การคานวณภาษในชวตประจาวน การประยกตใช
สมการและอสมการ และการประยกตใชความรทางสถต เพCอนาไปใชในการประกอบการเรยนการ
สอนสาหรบนกศกษาของมหาวทยาลยราชภฏเชยงราย ใหมความรความเขาใจในหลกการคานวณ
พBนฐาน และวธคดแกปญหาในชวตประจาวนโดยใชคณตศาสตรเปนเครCองมอในการแกปญหา
ตลอดจนเปนพBนฐานในการสอบเขารบราชการภายใตสานกงานคณะกรรมการขาราชการพลเรอน
(ก.พ.)
คณะผจดทาหวงเปนอยางยCงวาเอกสารประกอบการสอนเลมนB จกเปนประโยชนตอนกศกษา
และผสนใจทCวไป ตลอดจนปรบใชในชวตประจาวนไดอยางเหมาะสม
คณะผจดทา
255R
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน
สารบญ
หนา
คานา
สารบญ
บทท< 1 การใหเหตผล 1
การใหเหตผลแบบนรนย 3
การใหเหตผลแบบอปนย 12
แบบฝกหดทายบททC U 18
เอกสารอางอง 22
บทท< 2 พEนท<และปรมาตร 23
การหาเสนรอบรปและพBนทCของรปเรขาคณตสองมต 25
การหาพBนผวและปรมาตรของรปเรขาคณตสามมต 33
แบบฝกหดทายบททC W 44
เอกสารอางอง 49
บทท< 3 อตราสวน เศษสวน และรอยละ 50
อตราสวน 52
สดสวน 53
รอยละ 55
ดอกเบBย 57
แบบฝกหดทายบททC [ 61
เอกสารอางอง 69
บทท< 4 การคานวณภาษในชวตประจาวน 70
ภาษเงนไดบคคลธรรมดา 72
ภาษมลคาเพCม 84
แบบฝกหดทายบททC \ 89
เอกสารอางอง 97
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน
สารบญ (ตอ)
หนา
บทท< 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 98
สมการ 100
อสมการ 113
แบบฝกหดทายบททC ] 118
เอกสารอางอง 122
บทท< 6 การประยกตใชความรทางสถต 123
ความหมายของสถต 125
การแจกแจงความถC 133
การวดแนวโนมสสวนกลาง 135
การวดการกระจายของขอมล 138
ความนาจะเปน 142
การประยกตใชโปรแกรมสาเรจรปทางสถต 145
แบบฝกหดทายบททC ^ 156
เอกสารอางอง 168
บรรณานกรม 169
คณะผจดทา 171
บทท
การใหเหตผล เวลา 6 ชวโมง
สาระสาคญ /ความคดรวบยอด
การใหเหตผลมอย 2 แบบ คอการใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) และการ
ใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) การใหเหตผลแบบนรนยจะเรมดวยเหตหลก (Major
Premise) แลวตามดวยเหตรอง (Minor Premise) เมอพจารณาดความสมพนธระหวางเหตทงสอง
แลวจงสรปผล (Conclusion) สาหรบการใหเหตผลแบบอปนยนนจะประกอบดวยเหตหลายๆเหตท
อสระ และมความสาคญเทาๆกนไมมเหตใดเปนเหตหลกหรอเหตรอง ในทสดเหตเหลานนกรวมตว
กนอยในรปนยทวไป (Generalization) ซงเรยกวาผล
จดประสงคการเรยนร
1. เพอใหผเรยนสามารถใหเหตผลแบบนรนย และบอกไดวาการใหเหตผลนน
สมเหตสมผลหรอไมเพราะเหตใด
. เพอใหผเรยนสามารถใหเหตผลแบบอปนยได
. เ พอใหผ เ ร ยนสามารถนาการให เหตผลทงแบบนรนยและอปนยไปใชใน
ชวตประจาวนไดอยางเหมาะสม
เนอหา
1. การใหเหตผลแบบนรนย และการตรวจสอบความสมเหตสมผล
. การใหเหตผลแบบอปนย
กจกรรมประกอบการสอน
1. ผสอนบรรยายใหความร
2. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเนอหา
. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามทกาหนดไว
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 2
สอประกอบการสอน
1. เอกสารเนอหาประกอบการสอน
2. แบบฝกหด
การวดและการประเมนผล
1. ดานความร โดยการตรวจแบบฝกหด
2. ดานทกษะ/กระบวนการ โดยการสงเกตการใหเหตผล
3. คณลกษณะทพงประสงค โดยการสงเกตการมสวนรวมในการทากจกรรมการเรยน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 3
ธรรมชาตของคณตศาสตรนนจะประกอบดวยสองสวน สวนแรกคอโครงสรางทาง
คณตศาสตรซงไดแก คาอนยาม (Undefined Term) คานยาม (Defined Term) สจพจน (Postulate or
Axiom) และทฤษฎบท (Theorem) สวนทสองคอกระบวนการใหเหตผลซงเปนกระบวนการเรยบ
เรยงขอความหรอปรากฏการณตางๆใหเกดความสมพนธกน เพอสงผลใหขอความหรอ
ปรากฏการณเหลานนมความตอเนองกน จนทาใหเกดขอความใหมหรอปรากฏการณใหมขนมา
บางครงอาจกลาววากระบวนการใหเหตผล เปนกระบวนการทางจตทมนษยใชเปนเครองมอสอ
ความหมายกนดวยการเรยบเรยงขอเทจจรงทมอยกอนทเรยกวา เหต (Premise) แลวสรางขอเทจจรง
ใหมขนมาทเรยกวา ผล (Conclusion)
ในบทนจะศกษาในสวนของกระบวนการใหเหตผล มนษยใชการใหเหตผลเพอแสวงหา
ความรใหม การคดคนทางวทยาศาสตรและเทคโนโลย การวจย บางครงอาจใชคอมพวเตอรชวย
ในการวเคราะหขอมลเพอหาขอสรปทถกตองรวดเรว ปจจบนการใหเหตผลทมรปแบบทชดเจนนน
ม 2 แบบคอการใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) และการใหเหตผลแบบอปนย
(Inductive Reasoning)
การใหเหตผลแบบนรนย
การใหเหตผลแบบแบบนรนยเปนการใหเหตผลทประกอบดวยสองสวนคอสวนแรกเปน
ขอความทกาหนดขนกอนซงเรยกวาเหต (Premise) จะแยกเปนเหตหลก (Major Premise) และเหต
รอง(Minor Premise) สาหรบขอความทเปนเหตนจะนามาจากความรพนฐานทอาจเปน บทนยาม
ความเชอ ขอตกลงเบองตน กฎหรอทฤษฎบท เปนสวนทรมากอนแลวและยอมรบวาเปนจรง
สวนทสองเปนขอความทเกดขนมาภายหลงเรยกวาผล (Conclusion) ดงนนเมอมเหตและผลขนมา
ชดหนง ถาเหตบงคบใหเกดผล หรอผลเปนขอสรปทไดมาจากเหต เราเรยกการใหเหตผลนนวา
เปน การอางเหตผลอยางสมเหตสมผล (Valid Argument) ตรงกนขามถาเหตมไดบงคบใหเกดผล
กลาวคอผลอาจจะมาจากเหตหรอไมกได เราเรยกการใหเหตผลนนวาเปน การอางเหตผลอยางไม
สมเหตสมผล (Invalid Argument) ตอไปนเปนตวอยางของการใหเหตผลแบบนรนย
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 4
ตวอยางท 1 เหต 1. คนเชยงรายทกคนเปนคนภาคเหนอ
2. คนภาคเหนอทกคนเปนคนไทย
ผล คนเชยงรายทกคนเปนคนไทย
จากตวอยางท 1 เหตขอท 1 เปนเหตหลก และเหตขอท 2 เปนเหตรอง
ตวอยางท 2 เหต 1. รปสเหลยมมมฉากทกรปเปนรปสเหลยมดานขนาน
2. รปสเหลยมดานขนานทกรปเปนรปสเหลยม
ผล รปสเหลยมมมฉากทกรปเปนรปสเหลยม
ตวอยางท 3 เหต 1. นกศกษาทกคนเปนคนฉลาด
2. สมบรณเปนคนฉลาด
ผล สมบรณเปนนกศกษา
ตวอยางท 4 เหต 1. นกศกษาบางคนเปนคนสวย
2. คนผวขาวบางคนสวย
ผล นกศกษาบางคนเปนคนผวขาว
ตวอยางท 5 เหต 1. ไมมคนสายตาสนคนใดเปนนกบน
2. แดงเปนคนสายตาสน
ผล แดงไมเปนนกบน
ตวอยางท 6 เหต 1. ทก X เปน Y
2. ทก Y เปน Z
ผล ทก X เปน Z
จากตวอยางท 1 ถงตวอยางท 6 เปนการใหเหตผลแบบนรนยทงสน เมอมการใหเหตผล
แบบนรนยแลวเราตองการตรวจสอบวาเหตบงคบใหเกดผล หรอผลเปนขอสรปมาจากเหตหรอไม
เรยกวธการนวาการตรวจสอบความสมเหตสมผล (Testing the Validity) วธการหนงของการ
ตรวจสอบความสมเหตสมผลคอใชแผนภาพวงกลม (Circle Diagram) ทเรยกวา แผนภาพเวนนและ
ออยเลอร (Venn and Euler Diagram) เพอเปนการใหเกยรตแก จอหนเวนน (John Venn, 1834 –
1923) นกคณตศาสตรชาวองกฤษ ผศกษา และเลออนฮารด ออยเลอร (Leonhard Euler, 1707 –
1783) นกคณตศาสตรชาวสวส ผรเรมวธการน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 5
การตรวจสอบความสมเหตสมผลดวยวธใชแผนภาพเวนนและออยเลอร
การตรวจสอบความสมเหตสมผล ดวยวธใชแผนภาพเวนนและออยเลอรนน เราตอง
เขาใจการเขยนแผนภาพวงกลมเพอใชแทนขอความใน 4 แบบ ตอไปน
แบบท 1 ขอความ “ทกสงทเปน A จะเปน B” เขยนแทนดวยแผนภาพ
B
A
แบบท 2 ขอความ “ทกสงทเปน A จะไมเปน B” เขยนแทนดวยแผนภาพ
A B
แบบท 3 ขอความ “บางสงทเปน A จะเปน B” หรอ “บางสงทเปน B จะเปน A” เขยน
แทนดวยแผนภาพ
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 6
แบบท 4 ขอความ “บางสงทเปน A แตไมเปน B” เขยนแทนดวยแผนภาพ
ตวอยางท 7 จงตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใหเหตผลตอไปน
เหต 1. คนดทกคนเปนคนนานบถอ
2. คนนานบถอทกคนเปนคนซอสตย
ผล คนดทกคนเปนคนซอสตย
วธทา จากเหตขอ 1 จะไดแผนภาพท 1 เปน
คนด
คนนานบถอ
จากเหตขอ 2 จะไดแผนภาพท 2 เปน
คนนานบถอ
คนซอสตย
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 7
เมอนาเอาแผนภาพท 1 และแผนภาพท 2 มาเขยนเขาดวยกน จะไดแผนภาพท 3 ดงน
คนด
คนนานบถอ
คนซอสตย
เมอพจารณาแผนภาพท 3 พบวาทกจดในวงกลมของคนดจะอยในวงกลมของคนซอสตย
แสดงวา “คนดทกคนเปนคนซอสตย” ซงสอดคลองกบผลของการใหเหตผล ดงนน การใหเหตผล
นจงสมเหตสมผล
ตวอยางท 8 จงตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใหเหตผลตอไปน
เหต 1. สตวนาบางชนดเปนปลา
2. ปลาทงหมดเปนสตวทวายนาได
ผล สตวนาบางชนดเปนสตวทวายนาได
วธทา จากเหตขอ 1 จะไดแผนภาพท 1 เปน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 8
จากเหตขอ 2 จะไดแผนภาพท 2 เปน
สตวทวายนาได
ปลา
เมอนาเอาแผนภาพท 1 และแผนภาพท 2 มาเขยนเขาดวยกน จะไดแผนภาพท 3 สองแบบ ดงน
แบบท 1
สตวทวายนาได
แบบท 2
สตวทวายนาได
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 9
เมอพจารณาแผนภาพท 3 ทงแบบท 1 และแบบท 2 พบวาสวนทแรเงาจาเปนตองอยใน
วงกลมของสตวทวายนาไดเสมอ นนคอ “สตวนาบางชนดเปนสตวทวายนาได” ซงสอดคลองกบ
ผลของการใหเหตผล ดงนนการใหเหตผลนจงสมเหตสมผล
ตวอยางท 9 จงตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใหเหตผลตอไปน
เหต 1. ชาวรสเซยบางคนเปนชาวยโรป
2. ชาวรสเซยบางคนเปนชาวเอเซย
ผล ชาวยโรปบางคนเปนชาวเอเซย
วธทา จากเหตขอ 1 จะไดแผนภาพท 1 เปน
จากเหตขอ 2 จะไดแผนภาพท 2 เปน
เมอนาเอาแผนภาพท 1 และแผนภาพท 2 มาเขยนเขาดวยกน จะไดแผนภาพท 3 สแบบ ดงน
แบบท 1
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 10
แบบท 2
แบบท 3
แบบท 4
เมอพจารณาแผนภาพท 3 ทงแบบท 1 ถงแบบท 4 พบวาทกแบบสอดคลองกบเหตท 1 และ
เหตท 2 ทงหมด แตมแบบท 1 สามารถเขยนแผนภาพหลกเลยงไมใหจดบางจดของวงกลมชาว
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 11
ยโรปไปอยในวงกลมของชาวเอเซยได ดงนนการทสรปผลวา “ชาวยโรปบางคนเปนชาวเอเซย”
ไมจรงเสมอไป เพราะฉะนน การใหเหตผลนจงไมสมเหตสมผล
จากตวอยางท 9 ตอไปไมจาเปนตองเขยนแผนภาพท 3 ครบทกแบบกได เพยงแตเลอก
เขยนเฉพาะแบบททาใหผลไมเปนจรง กสามารถสรปไดวาการใหเหตผลนนไมสมเหตสมผล
ขอใหศกษาตวอยางท 10 ตอไปน
ตวอยางท 10 จงตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใหเหตผลตอไปน
เหต 1. ไมมนกตวใดอาศยอยในนา
2. นกทกชนดเปนสตวมปก
ผล สตวมปกบางตวอาศยอยในนา
วธทา จากเหตขอ 1 และขอ 2 สามารถเขยนแผนภาพไดดงน
นก สงทอาศย
สตวมปก อยในนา
จากแผนภาพทได เราสามารถหลกเลยงไมใหจดในวงกลมของสตวมปกเขาไปอยใน
วงกลมของสงทอาศยอยในนาได ทงๆทแผนภาพนยงคงสอดคลองกบเหตขอ 1 และขอ 2 ดงนน
การทสรปผลวา “สตวปกบางตวอาศยอยในนา” จงเปนการสรปทไมสมเหตสมผล
ขอสงเกตจากการใหเหตผลแบบนรนย เราตองพจารณาแผนภาพตามเหตในทกแบบท
เปนไปได ถาแผนภาพทกแบบสอดคลองและตรงกบผลสรปแสดงวาการใหเหตผลนน
สมเหตสมผลดงตวอยางท 7 และ 8 แตถามแผนภาพบางแบบไมสอดคลองกบผลสรป แสดงวาการ
ใหเหตผลนนไมสมเหตสมผล ดงตวอยางท 9
อนงจะเหนวาผลสรปทไดจากการใหเหตผลทสมเหตสมผล ไมจาเปนตองเปนจรงใน
ชวตประจาวนกได ขอใหพจารณาจากตวอยางท 11 ตอไปน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 12
ตวอยางท 11 จงตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใหเหตผลตอไปน
เหต 1. ไกทกตวเปนสตวปก
2. สตวปกทกตวเปนนก
ผล ไกทกตวเปนนก
วธทา จากเหตขอ 1 และขอ 2 สามารถเขยนแผนภาพไดดงน
ไก
สตวปก
นก
จากแผนภาพจะเหนวาทกจดในวงกลมของไกจาเปนตองอยในวงกลมของนกอยาง
หลกเลยงไมได ดงนนการใหเหตผลนสมเหตสมผล
การใหเหตผลแบบอปนย
การใหเหตผลแบบอปนยเปนการใหเหตผลโดยอาศยเหตหลายๆเหตแตละเหตเปนอสระ
ตอกน และมความสาคญเทาๆกน ไมมเหตใดเปนเหตหลกหรอเหตรองเหมอนกบการใหเหตผล
แบบนรนย เหตเหลานอาจไดมาจากการสงเกตหรอการทดลองหลายๆครงจนในทสดเหตเหลานน
กรวมตวกนอยในรปของขอสรปทเปนนยทวไปในภายหลง นกวทยาศาสตรหรอนกวจยมกใช
การใหเหตผลแบบอปนยเพอคนหากฎเกณฑ จะเหนวาการนาเอาขอสงเกตหรอผลการทดลองจาก
บางสวน มาสนบสนนใหไดขอความทวไปซงกนความไปถงทกสวนยอมไมสมเหตสมผล เพราะ
เปนการอนมานเกนสงทกาหนดใหดงนนการใหเหตผลแบบอปนยจงจาเปนตองมขอสงเกตหรอผล
การทดลองมากพอทจะเชอไดวาขอสรปนนเปนจรง เชนเราเคยเหนวาปลาสวนมากออกลกเปนไข
เราจงสรปวา “ปลาทกชนดออกลกเปนไข” ซงเปนเทจ เพราะมปลาบางชนดออกลกเปนตว เชน
ปลาหางนกยง เปนตน ทงนอาจเปนเพราะขอสงเกตมนอยเกนไป การใหเหตผลแบบอปนยถก
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 13
นามาใชคนควาในทางวทยาศาสตรหรอคณตศาสตร เชนขอสรปทวา “สารสกดจากสะเดาสามารถ
ใชเปนยากาจดแมลงศตรพชได” ขอสรปนมาจากการทดลองซากนหลายๆครงแลวไดผลตรงกน
ในทางคณตศาสตรใชการใหเหตผลแบบอปนยสรางสจพจน เชน เราทดลองลากเสนตรงสองเสน
บนระนาบใหตดกนจะตดกนไดเพยงจดเดยวเทานน ไมวาจะทดลองลากกครงกตาม เราจงสรปวา
“บนระนาบเสนตรงสองเสนตดกนจะตดกนเพยงจดเดยวเทานน” ใหศกษาตวอยางการใหเหตผล
แบบอปนยดงน
ตวอยางท 12 เหต 1. ดาปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง
2. ขาวปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง
3. เขยวปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง
4. แดงปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง
5. สมปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง
ผล คนทกคนทปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง
จากตวอยางท 12 จะเหนวาการใหเหตผลแบบอปนยนน เหตจะมกเหตกได โดยทวไปแลว
ตองมหลายๆเหต จนเปนทมนใจวาจะสามารถสรปไดถกตอง ซงเราพจารณาจากลกษณะท
คลายกนของเหตเหลานนมาเปนขอสรปในรปนยทวไป
ตวอยางท 13 เหต 1. คนทกคนตองตาย
2. นกทกตวตองตาย
3. สนขทกตวตองตาย
4. ตนไมทกตนตองตาย
5. ปลาทกตวตองตาย
ผล สงมชวตทกชนดตองตาย
ตวอยางท 14 เหต 1. 2 = 1(1 + 1)
2. 2 + 4 = 2(2 +1)
3. 2 + 4 + 6 = 3(3 +1)
4. 2 + 4 + 6 + 8 = 4(4 +1)
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 14
5. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 5(5 +1)
ผล 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 2n = n(n + 1) สาหรบ n ทกตวทเปนจานวน
เตมบวก
ตวอยางท 15 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย เพอหาสมการถดไปจากแบบรปสมการทกาหนดให
1. 1 = 1
2. 1 + 2 = 3
3. 1 + 2 + 3 = 6
4. 1 + 2 + 3 + 4 = 10
………………….. = ….
ตอบ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
ตวอยางท 16 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย เพอหาสมการถดไปจากแบบรปสมการทกาหนดให
1. (1 9) + 2 = 11
2. (12 9) + 3 = 111
3. (123 9) + 4 = 1,111
………………….. = ….
ตอบ (1,234 9) + 5 = 11,111
ตวอยางท 17 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย เพอหาสมการถดไปจากแบบรปสมการทกาหนดให
1. 9 9 = 81
2. 99 9 = 891
3. 999 9 = 8,991
………………….. = ….
ตอบ 9,999 9 = 89,991
ตวอยางท 18 ถาผลบวกของเลขโดดในแตละหลกของจานวนนบทมสามหลกหารดวย 3 ลงตวแลว
จงใชการใหเหตผลแบบอปนยสรปเกยวกบจานวนนบดงกลาว
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 15
วธทา สงเกตจานวนนบบางจานวนทมสามหลกและผลบวกของเลขโดดแตละหลกหารดวย 3
ลงตว ดงน
จานวนนบทมสามหลก ผลบวกของเลขโดดหารดวย 3 ลงตว ผลลพธของการหารจานวน
นบดวย 3
111 1 + 1 + 1 = 3 111 3 = 37
123 1 + 2 + 3 = 6 123 3 = 41
171 1 + 7 + 1 = 9 171 3 = 57
225 2 + 2 + 5 = 9 225 3 = 75
543 5 + 4 + 3 = 12 543 3 = 181
945 9 + 4 + 5 = 18 945 3 = 315
จากการสงเกตตวอยางของจานวนนบขางตนพบวา เมอผลบวกของเลขโดดในแตละหลก
ของจานวนนบนนหารดวย 3 ลงตว แลวจานวนนบดงกลาวกจะหารดวย 3 ลงตวเชนเดยวกน โดย
การใหเหตผลแบบอปนยจงสรปวา “ถาผลบวกของเลขโดดในแตละหลกของจานวนนบทมสาม
หลกหารดวย 3 ลงตว แลว จานวนนบนนจะหารดวย 3 ลงตว”
ตวอยางท 19 จงใชการใหเหตผลแบบอปนยเพอหาจานวนถดไป จากแบบรปของจานวนท
กาหนดใหในแตละขอตอไปน
(1) 4, 7, 10, 13, … (4) 102, 204, 306, …
(2) 2, 4, 8, 32, … (5) 2, 5, 11, 14, 20, …
(3) 11, 17, 22, 26, … (6) 2, 7, 23, 72, …
วธทา
(1) 4, 7, 10, 13, …
เพราะวา 4 + 3 = 7, 7 + 3 = 10, 10 + 3 = 13, ดงนนจานวนถดไปคอ 13 + 3 = 16
(2) 2, 4, 8, 32, …
เพราะวา 2 4 = 8, 4 8 = 32 ดงนนจานวนถดไปคอ 8 32 = 256
(3) 11, 17, 22, 26, …
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 16
เพราะวา 11 + 6 = 17, 17 + 5 = 22, 22 + 4 = 26 ดงนนจานวนถดไปคอ 26 + 3 = 29
(4) 102, 204, 306, …
เพราะวา 102 + 102 = 204, 204 + 102 = 306 ดงนนจานวนถดไปคอ 306 + 102 = 408
(5) 2, 5, 11, 14, 20, …
เพราะวา 2 + 3 = 5, 5 + 6 = 11, 11 + 3 = 14, 14 + 6 = 20 ดงนนจานวนถดไปคอ 20 + 3 = 23
(6) 2, 7, 23, 72, …
เพราะวา (2 3) + 1 = 7, (7 3) +2 = 23, (23 3) +3 = 72 ดงนนจานวนถดไปคอ (72 3) +
4 = 220
อยางไรกตามการใหเหตผลแบบอปนยเพอหาขอสรปหรอความจรงนน ไมจาเปนตองได
ขอสรปทถกตองเสมอไป เนองจากการใหเหตผลแบบอปนยเปนการสรปจากหลกฐานหรอ
ขอเทจจรงทมอยเทานน ขอสรปจะเชอถอไดมากนอยเพยงใด ขนอยกบหลกฐานหรอขอเทจจรงท
นามาอาง โดยมขอสงเกตดงน
1. จานวนหลกฐานหรอขอเทจจรงทนามาอางตองมจานวนมากพอ เชน จากแบบรปของ
2, 4, 6, X แลว X ควรเปนจานวนใด จากการสงเกตแบบรปอาจสรปตางกน ดงน
(1) ถา 2 + 2 = 4 และ 4 + 2 = 6 แลว X = 6 + 2 = 8
(2) ถา 2 + 4 = 6 แลว X = 4 + 6 = 10
(3) ถา (2 4) – 2 = 6 แลว X = (4 6) – 2 = 22
สาเหตทสรปตางกนเชนนเปนเพราะเรามขอเทจจรงเพยง 2, 4 และ 6 เทานน ซงมจานวน
นอยเกนไปทจะนาไปอปนยเพอหาคาของจานวน X นนเอง หรอถาเราไปรบประทานอาหารทราน
แหงหนงแลวเกดทองเสย เราจงสรปวาอาหารทกชนดทรานดงกลาวทาใหทองเสย เปนการสรปท
เชอถอไดนอยกวาการไปรบประทานอาหารทรานนบอยๆแลวทองเสยทกครง
2. ขอสรปของการใหเหตผลแบบอปนยอาจผดพลาดหรอเปนเทจได เชน ให
Fn = + 1 เมอเราทดลองแทนคา n ดวยจานวนนบ พบวา
F1 = + 1 = 5 เปนจานวนเฉพาะ
F2 = + 1 = 17 เปนจานวนเฉพาะ
F3 = + 1 = 257 เปนจานวนเฉพาะ
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 17
F4 = + 1 = 65,537 เปนจานวนเฉพาะ
จงใหเหตผลแบบอปนยสรปวา Fn = + 1 เปนจานวนเฉพาะสาหรบทกจานวนนบ n
ซงเปนการสรปทไมถกตอง เพราะ F5 = + 1 = 4,294,967,296 + 1 = 4,294,967,297 แต
4,294,967,297 641 = 6,700,417 ดงนน F5 ไมเปนจานวนเฉพาะ
สรป
การใหเหตผลมอย 2 แบบ คอการใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) และการ
ใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) การใหเหตผลแบบนรนยจะเรมดวยเหตหลก (Major
Premise) แลวตามดวยเหตรอง (Minor Premise) เมอพจารณาดความสมพนธระหวางเหตทงสอง
แลวจงสรปผล (Conclusion) เหตหลกและเหตรองอาจไดมาจากความรพนฐานทอาจเปน บทนยาม
ความเชอ ขอตกลงเบองตน กฎเกณฑหรอทฤษฎบท เปนสวนทรมากอนแลวและยอมรบวาเปน
จรง การใหเหตผลแบบนรนยสามารถตรวจสอบไดวาสมเหตสมผลหรอไมโดยใชแผนภาพ
วงกลมเวนนและออยเลอร ถาตรวจสอบแลวพบวาการใหเหตผลแบบนรนยสมเหตสมผล กมได
หมายความวาผลสรปนนจะเปนจรงในชวตประจาวนเสมอไป สาหรบการใหเหตผลแบบอปนย
นนจะประกอบดวยเหตหลายๆเหตทอสระและมความสาคญเทาๆกน ไมมเหตใดเปนเหตหลก
หรอเหตรอง เหตเหลานจะไดมาจากการสงเกตหรอการทดลองซาๆกนหลายๆครง ในทสดเหต
เหลานนกรวมตวกนอยในรปนยทวไป (Generalization) ซงเรยกวาผล การใหเหตผลแบบอปนยจะ
นาเชอถอมากยงขนถามจานวนขอสงเกตหรอผลการทดลองมากเพยงพอ แตบางครงขอสรปจาก
การใหเหตผลแบบอปนยอาจเปนเทจได
………………………………..
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 18
แบบฝกหดทายบทท 1
1. จงตรวจสอบการใหเหตผลแบบนรนยแตละขอตอไปนวาสมเหตสมผลหรอไม โดยใชแผนภาพ
วงกลมของเวนนและออยเลอร
1.1 เหต 1. นกทกตวบนได
2. สตวบางตวเปนนก
ผล สตวบางตวบนได
1.2 เหต 1. ชาวบานบางคนเปนคนขยน
2. ผหญงทงหมดเปนคนขยน
ผล ชาวบานบางคนเปนผหญง
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 19
1.3 เหต 1. กรรมกรทกคนทางานหนก
2. สมชาตเปนกรรมกร
ผล สมชาตทางานหนก
1.4 เหต 1. ไมมนกการเมองคนใดเปนคนขเกยจ
2. วชยไมเปนคนขเกยจ
ผล วชยเปนนกการเมอง
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 20
1.5 เหต 1. อาจารยทกคนไดคาจางมาก
2. สพจนไดคาจางมาก
ผล สพจนเปนอาจารย
2. จงใชการใหเหตผลแบบอปนย เพอหาสมการถดไปจากแบบรปสมการทกาหนดใหในแตละขอ
ตอไปน
2.1 1. 1 = 1
2. 1 + 3 = 4
3. 1 + 3 + 5 = 9
………………….. = ……….
2.2 1. 1 + 10 = 11
2. 1 + 10 + 100 = 111
3. 1 + 10 + 100 + 1,000 = 1,111
………………….. = ……….
2.3 1. 11 11 = 121
2. 111 111 = 12,321
3. 1,111 1,111 = 1,234,321
………………….. = ……….
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 21
2.4 1. 9 9 = 81
2. 909 9 = 8,181
3. 90,909 = 818,181
………………….. = ……….
2.5 1. (1 8) + 1 = 9
2. (12 8) + 2 = 98
3. (123 8) + 3 = 987
………………….. = ……….
2.6 1. 1,089 1 = 1,089
2. 1,089 2 = 2,178
3. 1,089 3 = 3,267
4. 1,089 4 = 4,356
………………….. = ……….
3. จงใชการใหเหตผลแบบอปนยเพอหาจานวนถดไป จากแบบรปของจานวนทกาหนดใหในแตละ
ขอตอไปน
3.1 2, 4, 8, 16, ……
3.2 3, 9, 4, 16, 5, ……
3.3 1, 2, 4, 8, ……
3.4 25, 24, 22, 19, ……
3.5 3, 10, 27, 68, ……
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 22
เอกสารอางอง
นพพร ธนะชยขนธ. (2543). คณตศาสตรพนฐาน. เชยงราย: คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย
มหาวทยาลยราชภฏเชยงราย.
การใหเหตผล.สบคนเมอ 4 พฤษภาคม 2557, จาก http://www. thaigoodview.com/node/18026
การใหเหตผล.สบคนเมอ 4 พฤษภาคม 2557, จาก ttp://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?
Leonhardy, A. (1960). College Algebra. Missouri: John Wiley & Sons.
Lipschuyz, S. & Hall, G. G. (1966). Finite Mathematics. New York : McGraw – Hill Book
Company.
บทท 2
พนทและปรมาตร เวลา 9 ชวโมง
สาระสาคญ /ความคดรวบยอด
ในชวตประจาวนเราใชความรทางเรขาคณต ในการหาพนท ระยะทาง และปรมาตร เชน การหา
ระยะทางระหวางจดสองจด การหาปรมาตรของนาในสระ การหาพนทของผนงทตองการปวอลลเปเปอร
เปนตน
จดประสงคการเรยนร
1. เพอใหผเรยนหาเสนรอบรปของรปเรขาคณตสองมตได
2. เพอใหผเรยนหาพนทของรปเรขาคณตสองมตได
3. เพอใหผเรยนหาพนทผวของรปเรขาคณตสามมตได
4. เพอใหผเรยนหาปรมาตรของรปเรขาคณตสามมตได
5. เพอใหผเรยนสามารถนาความรเรองพนทและปรมาตรไปใชในชวตประจาวนไดอยาง
เหมาะสม
เนอหา
1. การหาเสนรอบรปและพนทของรปเรขาคณตสองมต
. การหาพนทผวและปรมาตรของรปเรขาคณตสามมต
กจกรรมประกอบการสอน
1. ผสอนบรรยายใหความร
. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเนอหา
. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามทกาหนดไว
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 24
สอประกอบการสอน
1. เอกสารเนอหาประกอบการสอน
2. แบบฝกหด
การวดและการประเมนผล
1. ดานความร โดยการตรวจแบบฝกหด
2. ดานทกษะ/กระบวนการ โดยการใหเหตผล และการแกปญหา
3. คณลกษณะทพงประสงค โดยการสงเกตการมสวนรวมในการทากจกรรมการเรยน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 25
รปเรขาคณตสองมต มความกวาง ความยาว ใชแสดงขนาด แบงตามลกษณะของดาน
หรอขอบของรปนน เชน รปสามเหลยม รปสเหลยม รปหลายเหลยม หรอ รปวงกลม เปนตน
ตวอยางรปเรขาคณตสองมต
รปสามเหลยม รปสเหลยม รปหลายเหลยม รปวงกลม
รปเรขาคณตสามมต ใชแสดงรปราง เปนรปทรงสามมตทมฐานหรอหนาตดเปนรปตางๆ
เชน ทรงกระบอก ทรงกลม พระมด ทรงสเหลยมมมฉาก เปนตน
ตวอยางรปเรขาคณตสามมต
ทรงกระบอก ทรงกลม พระมด ทรงสเหลยมมมฉาก
การหาเสนรอบรปและพนทของรปเรขาคณตสองมต
สตรการหาเสนรอบรปของรปเรขาคณตสองมต
เสนรอบรปของสเหลยมจตรส = 4 × ความยาวดาน
เสนรอบรปของสเหลยมผนผา = 2 × (ดานกวาง + ดานยาว)
เสนรอบรปของรปวงกลม = r2 เมอ r คอความยาวของรศม
และ มคาประมาณ 14.3 หรอ 722
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 26
ตวอยางท 1 จงหาเสนรอบรปของรปทกาหนดใหตอไปน
1. รปสเหลยมจตรสทมความยาวของดานเทากบ 8 เซนตเมตร
2. รปสเหลยมผนผากวาง 12 เมตร ยาว 18 เมตร
3. รปวงกลมรศม 28 นว ( มคาประมาณ 722 )
วธทา
1. เสนรอบรปของสเหลยมจตรส = 4 × ความยาวดาน
= 4 × 8 เซนตเมตร
= 32 เซนตเมตร
2. เสนรอบรปของสเหลยมผนผา = 2 × (ดานกวาง + ดานยาว)
= 2 × (12 + 18) เมตร
= 60 เมตร
3. เสนรอบรปของรปวงกลม = r2 เมอ r คอความยาวของรศม
` 2 × 722 × 28 นว
176 นว
ตวอยางท 2 นายหนงมปญหาเรองนาหนกตว คณหมอจงส งใหเดนอยางนอยวนละ 1,500 เมตร
ถาในหมบานของนายหนงมสนามรปครงวงกลมดงรป นายหนงจะตองเดนอยางนอย
กรอบสนาม จงไดระยะทางตามทหมอสง ( มคาประมาณ 722 )
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 27
วธทา
จากรป วงกลมมเสนผานศนยกลางยาว 70 เมตร ดงนนรศม ยาว 35 เมตร
เสนรอบรปของรปวงกลม = r2 เมอ r คอความยาวของรศม
2 × 722 × 35 เมตร
220 เมตร
ถานายหนงเดนรอบสนาม 1 รอบ จะไดระยะทาง 2220 + 70 180 เมตร
คณหมอสงนายหนงใหเดนอยางนอยวนละ 1,500 เมตร
ดงนน นายหนงจะตองเดนรอบสนามอยางนอย 180500,1 9 รอบ จงไดระยะทางตามท
หมอสง
หนวยการวดความยาว
หนวยการวดความยาวทสาคญ ซงผเรยนควรรจกมดงน
เมตร เทากบ เซนตเมตร
กโลเมตร เทากบ , เมตร
ฟต เทากบ 2 นว
วา เทากบ 2 เมตร
นว เทากบ 2.54 เซนตเมตร (โดยประมาณ)
ไมล เทากบ 1.6093 กโลเมตร (โดยประมาณ)
ตวอยางท 3 สหรถ สงคปรชา นกแสดงทมชอเสยงสง 180 เซนตเมตร สวนโรเจอร เฟเดอเรอร
เปนนกเทนนสอาชพชาวสวส สง 6 ฟต 1 นว อยากทราบวาใครสงกวากน และสงกวา
เทาไร
วธทา
เนองจาก ฟต เทากบ 2 นว
ดงนน โรเจอร เฟเดอเรอร สง 6 ฟต 1 นว เทากบ ( 6 × 12 ) + 1 = 73 นว
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 28
เนองจาก นว เทากบ 2.54 เซนตเมตรโดยประมาณ
ดงนน โรเจอร เฟเดอเรอร สงประมาณ 73 × 2.54 185.42 เซนตเมตร
แตสหรถ สงคปรชา สง 180 เซนตเมตร
นนคอ โรเจอร เฟเดอเรอร สงกวา สหรถ ประมาณ 185.42 – 180 5.42 เซนตเมตร
ตวอยางท 4 ผาปโตะรปสเหลยมผนผากวาง 85 เซนตเมตร ยาว 1.5 เมตร ตองการตดผาลกไมรอบ
ชายผาทงหมด ตองใชผาลกไมยาวกเมตร
วธทา
เนองจาก 100 เซนตเมตร เทากบ 1 เมตร
ดงนนผาปโตะรปสเหลยมผนผากวาง 85 เซนตเมตร เทากบ 0.85 เมตร
เสนรอบรปของสเหลยมผนผา = 2 × (ดานกวาง + ดานยาว)
= 2 × (0.85 + 1.5) เมตร
= 4.7 เมตร
ถาตองการตดผาลกไมรอบชายผาทงหมด ตองใชผาลกไมยาว 4.7 เมตร
สตรการหาพนทของรปเรขาคณตสองมต
พนทรปสเหลยมจตรส = ดาน ดาน
พนทรปสเหลยมผนผา = ดานกวาง ดานยาว
พนทของรปสเหลยมดานขนาน = ความยาวของฐาน ความสง
พนทของรปสเหลยมขนมเปยกปน = 21 ผลคณความยาวเสนทแยงมม
พนทสเหลยมคางหม = 21 สง ผลบวกดานคขนาน
พนทสเหลยมใดๆ = 21 ความยาวของเสนทแยงมม ผลบวก
ของ เสนกงทตงฉากกบเสนทแยงมมนน
พนทรปสามเหลยม = 21 สง ฐาน
พนทของรปวงกลม = 2
r เมอ r คอความยาวของรศม
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 29
ตวอยางท 5 จงหาพนทของรปทกาหนดใหตอไปน
วธทา
จากรปทกาหนดให แบงเปน 2 รปเลก
Iณ
รปท 1 เปนพนทรปสเหลยมผนผา กวาง 2 เซนตเมตร ยาว 3 เซนตเมตร
พนทรปสเหลยมผนผา = ดานกวาง ดานยาว
= 2 3 ตารางเซนตเมตร
= 6 ตารางเซนตเมตร
รปท 2 เปนพนทรปสเหลยมผนผา กวาง 2 เซนตเมตร ยาว 7 เซนตเมตร
พนทรปสเหลยมผนผา = ดานกวาง ดานยาว
= 2 7 ตารางเซนตเมตร
= 14 ตารางเซนตเมตร
ดงนนพนทของรปทกาหนดให = 6 + 14 = 20 ตารางเซนตเมตร
3 ซม.
2 ซม.
2 ซม. 2 ซม.
7 ซม.
3 ซม.
2 ซม.
2 ซม. 2 ซม.
7 ซม.
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 30
ตวอยางท 6 จงหาพนทของรปทกาหนดใหตอไปน
วธทา
จากรปทกาหนดให แบงเปน 2 รปเลก
รปท 1 เปนพนทรปสเหลยมผนผา BCDG กวาง 4 เซนตเมตร ยาว 12 เซนตเมตร
พนทรปสเหลยมผนผา = ดานกวาง ดานยาว
= 4 12 ตารางเซนตเมตร
= 48 ตารางเซนตเมตร
รปท 2 เปนพนทรปสเหลยมคางหม AFEG มดาน AF และGE เปนดานคขนาน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 31
พนทสเหลยมคางหม = 21 สง ผลบวกดานคขนาน
= 21 6 (5 + 9) ตารางเซนตเมตร
= 42 ตารางเซนตเมตร
ดงนนพนทของรปทกาหนดให = 48 + 42 = 90 ตารางเซนตเมตร
ตวอยางท 7 ถาจางคนตดหญาในสนามรปวงกลมรศม 14 เมตร ในราคาตารางเมตรละ 1.50 บาท
จะเสยคาตดหญาทงหมดเทาไร ( มคาประมาณ 722 )
วธทา
พนทของรปวงกลม = 2
r เมอ r คอความยาวของรศม
722 × 14 × 14 ตารางเมตร
616 ตารางเมตร
ถาจางคนตดหญาราคาตารางเมตรละ 1.50 บาท
ดงนนตองเสยเงนคาตดหญาทงหมด 616 × 1.50 = 924 บาท
หนวยการวดพนท
หนวยการวดพนททสาคญ ซงผเรยนควรรจกมดงน
ตารางเมตร เทากบ , ตารางเซนตเมตร
ตารางกโลเมตร เทากบ , , ตารางเมตร
ตารางฟต เทากบ ตารางนว
ไร เทากบ งาน
งาน เทากบ ตารางวา
ไร เทากบ ตารางวา
ตารางวา เทากบ ตารางเมตร
ตารางกโลเมตร เทากบ ไร
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 32
ตวอยางท 8 ทดนแปลงหนงเปนรปสเหลยมผนผา มพนท 1 ไร 2 งาน 84 ตารางวา และกวาง 48
เมตร ทดนแปลงนยาวกเมตร
วธทา
ทดน 1 ไร 2 งาน 84 ตารางวา คดเปนพนท 684 ตารางวา
พนท ตารางวา เทากบ ตารางเมตร
ดงนนพนท 684 ตารางวา เทากบ 68 × 4 = 2,736 ตารางเมตร
ทดนกวาง 48 เมตร
ดงนน ทดนแปลงนยาว 48736,2
= 57 เมตร
ตวอยางท 9 บรเวณทเลยงมาแหงหนงเปนรปสเหลยมผนผา มพนท 2 ไร 16 ตารางวา มความ
กวาง 24 วา ถาจะซอลวดหนามมาลอมทดนแหงน ลวดหนามทจะใชขง 1 รอบตอง
ยาวอยางนอยทสด กเมตร
วธทา
ทดน 2 ไร 16 ตารางวาคดเปนพนท 816 ตารางวา
ทดนกวาง 24 วา
พนทรปสเหลยมผนผา = ดานกวาง ดานยาว
ดงนน ทดนแหงนยาว 24816 = 34 วา
เสนรอบรปของสเหลยมผนผา = 2 × (ดานกวาง + ดานยาว)
= 2 × (24 + 34 ) วา
= 116 วา
เนองจากความยาว วา เทากบ 2 เมตร
ดงนนลวดหนามทจะใชขง 1 รอบตองยาวอยางนอยทสด 116 × 2 = 232 เมตร
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 33
ตวอยางท 10 สนามฟตบอลรปสเหลยมผนผา กวาง 35 วา ยาว 65 วา ผรบเหมาตดหญาคดคาตด
หญาตารางเมตรละ 0.75 บาท จะตองเสยคาตดหญาเปนเงนเทาไร
วธทา
สนามฟตบอลมความกวาง 35 วา และความยาว 65 วา
ดงนน สนามฟตบอลมพนทเปน 35 × 65 = 2,275 ตารางวา
เนองจาก ตารางวา เทากบ ตารางเมตร
นนคอ สนามฟตบอลผนนมพนทเปน 2,275 × 4 = 9,100 ตารางเมตร
ดงนน เสยคาตดหญาเปนเงน 9,100 × 0.75 = 6,825 บาท
การหาพนทผวและปรมาตรของรปเรขาคณตสามมต
สตรการหาพนทผวของรปเรขาคณตสามมต
พนทผวของทรงสเหลยมมมฉาก = พนทผวขาง + (2 × พนทฐาน)
พนทผวขางของทรงสเหลยมมมฉาก = ความยาวรอบฐาน × ความสง
พนทผวของทรงกระบอก = พนทผวขาง + (2 × พนทฐาน)
= rh2 + (2 × 2
r )
เมอ r คอรศมปากกระบอก
และ h คอความสงของทรงกระบอก
พนทผวของทรงกลม = 2
r4 เมอ r คอความยาวรศมของทรงกลม
ตวอยางท 11 จงหาพนทผวของรปเรขาคณตสามมตทกาหนดใหตอไปน
1. ทรงกระบอกสง 11 เซนตเมตร รศมของฐาน 2.5 เซนตเมตร
2. รปทรงกลม มรศม 27 เซนตเมตร ( มคาประมาณ 3.14)
วธทา 1. พนทผวของทรงกระบอก = พนทผวขาง + (2 × พนทฐาน)
= rh2 + (2 × 2
r )
(2 × 3.14 × 2.5 × 11)+ (2 × 3.14 × 2.5 × 2.5)
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 34
211.95 ตารางเซนตเมตร
2. พนทผวของทรงกลม = 2
r4
4 × 3.14 × 27 × 27 ตารางเซนตเมตร
9,156.24 ตารางเซนตเมตร
ตวอยางท 2 ลงไมเปดทรงสเหลยมมมฉาก มดานกวาง 2 เมตร ยาว 3 เมตร และสง เมตร
ถาตองการทาสภายนอกทงหาดาน บรเวณททาสจะมพนทเทาใด
วธทา
ลงไมทรงสเหลยมมมฉาก มดานกวาง 2 เมตร ยาว 3 เมตร และสง เมตร
ผนงลงไมเปนรปสเหลยมมมฉากมสดาน ดานทอยตรงขามกนจะมพนทเทากน
จะไดพนทของผนงลงไมคหนง = (ความกวาง ความสง)
= 2 (2 )
= 4 ตารางเมตร
พนทของผนงลงไมอกคหนง = (ความยาว ความสง)
= 2 (3 )
= 6 ตารางเมตร
พนทของพน = ความกวาง ความยาว
= 2 3
= 6 ตารางเมตร
ดงนน บรเวณททาสทงหาดาน มพนท = 4 + 6 + 6 = 16 ตารางเมตร
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 35
ตวอยางท 13 แจนตองการทากลองเหลกทรงลกบาศกยาวดานละ 10 นว ถาแผนเหลกราคา
ตารางนวละ 25 บาท แจนตองซอแผนเหลกเปนเงนเทาไรเพอทากลองใบน
วธทา
ทรงลกบาศกคอทรงสเหลยมมมฉากทมความกวาง ความยาว และความสงเทากน
พนทผวของทรงสเหลยมมมฉาก = พนทผวขาง + (2 × พนทฐาน)
= (ความยาวรอบฐาน × ความสง) + (2×พนทฐาน)
= ((10 + 10 + 10 + 10) × 10) + (2 × (10 × 10))
= 600 ตารางนว
ถาแผนเหลกราคาตารางนวละ 25 บาท
ดงนน แจนตองซอแผนเหลกเปนเงน 600 × 25 = 15,000 บาท
สตรการหาปรมาตรของรปเรขาคณตสามมต
ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก = พนทฐาน × ความสง
ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก = ความกวาง ความยาว × ความสง
ปรมาตรของทรงกระบอก = hr2
เมอ r คอรศมปากกระบอก
และ h คอความสงของทรงกระบอก
ปรมาตรของทรงกลม = 3πr34 เมอ r คอความยาวรศมของทรงกลม
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 36
ตวอยางท 14 จงหาปรมาตรของทรงกลมซงมรศม 27 เซนตเมตร ( มคาประมาณ 3.14)
วธทา
ปรมาตรของทรงกลม = 3πr34 เมอ r คอความยาวรศมของทรงกลม
34 × 3.14 × 27 × 27 × 27 ลกบาศกเซนตเมตร
82,406.16 ลกบาศกเซนตเมตร
ตวอยางท 15 จงหาปรมาตรของรปทรงตอไปน (ความยาวทกาหนดใหมหนวยเปนเซนตเมตร)
วธทา
พจารณารปทรงทกาหนดให แบงออกเปนสองสวนปรซมสเหลยมมมฉากและปรซม
สามเหลยมมมฉาก
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 37
ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก = ความกวาง ความยาว × ความสง
ปรซมสเหลยมมมฉากมปรมาตร = 12 6 4 ลกบาศกเซนตเมตร
= 768 ลกบาศกเซนตเมตร
ปรมาตรของปรซมสามเหลยมมมฉาก = พนทฐาน × ความสง
= ( 21 สง ฐาน) × ความสง
= ( 21 8 16) × 12 ลกบาศกเซนตเมตร
= 768 ลกบาศกเซนตเมตร
ดงนน ปรมาตรของรปทรงนเทากบ 768 + 768 = 1,536 ลกบาศกเซนตเมตร
ตวอยางท 6 แกวทรงกระบอกใบหนงมรศม 7 เซนตเมตร สง 14 เซนตเมตร ใสนาไวเตม เมอ
หยอนโลหะทรงกลมลงไปในแกวแลวนาโลหะออก พบวา เหลอนาในแกว ครงหนง
โลหะชนดน มปรมาตรเทาไร ( มคาประมาณ 722 )
วธทา ปรมาตรของทรงกระบอก = hr2
722 × 7 × 7 × 14 ลกบาศกเซนตเมตร
ดงนน แกวใบนมนาอย 2,156 ลกบาศกเซนตเมตร
ถาหยอนโลหะทรงกลมลงไปในแกวแลวนาโลหะออก พบวา เหลอนาในแกว ครงหนง
จะไดวา ปรมาตรนาทหายไปครงหนงคอ ปรมาตรของโลหะทรงกลม
ดงนนโลหะชนดน มปรมาตรประมาณ 2156,2
1,078 ลกบาศกเซนตเมตร
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 38
หนวยการวดปรมาตร
หนวยการวดปรมาตรทสาคญ ซงผเรยนควรรจกมดงน
ลกบาศกเมตร เทากบ , , ลกบาศกเซนตเมตร
ลตร เทากบ , ลกบาศกเซนตเมตร
ลกบาศกเมตร เทากบ , ลตร
ถวยตวง เทากบ ออนซ
ชอนชา เทากบ ลกบาศกเซนตเมตร (โดยประมาณ)
ถวยตวง เทากบ ลกบาศกเซนตเมตร
ตวอยางท 7 อมอนดมนมวนละ ขวด ขวดละ 12 ออนซ ในแตละวนอมอนไดดมนมกลกบาศก
เซนตเมตร
วธทา นม ขวด ขวดละ 12 ออนซ คดเปนนม 24 ออนซ
เนองจาก ออนซ เทากบ ถวยตวง
นม ขวด ขวดละ 12 ออนซ คดเปนนม 3 ถวยตวง
เนองจาก ถวยตวง เทากบ ลกบาศกเซนตเมตร
ดงนน นม 3 ถวยตวง คดเปนนม 3 × 240 = 720 ลกบาศกเซนตเมตร
นนคอ อมอนดมนมวนละ 72 ลกบาศกเซนตเมตร
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 39
ตวอยางท 8 กลองพลาสตกทรงสเหลยมมมฉากใบหนงกวาง 7 เซนตเมตร ยาว .5 เมตร สง
. เมตร กลองนจะมความจกลตร
วธทา
ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก = ความกวาง ความยาว ความสง
ขนาดของกลอง กวาง 7 เซนตเมตร
ยาว .5 เมตร = 5 เซนตเมตร
สง . เมตร = เซนตเมตร
กลองใบนมปรมาตร = 7 5
= 1, 6 , ลกบาศกเซนตเมตร
ปรมาตร , ลกบาศกเซนตเมตร เทากบ ลตร
ดงนน กลองใบนมความจเทากบ 000,1000,260,1
= 1,260 ลตร
ตวอยางท 19 โคมไฟฟาแกวรปทรงกลมมรศมภายนอก 2 เซนตเมตร แกวหนา . เซนตเมตร
จงหาปรมาตรของแกวทใชทาโคมไฟฟาน ( มคาประมาณ 3.14)
วธทา
โคมไฟฟาแกวรปทรงกลมมรศม 2 เซนตเมตร
แกวหนา . เซนตเมตร
รศมภายใน = 12 – 0.3 = 11.7 เซนตเมตร
ปรมาตรของทรงกลม = 3πr34 เมอ r คอความยาวรศมทรงกลม
ดงนน ปรมาตรของโคมไฟฟารวมชองวางภายในดวย
34 × 3.14 × 12 × 12 × 12 ลกบาศกเซนตเมตร
7,234.56 ลกบาศกเซนตเมตร
ปรมาตรของชองวางภายใน 34 × 3.14 × 11.7 × 11.7 × 11.7
6,705.42 ลกบาศกเซนตเมตร
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 40
ดงนน แกวทใชทาโคมไฟฟานมปรมาตร 7,234.56 – 6,705.42
529.14 ลกบาศกเซนตเมตร
ตวอยางท 20 ทอเหลกกลวงทรงกระบอกยาว 21 เซนตเมตร หนา 1 เซนตเมตร มเสนผาน
ศนยกลาง 16 เซนตเมตร จงหาปรมาตรของเหลกทใชทาทอ ( มคาประมาณ
722 )
r 1
14 R = 8
r = 7
16
วธทา
ปรมาตรของทรงกระบอก = hr2
ปรมาตรทอกลวง = hR2 – hr
2
= ( 82 21) – ( 72 21)
= 1,344 – 1,029
= 315
315 722 990 ลกบาศกเซนตเมตร
ดงนน ปรมาตรเหลกทใชทาทอประมาณ 990 ลกบาศกเซนตเมตร
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 41
ตวอยางท 21 ระบายนาจากบอนาใหญเขาบอปลาทรงสเหลยมมมฉากซงมพนทฐาน 5,400 ตาราง
ฟต ถาระบายนาเขาบอปลาไดนาทละ 300 ลกบาศกฟต ตองใชเวลานานเทาไร ระดบ
นาในบอปลาจงจะสงขน 20 นว
วธทา
ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก = พนทฐาน × ความสง
บอปลาทรงสเหลยมมมฉากมพนทฐาน 5,400 ตารางฟต
ถาระบายนาเขาบอปลาไดนาทละ 300 ลกบาศกฟต
ดงนน ใน 1 นาท ระดบนาในบอปลาจะสงขน 400,5300 = 18
1 ฟต
เนองจาก ฟต เทากบ 2 นว
ดงนน ใน 1 นาท ระดบนาในบอปลาจะสงขน 181 × 12 = 3
2 นว
ถาตองการใหระดบนาในบอปลาสงขน 20 นว
จะตองใชเวลาระบายนาเขาบอปลา = 3220 = 20 × 2
3 = 30 นาท
ตวอยางท 22 แทงเหลก ขนาดกวาง 10 เซนตเมตร ยาว 32 เซนตเมตรสง 0.5 เมตรนามาหลอม
เพอหลอเปนลกเปตองเหลกทมเสนผานศนยกลางยาว 8 เซนตเมตร จะไดทงหมด
ประมาณกลก ( มคาประมาณ 3.14)
วธทา
ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก = ความกวาง ความยาว × ความสง
ขนาดของแทงเหลก กวาง 1 เซนตเมตร
ยาว 32 เซนตเมตร
สง 0.5 เมตร = 5 เซนตเมตร
แทงเหลกนมปรมาตร = 1 32 5
= 16, ลกบาศกเซนตเมตร
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 42
ปรมาตรของทรงกลม = 3πr34 เมอ r คอความยาวรศมของทรงกลม
34 × 3.14 × 4 × 4 × 4 ลกบาศกเซนตเมตร
ลกเปตองเหลกหนงลกมปรมาตร 267.95 ลกบาศกเซนตเมตร
เมอนาแทงเหลกมาหลอม เพอหลอเปนลกเปตองจะไดทงหมด 95.267
000,16 59 ลก
สรป
รปเรขาคณตสองมต มสตรการหาเสนรอบรปและการหาพนท ดงน
เสนรอบรปของสเหลยมจตรส = 4 × ความยาวดาน
เสนรอบรปของสเหลยมผนผา = 2 × (ดานกวาง + ดานยาว)
เสนรอบรปของรปวงกลม = r2 เมอ r คอความยาวของรศม
พนทรปสเหลยมจตรส = ดาน ดาน
พนทรปสเหลยมผนผา = ดานกวาง ดานยาว
พนทของรปสเหลยมดานขนาน = ความยาวของฐาน ความสง
พนทของรปสเหลยมขนมเปยกปน = 21 ผลคณความยาวเสนทแยงมม
พนทสเหลยมคางหม = 21 สง ผลบวกดานคขนาน
พนทสเหลยมใดๆ = 21 ความยาวของเสนทแยงมม
ผลบวกของเสนกงทตงฉากกบเสนทแยงมมนน
พนทรปสามเหลยม = 21 สง ฐาน
พนทของรปวงกลม = 2
r เมอ r คอความยาวของรศม
รปเรขาคณตสามมต มสตรการหาพนทผวและการหาปรมาตร ดงน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 43
พนทผวของทรงสเหลยมมมฉาก = พนทผวขาง + (2 × พนทฐาน)
พนทผวขางของทรงสเหลยมมมฉาก = ความยาวรอบฐาน × ความสง
พนทผวของทรงกระบอก = พนทผวขาง + (2 × พนทฐาน)
= rh2 + (2 × 2
r )
พนทผวของทรงกลม = 2
r4
ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก = พนทฐาน × ความสง
ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก = ความกวาง ความยาว × ความสง
ปรมาตรของทรงกระบอก = hr2
ปรมาตรของทรงกลม = 3πr34
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 44
แบบฝกหดทายบทท 2
1. ทดนแปลงหนงเปนรปสเหลยมจตรสยาวดานละ 24 เมตร ตองการปลกตนไผรอบทดนแหงน
โดยปลกหางกนตนละ 2 เมตร จะตองใชตนไผทงหมดกตน
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………,
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
2. สวนขนดหนงเปนรปสเหลยมจตรสมพนท 7,396 ตารางเมตร สวนนยาวดานละกวา
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 45
3. ฝาผนงรปสเหลยมผนผามความกวาง 3.5 เมตร ยาว 5 เมตร มหนาตางรปสเหลยมจตรสยาวดาน
ละ 80 เซนตเมตรอย 2 บานถาตองการทาสผนงหองโดยไมทาสหนาตาง จะตองทาสเปนพนท
เทาไร
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
4. กรอบรปอนหนงมกรอบทาดวยไมสก วดขอบรอบนอกได กวาง 42 นว ยาว 54 นว ขอบไมกวาง
3 นว จงหาวาบรเวณทเปนภาพมพนทกตารางฟต
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 46
5. นายหนมตองการเดนออกกาลงกายอยางนอยวนละ 1 กโลเมตร ถาในหมบานของนายหนมม
สนามหญารปวงกลมทมเสนผานศนยกลาง 50 เมตร นายหนมจะตองเดนอยางนอยกรอบสนาม
จงไดระยะทางตามทตองการ (π มคาประมาณ 3.14 )
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
6. นาทพยตองการซอดนมาถมสนามหญาหนาบานซงเปนรปสเหลยมมมฉากกวาง 18 เมตร ยาว 22
เมตร โดยยกระดบสงกวาระดบเดม 35 เซนตเมตร ถารถบรรทกดนคนหนงมกระบะบรรทกยาว
3.5 เมตร กวาง 2 เมตร สง 1 เมตร จะตองซอดนอยางนอยกคน
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 47
7. แมนาสายหนงลก 9 เมตร กวาง 175 เมตร โดยเฉลยนาไหลลงทะเลดวยอตราเรวประมาณ 4.5
กโลเมตรตอชวโมง จงหาปรมาตรนาทไหลลงทะเลใน 1 วนาท
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
8. ถงเกบนาฝนทรงกระบอกของบานหลงหนงสง 3 เมตร วดเสนรอบวงภายในไดเทากบ 3.14 เมตร
ถงใบนเกบนาฝนไวไดมากทสดเทาใด (π มคาประมาณ 3.14 )
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 48
9. ลกฟตบอลลกหนงวดความยาวรอบวงกลมใหญได 66 เซนตเมตร ถาลกฟตบอลทาดวยหนงหนา
0.5 เซนตเมตร จะจลมไดกลกบาศกเซนตเมตร ( มคาประมาณ 722 )
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
10. ทอนาทรงกระบอกสองทอทาจากวสดชนดเดยวกน มความหนาสมาเสมอ ทอทหนงยาว 42
เซนตเมตร เสนผานศนยกลางภายในยาว 60 เซนตเมตร ทอทสองยาว 90 เซนตเมตร เสนผาน
ศนยกลางภายในยาว 40 เซนตเมตร ถาปลอยใหนาไหลผานทอพรอมกน จงหาวาทอนาใดมนา
ไหลผานไดมากกวา (π มคาประมาณ 3.14 )
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 49
เอกสารอางอง
สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย,สถาบน. (2553). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน
คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตร
หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.
ลาดพราว.
สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย,สถาบน. (2552). หนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐาน
คณตศาสตร เลม 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 3 ตามหลกสตร
หลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544. กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.ลาดพราว.
คณตศาสตรในชวตประจาวน.สบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://goo.gl/XQblon
คณตศาสตรในชวตประจาวน.สบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://goo.gl/K9NeYG
บทท 3
อตราสวน สดสวนและรอยละ เวลา 6 ชวโมง
สาระสาคญ /ความคดรวบยอด
อตราสวน เปนการเปรยบเทยบจานวนตงแตสองจานวนขนไป ซงเขยนอยในรปทวไป
คอ ba : หรอ ba
ในการเขยนอตราสวนนยมเขยนใหอยในรปอตราสวนอยางตา สวนการหา
อตราสวนทเทากบอตราสวนทกาหนดใหนน หาไดโดยใชการคณหรอการหารดวยจานวนเดยวกน
และการตรวจสอบการเทากนของอตราสวนอาจจะใชวธการคณไขว และการเปรยบเทยบจานวน
ตงแตสามจานวนขนไปในรปอตราสวนนน ตองทาใหอตราสวนนนๆ เปนอตราสวนเดยวกน จงจะ
เปรยบเทยบกนได
สดสวน เปนการเขยนแสดงการเทากนของสองอตราสวน การหาคาตวแปรในสดสวนหา
ไดโดยใชวธการคณ วธการหาร และวธการคณไขว
รอยละ เปนอตราสวนทมจานวนหลงหรอมตวสวนเปน 100 นยมเรยกวา เปอรเซนต เรา
สามารถเปลยนอตราสวนใหเปนรอยละ หรอเปลยนรอยละใหเปนอตราสวนได
จดประสงคการเรยนร
1. เพอใหผเรยนเขาใจความหมายของอตราสวน สดสวน และรอยละ
2. เพอใหผเรยนหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทกาหนดใหได
3. เพอใหผเรยนใชความรเรองอตราสวน สดสวน หาคาของตวแปรทตองการได
4. เพอใหผเรยนเขยนอตราสวนใหอยในรปรอยละและเขยนรอยละใหอยในรปอตราสวน
ได
5. เพอใหผเรยนสามารถแกโจทยปญหาและตรวจสอบคาตอบเกยวกบอตราสวน สดสวน
รอยละ และดอกเบยได
เนอหา
1. อตราสวนและการแกปญหา
2. สดสวนและการแกปญหา
3. รอยละ ดอกเบยและการแกปญหา
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 51
กจกรรมประกอบการสอน
1. ผสอนบรรยายใหความร
2. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเนอหา
3. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามทกาหนดไว
สอประกอบการสอน
1. เอกสารเนอหาประกอบการสอน
2. แบบฝกหด
การวดและการประเมนผล
1. ดานความร โดยการตรวจแบบฝกหด
2. ดานทกษะกระบวนการ โดยการสงเกตการใหเหตผล
3. คณลกษณะทพงประสงค โดยการสงเกตการมสวนรวมในการทากจกรรมการเรยน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 52
อตราสวน (Ratio) และ สดสวน (Proportion) เปนเครองมอทใชในการเปรยบเทยบหรอ
หาคาทเกดจากการเปรยบเทยบสงตางๆอาท การผสมสารเคมกาจดวชพช ทตองเปรยบเทยบปรมาณ
สารเคมกบปรมาณนา หรอการประกอบอาหาร ทตองเปรยบเทยบปรมาณเครองปรง และวตถดบ
เปนตน ซงหาไดโดยใชการคณหรอการหารดวยจานวนเดยวกน และการตรวจสอบการเทากนของ
อตราสวน และเราสามารถเปลยนอตราสวนใหเปนรอยละ รอยละ (Percent) โดยทาใหเปน
อตราสวนทมจานวนหลงหรอมตวสวนเปน 100 ซงเราสามารถประยกต ใชกบปญหาเรอง ดอกเบย
(Interest) ซงม 2 แบบคอ ดอกเบยเชงเดยว (Simple Interest) และดอกเบยทบตน (Compound
Interest) ซงปญหาเหลานสามารถเจอไดในชวตประจาวน
อตราสวน
อตราสวนเปนการเปรยบเทยบของสงหนงตอของอกสงหนงทมหนวยอยางเดยวกน เชน
a: b อานวา a ตอ b หรอ ba
ตวอยางท 1 ในการเปรยบเทยบความสงของคนสองคนระหวางนายสมภพ ซม. และนาง
สมหวง ซม. ดงนนความสงของนายสมภพตอความสงของนางสมหวง คอ
ตอ หรอเขยนเปน
นายสมภพ : นางสมหวง = : หรอ นางสมหวง : นายสมภพ = 70 : 5
ตวอยางท 2 จากการสารวจจานวนระหวางผใชรถยนต ผใชรถจกรยานยนต และผใชรถจกรยาน
ในมหาวทยาลยราชภฏเชยงราย มขอมลดงตอไปน
ประเภทของยานพาหนะ จานวนผใช(คน)
รถจกรยานยนต 4,030
รถยนต 1,601
รถจกรยาน 598
ดงนน อตราสวนระหวางผใชรถจกรยานยนตกบรถยนต คอ 4,030 : 1,601
อตราสวนระหวางผใชรถจกรยานยนตกบรถจกรยาน คอ 4,030 : 598
อตราสวนระหวางผใชรถยนตกบรถจกรยาน คอ 1,601 : 598
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 53
15x2
310x
3102xx
1032
อตราสวนระหวางผใชรถยนตกบผใชยานพาหนะ คอ 1,601 : 6,229
อตราสวนระหวางผใชรถยนต รถจกรยานและรถจกรยาน คอ 1,601 : 598 : 4,030
อตราสวนทเทากน
อตราสวนทแสดงอตราเดยวกน
ตวอยางท 3 จาก ตวอยาง 1 ทาใหเราไดวาอตราสวนทเทากนกบของคาตอบของตวอยางท 1 คอ
150 : 170 = 15 : 17 = 30 : 34 เปนตน
สดสวน
ประโยคสญลกษณทแสดงการเทากนของ 2 อตราสวน เชน a : b = c : d อานวา
a ตอb เทากบ c ตอ d
ตวอยางท 4 ถาสดสวน x:103:2 จงหาคาของ x
วธทา จดรปใหมได
การแกปญหาโจทยสดสวน
1. อานโจทยใหเขาใจวาโจทยตองการอะไร และใหขอมลอะไรมาบาง
2. สมมตตวแปร แทนสงทตองการ
3. เขยนเปนสดสวน (เปลยนประโยคภาษาไทยใหเปนประโยคสญลกษณ)
4. หาคาตวแปรในสดสวน
5. ตรวจสอบคาตอบ (นาคาตอบทไดไปแทนคาในโจทย) เพอความไมประมาท
15010 : 17010 1505 : 1705
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 54
20x9
454 x
45x
94
ตวอยางท 5 การผสมปนใชปนซเมนตและทรายผสมกนดวยอตราสวน 4 : 5 ถาตองการปนฉาบ
45 ถง จะตองใชปนซเมนตและทรายอยางละเทาไร
วธทา ปนซเมนตและทรายมอตราสวน 4 : 5
ปรมาณปนฉาบทงหมดเทากบ 4 + 5 = 9 ปนซเมนตตอปนฉาบทงหมดคอ 4 ตอ 5
สมมตให ปนซเมนต จานวน x ถงดงนน
ใชปนซเมนตจานวน 20 ถง ใชทราย จานวน 45 - 20 = 5 ถง
ตวอยางท 6 ในการผสมเครองดมชนดหนงจะตองใชอตราสวนดงน สารเอทลแอลกอฮอล 2 สวน
ตอ โซดา 8 สวน และ อตราสวนระหวาง โซดา ตอ นาทมกรดซตรกผสมอย เปน 4
: 1 จงหาวาถาตองการผลตเครองดมชนดน 4,800 มลลลตร จะตองใช โซดากลตร
วธทา ดงนน สารเอทลแอลกอฮอล : โซดา = 2 : 8 ………………….(1)
และ นาทมกรดซตรกผสมอย : โซดา = 1 : 4 ...……………….(2)
นา ( ) คณดวย 2 จะได นาทมกรดซตรกผสมอย : โซดา = 2 : 8
ดงนน สารเอทลแอลกอฮอล : โซดา : นาทมกรดซตรกผสมอย = 2:8:2
ใหสารทงสามชนดมหนวยเปนมลลลตร ดงนนเครองดมชนดนจะเกดจาก สาร
เอทลแอลกอฮอล 2 มลลลตร โซดา 8 มลลลตร และนาทมกรดซตรกผสมอย 2 มลลลตร ทาให
เครองดมชนดนมปรมาตร 2 + 8 + 2 = 12 มลลลตร แตจากโจทยตองการ 4,800 มลลลตรดงนน
จะตองเพมอตราสวนอยางละ 40012
4800 ทาใหไดอตราสวนใหมเปน
สารเอทลแอลกอฮอล : โซดา : นาทมกรดซตรกผสมอย = 4002:4008:4002
= 800 : 3200 : 800
ดงนน ตองใชโซดา 3,200 มลลตร
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 55
รอยละ
อตราสวนทมจานวนหลง หรอจานวนทสองเปน 100 เชน :100 หมายถง รอยละ
หรอ %
ตวอยางท 7 3.5% ของ เทากบเทาไร
วธทา ให x เปนจานวนทตองการ
จดในรปอตราสวนได 800
x1003.5
x100
8003.5
28x
ดงนน 3.5% ของ 800 เทากบ 28
ตวอยางท 8 20 เปนกเปอรเซนตของ 1000
วธทา ใหจานวนทตองการคอ x
จดในรปอตราสวนได 1000
20100
x
1000
10020x
2x
ดงนน 20 เปนกเปอรเซนตของ 1000 คอ 2
ตวอยางท 9 7 เปน % ของจานวนใด
วธทา ให x เปนจานวนทตองการ
จดในรปอตราสวนได x
32710075
75
100327x
436x
ดงนน 327 เปน 75% ของ 436
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 56
ตวอยางท 10 บวขาวไดรบสวนแบงทดนจากการเปดพนยกรรมของครอบครวโดยทบวขาวไดทดน
จานวน 237 ไรซงคดเปนรอยละ 15 ของจานวนทดนในพนยกรรม จงหาวาทดน
ทงหมดในพนยกรรมมจานวนกไร
วธทา ให x เปนจานวนทดนทงหมด
จดในรปอตราสวนได x
23710015
15
100237x
1,580x
ดงนน ทดนทงหมดในพนยกรรมเทากบ 1,580 ไร
ตวอยางท 11 นายพงกางกบนางสาวพงยอยรบประทานอาหารในรานอาหารบฟเฟตปงยางแบบ
เกาหลโดยมราคาหนาราน 320 บาทตอคน แตมคาภาษมลคาเพม 15 % แตเนองจาก
เปนวนจนทรทางรานจงลดให 25 % จากราคาปายหนาราน จงหาวานายพงกางกบ
นางสาวพงยอยจะตองจายเงนเปนจานวนกบาท
วธทา ขนตอนท 1 หาราคาทตองจายหลงจากทางรานลดราคา 25 %
ทาให จาย 75% จากราคาปายหนาราน
ดงนน 320x
10075
100
32075x
240x
ขนตอนท 2 หาราคาทตองจายจรงหลงจากรวมภาษมลคาเพมทาให จาย 115% จากราคา
240 (ราคาทลดแลว)
ดงนน 240x
100115
100
240115x
276x
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 57
แตเนองจากม 2 คน จงตองจาย 552 บาท
ดอกเบย
ในโลกเราทกวนน แทบจะกลาวไดวาไมมผใดไมรจกคาวา “ดอกเบย” ทงนเพราะในการ
ดารงชวตปจจบนของคนเรามกเกยวของกบเงนเปนสวนใหญ ทงในเรองการนาเงนไปลงทน หรอ
ใหผอนกยมไปใชประโยชนกตาม ซงแนนอนวาผลงทนหรอผใหกยอมตองการผลตอบแทนจาก
การลงทนหรอการใหกนน ผลตอบแทนดงกลาวนเองทเราเรยกวา “ดอกเบย” ดอกเบยสามารถแบง
ออกเปน 2 ประเภท คอ
1. ดอกเบยเชงเดยว หมายถง ดอกเบยทคดจากเงนตนเรมแรก ซงจานวนดอกเบยดงกลาว
จะคงทเทากนทกปซง
สตรทวไปในการคานวณหาดอกเบยเชงเดยว ดงน
trP I
โดย I แทน จานวนดอกเบย
P แทน เงนตน
r แทน อตราดอกเบย
t แทน ระยะเวลา
และจะไดสตรในการคานวณหาเงนรวมซงประกอบไปดวยเงนตนและอตราดอกเบย ดงน
S = P+ I
โดยท S คอ เงนรวมหรอเงนทลกหนจะตองชาระคนแกเจาหนทงเงนตนและดอกเบย
หมายเหต : ในการคานวณดอกเบยเชงเดยวน มขอสงเกตทควรทราบดงน
1. คา r เปนอตราดอกเบยรอยละ ดงนน การแทนคาในสตรจะตองหารดวย 100 เสมอ เชน
ถากาหนดวา อตราดอกเบยคอ 15% ในสตร กจะตองแทนคา เปน 10015
หรอ 0.15
2. คา r และ t จะตองสมพนธกน เชน ถา r คออตราดอกเบยตอเดอน คา t ตองทาใหม
หนวยเปนเดอนดวย ถา r คอ อตราดอกเบยตอป คา t กจะตองทาใหมหนวยเปนปดวย
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 58
ตวอยางท 12 ขดศลกเงนจากแหลงเงนกนอกระบบทชอวาพระพกตรโลหตมา 100,000 บาท เปน
เวลา 3 ปมาแลว โดยทพระพกตรโลหตคดดอกเบยเชงเดยวในอตรา 15% อยากทราบ
วาขดศลจะตองใชหนทงเงนตนและดอกเบยรวมเปนเงนเทาไร
วธทา ขนท 1 หาดอกเบย
สตร trP I
จากโจทย P = 100,000 บาท t = 3 ป r = 15%
ดงนน I = 10015
3100,000
นนคอดอกเบยเทากบ 45,000 บาท
ขนท 2 เงนตนและดอกเบยรวม
สตร S = P + I
ดงนน = 100,000 + 45,000
= 145,000
เพราะฉะนนขดศลจะตองใชหนพระพกตรโลหตทงเงนตนและดอกเบยรวมเปนเงน 145,000 บาท
2. ดอกเบยทบตน หมายถง ดอกเบยทคดจากเงนตนเรมแรกบวกกบดอกเบยทไดรบในแต
ละงวดทผานมาโดยมแนวคดวาไดมการนาจานวนดอกเบยทไดรบในงวดกอน ๆ นนไปลงทนตอ
อนจะมผลใหดอกเบยทคานวณไดเพมขนทกปตามเงนตนทเพมขนนน
การคานวณดอกเบยทบตนจะยงยากกวาการคานวณดอกเบยเชงเดยว เพราะเงนตนทนามา
คดดอกเบยในแตละปจะไมเทากนและนอกจากน ในวงการธรกจประเภทตางๆ กยงนยมคด
ดอกเบยทบตนตอชวงเวลาทแตกตางกนอกดวย เชน อาจจะคดดอกเบยทบตนตอป ตอครงป ตอ
เดอนจนไปถงตอวนกได อกทงในการลงทนบางอยาง ผลตอบแทนกวาจะไดรบใชเวลาหลายปมาก
ดงนน จงมการคดสตรทวไปในการหาดอกเบยทบตน ดงน
ถากาหนดให P แทน เงนตน
i แทน อตราดอกเบยตองวด
n แทน จานวนงวดทงหมด
Sn แทน เงนรวมปลายงวดท n
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 59
สตรท วไปในการคานวณหาเงนรวมในปท n หรอมลคาของเงนตนจานวนหนงท
ฝากเมอตนปท 1 เปนเวลา n ป อตราดอกเบย i % ตอป โดยทผฝากจะไมมการรบดอกเบย
ไปใชกอนถงกาหนดเวลา ดงน
Sn = P (1+i) n
และสตรท วไปทใชคานวณหาดอกเบยทบตน ไดดงน
I = Sn- P
โดยท I คอ จานวนดอกเบยทบตนทตองการหา
หมายเหต : ในการคานวณหาเงนรวมและดอกเบยทบตน มข อสงเกตทควรทราบ
คอ คา i และ n จะตองสมพนธก น เชน ถา i คออตราดอกเบยตอเดอน n กต องนบเปน
จานวนเดอนดวย หรอ ถา i คออตราดอกเบยตอ 6 เดอน n กตองนบจานวนงวดโดยท 1 งวด
คอ 6 เดอนดวย แตเนองจากคา i มกนยมคดเปนตอป ดงนน เพอใหสอดคลองกบคา n จงใชสตร
ดงน
อตราดอกเบยตองวด (i) = อตราดอกเบยตอปทกาหนด
จานวนครงทคดดอกเบยใน 1 ป
สวนจานวนงวด กสามารถทาได ดงน
จานวนงวดทงหมด (n) = จานวนครงทคดดอกเบยใน 1 ป จานวนปทกยม
ตวอยางท 13 นายบญตระกลฝากเงนไวทธนาคารแหงหนงเปนจานวนเงน 100,000 บาท อตรา
ดอกเบย 7% ตอป โดยธนาคารจะคดดอกเบยแบบทบตนใหทก ๆ 6 เดอน ถานายบญ
ตระกลฝากเงนไวเปนเวลา 5 ปแลวโดยทไมไดถอนเงนเลย อยากทราบวา
ก.นายบญตระกลจะมเงนในบญชเทาไร
ข.นายบญตระกลไดรบดอกเบยจานวนเทาไร
วธทา ก. สตร Sn = P 1 i n
จากโจทย P = 100,000 บาท
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 60
i = 2
0.07= 0.035
n = 2 5 = 10 งวด
แทนคา Sn = 100,000(1 + 0.035)10
= 100,000(1.4106)
ดงนนเงนในบญชเทากบ 141,060 บาท
ข. สตร I = Sn - P
จากโจทย P = 100,000 บาท
Sn = 141,060 บาท
แทนคา I = 141,060 - 100,000
ไดรบดอกเบยจานวนเทากบ 41,060 บาท
สรป
ในการเปรยบเทยบนนวชาคณตศาสตรไดมระเบยบวธทใชเปรยบเทยบ ซงเรยกวา
อตราสวน ซงเปนการเปรยบเทยบจานวนตงแตสองจานวนขนไป และเขยนอยในรปทวไปคอ
ba : หรอ ba
ในการเขยนอตราสวนนยมเขยนใหอยในรปอตราสวนอยางตา สวนการหาอตราสวน
ทเทากบอตราสวนทกาหนดใหนน หาไดโดยใชการคณหรอการหารดวยจานวนเดยวกน และการ
ตรวจสอบการเทากนของอตราสวนอาจจะใชวธการคณไขว และการเปรยบเทยบจานวนตงแตสาม
จานวนขนไปในรปอตราสวนนน ตองทาใหอตราสวนนนๆ เปนอตราสวนเดยวกน จงจะ
เปรยบเทยบกนได และการเขยนแสดงการเทากนของสองอตราสวน เราเรยกวา สดสวนซงจะใช
แกปญหาในการหาคาตอบของตวแปรทเกดจากอตราสวน และอตราสวนทเราคนเคยอกหนงกคอ
รอยละ ซงเปนอตราสวนทมจานวนหลงหรอมตวสวนเปน 100 เราสามารถเปลยนอตราสวนใหเปน
รอยละ หรอเปลยนรอยละใหเปนอตราสวนได และประโยชนของรอยละยงใชแกปญหาเกยวกบ
ดอกเบยไดอกดวย
………………………………………….
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 61
แบบฝกหดทายบทท 3
1.โตโนแบงเงนใหหลาน 2 คน โดยใหอตราสวนคนโตตอคนเลกเปน 5 : 4 ถาโตโนมเงน 630,000
บาท หลานแตละคนจะไดรบสวนแบงคนละเทาไร
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………...
2.ในสวนของลกเกดมตนมะมวง 54
ของจานวนตนชมพจงหา
2.1 อตราสวนระหวางจานวนตนมะมวงตอจานวนตนชมพ
……………..…………………………………………………………………………………….
2.2 ถามตนมะมวง ตน จะมชมพกตน
……………..…………………………………………………………………………………….
2.3 ถามตน ชมพ ตน จะมมะมวงกตน
……………..…………………………………………………………………………………….
2.4 ถาในสวนนมตนมะมวงและตนชมพรวมกน ตน จะมมะมวงและตนชมพอยางละกตน
……………..…………………………………………………………………………………….
……………..…………………………………………………………………………………….
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 62
3.ในโรงงานแหงหนง อตราสวนของจานวนพนกงานชายตอเครองจกรเปน 3 : 2 และอตราสวน
พนกงานหญง ตอเครองจกรเปน 5 : 3 จงหาอตราสวนของเครองจกรตอจานวนพนกงานชายตอ
จานวนพนงงานหญง
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
4. แบงเงนจานวนหนงใหออย อน ออม อน ในอตราสวน ออย : อน = 1 : 2 ,อน : ออม = 4 : 3 และ
ออม: อน = 5 : 4 จงหาถาอนมเงน 240 บาท แตละออยและออมจะมเงนตางกนกบาท
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………...
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 63
5. บรษทบญสนกเกดจากการลงทนของ สมสนก และ แสนสนก คนละ 480,000 บาท และ 400,000
บาทตามลาดบ ตอมา สมสนกขายหนใหนกสนก และทาใหจานวนหนของ สมสนก และ แสนสนก
เทากน จงตอบคาถามตอไปน
5.1 จงหาวานกสนกถอหนรอยละเทาไรของบรษท
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
5.2 ถากาไรของบรษทเปน 1,200,000 บาท สมสนกจะไดเงนปนผลกบาท
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………...
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 64
6. ทดนแปลงหนงใชพนทสาหรบอยอาศยตอพนทเกบกกนาเปนอตราสวน 2 : 3 ใชพนทสาหรบ
เกบกกตอพนทเพาะปลกเปนอตราสวน 4 : 15 ถาทดนแปลงนมพนท 455 ไร จะเปนทอยอาศย ท
เกบกกนา และพนทเพาะปลกอยางละกไร
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
7. นาผลไมรวมบรรจขวดปรมาตร 200 ลบ.ซม. มสวนผสมของ นาสม:นาแครอท:นาตาล เทากบ
3 : 2 : 1 ถาตองการนาผลไมรวม 250 ขวด ตองใชนาสมก ลบ.ซม.
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………...
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 65
8.โรงเรยนมอตราสวนของนกเรยนชายตอนกเรยนหญงเปน 5 : 7 โดยมนกเรยนหญงมากกวา
นกเรยนชายอย 264 คน และตองจายเงนคานมกลองละ 11.50 บาท สาหรบนกเรยนทกคน ดงนน
ตองจายเงนเทาใด
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
9.จงหาคาของแตละขอ
9.1 40% ของ 30 เปนเทาใด
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
9.2 5.2% ของ 950 เปนเทาใด
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
9.3 93 เปน 20% ของจานวนใด
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 66
10. เสรไดคานายหนาจากการขายทดน 5% จากราคาขาย 850,000 บาท เสรจะไดคานายหนาขาย
ทดนไดกบาท
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….......
11. ขายของชนแรกไดกาไร 10% ขายชนทสองไดกาไร 20% ถาตนทนของชนแรกเปนสองเทาของ
ชนทสอง จงหาวาขายของทงสองชนไดกาไรกเปอรเซนต
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………...
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 67
12.ลดดาซอเสอมาตวหนงราคา 450 บาท แลวขายใหวนเพญไดกาไร 10 % วนเพญขายตอใหมาล
โดยไดกาไร 5 % ถาลนดาขายใหมาลเทากบราคาทวนเพญขายใหมาล ลนดาจะไดกาไรกเปอรเซนต
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
13.โรงงานตงราคาเสอไว 240 บาท ใหสวนลดแกรานคา % ของราคาทตงไว รานคาปลกลดใหผ
ซอ 10% ของราคาโรงงาน จงหาวารานไดกาไรกเปอรเซนต
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………...
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 68
14. นายวนชยฝากเงน 10,000 บาทไวกบธนาคารแหงหนงซงธนาคารแหงนนใหดอกเบยในอตรา
12 % ตอป โดยคดดอกเบยปละ 3 ครงแบบทบตน ถานายวนชยฝากเงนไวครบ 5 ป เขาจะไดรบเงน
คนจานวนเทาใด และจานวนดอกเบยทเขาไดรบนนเปนเงนเทาไร
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
15. นายเจนณรงคกเงนธนาคารเปนจานวนเงน 480,000 บาทโดยธนาคารคดดอกเบย 7.5%ตอป เมอ
เวลาผานไประยะหนงนายเจนณรงคไปตรวจสอบดทธนาคาร ปรากฏวาธนาคารแจงวานายเจน
ณรงคเปนหนธนาคารเปนจานวนเงนทงสน 498,000 บาท อยากทราบวา นายเจนณรงคไดกเงนจาก
ธนาคารเปนเวลานานเทาใด
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 69
เอกสารอางอง
การคานวณดอกเบย.สบคนเมอ 1 มถนายน 2557, จาก http://www. .or.th/th/serviceunderbot
ดอกเบย.สบคนเมอ 30 พฤษภาคม 2557, จาก http://www.bot.or.th
อตราดอกเบย.สบคนเมอ 1 มถนายน 2557, จาก https://www.tmbbank.com
Kellison, Stephen G. (1970). The Theory of Interest. Richard D. Irwin, Inc. Library of Congress
Catalog Card No. 79-98251.
บทท� 4
การคานวณภาษในชวตประจาวน เวลา 6 ช�วโมง
สาระสาคญ /ความคดรวบยอด
ภาษเงนไดบคคลธรรมดา เปนภาษท�รฐจดเกบจากผท�มรายไดซ� งไดมาในรปแบบตาง ๆ
ในทางกฎหมายไดแยกประเภทของเงนไดบคคลธรรมดาไว ในมาตรา 40 (1) – (8) การคานวณหก
คาใชจาย และการคานวณหกลดหยอนภาษ ซ� งเปนตวบทกฎหมายท�ตองศกษา จากน7นจงคานวณ
ภาษเงนไดบคคลธรรมดา โดยผเสยภาษมหนาท�ย�นแบบแสดงภาษโดยใชแบบ ภ.ง.ด. 90 หรอ
ภ.ง.ด. 91 ตามท�กฎหมายกาหนด สาหรบภาษมลคาเพ�ม (Value added tax) เปนภาษตาม ประมวล
รษฎากร เปนภาษทางออมท�จดเกบจากการขายสนคาหรอการใหบรการโดยผ มหนาท� เสย
ภาษมลคาเพ�ม ไดแก ผขายสนคาและผใหบรการ โดยผขายสนคาและผใหบรการสามารถเรยกเกบ
ไดจากผซ7อสนคาหรอผรบบรการตามอตราภาษท�กาหนด ซ� งปจจบนอตราภาษมลคาเพ�มมอตรารอย
ละ 7 ของมลคาสนคาหรอบรการ
จดประสงคการเรยนร
1. เพ�อใหผเรยนสามารถคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดาตามแบบ ภ.ง.ด. 90 และ ภ.ง.ด.91
ได
2. เพ�อใหผเรยนสามารถคานวณภาษมลคาเพ�มได
3. เพ�อใหผเรยนสามารถนาความรในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดาและการคานวณ
ภาษมลคาเพ�มไปใชในชวตประจาวนไดอยางเหมาะสม
เน*อหา
1. ภาษเงนไดบคคลธรรมดาตามแบบ ภ.ง.ด. 90 และ ภ.ง.ด. 91
J. ภาษมลคาเพ�ม
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 71
กจกรรมประกอบการสอน
1. ผสอนบรรยายใหความร
2. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเน7อหา
O. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามท�กาหนดไว
ส�อประกอบการสอน
1. เอกสารเน7อหาประกอบการสอน
2. แบบฝกหด
การวดและการประเมนผล
1. ดานความร โดยการตรวจแบบฝกหด
2. ดา นทก ษ ะ /ก ระ บ วนก า ร โ ดย ก า รส ง เ ก ตก า รแกป ญหา แ ล ะ ก า รใ ห เ ห ตผ ล
3. คณลกษณะท�พงประสงค โดยการสงเกตการมสวนรวมในการทากจกรรมการเรยน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 72
ภาษเปนรายรบประเภทรายไดของรฐบาลท�ถอวาสาคญอยางย�งและเปนยอดรายรบท�สง
ท�สดเม�อเทยบกบรายรบอ�นๆ ท�รฐบาลจะไดมาเพ�อใชในการพฒนาประเทศ ซ� งมการจดเกบ
หลากหลายประเภทตางกนออกไปตามประมวลกฎหมาย โดยภาษท�รฐบาลจดเกบและเปนภาษท�
สาคญมากประเภทหน�ง คอรายไดท�เปนภาษอากร เปนรายไดท�รฐบาลบงคบเกบจากประชาชนโดย
อาศยอานาจทางกฎหมาย ประชาชนของชาตท�มรายไดตามท�กฎหมายกาหนดจงตองเสยภาษเพ�อ
เปนรายไดของรฐบาลท�นาไปใชในการพฒนาประเทศเพ�อใหประชาชนมความเปนอยด มงานทา ม
ความม�นคง และมความปลอดภยในชวตและทรพยสน
ในบทน7 จะศกษาภาษท�เก�ยวของกบประชาชนและสาคญกบผมเงนไดซ� งไดมาจากการ
ประกอบอาชพท�ว ๆ ไป คอ ภาษเงนไดบคคลธรรมดา (ภ.ง.ด. 90 – ภ.ง.ด. 91) และภาษมลคาเพ�ม
(VAT)
ภาษเงนไดบคคลธรรมดา
ภาษเงนไดบคคลธรรมดา คอ ภาษท�จดเกบจากบคคลท�วไป หรอจากหนวยภาษท�ม
ลกษณะพเศษ ตามท�กฎหมายกาหนดและมรายไดเกดข7นตามเกณฑท�กาหนด โดยปกตจดเกบเปน
รายป รายไดท�เกดข7นในปใด ๆ ผมรายไดมหนาท�ตองนาไปแสดงรายการตนเองตามแบบแสดง
รายการภาษท�กาหนดภายในเดอนมกราคม ถง เดอนมนาคมของปถดไป โดยการย�นแบบแบงเปน 2
ประเภท คอ แบบแสดงรายการภาษเงนไดบคคลธรรมดา ภ.ง.ด. 90 และ แบบแสดงรายการภาษเงน
ไดบคคลธรรมดา ภ.ง.ด. 91 โดยผมหนาท�ย�นแบบ ภ.ง.ด. 90 และ ภ.ง.ด. 91 มรายละเอยดดงน7
ผมหนาท�ย�นแบบ ภ.ง.ด. 90 ไดแก ผมเงนไดพงประเมนตามมาตรา 40 (1) - (8) แหง
ประมวลรษฎากรหลายประเภทหรอประเภทเดยว (แตมใชเงนไดตามมาตรา 40 (1) แหงประมวล
รษฎากรประเภทเดยว) ตามเกณฑตอไปน7
1. ผมเงนไดจากการทาธรกจการคาท�วไปท�มใชเกดจากการจางแรงงานท�ไดรบในป
ภาษน7น (ต7งแต 1 มกราคม ถง 31 ธนวาคม)
2. กรณไมมคสมรสตองมเงนไดพงประเมนเกน 30,000 บาท
3. กรณมคสมรสไมวาฝายเดยวหรอท7งสองฝาย ตองมเงนไดพงประเมนรวมกน เกน
60,000 บาท
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 73
ผมหนาท�ย�นแบบ ภ.ง.ด. 91 ไดแก ผมเงนไดจากการจางแรงงาน ตามมาตรา 40 (1) แหง
ประมวลรษฎากรประเภทเดยว ตามเกณตตอไปน7
1. ผมเงนไดจากการจางแรงงานประเภทเงนเดอน คาจางท�ไดรบในปภาษน7น (ต7งแต 1
มกราคม ถง 31 ธนวาคม)
2. กรณไมมคสมรสตองมเงนไดพงประเมนเกน 50,000 บาท
3. กรณท�มคสมรสไมวาฝายเดยว หรอท7งสองฝาย ตองมเงนไดพงประเมนรวมกน เกน
100,000 บาท
ผมเงนไดพงประเมนแยกตามประเภท มาตรา 40 (1) – (8)
เน�องจากผมเงนไดประกอบอาชพแตกตางกน มความยากงายหรอตนทนท�แตกตางกน เพ�อความ เปนธรรม ในกฎหมายจงไดแบงลกษณะเงนได (พงประเมน) ออกเปนกลม ๆ ตามความเหมาะสมเพ�อกาหนดวธคานวณภาษใหเกดความเปนธรรมมากท�สด ดงน7
1. เงนไดประเภทท� 1 40 (1) ไดแก เงนไดเน�องจากการจางแรงงาน ไมวาจะเปน เงนเดอนคาจาง เบ7ยเล7ยง โบนส เบ7ยหวด บาเหนจ บานาญ
2. เงนไดประเภทท� 2 40 (2) ไดแก เงนไดเน�องจากหนาท�หรอตาแหนงงานท�ทา หรอจากการรบทางานให ไมวาจะเปน คาธรรมเนยม คานายหนา ตลอดจน เงน ทรพยสน หรอประโยชนใด ๆ ท�ไดเน�องจากหนาท�หรอตาแหนงงานท�ทา หรอจากการรบทางานใหน7น
3. เงนไดประเภทท� 3 40 (3) ไดแก คาแหงกดวลล (Goodwill) หมายถง คาความนยมท�เปนผลมาจากการประกอบธรกจดวยความยตธรรม มคณภาพดจนเปนท�เช�อถอและวางใจของลกคา คาแหงลขสทธ_ หรอสทธอยางอ�น เงนป หรอเงนไดท�มลกษณะเปนเงนรายปอนไดมาจากพนยกรรม นตกรรมอยางอ�น หรอคาพพากษาของศาล
4. เงนไดประเภทท� 4 40 (4) เงนไดจากเงนลงทน ไดแก ดอกเบ7ย เงนปนผล เงนสวนแบงกาไร เงนลดทน เงนเพ�มทน ผลประโยชนท�ไดจากการโอนหน เปนตน
5. เงนไดประเภทท� 5 40 (5) เงนไดจากการใหเชาทรพยสน หรอเงนท�ไดจากประโยชนอยางอ�น เชน การผดสญญาเชาซ7อทรพยสน การผดสญญาซ7อขายเงนผอนซ� งผขายไดรบคนทรพยสนท�ซ7อขายน7นโดยไมตองคนเงนหรอประโยชนท�ไดรบไวแลว
6. เงนไดประเภทท� 6 40 (6) ไดแก เงนไดจากวชาชพอสระ คอ วชากฎหมาย การประกอบโรคศลป วศวกรรม สถาปตยกรรม การบญช ประณตศลปกรรม หรอวชาชพอ�นซ� งจะไดมพระราชกฤษฎกากาหนดไว
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 74
7. เงนไดประเภทท� 7 40 (7) ไดแก เงนไดจากการรบเหมาท�ผรบเหมาตองลงทนดวยการจดหาสมภาระในสวนสาคญนอกจากเคร�องมอ
8. เงนไดประเภทท� 8 40 (8) ไดแก เงนไดจากการธรกจ การพาณชย การเกษตร การอตสาหกรรม การขนสง การขายอสงหารมทรพย หรอการอ�นนอกจากท�ระบไวในประเภทท� 1 ถงประเภทท� 7
รายการคานวณหกคาใชจาย เงนไดพงประเมนแตละกรณ
1. เงนไดพงประเมนประเภทท� 1 และ 2 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายใหหก คาใชจายเปนการเหมา ตามเง�อนไขท�กาหนดดงน7
(1) ผมเงนไดสามารถหกคาใชจายเปนการเหมาไดรอยละ 40 ของเงนได แตรวมกนแลวตองไมเกน 60,000 บาท
(2) ในกรณสามภรยา ตางฝายตางมเงนไดและความเปนสามภรยาไดมอยตลอดปภาษ ใหตางฝายตางหกคาใชจายไดรอยละ 40 แตไมเกนฝายละ 60,000 บาท
2. เงนไดพงประเมนประเภทท� 3 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายยอมใหหกคาใชจายไดเฉพาะเงนไดท�เปนคาแหงลขสทธ_ โดยใหหกเปนการเหมาไดรอยละ 40 ของคาแหงลขสทธ_ แตไมเกน 60,000 บาท สาหรบคาแหงกดวลล หรอสทธอยางอ�น เงนป หรอเงนไดท�มลกษณะเปนเงนรายปอนไดมาจาก พนยกรรม นตกรรมอยางอ�น หรอคาพพากษาของศาล ไมยอมใหหกคาใชจายใด ๆ ท7งส7น
3. เงนไดพงประเมนประเภทท� 4 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายไมยอมใหหก คาใชจายใด ๆ ท7งส7น
4. เงนไดพงประเมนประเภทท� 5 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายใหหกคาใชจายได ดงน7
(1) การใหเชาทรพยสน ผมเงนไดมสทธเลอกหกคาใชจายวธใดวธหน�งดงน7 ก. หกตามความจาเปนและสมควร
ข. หกเปนการเหมาในอตราท�กาหนด รอยละ 30 (2) การผดสญญาเชาซ7อทรพยสน กฎหมายยอมใหผมเงนไดหกคาใชจายเปนการ
เหมาไดรอยละ 20 วธเดยว
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 75
(3) การผดสญญาซ7อขายเงนผอน ซ� งผขายไดรบคนทรพยสนท�ซ7อขายน7นโดยไมตองคนเงนหรอประโยชนท�ไดรบไวแลว กฎหมายยอมใหหกคาใชจายเปนการเหมาไดรอยละ 20 วธเดยว
5. เงนไดพงประเมนประเภทท� 6 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายยอมใหเลอกหก คาใชจายวธใดวธหน�งดงน7 5.1 ใหหกตามความจาเปนและสมควร 5.2 ใหหกเปนการเหมาดงตอไปน7
5.2.1 เงนไดจากการประกอบวชาชพอสระ การประกอบโรคศลป ใหหกคาใชจายรอยละ 60
5.2.2 เงนไดจากการประกอบวชาชพอสระนอกจาก 5.2.1 หกคาใชจายไดรอยละ 30
6. เงนไดพงประเมนประเภทท� 7 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายยอมใหหกคา ใชจายวธใดวธหน�ง ดงน7
6.1 หกตามความจาเปนและสมควร 6.2 หกเปนการเหมาในอตรารอยละ 70
7. เงนไดพงประเมนประเภทท� 8 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายยอมใหเลอกหก คาใชจายวธใดวธหน�ง ดงน7
7.1 หกตามความจาเปนและสมควร 7.2 หกเปนการเหมาในอตรารอยละตามท�กฎหมายกาหนด
สทธหกลดหยอนสาหรบผมเงนไดบคคลธรรมดา
การหกลดหยอน หมายถง รายการตางๆ ท�กฎหมายไดกาหนดใหหกไดเพ�มข7นหลงจากไดหกคาใชจายแลว เพ�อเปนการบรรเทาภาระภาษใหแกผเสยภาษ กอนนาเงนไดท�เหลอซ� งเรยกวา เงนไดสทธ ไปคานวณภาษตามบญชอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา รายการหกลดหยอนกรณตางๆ มดงน7
1. การหกลดหยอนในกรณท�วไป 1.1 ผมเงนได 30,000 บาท (ไมวาจะอยในประเทศไทยถง 180 วน หรอไมกตาม)1.2 สามหรอภรยาของผมเงนได 30,000 บาท
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 76
1.2.1 สามหรอภรยาของผมเงนไดท�มสทธหกลดหยอน จะตองเปนสามหรอภรยาชอบดวยกฎหมาย การสมรส ไมครบปภาษกมสทธหกลดหยอนได เชน จดทะเบยนสมรสระหวางปภาษ หรอตายในระหวางปภาษ กมสทธหกลดหยอนได 30,000 บาท 1.2.2 สามหรอภรยาของผมเงนไดท�จะนามาหกลดหยอนจะตองไมมเงนไดพงประเมนหรอมแตไมไดแยกคานวณภาษ เชน สามภรยาแตงงานครบปภาษและตางฝายตางมเงนไดประเภทท� 1 กรณดงกลาว ภรยาสามารถแยกคานวณภาษตางหากจากสามไดโดยชอบ ท7งสามภรยาจงไมมสทธนาคสมรสมาหกลดหยอนได แตหากภรยามเงนไดประเภทอ�น (2 - 8) ใหสามนาเงนไดของภรยามารวมคานวณและมสทธนาคสมรสมาหกลดหยอนได
1.3 การหกลดหยอนบตร ใหหกสาหรบบตรชอบดวยกฎหมาย หรอบตรบญธรรมของผมเงนได รวมท7งบตรชอบดวยกฎหมายของสามหรอภรยาของผมเงนไดดวย โดยมเง�อนไขวาบตรท�เกดกอน หรอในพ.ศ. 2522 หรอท�ไดรบเปนบตรบญธรรม กอน พ.ศ. 2522 คนละ 15,000 บาท บตรท�เกดหลง พ.ศ. 2522 หรอท�ไดรบเปนบตรบญธรรมในหรอหลง พ.ศ. 2522 คนละ 15,000 บาท แตรวมกนตองไมเกน 3 คน การนบจานวนบตรใหนบเฉพาะบตรท�มชวตอยตามลาดบอายสงสดของบตร โดยใหนบรวมท7งบตรท�ไมอยในเกณฑไดรบการหกลดหยอนดวย การหกลดหยอนสาหรบบตร ใหหกไดเฉพาะบตรซ� งมอายไมเกน 25 ป และยงศกษาอย ในมหาวทยาลยหรอช7นอดมศกษาเฉพาะภายในประเทศใหลดหยอนเพ�อการศกษาไดอกคนละ 2,000 บาท หรอเปนผเยาว หรอศาลส�งใหเปนคนไรความสามารถหรอเสมอนไรความสามารถอนอยในความอปการะเล7ยงด
1.4 เบ7ยประกนภย ท�ผมเงนไดจายไปในปภาษ สาหรบการประกนชวตของผมเงนไดตามจานวนท�จายจรง โดยสวนแรกหกได 10,000 บาท สวนท�เกน 10,000 บาท หกไดไมเกนเงนไดหลงจากหกคาใชจาย แตไมเกน 90,000 บาท ท7งน7 เฉพาะในกรณท�กรมธรรมประกนชวตมกาหนดเวลาต7งแต 10 ปข7นไป 1.5 เงนสะสม ท�จายเขากองทนสารองเล7 ยงชพ หกลดหยอนไดตามจานวนท�จายจรง แตไมเกน 10,000 บาท สวนท�เกน 10,000 บาท แตไมเกน 490,000 บาท เปนเงนท�ไดรบยกเวนภาษ โดยนาจานวนเงนสวนท�เกนดงกลาวหกจากเงนไดพงประเมน กอนหกคาใชจายตามจานวนท�จายจรงแตไมเกน 490,000 บาท
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 77
1.6 ดอกเบ7ยเงนกยม การยกเวนภาษเงนไดสาหรบเงนไดเทาท�ไดจายเปนดอกเบ7ยเงนกสาหรบการกยมเงนเพ�อซ7อ เชาซ7อ หรอสรางอาคารท�อยอาศย โดยจานองอาคารท�ซ7อหรอสรางเปนประกนการกยมน7น ตามจานวนเงนท�ไดจายไปจรงแตไมเกน 100,000 บาท 1.7 เงนสมทบ ท�ผประกนตนจายเขากองทนประกนสงคม ตามกฎหมายวาดวยการประกนสงคมตามจานวนท�จายจรง 1.8 คาลดหยอนบดามารดา กรณผมเงนไดและคสมรสท�มเงนไดรวมคานวณภาษ หรอคสมรสไมมเงนได อปการะเล7ยงดบดามารดาท�มอาย 60 ปข7นไป ซ� งมรายไดไมเพยงพอตอการเล7 ยงชพ ผมเงนไดและคสมรสมสทธหกลดหยอนคาอปการะเล7 ยงดบดามารดาไดคนละ 30,000 บาท ท7งน7 บดาหรอมารดาของผมเงนไดหรอคสมรสจะตองออกหนงสอรบรองวาบตรคนใดคนหน�งเปนผอปการะเล7ยงดเพยงคนเดยว 1.9 คาอปการะเล7 ยงดบดามารดา สามหรอภรยา บตรชอบดวยกฎหมายหรอบตรบญธรรมของผมเงนได บดามารดาหรอบตรชอบดวยกฎหมายของสามหรอภรยาของผมเงนไดหรอบคคลอ�นท�ผมเงนไดเปนผดแลตามกฎหมายวาดวยการสงเสรมและพฒนาคณภาพชวตคนพการ คนละ 60,000 บาท โดยบคคลดงกลาวตองเปนคนพการซ� งมบตรประจาตวคนพการตามกฎหมายวาดวยการสงเสรมและพฒนาคณภาพชวตคนพการ หรอเปนคนทพพลภาพ มรายไดไมเพยงพอแกการยงชพ และอยในความอปการะเล7ยงดของผมเงนได 1.10 เงนสนบสนนเพ�อการศกษา ไดแก เงนท�จายเปนคาใชจายเพ�อสนบสนนการศกษา มสทธหกลดหยอนได 2 เทาของจานวนเงนท�ไดจายไปจรง แตไมเกนรอยละ 10 ของเงนคงเหลอหลงจากหกคาใชจายและคาลดหยอนอ�น ๆ แลว
2. การหกลดหยอนในกรณสามภรยาตางฝายตางมเงนได ถาความเปนสามภรยาไดมอยตลอดปภาษ การหกลดหยอนผมเงนไดและสามหรอภรยาของผมเงนไดใหหกลดหยอนรวมกนได 60,000 บาท แตถาความเปนสามหรอภรยามไดมอยตลอดปภาษ หรอภรยาแยกคานวณเงนไดพงประเมนประเภทท� 1 ตางหากจากสาม ใหตางฝายตางหกลดหยอนได 30,000 บาท และสาหรบการหกลดหยอนบตรและคาลดหยอนดอกเบ7 ยเงนกอ�น ๆ ใหตางฝายตางหกไดก� งหน� งตามเกณฑท�กาหนดไวในแตละกรณเฉพาะในปภาษน7น
3. การหกลดหยอนในกรณผมเงนไดมไดเปนผอยในประเทศไทย การหกลดหยอนผมเงนไดและสามหรอภรยาของผมเงนได บตร และการศกษาของบตรของผมเงนได
4. การหกลดหยอนในกรณผมเงนไดถงแกความตายในระหวางปภาษ ใหหกลดหยอนไดเสมอนผตายมชวตอยตลอดปภาษท�ผน7นถงแกความตาย
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 78
5. การหกลดหยอนในกรณผมเงนไดเปนกองมรดกท�ยงไมไดแบง ใหหกลดหยอนสาหรบผ มเงนได30,000 บาท
6. การหกลดหยอนในกรณผมเงนไดเปนหางหนสวนสามญ หรอคณะบคคลท�มใชนตบคคล ใหหก ลดหยอนสาหรบผมเงนไดแกผเปนหนสวนหรอบคคลในคณะบคคลแตละคนท�อยในประเทศไทยคนละ 30,000 บาท แตรวมกนตองไมเกน 60,000 บาท
วธการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา
โดยท�วไปผมเงนไดตองนาเงนไดพงประเมนทกประเภทของตนตลอดปภาษ (ไมรวมเงนไดท�กฎหมายยกเวนภาษ หรอท�ไมตองเสยภาษ) ไปคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดาส7นป เพ�อย�นแบบแสดงรายการและชาระภาษภายในเดอนมนาคมของปถดจากปท�มเงนได การคานวณภาษม 3 ข7นตอน คอ ข*นตอนท� 1 การคานวณภาษตามอตรากาวหนา เงนไดพงประเมนทกประเภทรวมกนตลอดปภาษ A บาท
หกคาใชจายตามท�กฎหมายกาหนด (ดรายละเอยดในหวขอรายการคานวณหกคาใชจาย เงนไดพงประเมนแตละกรณ)
B บาท
เหลอเงนไดหลงจากหกคาใชจาย (A – B) C บาท หกคาลดหยอนตาง ๆ (ไมรวมคาลดหยอนเงนบรจาค) ตามท�กฎหมายกาหนด (ดรายละเอยดในหวขอสทธหกลดหยอน)
D บาท
เหลอเงนไดหลงจากหกคาลดหยอนตาง ๆ (C - D) E บาท
หกคาลดหยอนเงนบรจาค ไมเกนจานวนท�กฎหมายกาหนด (ดรายละเอยดใน
หวขอสทธหกลดหยอนสาหรบผมเงนไดบคคลธรรมดา) F บาท
เหลอเงนไดสทธ (E – F) G บาท นาเงนไดสทธตาม G บาท ไปคานวณภาษตามอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา จานวนภาษตามการคานวณภาษข7นตอนท� 1 H บาท
ข*นตอนท� 2 กรณท�ตองคานวณภาษตามข7นตอนน7 ไดแก กรณท�เงนไดพงประเมนทกประเภทในปภาษ แตไมรวม เงนไดพงประเมนตามประเภทท� 1 มจานวนรวมกนต7งแต 60,000 บาทข7นไป การคานวณภาษตามข7นตอนน7 ใหคานวณในอตรารอยละ 0.5 ของยอดเงนไดพงประเมน (ยอดเงนไดพง
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 79
ประเมน หาไดจาก เงนไดพงประเมนทกประเภทลบเงนไดพงประเมนประเภทท� 1 คณดวย 0.005) การคานวณภาษตามข7นตอนน7 เรยกวาการคานวณแบบอตราคงท� กาหนดใหจานวนภาษท�คานวณไดตามข7นตอนท� 2 คอ I บาท
ข*นตอนท� 3 สรปจานวนภาษท�ตองเสยภาษ กรณท� 1 ผมเงนได ตามมาตรา 40 (1) เพยงอยางเดยวใหคานวณภาษตามข7นตอนท� 1 เทาน7น กรณท� 2 ผมเงนได ตามมาตรา 40 (1) - (8) ใหคานวณภาษท7งข7นตอนท� 1 และ 2 โดยเปรยบเทยบจานวนภาษเงนไดส7นปท�ตองเสย ระหวาง คา H กบคา I แลวใหจายตามจานวนท�สงกวา
อตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา (อตรากาวหนา)
อตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา จะคดจากเงนไดสทธและนามาคานวณภาษตามอตราท�
กาหนด โดยตารางท�กาหนดให ใชสาหรบปภาษ 2556 และ 2557
เงนไดสทธ ชวงเงนได
สทธ
แตละข7น
อตราภาษ
รอยละ
ภาษแตละข7น
เงนไดสทธ
ภาษสะสม
สงสดของข7น
1 – 150,000 150,000 ไดรบยกเวน - -
150,001 – 300,000 150,000 5 7,500 7,500
300,001 – 500,000 200,000 10 20,000 27,500
500,001 – 750,000 250,000 15 37,500 65,000
750,001 – 1,000,000 250,000 20 50,000 115,000
1,000,001 – 2,000,000 1,000,000 25 250,000 365,000
2,000,001 – 4,000,000 2,000,000 30 600,000 965,000
4,000,001 บาทข7นไป - 35 - -
หมายเหต เงนไดสทธ คอ เงนไดท�คานวณจากเงนไดพงประเมนทกรายการ หกคาใชจาย
และคาลดหยอนตาง ๆ ตามกฎหมายกาหนด
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 80
ตวอยางท� 1 นพนธทางานเปนลกจางประจาในบรษทแหงหน�ง มเงนเดอน เดอนละ 18,000 บาท
โดยท�เขายงไมมคสมรส และเขาจะตองถกหกเงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพรอยละ
3 ของเงนเดอน หกประกนสงคมรอยละ 5 ของเงนเดอน นพนธตองย�นภาษหรอไม ถา
ย�นตองใชแบบแสดงรายการภาษแบบใด และตองเสยภาษเปนเงนเทาใด
วธทา การคานวณภาษ นพนธ มเงนเดอน 18,000 บาท
ในรอบปภาษเขาจะมเงนไดพงประเมน 18,000 x 12 = 216,000 บาท
หกคาใชจาย
หกคาใชจายเงนไดตามมาตรา 40 (1) รอยละ 40 แตไมเกน 60,000 บาท
216,000 x 0.4 = 86,400 เพราะฉะน7นหกจรง 60,000 บาท
เงนไดหลงจากหกคาใชจาย 216,000 – 60,000 = 156,000 บาท
หกลดหยอน
รายการท� 1 ผมเงนได 30,000 บาท
รายการท� 2 เงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพ
นพนธ ตองจายเงนกองทนเล7ยงชพเดอนละ 18,000 x 0.03 = 540 บาท
1 ป เปนเงน 540 x 12 = 6,480 บาท
รายการท� 3 เงนจายประกนสงคม
นพนธ ตองจายประกนสงคมเดอนละ 18,000 x 0.05 = 900 บาท แตกฏหมายใหหกคา
ประกนสงคมไมเกน 750 บาทตอเดอน
1 ป เปนเงน 750 x 12 = 9,000 บาท
รวมหกลดหยอน 3 รายการ เปนเงน 30,000 + 6,480 + 9,000 = 45,480 บาท เหลอเงนได
หลงจากหกคาลดหยอนตาง ๆ 56,000 – 45,480 = 110,520 บาท
นพนธมเงนไดสทธ 110,520 บาท
ตอบ นพนธตองย�นภาษ และแบบแสดงรายการภาษท�จะตองใชคอ ภ.ง.ด.91 แตยงไมตอง
เสยภาษ เพราะตามกฎหมายเงนไดสทธ ยงไมเกน 150,000 บาท ไดรบการยกเวนภาษ
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 81
ตวอยางท� 2 ดร.วทยาพร เปนอาจารยมหาวทยาลยแหงหน�ง มเงนเดอนเดอนละ 32,000 บาท มเงน
ประจาตาแหนงอกเดอนละ 20,000 บาท และตองถกหกเงนสะสมกองทนสารองเล7ยง
ชพรอยละ 3 ของเงนเดอน หกประกนสงคมรอยละ 5 ของเงนเดอน แตเขายงมรายได
คาลขสทธ_ ในการขายเตาอบพลงงานแสงอาทตยอกปละ 150,000 บาท โดยท�เขายงไมม
คสมรส ดร.ดร.วทยาพร ตองย�นภาษหรอไม ถาย�นตองใชแบบแสดงรายการภาษแบบ
ใดและตองเสยภาษเปนเงนเทาใด
วธทา การคานวณภาษ ดร.ดร.วทยาพร มเงนไดเปนเงนเดอน ตามมาตรา 40 (1)
ในรอบปภาษ 32,000 x 12 = 384,000 บาท
หกเงนกองทนสะสมเล7ยงชพสวนท�เกน 10,000 บาท เปนเงน 1,520 บาท
(เปนเงนสวนเกนท�ไดรบการยกเวนภาษจากการหกเงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพ ดการ
คานวณจากการหกลดหยอนรายการท� 2)
เงนไดหลงหกเงนกองทนสะสมเล7ยงชพสวนท�เกน 10,000 บาท เปนเงน
384,000 – 1,520 = 382,480 บาท
ดร.วทยาพร มเงนประจาตาแหนง ตามมาตรา 40 (2) เปนเงน
20,000 x 12 = 240,000 บาท ดร.วทยาพร มเงนไดเปนเงนเดอน ตามมาตรา 40 (1) และ 40 (2)
ในรอบปภาษ คอ 382,480 + 240,000 = 622,480 บาท
หกคาใชจาย เน�องจาก ดร.วทยาพร มเงนไดท�ตองหกคาใชจายสองรายการ คอ
รายการท� 1 หกคาใชจายเงนไดตามมาตรา 40 (1) และ 40 (2) รอยละ 40 แตไมเกน 60,000
622,480 x 0.4 = 248,992 เพราะฉะน7นหกจรง 60,000 บาท
เงนไดมารตรา 40 (1) และ 40 (2) หลงจากหกคาใชจาย 622,480 – 60,000 = 562,480 บาท
รายการท� 2 หกคาใชจายเงนไดตามมาตรา 40 (3) รอยละ 40 แตไมเกน 60,000 บาท
150,000 x 0.4 = 60,000 เพราะฉะน7นหกจรง 60,000 บาท
เงนไดตามมารตรา 40 (3)หลงจากหกคาใชจาย 150,000 – 60,000 = 90,000 บาท
เงนไดท7งหมดหลงจากหกคาใชจาย 562,480 + 90,000 = 652,480 บาท
หกลดหยอน
รายการท� 1 ผมเงนได 30,000 บาท
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 82
รายการท� 2 เงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพ
ดร.วทยาพร ตองจายเงนกองทนเล7ยงชพเดอนละ 32,000 x 0.03 = 960 บาท
1 ป เปนเงน 960 x 12 = 11,520 บาท (ตามกฎหมายกาหนดวาสวนเกน 10,000 บาท ไดรบ
การยกเวนภาษใหนาไปหกจากเงนไดพงประเมนประเภทท� 1 มาตรา 40(1)) หกจรง 10,000 บาท
รายการท� 3 เงนจายประกนสงคม
ดร.วทยาพร ตองจายประกนสงคมเดอนละ 32,000 x 0.05 = 1,600 บาท แตกฎหมายใหหก
คาประกนสงคมไมเกน 750 บาทตอเดอน
1 ป เปนเงน 750 x 12 = 9,000 บาท
รวมหกลดหยอน 3 รายการ เปนเงน 30,000 + 10,000 + 9,000 = 49,000 บาท เหลอเงนได
หลงจากหกคาลดหยอนตาง ๆ 652,480 – 49,000 = 603,480 บาท
ดร.วทยาพร มเงนไดสทธ 603,480 บาท
ดร.วทยาพร ตองเสยภาษโดยคานวณภาษตามอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา
เงนไดสทธ 1 – 150,000
ไดรบการยกเวน
เงนไดสทธ 150,001 – 300,000 เสยภาษ รอยละ 5 ชวงเงนไดสทธ 150,000 บาท คดเปน
เงน 150,000 x 0.05 = 7,500 บาท เงนไดสทธ 300,001 – 500,000 เสยภาษ รอยละ 10 ชวง
เงนไดสทธ 200,000 บาท คดเปนเงน 200,000 x 0.10 = 20,000 บาท
เงนไดสทธ 500,001 – 605,000 เสยภาษ รอยละ 15 ชวงเงนไดสทธ 103,480 บาท
คดเปนเงน 103,480 x 0.15 = 15,522 บาท
ดร.วทยาพร ตองเสยภาษโดยคานวณภาษตามอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา (อตรา
กาวหนา) เปนเงน ท7งส7น 7,500 + 20,000 + 15,522 = 43,022 บาท
แตเน�องจาก ดร.วทยาพร มเงนไดท�นอกเหนอจากมาตรา 40 (1) เปนเงนไดพงประเมนท�ไม
หกคาใชจายและคาลดหยอน คดเปนเงนประจาตาแหนง 240,000 บาท และเงนจากคาลขสทธ_
150,000 บาท รวมเปนเงน 390,000 บาท ซ� งมเงนไดพงประเมนเกน 60,000 บาท จงตองคานวณภาษ
ในอตาคงท� รอยละ 0.5
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 83
ดร.วทยาพร ตองเสยภาษโดยคานวณภาษตามอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา(อตราคงท�)
เปนเงน ท7งส7น 390,000 x 0.005 = 1,950 บาท
ตอบ ดร.วทยาพรตองย�นภาษ และแบบแสดงรายการภาษท�จะตองใชคอ ภ.ง.ด.90 โดย
ดร.วทยาพรตองเสยภาษในจานวนเงนจากการคานวณภาษในอตรากาวหนา เปนเงนท7งส7น 43,022
บาท
ตวอยางท� 3 สมพงษเปนพนกงานขายของบรษทแหงหน� งสมรสกบนางสมรซ� งทางานบรษท
เดยวกน เขาและภรรยามเงนเดอนเดอนละ 25,000 บาทเทากน โดยบรษทหกเงนสะสม
กองทนสารองเล7ยงชพรอยละ 3 ของเงนเดอน หกประกนสงคมรอยละ 5 ของเงนเดอน
ส7นปบรษทจายโบนสใหอกปละ 90,000 บาท ท7งคมบตร 2 คน โดยคนแรกศกษาอย
ตางประเทศ และคนท�สองศกษาในประเทศ ปจจบนสมพงษยงตองเล7 ยงดพอแมท�ม
อายเกน 60 ป สมพงษตองย�นภาษหรอไม ถาย�นตองใชแบบแสดงรายการภาษแบบใด
และตองเสยภาษเปนเงนเทาใด
วธทา การคานวณภาษ สมพงษ มเงนไดเปนเงนเดอน ตามมาตรา 40 (1)
ในรอบปภาษ 25,000 x 12 = 300,000 บาท
โบนสอกปละ 90,000 บาท
ในรอบปภาษสมพงษมเงนได 300,000 + 90,000 = 390,000 บาท
หกคาใชจาย
หกคาใชจายเงนไดตามมาตรา 40 (1) รอยละ 40 แตไมเกน 60,000
390,000 x 0.4 = 156,000 เพราะฉะน7นหกจรง 60,000 บาท
เงนไดมารตรา 40 (1) หลงจากหกคาใชจาย 390,000 – 60,000 = 330,000 บาท
หกลดหยอน
รายการท� 1 ผมเงนได 30,000 บาท
รายการท� 2 เงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพ
สมพงษ ตองจายเงนกองทนเล7ยงชพเดอนละ 25,000 x 0.03 = 750 บาท
1 ป เปนเงน 750 x 12 = 9,000 บาท หกจรง (ตามกฎหมายกาหนด) 9,000 บาท
รายการท� 3 เงนจายประกนสงคม
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 84
สมพงษ ตองจายประกนสงคมเดอนละ 25,000 x 0.05 = 1,250 บาท แตกฎหมายใหหกคา
ประกนสงคมไมเกน 750 บาท ตอเดอน 1 ป เปนเงน 750 x 12 = 9,000 บาท
รายการท� 4 เงนคาเล7ยงดบตร
บตรคนแรกศกษาอยตางประเทศ ลดหยอนได 15,000 บาท
บตรคนท�สองศกษาในประเทศ 17,000 บาท
หกลดหยอนบตรเปนเงน 15,000 + 17,000 = 32,000 บาท
รายการท� 5 หกลดหยอนเงนคาอปการะเล7ยงดบดามารดา (คนละ 30,000 บาท)
60,000 บาท รวมหกลดหยอน 5 รายการ เปนเงน
30,000 + 9,000 + 9,000 + 32,000 + 60,000 = 140,000 บาท เหลอเงนได
หลงจากหกคาลดหยอนตาง ๆ 330,000 – 140,000 = 190,000 บาท
สมพงษ มเงนไดสทธ 190,000 บาท
สมพงษตองเสยภาษโดยคานวณภาษตามอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา
เงนไดสทธ 1 – 150,000
ไดรบการยกเวน
เงนไดสทธ 150,001 – 300,000 เสยภาษ รอยละ 5 ชวงเงนไดสทธ 40,000 บาท
คดเปนเงน 40,000 x 0.05 = 2,000 บาท
ตอบ สมพงษตองย�นภาษ และแบบแสดงรายการภาษท�จะตองใชคอ ภ.ง.ด.91 โดยสมพงษ
ตองเสยภาษ เปนเงน ท7งส7น 2,000 บาท
ภาษมลคาเพ�ม (VAT)
ภาษมลคาเพ�มไดเร�มมการจดเกบเปนคร7 งแรกในประเทศไทย เม�อ วนท� 1 มกราคม พ.ศ. 2535 อนเน�องมาจาก ในชวงเวลาน7นเศรษฐกจของประเทศไทยขยายตวอยางรวดเรว ฐานะทางเศรษฐกจ การเงน การคลงของประเทศมความม�นคงมากข7น แตในขณะท�โครงสรางภาษยงมความไมเหมาะสมตอเศรษฐกจของประเทศ ซ� งเหนไดจากความซ7 าซอนของระบบภาษการคาท�ใชในขณะน7น และความหลากหลายของโครงสรางอตราภาษ จากเหตผลดงกลาว กระทรวงการคลง จงไดเสนอพจารณายกเลกภาษการคา และนาภาษมลคาเพ�มมาใชแทน โดยภาษมลคาเพ�มจะมอตราเดยวท�ใชกบสนคาและบรการทกชนด ทาใหเกดความเปนธรรมและความสะดวกตอการปฏบตตาม
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 85
ของผเสยภาษอกดวย ในฐานะประชาชนแลวเรามสวนเขาไปเก�ยวของกบภาษมลคาเพ�มอยางแนนอนเพราะเราเองตองเปนผบรโภคท7งสนคาและบรการ ดงน7นเราจงควรศกษาเพ�อทาความเขาใจและชวยแนะนาใหกบรานคาหรอสถานประกอบการท�ยงไมไดจดทะเบยนภาษมลคาเพ�มดาเนนการใหถกตองเพ�อใหกลไกในการพฒนาเศรษฐกจของประเทศเปนไปอยางมระบบและมการพฒนาอยางตอเน�อง
การจดเกบภาษมลคาเพ�ม
ภาษมลคาเพ�ม (Value added tax) เปนภาษตาม ประมวลรษฎากร ถอวาเปนภาษทางออม
ท�จดเกบจากฐานผบรโภค ซ� งเปนภาษท�จดเกบจากการขายสนคาหรอการใหบรการ
ผมหนาท�เ สยภาษมลคาเพ�ม ไดแก ผ ขายสนคาและผ ใหบรการในทางธรกจ โดย
ผประกอบการสามารถเรยกเกบภาษมลคาเพ�มจากผซ7อสนคาหรอผรบบรการได
อตราภาษมลคาเพ�ม ภาษมลคาเพ�มจะคานวณจากยอดมลคาของสนคาหรอบรการ ตาม
อตราภาษท�กาหนด ซ� งปจจบนคออตรารอยละ 7 ของมลคาสนคาหรอบรการ
ตวอยางท� 4 รานคาต7งราคาขายรองเทาคหน� งไมรวม VAT ไวท� คละ 200 บาท ถาตองการซ7อ
รองเทาคน7ผซ7อจะตองจายเงนเปนจานวนเงนเทาใด
วธทา รองเทาคละ 200 บาทผซ7อตองเสย VAT เพ�มในอตรารอยละ 7
น�นคอ ถาราคาสนคา 100 บาท แลวราคารวม VAT คอ 107 บาท
ดงน7น ถาราคารองเทา 200 บาท แลวราคารวม VAT คอ 1.07 x 200 = 214 บาท
ตอบ ผซ7อจะตองจายเงนเปนจานวนเงน 214 บาท
ตวอยางท� 5 หางสรรพสนคาแหงหน� งออกใบเสรจรบเงนคาทวใหกบลกคาในราคา 42,000 บาท
โดยใบเสรจเขยนไววา ราคารวมภาษมลคาเพ�ม (VAT included) อยากทราบวาราคาท�
ยงไมรวม VAT ของทวเคร�องน7 เปนจานวนเงนเทาใด
วธทา ราคาทวรวม VAT 42,000 บาท ผซ7อตองจาย VAT ในอตรารอยละ 7
ราคาสนคา 100 บาท เปนราคาท�ไมรวม VAT ซ� งถารวมแลวจะมราคาเปน 107 บาท
ดงน7น จากราคาทว 42,000 บาท จะเปนราคาท�ไมรวม VAT = 107
100000,42 × = 39,252 บาท
ตอบ ราคาทวท�ยงไมรวม VAT เคร�องน7 เปนเงน 39,252 บาท
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 86
จากตวอยางขางตนเปนเพยงการคดภาษมลคาเพ�มท�ผบรโภคตองจายในการซ7อสนคาหรอ
เพยงแคตองการทราบวาราคาสนคากอนรวมภาษมลคาเพ�มคดเปนเงนเทาใด ซ� งแทท�จรงแลวในการ
คานวณภาษมลคาเพ�มท�รฐบาลจดเกบเพ�อใชในการพฒนาประเทศน7น จะจดเกบจากผประกอบการ
ท�จดทะเบยนภาษมลคาเพ�ม โดยรฐบาลจะเรยกเกบภาษมลคาเพ�มจากผ ประกอบการหรอ
ผประกอบการจะขอคนภาษมลคาเพ�มจากรฐบาลไดหรอไมน7น ผศกษาตองศกษา ภาษขาย และภาษ
ซ7อ ซ� งเราในฐานะประชาชนของชาตจาเปนตองเขาใจเพ�อกระตนใหผประกอบการท�ยงไมไดจด
ทะเบยนเปนผประกอบการท�ตองเสยภาษมลคาเพ�ม ไดทาการจดทะเบยนใหถกตองตามกฎหมาย
เพ�อนาเงนท�ไดจากการจดเกบภาษมลคาเพ�มไปใชในการพฒนาประเทศตอไป ดงจะเหนไดจากการ
รณรงคใหมการขอใบเสรจท�มใบกากบภาษทกคร7 งในการซ7อสนคาหรอใชบรการ
ภาษขาย (Output Tax) หมายถง ภาษมลคาเพ�มท�ผประกอบการจดทะเบยนภาษมลคาเพ�ม
เรยกเกบจากผซ7อสนคาหรอผรบบรการ เม�อมการขายสนคาหรอเรยกเกบคาบรการ
ภาษซ*อ (Input Tax) หมายถง ภาษมลคาเพ�มท�ผประกอบการจดทะเบยนภาษมลคาเพ�มจาย
ใหกบผขายสนคาหรอผใหบรการท�เปนผจดทะเบยนภาษมลคาเพ�ม เม�อมการซ7อสนคาหรอชาระ
คาบรการเพ�อใชในการประกอบกจการของตน
ภาษท�ตองเสย คานวณจากการนาภาษขายหกดวยภาษซ7อในรอบท�ตองย�นเสยภาษ โดยแยก
เปน 2 กรณคอ
กรณท� 1 ตองชาระภาษ เม�อ ภาษขายมากกวาภาษซ7อ
กรณท� 2 ขอคนภาษหรอขอเครดตภาษเพ�อใชหกในรอบย�นเสยภาษคร7 งตอไป เม�อภาษขาย
นอยกวาภาษซ7อ
ตวอยางท� 6 บรษทแหงหน�งจดทะเบยนเพ�อเปนผประกอบการเสยภาษมลคาเพ�มแลว เม�อครบรอบ
ภาษบรษทตรวจสอบบญชพบวา ยอดในการซ7อของเพ�อจาหนายเปนเงน 56,000 บาท
และยอดขายในรอบภาษน7 เปนเงน 72,000 บาท บรษทแหงน7 จะตองจายภาษมลคาเพ�ม
เปนเงนเทาใด
วธทา ภาษมลคาเพ�มท�ผประกอบการจะตองจายใหกบรฐบาลคานวณไดจากผลตาง
ระหวางภาษขายกบภาษซ7อ
ดงน7น เราตองทราบภาษขายและภาษซ7อกอน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 87
ภาษขาย คอ VAT 7% ของยอดขาย ดงน7นภาษขายเทากบ 0.07 x 72,000 = 5,040 บาท
ภาษซ7อ คอ VAT 7% ของยอดซ7อ ดงน7นภาษซ7อเทากบ 0.07 x 56,000 = 3,920 บาท
น�นคอ ถาษมลคาเพ�มท�ผประกอบการจะตองจายเทากบ 5,040 – 3,920 = 1,120 บาท
ตอบ บรษทแหงน7 จะตองจายภาษมลคาเพ�มเปนเงน 1,120 บาท
ตวอยาง 7 บรษทจาหนายอปกรณคอมพวเตอรจดทะเบยนเพ�อเปนผประกอบการเสยภาษมลคาเพ�ม
อยางถกตอง ในรอบภาษน7บรษทตรวจสอบรายการซ7อและรายการขายดงตารางบรษท
แหงน7จะตองจายภาษมลคาเพ�มหรอไดเงนคนภาษเปนเงนเทาใด
รายการซ7อ
ลาดบ รายการ ราคาตอ
หนวย(บาท) จานวน
ราคารวม
(บาท)
1 จอคอมพวเตอร 4,500 5 22,500
2 แปนพมพ 150 10 1,500
3 ฮารทดสความจ 800 GB 2,000 5 10,000
4 เมาส 80 20 1,600
5 เคร�องสารองไฟ 1,500 4 6,000
รวม 41,600
รายการขาย
ลาดบ รายการ ราคาตอ
หนวย(บาท) จานวน
ราคารวม
(บาท)
1 จอคอมพวเตอร 5,000 3 15,000
2 แปนพมพ 250 5 1,250
3 ฮารทดสความจ 800 GB 3,000 4 12,000
4 เมาส 150 10 1,500
5 เคร�องสารองไฟ 2,000 2 4,000
รวม 33,750
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 88
วธทา ดงน7น ในรอบการย�นเสยภาษคร7 งน7 เราตองทราบภาษขายและภาษซ7อกอน
ภาษขาย คอ VAT 7%ของยอดขาย ดงน7นภาษขายเทากบ 0.07 x 33,750 = 2,362.50 บาท
ภาษซ7อ คอ VAT 7%ของยอดซ7อ ดงน7นภาษซ7อเทากบ 0.07 x 41,600 = 2,912 บาท
น�นคอ ภาษมลคาเพ�มท�ผประกอบการจะตองจายเทากบ 2,362.50 – 2,912 = -549.50 บาท
ตอบ บรษทแหงน7 จะไดเงนคนภาษเปนเงน 549.50 บาท (อาจใชขอเครดตภาษเพ�อใชหก
ในรอบย�นเสยภาษคร7 งตอไป)
สรป
ภาษเงนไดบคคลธรรมดา คอ ภาษท�จดเกบจากบคคลท�วไป โดยปกตจดเกบเปนรายป โดยปภาษเร�มคดต7งวนท� 1 มกราคมถง 31 ธนวาคมของทกป โดยผมรายไดมหนาท�ตองแสดงรายการตามแบบแสดงรายการภาษท�กาหนดภายในเดอนมกราคม ถง เดอนมนาคมของปถดไป โดยการย�นแบบ แบงเปน 2 ประเภท คอ แบบแสดงรายการภาษเงนไดบคคลธรรมดา ภ.ง.ด. 90 และ แบบแสดงรายการภาษเงนไดบคคลธรรมดา ภ.ง.ด. 91 โดยผมหนาท�ย�นแบบ ภ.ง.ด. 90 ไดแกผมเงนไดพงประเมนตามมาตรา 40 (1) - (8) แหงประมวลรษฎากรหลายประเภทหรอประเภทเดยว (แตมใชเงนไดตามมาตรา 40 (1) แหงประมวลรษฎากรประเภทเดยว) ผมหนาท�ย�นแบบ ภ.ง.ด. 91 ไดแก ผมเงนไดจากการจางแรงงาน ตามมาตรา 40 (1) แหงประมวลรษฎากรประเภทเดยว โดยการเสยภาษของผมเงนไดตองนาเงนไดพงประเมนทกประเภทของตนตลอดปภาษ ไปคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา เพ�อย�นแบบแสดงรายการและชาระภาษภายในเดอนมนาคมของปถดจากปท�มเงนได การคานวณภาษม 3 ข7นตอน ดงน7 ข7นตอนท� 1 การคานวณภาษตามอตรากาวหนา ข7นตอนท� 2 การคาควณภาษอตราคงท� (กรณท�มเงนไดนอกเหนอจากเงนไดตามมาตรา 40 (1)) ข7นตอนท� 3 การเปรยบเทยบภาษระหวางภาษในอตรากาวหนาและภาษในอตราคงท� โดยใหจายภาษในจานวนเงนท�สงกวาจากการเปรยบเทยบ สาหรบภาษมลคาเพ�มน7น เปนภาษตาม ประมวลรษฎากรเปนภาษทางออมท�จดเกบจากฐานผบรโภค ซ� งเปนภาษท�จดเกบจากการขายสนคาหรอการใหบรการโดยผมหนาท�เสยภาษมลคาเพ�ม ไดแก ผขายสนคาและผใหบรการในทางธรกจ โดยผประกอบการสามารถเรยกเกบภาษมลคาเพ�มจากผซ7 อสนคาหรอผรบบรการไดตามอตราภาษท�กาหนด ซ� งปจจบนคออตรารอยละ 7 ของมลคาสนคาหรอบรการ
………………………………..
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 89
แบบฝกหดทายบทท� 4
1. ปภาษนบต7งแตเม�อใดถงเม�อใด ……………………………………………………………………………………………………...
2. ผมเงนไดจากเงนเดอนเพยงอยางเดยวตองย�นแบบแสดงภาษประเภทใด ตอบ...............…………………………………………………………………………………..…...
3. นายธนายทธประกอบอาชพเปนนายหนาขายท�ดน นายธนายทธตองย�นแบบแสดงภาษประเภทใด ตอบ...............……………………………………………………………………….……………...
4. นายปยะพงษเปนโสด เขาไดรบเงนเดอนเดอนละ 4,000 บาท ไมมอาชพเสรมใด ๆ เขาตองย�นเสยภาษหรอไม และจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 90
5. ปตมเงนไดจากการรบเงนเดอนเพยงอยางเดยวเดอนละ 6,000 บาท ปตตองย�นภาษหรอไม ใชแบบแสดงรายการภาษประเภทใด และจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6. สรพงษเปนพนกงานขายของบรษทแหงหน� งไดรบเงนเดอน 9,000 บาทตอเดอน โดยปน7 เขาไดรบ
โบนสอก 50,000 บาท เขาตองย�นเสยภาษหรอไม ใชแบบแสดงรายการภาษประเภทใดและจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 91
7. สงาเปนนกประพนธเพลง เขาแตงเพลงใหคายเพลงแหงหน�ง โดยคายเพลงตกลงใหคาลขสทธ_ จากการขายเพลงของสงา รอยละ 2 ของยอดขายท7งหมด ในปน7 คายเพลงขายเพลงของสงาไดเปนเงน 30,000,000 บาท สงาไมมรายไดอ�น ๆ อก เขาตองย�นเสยภาษหรอไม ใชแบบแสดงรายการภาษประเภทใด และจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 92
8. สดศรเปนขาราชการและไมไดสมรส มรายไดเดอนละ 25,000 บาท และมบานใหเชาโดยคาเชาบาน 3,000 บาทตอเดอน และตองถกหกเงนสะสมกองทนสารองเล7 ยงชพรอยละ 3 ของเงนเดอน หกประกนสงคมรอยละ 5 ของเงนเดอน เขาตองย�นเสยภาษหรอไม ใชแบบแสดงรายการภาษประเภทใด และจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 93
9. มงคลเปนครโรงเรยนเอกชนแหงหน�งมเงนเดอน 20,000 บาท เขามรายการหกเงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพรอยละ 3 ของเงนเดอน หกประกนสงคมรอยละ 5 ของเงนเดอน และเขาเล7 ยงดบดาซ� งอายเกน 60 ป เขาตองย�นเสยภาษหรอไม ใชแบบแสดงรายการภาษประเภทใด และจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 94
10. คากลาวท�วา “ภาษมลคาเพ�ม (Value added tax) เปนภาษทางออม” โดยภาษประเภทน7ผบรโภคจะ
ถกเรยกเกบในเม�อใด
ตอบ...............…………………………………………………………………………………... 11. ผมหนาท�ย�นแบบเสยภาษมลคาเพ�ม คอ
ตอบ...............…………………………………………………………………………………. 12. อตราภาษมลคาเพ�ม ท�ใชในปจจบน คอ
ตอบ...............…………………………………………………………………………………... 13. จากใบเสรจรบเงนท�กาหนดให จงตอบคาถามตอไปน7
13.1 จงหาราคาสนคาตอไปน7 กอนรวม VAT
ตอบ
เลยสาหราย 1 ซอง.........……..บาท
นมสด 1 ขวด.................…….บาท
นมเปร7 ยว 1 ขวด.............…….บาท
น7าแขง 1 ถง.....................……บาท
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 95
13.2 เม�อซ7อสนคาท7ง 5 รายการตองเสย VAT เปนเงนเทาใด
ตอบ..................…………………………….
14. จากรายการสนคาท�กาหนดให จงเตมคาตอบท�ถกตอง
ลาดบ ช�อสนคา ราคา/หนวย
(ไมรวม VAT)
จงเตมราคาตอหนวย
ท�รวมVAT
1 คอมพวเตอร 26,500
2 คยบอรด 350
3 เคร�อง SCAN ลายน7วมอ 17,500
4 โปรแกรมสาเรจรป
สาหรบ SCAN
ลายน7วมอ
20,000
5 เมาส 150
6 ลาโพง 250
15. จากรายการสนคาท�กาหนดให จงเตมคาตอบท�ถกตอง
บนทกรายการซ7อในรอบภาษ
ลาดบ รายการ ราคาตอหนวย
(บาท) จานวน
ราคารวม (บาท)
1 สมด 25 200 2 ปากกา 15 500 3 ดนสอ 10 500 4 น7ายาลบคาผด 40 100 5 ยางลบ 5 200 รวม
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 96
บนทกรายการขายในรอบภาษ
ลาดบ รายการ ราคาตอหนวย
(บาท) จานวน
ราคารวม
(บาท)
1 สมด 35 150
2 ปากกา 20 400
3 ดนสอ 15 450
4 น7ายาลบคาผด 50 60
5 ยางลบ 10 150
รวม
ภาษซ7อ เปนเงน....................……………………………………..บาท
ภาษขาย เปนเงน....................…………………………………….บาท
ภาษมลคาเพ�มท�ตองเสย.........………….........................................บาท
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 97
เอกสารอางอง
กรมสรรพากร. (2556) . วธกรอกแบบแสดงรายการ ภาษเงนไดบคคลธรรมดา ปภาษ 2556 ภ.ง.ด.
90. กรงเทพมหานคร : กรมสรรพากร
กรมสรรพากร. (2556) . วธกรอกแบบแสดงรายการ ภาษเงนไดบคคลธรรมดา ปภาษ 2556 ภ.ง.ด.
91. กรงเทพมหานคร : กรมสรรพากร
กรมสรรพากร. (2556) . มารจก ภาษมลคาเพ�ม กนกอนดม7ย. กรงเทพมหานคร : กรมสรรพากร
ภาษเงนไดบคคลธรรมดา. สบคนเม�อ wx พฤษภาคม Jyyz, จาก htt://www.rd.go.th/publish/309.0.
html
ภาษมลคาเพ�ม.สบคนเม�อ 14 พฤษภาคม 2557, จาก http://www.rd.go.th/publish/307.0.html
สโขทยธรรมาธราช สาขาวชานตศาสตร. (2546). เอกสารการสอนชดวชา กฎหมายภาษอากร 1
หนวยท� 1 – 7 . กรงเทพมหานคร : มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช.
สโขทยธรรมาธราช สาขาวชานตศาสตร. (2546). เอกสารการสอนชดวชา กฎหมายภาษอากร 1
หนวยท� 8 – 15 . กรงเทพมหานคร : มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช.
บทท 5
การประยกตใชสมการและอสมการ เวลา 6 ชวโมง
สาระสาคญ /ความคดรวบยอด
สมการ (Equation) คอประโยคทเปรยบเทยบสงสองสงวาเทากนโดยใชเครองหมายเทากบ
“ = ” สวนอสมการ (Inequation) คอ ประโยคทกลาวถงการไมเทากนโดยใชเครองหมาย “<”, “>”,
“ ”, “ ” และ “ ” ซงจะเปนจรงเทจกได เมอกลาวถงสมการและอสมการสงสาคญทเราตอง
รจกคอ ตวแปร (Variable or Unknown) หมายถงตวไมทราบคาและเปนสงทตองการหาคาตอบ
สวนมากมกแทนดวยอกษรภาษาองกฤษ โดยคาของตวแปรททาใหสมการหรออสมการเปนจรงจะ
เรยกวา คาตอบ (Solution) ของสมการหรออสมการ ซงกระบวนการในการหาคาตอบสาหรบ
สมการหรออสมการนนเรยกวา การแกสมการหรอการแกอสมการ (Solving ) ตามลาดบ เนองจาก
ปญหาในชวตประจาวนทตองการหาคาตอบเปนตวเลขมกเปรยบเทยบไดกบโจทยปญหาสมการ
และอสมการ ในบทเรยนนจงมงทจะเสรมสรางทกษะในการแกโจทยปญหาสมการและอสมการ
รวมถงการประยกตใชสมการและอสมการกบปญหาในชวตจรงเพอนาไปสการหาคาตอบทตองการ
จดประสงคการเรยนร
1. เพอใหผเรยนเขาใจสมบตบางประการของเครองหมาย “ , , ,, , ”ได
2. เพอใหผเรยนเขยนความสมพนธตางๆในรปแบบสมการหรออสมการได เพอให
ผเรยนสามารถประยกตความสมพนธใหอยในรปแบบสมการหรออสมการได
3. เพอใหผเรยนหาคาตอบของสมการและอสมการทสรางขนได
เนอหา
1. สมการและการแกปญหา
. อสมการและการแกปญหา
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 99
กจกรรมประกอบการสอน
1. ผสอนบรรยายใหความร
2. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเนอหารวมกน
. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามทกาหนดไว
สอประกอบการสอน
1. เอกสารเนอหาประกอบการสอน
2. แบบฝกหด
การวดและการประเมนผล
1. ดานความร โดยการตรวจแบบฝกหด
2. ดานทกษะ/กระบวนการ โดยการสงเกตการแกปญหาและการใหเหตผล
3. คณลกษณะทพงประสงค โดยการสงเกตการมสวนรวมในการทากจกรรมการเรยน
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 100
ในการอธบายความสมพนธระหวางสงตางๆ เรามกมการอธบายถงการเทากน มากวาหรอ
นอยกวา ในทางคณตศาสตรจะมการกาหนดสญลกษณเพอทาการเปรยบเทยบระหวางสงตางๆ
ไดแกเครองหมายเทากบ “=” เพอเปรยบเทยบวาสองสงเทากน เชน 2=2, 2
x - 3 = 0, x + y = 4x
เปนตน ซงความสมพนธในลกษณะนเราเรยกวา “สมการ” ในบางสถานการณเมอเปรยบเทยบ
สองสงทไมเทากน ความสมพนธทางคณตศาสตรมกใชเครองหมาย " " เพอแสดงวาสองสงไม
เทากน , เครองหมายนอยกวา " " เพอแสดงวาสงทอยทางซายของเครองหมายนอยกวาสงทอย
ทางขวา, เครองหมายมากกวา " " เพอแสดงวาสงทอยทางซายของเครองหมายมากกวากวาสงท
อยทางขวา, เครองหมายนอยกวาหรอเทากบ " " เพอแสดงวาสงทอยทางซายของเครองหมายนอย
กวาหรออาจเทากบสงทอยทางขวา และสดทาย เครองหมาย มากกวาหรอเทากบ " " เพอแสดงวา
สงทอยทางซายมากกวาหรออาจเทากบสงทอยทางขวา ซงความสมพนธทประกอบดวยเครองหมาย
" "," ", " ", " " และ " " จะเรยกวา “อสมการ” เชน x + 2y 3x , 2x + 2x + 1 0 ,
5 4 เปนตน
สมการ
ในชวตประจาวนเรามกทาการเปรยบเทยบสงตางๆอยเสมอ เชน เดกชายเอสงเทากบ
เดกชายบ, ไขในตะกราท 1 มมากกวาไขในตะกราทสองอย 10 ฟอง, ระยะทางทเรอแลนได เทากบ
ความเรวของเรอคณดวยเวลาทใชในการแลน เปนตน หรออาจอยในรปของปญหาทเรามกใชเลน
เกม เชน สมมตใหผชายมคาหาสบสตางค ผหญงมคาหนงบาท ดงนนกลมหนงอาจใชผหญง 3 คน
ผชาย 2 คนรวมไดเปน 4 บาท เปนตน และบอยครงเรามกตองหาคาของสงตางๆทเรากาลง
เปรยบเทยบ เชน ขาหมมากกวาขาไกอย 8 ขา แตถานบหวไก จะมากกวาหวหมอย 8 หว อยากทราบ
วามหมกตว (ขอสอบ กพ. ภาค ก ป 2556) เพอแกปญหาดงกลาวเราจงมกสมมตใหอยในรป
ประโยคสญลกษณ โดยใหมการกาหนดสญลกษณใหกบตวไมทราบคาใดๆ เรยกวา “ตวแปร” และ
เครองหมายแสดงการเทากนคอ เครองหมาย “ = ” จากประโยคขางตน เราจะทาการกาหนดให ตว
แปร x แทนจานวนหม ดงนน ไกจะม x + 8 หว จะไดวา ขาหมม 4x ขา และ ขาไกม 2 x + 8 ขา
ทาใหเราสรางประโยคสญลกษณไดดงน 4x - 2 x + 8 = 8 เรยกประโยคสญลกษณทมเครองหมาย
“ = ” นวาสมการ ซงจะเหนไดชดวา x = 12 นนคอมหวหมอย 12 หว น นเอง สมการจงเปนสงทม
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 101
ประโยชนตอเราอยางมากในชวตประจาวน นอกจากสมการทมตวแปรเดยวแลว อาจมสมการทมตว
แปรมากกวา 1 ตว เชน 2x + 3y = 4 หรอบางครงตวแปรในสมการอาจมเลขชกาลงมากกวา 1 อก
ดวย เชน 2
2x + x = 4 ซงจะกลาวถงนยามของสมการโดยสรปไวดงน
นยาม สมการ (Equation) หมายถงประโยคสญลกษณทางคณตศาสตร ทกลาวถงการเทากน โดยใช
เครองหมาย “=”
นยาม ตวแปร (Variable or Unknown) คอ ตวไมทราบคาทอยในรปตวอกษรหรอสญลกษณตางๆ
นยาม สวนคาทใชแทนตวแปรแลวทาใหสองขางของเครองหมาย “=” เทากน เรยกวา ผลเฉลยของ
สมการ (Solution)
สมบตของสมการ
1. ปรมาณใดๆรวมถงฟงกชนสามารถบวกทงสองขางของสมการได
2. ปรมาณใดๆรวมถงฟงกชนสามารถลบทงสองขางของสมการได
3. ปรมาณใดๆรวมถงฟงกชนสามารถคณทงสองขางของสมการได
4. ปรมาณใดๆรวมถงฟงกชนทไมเปนศนยสามารถหารทงสองขางของสมการได
จะเหนวาการหาผลเฉลยของสมการไมใชเรองยาก สงทเรามกสบสนคอโจทยปญหากอนท
จะมาเปนสมการ ในบทนเราจงขามการฝกทกษะวธการแกสมการเพยงอยางเดยว ไปสการฝกหดทา
โจทยปญหาทสามารถเปลยนใหอยในรปสมการรวมถงการแกสมการดวย
ขอแนะนาในการแกปญหาเกยวกบโจทยปญหาสมการทวๆ ไป มดงน
1. เมออานปญหาโจทยแลวจะตองกาหนดตวแปรแทนขอความทยงไมทราบคาในโจทย
ซงอาจมหลายขอความโดยทวไปมกจะกาหนดตวแปรแทนขอความทโจทยถาม
2. เครองหมาย “=” มกจะสรางจากขอความ เปน, อย, จะได (ได), เทากบ, รวมกบ,
ตางกน, หรอมาจากการสรางความสมพนธระหวางขอความ
3. ในบางครงเราอาจตองวาดรปประกอบเพอใหงายตอการกาหนดสงตาง ๆ
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 102
ในบทท 5 นเราจะทาการฝกทกษะในการหาผลเฉลยของโจทยปญหาสมการทตวแปรมเลข
ชกาลงเปน1หรอทเราเรยกอกอยางหนงวา สมการเชงเสน
ตวอยางท 1 พอกบแมมเงนรวมกน 10,000 บาท ถาพอใหเงนแมใชเพมจากเงนของแมเองอก 2,000
บาท เดมพอมเงนมากกวาแมอย 4,000 บาท เดมแมจะมเงนใชกบาท
วธทา กาหนดให แมมเงนใช x บาท (ซงเปนจานวนไมทราบคา)
ดงนน เดมแมมเงน x - 2,000 บาท
และ เงนของพอจะม 10, 000 - x - 2, 000 บาท หรอ 12,000 – x บาท
จากประโยคทวา เดมพอมเงนมากกวาแมอย 4,000 บาท จะไดวา
สมการคอ (12,000 - x) - x - 2,000 = 4,000
12,000 - x - x + 2,000 = 4,000
14,000 - 2x = 4,000
-2x = -10,000
x = 5,000
ดงนน แมมเงนใช 5,000 บาท
ในบางครงเราอาจกาหนดตวแปรไมตรงกบสงทโจทยถาม ในจดนเราจงตองมความ
ระมดระวงและรอบคอบกอนตอบดวย เชนโจทยถามวาเดมแมมเงนกบาท ในทน 5,000 บาทจะ
ไมใชคาตอบทถกตอง ตองทาตอไปอกขนหนงคอ เดมแมมเงน x – 2,000 = 5,000 – 2,000 บาท
จากตวอยางท 1 อาจกาหนดตวแปรไดสองตวคอ ใหเงนของพอและเงนของแมเปนสงทไม
ทราบคาทงค เราอาจกาหนดตวแปรไดดงน
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 103
ให เดมแมมเงน x บาท
และเดมพอมเงน y บาท
ดงนนแมมเงนใช 2,000 + x บาท
เดมพอมเงนมากกวาแม y – x = 4,000 บาท
เงนสองคนรวมกนได x + y = 10,000 บาท
ดงนน เกดเปนสมการสองตวแปรทมเลขชกาลงเปน 1 จานวนสองสมการ หรอจะกลาววาม
สมการเชงเสนสองตวแปรสองสมการ โดยทสมการทงสองตองมชดคาตอบเดยวกน
นยาม สมการมากกวาหนงสมการทมชดคาตอบรวมกนจะเรยกวา ระบบสมการ
หลกสาคญทใชแกระบบสมการสองตวแปร
1. กาหนดตวแปรใหครบ
2. พยายามลดจานวนตวแปรในแตละสมการ โดยใชวธการดงน
2.1 จดรปตวแปรหนงใหอยในรปของตวแปรทเหลอ แลวนาไปแทนคาในอกสมการ
หนง
2.2 จดรปใหตวแปรหนงอยในรปของตวแปรทเหลอทงสองสมการ แลวจบเทากน
2.3 ทาสมประสทธหนาตวแปรใดตวแปรหนงใหเทากน หรอตรงขามกน แลวจบ
สมการลบหรอบวกกน เพอหกลางตวแปรทมสมประสทธเทากน หรอตรงขาม
กนทง
จากตวอยางท 1 เรากาหนดตวแปรและสรางสมการไดดงน
ใหเดมแมมเงน x บาท
และเดมพอมเงน y บาท
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 104
ดงนนแมมเงนใช 2,000 + x บาท
เดมพอมเงนมากกวาแม y – x = 4,000 บาท
เงนสองคนรวมกนได x + y = 10,000 บาท
จงกาหนดสมการไดดงน y - x = 4,000 ……..………….(1)
x + y = 10,000 …….………….(2)
ตอไปจะเปนวธการหาคาตอบของระบบสมการ
วธท 1 โดยจดรป y ในรปของ x เฉพาะสมการท (1)
จาก (1) y = 4,000 + x
x + 4,000 + x = 10,000
4,000 + 2x = 10,000
2x = 6,000
x = 3,000
นนคอเดมแมมเงน 3,000 บาท
(ดงนน เงนทแมใชไดคอ x + 2,000 = 3,000 + 2,000 = 5,000 บาท)
วธท 2 โดยจดรป y ในรปของ x ทงสองสมการ
จาก (1); y = 4,000 + x
จาก (2); y = 10,000 – x
เนองจาก y ในสมการท (1) และ (2) เทากน
จะไดวา 4,000 + x = 10,000 - x
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 105
x + x = 10,000 - 4,000
2x = 6,000
x = 3,000
นนคอเดมแมมเงน 3,000 บาท
(ดงนน เงนทแมใชไดคอ x + 2,000 = 3,000 + 2,000 = 5,000 บาท)
วธท 3 เนองจากสมประสทธ ทอยหนา y มคาตรงขามกน จะไดวา
นา (1) + (2); 2x = 6,000
x = 3,000
นนคอเดมแมมเงน3,000 บาท
(ดงนน เงนทแมใชไดคอ x + 2,000 = 3,000 + 2,000 = 5,000 บาท)
... ซงจะเหนวาทง วธจะมคาตอบเดยวกน แลวแตความถนดของผทา...
โดยทวไปปญหาสาหรบสมการ 2 ตวแปรมกเกยวของกบเรองตอไปน
1. จานวนกบตวเลข
เลข 2 หลก ตองกาหนดทละหลก เชน ให x เปนหลกสบและ y เปนหลกหนวย ใช
คาประจาหลกเขยนเลขจานวนนเปน 10x+y
เลขเศษสวน ตองกาหนดตวเศษและตวสวนเปนตวแปรคนละตว เชน ให x เปนตว
เศษ และ y เปนตวสวน เศษสวนจานวนนนคอ x
y
เลข 2 จานวน ตองระบลงไปวา x หรอ y เปนจานวนนอย อกจานวนเปนจานวนมาก
ถาไมมจานวนนอย จานวนมาก แตม 2 จานวน ใหกาหนดจานวนแรกเปน x อก
จานวนหนงเปน y แลวเขาสมการตามโจทยใหถก
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 106
ตวอยางท 2 เลขจานวนหนงประกอบดวยสองหลก เลขหลกหนวยมากกวาเลขหลกสบอย 5 ผลบวก
ของเลขจานวนเดมกบจานวนทเกดจากการสลบหลกกนกบจานวนเดมเปน 143 จงหา
จานวนเดม
วธทา ใหจานวนแรกมหลกหนวยเปน x และ หลกสบเปน y
ดงนนจานวนแรกคอ x+10y
และจานวนทสองคอ 10x+y
ในการสรางสมการ จะเหนวา
จานวนแรกหลกหนวยมากกวาหลกสบอยหาจะไดวา x-y = 5 ………….(1)
ผลบวกของจานวนทงสองจานวนคอ 143 จะไดวา (x+10y)+(10x+y) = 143
หรอ 11x+11y = 143 ………….(2)
จาก (1) 11; 11x-11y = 55 ………….(3)
จาก (3)+(2); 22x = 198
198
x = = 922
แทนคา x=9 ลงใน(1); 9 – y = 5
y = 4
นนคอหลกหนวยเปน 9 และหลกสบเปน 4 ดงนนจานวนนนคอ 49
. อายในอดต - ปจจบน – อนาคต
นยมกาหนดอายในปจจบนเปน x เปน y แลวใชวธลบออกเมอตองการหาจานวนอาย
เปนปในอดต และใชวธบวกเมอตองการหาอายในอนาคต
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 107
ตวอยางท 3 เมอ 3 ปทแลว อตราสวนของอายของนายอารมกบนายกอลฟ เปน 3:5 และถาใน 10
ปขางหนาอตราสวนของอายของนายอารมกบนายกอลฟ เปน 2:3 จงหาอายปจจบน
ของนายอารม และนายกอลฟ
วธทา ใหอายนายอารม ณ ปจจบนเปน x ป
อายของนายกอลฟ ณ ปจจบนเปน y ป
ดงนน 3 ปทแลวนายอารม มอาย x-3 ป
และ 3 ปทแลวนายกอลฟ มอาย y – 3 ป
จะได สมการ x - 3 3
=y - 3 5
และ 32
10y10x
นนคอ 5 x - 3 = 3 y - 3
นนคอ 5x – 3y = 6 ………….(1)
และ (x + 10) = 2(y + 10)
นนคอ 3x - 2y = -10 ………….(2)
จาก (1) 2; 10x - 6y = 12 ………….(3)
จาก (2) 3; 9x - 6y = -30 ………….(4)
จาก (3) – (4); x = 42
แทนคา x ใน (3) จะได 420 6y 12
จะได y = 68
ดงนน จะไดวา อายนายอารมปจจบนเปน 42 ป
อายนายกอลฟปจจบนเปน 68 ป
3. ราคาสงของ – จานวนสงของ
จานวนเงนทงหมด = จานวนสงของ × ราคาตอหนวย
ราคาของหนงหนวย = จานวนเงนทงหมด / จานวนสงของ
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 108
ตวอยางท 4 ปากกา 4 ดาม ดนสอ 2 แทง รวมกน 24 บาท แตปากกา 6 ดาม ดนสอ 5 แทง ราคา
รวมกน 40 บาท ดงนน ปากกา 1 ดาม ดนสอ 1 แทง ราคารวมกนเทาใด
วธทา ใหปากกาดามละ x บาท
และ ดนสอแทงละ y บาท
จะไดสมการ 4x + 2y = 24 ………….(1)
และ 6x + 5y = 40 ………….(2)
จาก (1) 3; 12x+6y = 72 ………….(3)
จาก (2) 2; 12x+10y=80 ………….(4)
นา (3) - (4); -4y = -8
y = 2
แทนคา y = 2 ลงใน (1); 4x + 2(2) = 24
4x + 4 = 24
4x = 20
x = 5
ดงนนปากกา ดามละ 5 บาท และ ดนสอดามละ 2 บาท ราคารวมกนแลวเทากบ 7 บาท
4. ระยะทาง-ความเรว-เวลา
ระยะทาง = ความเรว × เวลา
เวลา = ระยะทาง / ความเรว
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 109
5. กระแสนา
การแลนเรอหรอพายเรอในนาเกยวของกบกระแสนา ความเรวเรอในนานง ทศทางการ
เคลอนทของเรอตามหรอทวนนา
ความเรวของเรอทตามนา = ความเรวของเรอในนานง + ความเรวของกระแสนา
ความเรวของเรอททวนนา = ความเรวของเรอในนานง - ความเรวของกระแสนา
เขยนสนๆไดวา ตามนา = นานง + กระแสนา ….…(1)
ทวนนา = นานง – กระแสนา ….…(2)
ถานา (1)+(2) จะได ตามนา+ทวนนา = 2นานง
นนคอ นานง = (ตามนา + ทวนนา) / 2 ….…(3)
เชนเดยวกน ถานา (1)-(2) จะได กระแสนา = (ตามนา – ทวนนา) / 2 …….(4)
สตร (1), (2), (3) และ (4) น มหนวยเปนระยะทาง ขณะเวลาเทากน
ตวอยางท 5 พายเรอตามนา 3 ชวโมง ไดระยะทางเทากบพายเรอทวนนาถง 5 ชวโมง อตราสวน
ความเรวของเรอในนาน งกบความเรวของกระแสนาเปนเทาไหร (โจทยขอนตองใช
ความรในขอ 4 และ ขอ 5)
วธทา ใหอตราเรวของการพายเรอในนานงชวโมงละ x กโลเมตร
ใหอตราเรวของกระแสนาชวโมงละ y กโลเมตร
ดงนนพายเรอตามนาหนงชวโมงไดทาง x + y
และพายเรอทวนนาหนงชวโมงไดทาง x - y
เนองจากพายเรอตามนา 3 ชวโมง ไดทางเทากบพายเรอทวนนา 5 ชวโมง
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 110
จะไดสมการคอ 3 x + y = 5 x - y
3x + 3y = 5x - 5y
5y + 3y = 5x - 3x
8y = 2x
x 4
=y 1
ดงนน อตราสวนของเรอในนานงกบความเรวของกรแสนาคอ 4:1
จะเหนวาตวอยางนไมจาเปนตองกาหนดตวแปรเปนสงทโจทยถาม เนองจากยากตอการ
นาไปใชงานตอ และสดทายไมจาเปนตองหาคาของตวแปรแตละตวกจะสามารถทราบคาตอบได
6. กาไร-ขาดทน-สวนลด-นายหนา
กาไรรอยละหรอขาดทนรอยละ ตองคดจากตนทน 100 บาทเสมอ
7. ของผสม
เปนการนาของทมคณภาพตางกนมาผสมกน ใหเกดของทมคณภาพอยระหวางของเดมนน
เชน เอาของดผสมของไมดแลวไดของชนดปานกลาง วธทาตองกาหนดจานวนของทผสมแตละ
ชนด แลวตองหาตนทนของของผสมนนดวยทกครง
ตวอยาง 6 ซอสบปะรดนางแลรานยายสวสดกโลกรมละ 20 บาท และ สบปะรดภแลกโลกรมละ 30
บาท หากเอามาขายคละกนในราคากโลกรมละ 25 บาท ไดกาไรทงหมด 20% ตองขาย
สบปะรดนางแลกกโลกรม ถาขายสบปะรดภแล 5 กโลกรม (ใชความรในขอ 6 และ 7)
วธทา ใหสบปะรดนางแลขายได x กโลกรม
ใหสบปะรดภแลขายได y กโลกรม
ดงนนขายสบปะรดไดทงหมด x+y กโลกรม
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 111
สบปะรดนางแลซอมา 20x บาท
สบปะรดภแลซอมา 30y บาท
ดงนนจะมตนทน 20x+30y
แตหากขายคละกโลละ 25 จะขายได 25(x+y ) ซงขายไดกาไร 20%
ทน 100 บาท ขายไป 120 บาท
ทน 20 30x y ขายไป 20x + 30y
×120100
ดงนน สมการคอ 20x + 30y×120 = 25 x + y
100
จะได x – 11y = 0
x = 11y
ถา y = 5 จะได x = 11 × 5 = 55
ดงนน ตองขายสบปะรดนางแล 55 กโลกรม
8. แรงงาน
การคานวณเกยวกบแรงงานของคน สตว สงของ ตองสมพนธกบเวลา โดยใชหลกการ
เทยบเวลา 1 หนวยเวลา
ตวอยางท 7 ถาชาย 3 คน กบหญง 2 คน ทางานอยางหนงเสรจใน 3 วน แตถาใหชายเพยง 2 คน กบ
หญงอก 3 คน ทางานนนเสรจใน 4 วน จงหาวาถาชายคนเดยวจะเสรจในกวน
วธทา ใหชายคนเดยวทางานเสรจใน x วน
และหญงคนเดยวทางานเสรจใน y วน
ดงนนใน 1 วนชายคนเดยวไดงาน 1x
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 112
และใน 1 วนหญงคนเดยวไดงาน 1y
ดงนน ใน 1 วน ชาย 3 คน และ หญง 2 คน ไดงาน
1 13 + 2
x y
นนคอใน 3 วน ชาย 3 คน และ หญง 2 คน ไดงาน
1 19 + 6
x y
และใน 1 วน ชาย 2 คน และ หญง 3 คน ไดงาน
1 12 + 3
x y
นนคอใน 4 วน ชาย 2 คน และ หญง 3 คน ไดงาน
1 18 +12
x y
เนองจากงานทไดเทากน จะได วา
1 1 1 19 + 6 = 8 +12
x y x y ………….(1)
จะไดวา 1 6
=x y
นนคอ y = 6x
เนองจากใน 3 วน ชาย 3 คน และ หญง 2 คน ไดงาน
1 19 + 6
x y
จะไดวา 1 1 9 1 10
9 + 6 = + =x 6x x x x
เนองจากชายคนเดยวทางานได 1
x หนวย ใชเวลา 1 วน
ถาชายคนเดยวทางานได 10
x หนวยจะตองใชเวลา
10×
10x = × x = 101 x
1
x
วน
นนคอชายคนเดยวตองใชเวลาในการทางาน 10 วน
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 113
อสมการ
บอยครงทเราจะพบเหนความสมพนธทมากกวา, นอยกวา, มากกวา หรอเทากบ, นอยกวา
หรอเทากบ และการไมเทากบ ในชวตประจาวน ซงเราสามารถแปลงความสมพนธเหลานนใหอย
ใน ร ป ป ร ะ โ ย ค สญ ลก ษ ณ ไ ด เ ช น เ ด ย ว กบ สม ก า ร แ ละ เค ร อ ง ห ม า ย ท ใชจ ะ แ ท น ดว ย
" "," ", " ", " " และ " " ตามลาดบ ในการหาคาตอบของอสมการจาเปนตองทราบ
สมบตของจานวนจรงบางประการ ตอไปนดวย
1. ถา a > 0 และ b > 0 แลว a+b > 0
2. a < 0 กตอเมอ -a > 0 และ a > 0 กตอเมอ –a < 0
3. ถา a > 0 แลว 1
> 0a
4. ถา a < 0 แลว 1
< 0a
5. ab < 0 กตอเมอ (a > 0 และ b < 0) หรอ (a < 0 , b > 0 )
6. ab > 0 กตอเมอ (a > 0 และ b > 0) หรอ (a < 0 และ b < 0)
7. a b และ b a กตอเมอ a = b
8. ถา a < b และ b < c แลว a < c
9. ถา a < b แลว a+c < b+c
10. ถา a < b และ c < d แลว a+c < b+d
11. ถา a < b และ c > 0 แลว ac < cb
12. ถา a < b และ c < 0 แลว ac > bc
รวมถงทฤษฎบททควรทราบดงตอไปน
ทฤษฎบท1 สาหรบจานวนจรง a, b, c และ d ใดๆ ท 0 < a < b, 0 < c < d และ n เปนจานวนเตม
บวกใดๆ
1. 0 < ac < bd
2. 0 < an < bn
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 114
3. 1 1> > 0
a b
4. 1 1n >
a bn > 0
นอกจากนนทฤษฎบทขางตนยงจะคงเปนจรงหากแทนเครองหมาย “ ” ดวย “ ” และแทน
“ ” ดวย “ ”
ทฤษฎบท 2 สาหรบจานวนจรง a ใดๆ
1. a2 0
2. 02a กตอเมอ a = 0
ตวอยางท 8 จงหาคาตอบทเปนไปไดทงหมดของอสมการ 3x +1 5 + 8x
x + <2 3
วธทา 3x +1 5 + 8x
x + <2 3
6x + 3 3x +1 < 2 5 + 8x
6x + 9x + 3 < 10 +16x
15x + 3 < 10 +16x
-x < 7
x > -7
สาหรบโจทยปญหาอสมการ มกจะมการกาหนดตวแปร และหลกการในการเขยนประโยค
สญลกษณเชนเดยวกบการเขยนประโยคสญลกษณในเรองสมการโดยมขนตอนดงน
1. วเคราะหโจทยเพอหาวาโจทยกาหนดอะไรมาใหและใหหาอะไร
2. กาหนดตวแปรแทนสงทโจทยใหมาหรอแทนสงทเกยวของกบสงทโจทยใหหา
3. เขยนอสมการตามเงอนไขในโจทย
4. แกอสมการเพอหาคาตอบทโจทยตองการ
5. ตรวจสอบคาตอบทไดกบเงอนไขคาตอบในโจทย
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 115
ตวอยางท 9 หนงสอเรยนวชาหนงมแบบฝกหดจานวน 100 ขอ นกศกษาคนหนงคาดหมายทจะทา
แบบฝกหดในหนงสอใหไดครบทกขอเนองจากอยากไดเกรด A หากพบวาในแตละวน
เขาทาแบบฝกหดไดมากกวา 5 ขอ นกศกษาคนนตองใชเวลากวนจงจะทาแบบฝกหด
ครบทกขอ
วธทา ให x แทนจานวนวนทนกศกษาใชทาแบบฝกหด
ดงนนนกศกษาจะทาแบบฝกหดไดมากกวา 5x ขอ
นกศกษาตองการทาแบบฝกหด 100 ขอ ดงนนจะสามารถเขยนอสมการไดดงน
5x < 100
100
x <5
x < 20
ดงนนจะทาแบบฝกหดหมดไดตองใชเวลานอยกวา 20 วน
ตวอยางท 10 ตองการตดกระดาษรปสเหลยมผนผา โดยอยากไดพนทมากกวา 20 ตารางเซนตเมตร
และ เสนรอบรปไมเกน 18 เซนตเมตร จะตองตดกระดาษความกวางไมเกนเทาไหร
วธทา ให x เปนความกวางของกระดาษ
และ y เปนความยาวของกระดาษ
จะไดวากระดาษมพนทเปน xy ตารางเซนตเมตร
และมเสนรอบรป 2x+2y เซนตเมตร
เนองจากพนทตองมากกวาหรอเทากบ 20 ตารางเซนตเมตร จะไดวา xy 20 ………(1)
และ เสนรอบรปไมเกน 18 เซนตเมตร จะไดวา 2x + 29 18 …………...……(2)
ดงนน 2218 xy
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 116
+
21 x
1y 8 - 2
…………(3)
นนคอ
220
11
xyy 8 - 2x
401 x
x8 - 2
x 18 - 2x 40
-2x +182 x - 40 0
2x -18x2 + 40 0
x - 9x +2 20 0
x - 5 x - 4 0
จะไดวา 4 x 5
นนคอกระดาษตองกวางไมเกน 5 เซนตเมตร
5 4
+ -
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 117
สรป
ในการประยกตใชสมการและอสมการ เปนการมองปญหาในชวตประจาวนทเราตองการ
คาตอบใหอยในรปโจทยปญหาของสมการหรออสมการ ถดจากนนเราจะเรมเขยนปญหานนใหอย
ในรปประโยคสญลกษณ เพอใหสามารถแกสมการหรออสมการเพอหาคาตอบ ซงจะนาไปคาตอบ
ของปญหานนๆได
………………………………..
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 118
แบบฝกหดทายบทท 5
1. จงสรปองคความรทไดจากเนอหาในบทนโดยเขยนใหอยในรปแผนผงความคด
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 119
. นกศกษามหาวทยาลยราชภฏเชยงรายไปทศนศกษา เขาพกทโรงแรมแหงหนง หากพกหองละ
คนจะมนกศกษาหนงคนไมมหอง หากเขาพกหองละสองคนจะมหองเหลอ 1 หอง จงหาวา
นกศกษา มกคน และหองพกมกหอง
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
2. เรอหางยาวแลนผานดานขางโรงเรยน เปนระยะทาง 5 กโลเมตรใชเวลา 10 นาท แตขากลบ
ดวยระยะทางทเทากนกลบใชเวลา 15 นาท เรอหางยาวนแลนดวยอตราเรวเทาไรในนานง
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 120
3. ในการเลนเกมออมเงนกาหนดใหนกเรยนชายมมลคา 50 สตางค และนกเรยนหญงมมลคา
1 บาท ถานกเรยนชายมนอยกวานกเรยนหญง 5 คนและรวมมลคาของทกคนในหองได
36.50 บาท แลวจะมนกเรยนหญงกคน
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
4. จงแกอสมการ x + 3
3x +2
x +132
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 121
5. คณธนายทธแกกวาคณสภกจไมเกน 3 ป หากหมอดนาโนทายวา คณธนายทธกบคณสภกจ
ตองแตงงานกนตอนอายรวมกนไมนอยกวา 50 ป จงจะอยกนยด อยากทราบวาคณธนายทธ
และคณสภกจตองอายไมนอยกวาเทาใด
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
6. ยกตวอยางปญหาในชวตประจาวน และเขยนอยในรปของสมการและอสมการ พรอมทง
แสดงวธการแกปญหา
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 122
เอกสารอางอง
ศรจนทร เวสารชศาสตร (2549). คณตศาสตรพนฐาน.กรงเทพฯ : คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย
มหาวทยาลยธรรมศาสตร
สมการและอสมการสบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก
htttp://math .snru.ac.th/UserFiles/File/math @snru/... - /.../unit .doc
สมการและอสมการสบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://th.wikipedia.org/wiki/สมการ
สมการและอสมการสบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://home.kku.ac.th/wattou/service/m12
3/03.pdf
สมการและอสมการสบคนเมอ 1 มถนายน 2557, จาก https://sites.google.com/site/mathgang2m3/3
บทท 6
การประยกตใชความรทางสถต เวลา 9 ชวโมง
สาระสาคญ /ความคดรวบยอด
คาวา “สถต” (Statistics) มความหมายแยกไดเปน 2 ประการ คอ ประการแรก สถต หมายถง ขอมล
หรอตวเลขซงแสดงขอเทจจรงเกยวกบเรองตางๆ เชน รายได รายจาย จานวนประชากร จานวน
นกเรยน ปรมาณนาฝน เปนตน ประการทสอง สถต หมายถง ศาสตรทวาดวยการจดการกบขอมล 4
ขนตอน ดงนคอ การเกบรวบรวมขอมล (Collection of Data) การวเคราะหขอมล (Analysis of Data)
การนาเสนอขอมล (Presentation of Data) และการแปลผลขอมล (Interpretation of Data) ซงการ
วเคราะหขอมลในสถตขนสงมความจาเปนจะตองอาศยความนาจะเปน (Probability)
จดประสงคการเรยนร
1. เพอใหผเรยนมความรความเขาใจในระเบยบวธการทางสถต
2. เพอใหผเรยนมความรความเขาใจในเรองความนาจะเปน
3. เพอใหผเรยนสามารถนาวธการทางสถตและความนาจะเปนไปประยกตใชในชวต ประจาวน
และการวจยไดอยางเหมาะสม
เนอหา
1. สถตพรรณนา
2. ความนาจะเปน
3. การนาวธการทางสถตและความนาจะเปนไปประยกตใชในชวตประจาวนและการวจย
กจกรรมประกอบการสอน
1. ผสอนบรรยายใหความร
2. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเนอหา
3. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามทกาหนดไว
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 124
สอประกอบการสอน
1. เอกสารเนอหาประกอบการสอน
2. แบบฝกหด
การวดและการประเมนผล
1. ดานความร โดยการตรวจแบบฝกหด
2. ดานทกษะ/กระบวนการ โดยการสงเกต
3. คณลกษณะทพงประสงค โดยการสงเกตการมสวนรวมในการทากจกรรมการเรยน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 125
ในปจจบนสถตเขามาเกยวของกบมนษยเราอยตลอดเวลา ทงจากการสนทนา การอาน
หนงสอ วารสารวชาการ หรองานวจยตางๆ มกจะมขอมล ตวเลข หรอวธการทางสถตเกยวของอย
ดวยเสมอ
ตวเลขทางสถตทเราคนเคย ไดแก สถตการเกดอบตเหต สถตผปวยโรคเอดส สถตการตด
ยาเสพตด สถตจานวนประชากร เปนตน ซงสถตเหลานอาจจะแสดงอยในรปของตาราง กราฟแทง
กราฟเชงเสน แผนภาพ วงกลม หรออาจจะเปนวธการทางสถต เชน การตอบแบบสอบถาม การ
สมภาษณ เปนตน สถตดงกลาวจะมสวนชวยในการตดสนใจดานตางๆ ทงดานการดาเนนชวต การ
บรหารองคกร ตลอดจนถงการบรหารประเทศ
ความหมายของสถต
คาวา “สถต” (Statistics) มความหมายแยกไดเปน 2 ประการ คอ ประการแรก สถต หมายถง
ขอมลหรอตวเลขซงแสดงขอเทจจรงเกยวกบเรองตางๆ เชน รายได รายจาย จานวนประชากร จานวน
นกเรยน ปรมาณนาฝน เปนตน ประการทสอง สถต หมายถง ศาสตรทวาดวยการจดการกบขอมล 4
ขนตอน ดงนคอ
1. การเกบรวบรวมขอมล (Collection of Data) ในการตดสนใจในเรองตาง ๆ จาเปนตอง
อาศยขอมลแทบทงสน จงมความจาเปนตองมการเกบรวบรวมขอมลซงอาจจะเกบจากทะเบยน
ตางๆทมผรวบรวมไวแลว หรออาจจะเกบรวบรวมดวยตนเองโดยวธการสารวจ หรอการสมภาษณ
เปนตน
2. การนาเสนอขอมล (Presentation of Data) เปนการนาขอมลทเกบรวบรวมไดหรอท
วเคราะหไดมาจดใหอยในรปแบบทนาสนใจ งายตอความเขาใจของบคคลทวไป ซงอาจอยในรป
ตาราง แผนภาพ หรอแผนภม เปนตน
3. การวเคราะหขอมล (Analysis of Data) เปนการดาเนนการกบขอมลทเกบรวบรวมมา
ได เพอใหไดผลลพธทจะนาไปใชในการตดสนใจตอไป การวเคราะหขอมลสามารถทาไดโดยการ
ใชสตรสถต หรอใชโปรแกรมสาเรจรปกไดผลเชนเดยวกน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 126
4. การแปลผลขอมล (Interpretation of Data) เปนการนาผลจากการวเคราะหขอมลทเปน
ตวเลขซงยากตอความเขาใจของบคคลทวไปมาอธบายความหมายของตวเลขเหลานนใหเปนผลสรป
ทสามารถใหคาตอบของวตถประสงคทตองการศกษาได
คาศพททางสถตทควรทราบ
ในการศกษาเกยวกบสถตจะมคาศพททใชบอยๆ ซงจะตองมความเขาใจความหมายดงน
1. ประชากร (Population) หมายถง ขอมลทกๆ หนวยของสงทเกยวของกบสงทเรากาลง
ศกษา เชน ตองการศกษารายจายของนกศกษาในมหาวทยาลยราชภฏเชยงราย ประชากรหมายถง
นกศกษาทกคนในมหาวทยาลยราชภฏเชยงราย หรอตองการศกษาอายการใชงานของหลอดไฟฟา
ยหอหนง ประชากรหมายถงหลอดไฟฟายหอนทงหมด เปนตน
2. กลมตวอยาง (Sample) หมายถง ขอมลทถกเลอกมาเปนตวแทนของประชากร
3. พารามเตอร (Parameter) หมายถง คาคงตวทแสดงถงคณลกษณะของประชากร เชน
คาเฉลยของประชากร แทนดวย
สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร แทนดวย
ความแปรปรวนของประชากร แทนดวย 2
สดสวนของประชากร แทนดวย p
4. คาสถต (Statistic) หมายถง คาทแสดงคณลกษณะของตวอยาง เชน
คาเฉลยของตวอยาง แทนดวย X
คาเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง แทนดวย S
ความแปรปรวนของตวอยาง แทนดวย S2
สดสวนของตวอยาง แทนดวย p
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 127
ประชากร การสม กลมตวอยาง
ประกอบดวย x1,x2,x3,…,xN ประกอบดวย x1,x2,x3,…,xn
การวเคราะห การวเคราะห
คาพารามเตอร คาสถต
1) คาเฉลย ( ) การอนมาน 1) คาเฉลย ( x )
2) คามธยฐาน 2) คามธยฐาน
3) คาฐานนยม 3) คาฐานนยม
4) คาเบยงเบนมาตรฐาน ( ) 4) คาเบยงเบนมาตรฐาน (S)
5) ความแปรปรวน ( 2 ) 5) ความแปรปรวน (S2)
ประเภทของสถต
สถตในฐานะทเปนศาสตรแบงออกเปน 2 ประเภท คอ
1. สถตพรรณนา (Descriptive Statistics)
สถตพรรณนา เปนสถตทใชบรรยายถงลกษณะของขอมลทศกษาเพยงกลมใดกลมหนง
เทานน ไมสามารถนาผลสรปไปอางองขอมลกลมอนได เชน การศกษารายไดของประชาชนใน
จงหวดเชยงราย โดยการเกบรวบรวมขอมลรายไดของประชาชนทกคนในจงหวดเชยงราย แลวทา
การวเคราะหขอมลเพอหาคาเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล
จะเหนวาผลการวเคราะหทไดสามารถอธบายรายไดของประชาชนในจงหวดเชยงราย
เทานน ไมสามารถนาไปอธบายรายไดของประชาชนในจงหวดอนๆ ได วธการวเคราะหขอมลสถต
พรรณนามดงน คอ การแจกแจงความถ การหาคาสดสวนหรอคารอยละ การวดแนวโนมส
สวนกลางและการวดการกระจายของขอมล เปนตน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 128
2. สถตอนมาน (Inferential Statistics)
สถตอนมาน เปนสถตอาศยการวเคราะหจากขอมลตวอยางแลวนาผลทไดไปสรปถง
พารามเตอรของประชากร ตวอยางเชน พรรคการเมองพรรคหนงตองการทราบความนยมของ
ประชาชนทมตอพรรค ถาหากสอบถามผมสทธเลอกตงทกคนทวประเทศ กจะทาใหสนเปลองเวลา
งบประมาณ และอาจจะไมทนการณ นกวจยผรบผดชอบจะใชวธการสมสารวจผมสทธเลอกตง
เพยงบางสวนนาผลทไดมาวเคราะหแลวสามารถสรปผลไดวาความนยมทมตอพรรคทวทงประเทศ
วามมากนอยเพยงใดและยงสามารถบอกไดวาการสรปดงกลาวมความถกตองเชอถอไดมากนอย
เพยงใดดวย วธการวเคราะหทาไดโดยใชวธการประมาณคา (Estimation) และการทดสอบ
สมมตฐาน (Hypothesis Test)
ขอมล
ขอมล (Data) หมายถง ขอเทจจรงเกยวกบเรองทสนใจศกษาซงอาจจะเปนตวเลขหรอไม
เปนตวเลขกได ขอมลแบงออกไดเปน 2 ประเภท คอ
1. ขอมลเชงปรมาณ (Quantitative Data) หมายถง ขอมลทสามารถวดออกมาเปน
ตวเลขและคานวณได เชน อาย นาหนก สวนสง คะแนน หรอคะแนนความคดเหนแบบมาตรการ
ประเมน(Rating Scale) เชน มากทสด(5) มาก(4) ปานกลาง(3) นอย(2) นอยทสด(1) เปนตน การ
วเคราะหขอมลสามารถหาคาเฉลย มธยฐาน ฐานนยม สวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน
2. ขอมลเชงคณภาพ (Qualitative Data) หมายถง ขอมลทไมสามารถคานวณได เชน เพศ
ศาสนา อาชพ ระดบการศกษา หรอ อายทแบงเปนชวง ๆ เปนตน การวเคราะหขอมลสามารถแจกแจง
ความถและรอยละ ไดเทานน
มาตราการวดขอมล
จากทกลาวมาแลววา ขอมล หมายถงขอเทจจรงเกยวกบเรองทสนใจศกษาซงอาจจะเปน
ตวเลขหรอไมเปนตวเลขกได เราสามารถแบงขอมลออกเปน 4 ระดบ ตามมาตราการวดดงตอไปน
1. มาตรานามบญญต (Nominal Scale) เปนการวดขอมลเชงคณภาพโดยการจาแนก
ขอมลออกเปนกลมๆตามลกษณะใดลกษณะหนง และสามารถนบจานวนความถได เชน จาแนกตาม
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 129
เพศ เปนเพศชายและเพศหญง จาแนกตามวฒการศกษาเปนประถมศกษา มธยมศกษา และ
อดมศกษา เปนตน
2. มาตราเรยงอนดบ (Ordinal Scale) เปนการวดขอมลเชงคณภาพทสามารถจดจดเปน
อนดบบอกความมากหรอนอยกวากนได เชน ผลการประกวดภาพวาดเปนอนดบ 1 2 และ3 ซงบอก
ไดวาอนดบ 1 สวยกวาอนดบ 2 และอนดบ 2 สวยกวาอนดบ 3 แตไมสามรถบอกไดวาสวยกวากน
มากนอยเทาใดนอกจากนระดบการศกษา หรอยศทหารและตารวจ กจดเปนขอมลในมาตรานดวย
3. มาตราอนตรภาค (Interval Scale) เปนการวดขอมลเชงปรมาณทมความแตกตางของ
ขอมลแตละหนวยมคาเทากนโดยมศนยเปนจดเรมตนของการวด เชน คะแนน และอณหภม แตคา
ศนยดงกลาวไมใชศนยแท เชน คะแนนศนยไมไดหมายความวาผสอบไมมความรอยเลย หรอนาย
ณเดชณ สอบได 40 คะแนน สวนนายอนนดา สอบได 20 คะแนน ไมไดหมายความวา นายณเดชณ
มความรเปน 2 เทาของนายอนนดา เปนตน
4. มาตราอตราสวน (Ratio Scale) เปนการวดขอมลเชงปรมาณเชนเดยวกบขอมลในมาตรา
อนตรภาคแตเปนขอมลทมศนยแท ไดแก นาหนก สวนสง ระยะทาง รายได เปนตน เชน นาย ก. ม
รายได 0 บาท แสดงวานาย ก. ไมมรายไดเลย และขอมลมาตรานสามารถนามาเปรยบเทยบกนในรป
อตราสวนได เชนโตะตวหนงกวาง 30 นว ยาว 60 นว สามารถบอกไดวาโตะตวนมความยาวเปน 2
เทาของความกวาง เปนตน
การเกบรวบรวมขอมล
จากการทกลาวมาแลววา สถต ในฐานะทเปนศาสตรจะตองเรมจากการเกบรวบรวม
ขอมล และวธการเกบรวบรวมขอมลจะแตกตางกนไปตามความตองการและวตถประสงคของผใช
ขอมล
ขอมลมการจาแนกตามแหลงทเกบไดเปน 2 ชนดคอ ขอมลทตยภม (Secondary Data)
เปนขอมลทเกบรวบรวมจากแหลงทมการเกบไวกอนแลว เชน จากทะเบยน เอกสารหรอรายงาน
ตาง ๆ และขอมลปฐมภม (Primary Data) เปนขอมลทตองทาการเกบรวบรวมดวยตนเอง เนองจาก
ขอมลทตองการยงไมมผเกบรวบรวมมากอนหรอถามการเกบรวบรวมไวแลวกไมตรงตามความ
ตองการหรอขอมลไมทนสมย ขอมลปฐมภมมวธการเกบรวบรวมไดดงน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 130
1. โดยการสามะโน (Census) หมายถง การเกบรวบรวมขอมลจากทกหนวยในประชากร
ภายในขอบเขตของเรองทสนใจศกษา เชน สามะโนประชากรคอการเกบขอมลทกครวเรอนในประเทศ
ไทย นอกเหนอจากนยงมสามะโนการเกษตร สามะโนธรกจการคาและการบรการ เปนตน ซงการ
สามะโนจะตองใชเวลา แรงงาน และคาใชจายเปนจานวนมาก
2. โดยการสารวจ (Survey) หมายถง การเกบรวบรวมขอมลจากตวอยางทเปนตวแทนทด
ของประชากรและประกอบไปดวยลกษณะตางๆ ของประชากรครบถวน
การนาเสนอขอมล
วตถประสงคทสาคญของการนาเสนอขอมล กเพอทจะนาขอมลทเกบรวบรวมไดมาเสนอ
หรอเผยแพรใหผสนใจในขอมลนนๆ ทราบหรอสามารถนาขอมลไปใชประโยชนในดานตางๆได
โดยทวไปการนาเสนอขอมล สามารถทาไดในรปขอความ รปตาราง หรอรปกราฟ
ตวอยางท 1 จากสถตประชากรจงหวดเชยงราย ดงตารางตอไปน
รายการ 2551 2552 2553 2554 2555
จานวนประชากรชาย 606,775 588,850 589,890 589,759 590,446
จานวนประชากรหญง 620,542 606,083 608,328 608,897 609,977
จานวนคนเกด 11,269 11,284 11,335 11,792 12,399
จานวนคนตาย 9,152 8,820 9,359 9,355 9,415
จานวนคนยายเขา 61,436 60,735 58,761 60,420 58,516
จานวนคนยายออก 59,090 57,772 55,271 56,388 53,995
จงตอบคาถามตอไปน
1. ป 2555 ประชากรจงหวดเชยงรายทงหมดมจานวนเทาใด
2. ป 2552 ประชากรชายตอประชากรทงหมดคดเปนอตราสวนประมาณเทาใด
3. ป 2551 ประชากรชายเปนกเปอรเซนตของประชากรหญง
4. ตงแตป 2551 ถงป 2555 โดยเฉลยมจานวนคนเกดปละกคน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 131
วธทา 1. ป 2555 ประชากรจงหวดเชยงรายทงหมดมจานวนเทา 1,200,423 คน
2. ป 2552 ประชากรทงหมด = 588,850 + 606,083 = 1,194,933
อตราสวนของประชากรชายตอประชากรทงหมด
2
1
96.1
1
933,194,1
850,588
กรทงหมดจานวนประชา
กรชายจานวนประชา
อตราสวนประมาณ 1 : 2
3. ป 2551 จานวนประชากรหญง 620,542 คน คดเปน 100%
จานวนประชากรหญง 606,775 คน คดเปน %78.97542,620
775,606%100
4. ตงแตป 2551 ถงป 2555
มจานวนคนเกดปทงหมด = 11,269+ 11,284+ 11,335+ 11,792+ 12,399
= 58,079 คน
โดยเฉลยปละ 11,615.805
079,58 หรอประมาณ 11,616 คน
ตวอยางท 2 กราฟแสดงจานวนนกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนทเดนทางเขามาในประเทศ
ไทย พ.ศ. 2551 – 2556
3,971,429 3,968,5794,534,235
5,594,5776,281,153
7,396,297
-
1,000,000
2,000,000
3,000,000
4,000,000
5,000,000
6,000,000
7,000,000
8,000,000
2551 2552 2553 2554 2555 2556
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 132
จงตอบคาถามตอไปน
1. อตราสวนนกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนป 2553 ตอป 2555 ประมาณเทาใด
2. นกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนป 2551 เปนกเปอรเซนตของป 2556
3. ตงแตป 2551 ถงป 2556 โดยเฉลยมนกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนปละกคน
วธทา
1. อตราสวนนกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนป 2553 ตอป 2555
11
8
08.11
8
6,281,153
4,534,235
2555ป
2553ป
อตราสวนประมาณ 8 : 11
2. นกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนป 2551 เปนกเปอรเซนตของป 2556
ป 2556 จานวนนกทองเทยว 7,396,297 คน คดเปน 100 %
ป 2551 จานวนนกทองเทยว 3,971,429 คน คดเปน 7,396,297
3,971,429 %100
%69.53
3. ตงแตป 2551 ถงป 2556 มนกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนรวมทงหมด
= 3,971,429 + 3,968,579 + 4,534,235 + 5,594,577 + 6,281,153 + 7,396,297
= 31,746,270
โดยเฉลยปละ 5,291,045 6
31,746,270 คน
การวเคราะหขอมล
เปนการดาเนนการกบขอมลทเกบรวบรวมมาได เพอใหไดผลลพธทจะนาไปใชในการ
ตดสนใจตอไป การวเคราะหขอมลแบงเปนสถตพรรณนาไดแก การแจกแจงความถ การวด
แนวโนมสสวนกลาง และการวดการกระจายของขอมล และสถตอนมานไดแก การประมาณคา
และการทดสอบสมมตฐาน เปนตน ซงในทนจะกลาวถงเฉพาะการวเคราะหขอมลแบบสถต
พรรณนาเทานน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 133
การแจกแจงความถ
การแจกแจงความถ หมายถง การนบจานวนขอมลทมคาเดยวกนหรอขอมลทอยในกลม
เดยวกน และนยมแสดงจานวนทนบไดใหอยในรปรอยละ(Percent) ดวย โดยท
รอยละ = ลทงหมดจานวนขอม
ลทนบไดจานวนขอม x 100
ตวอยางท 3 ในการสารวจกลมตวอยางนกศกษาจานวน 15 คน พบวาเพศของนกศกษาแตละคนเปน
ดงน (เพศชาย แทนดวย 1 และเพศหญง แทนดวย 2)
คนท 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
เพศ 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2
จงแจกแจงความถของนกศกษากลมนจาแนกตามเพศ
วธทา
เพศชาย จานวน 8 คน คดเปนรอยละเทากบ 100x15
8= 53.33
เพศหญง จานวน 7 คน คดเปนรอยละเทากบ 100x15
7= 46.67
การนาเสนอขอมล นยมนาเสนอในรปตารางดงน
เพศ จานวน รอยละ
ชาย
หญง
8
7
53.33
46.67
รวม 15 100.00
การแปลผล
จากตารางขางตนพบวา กลมตวอยางจานวน 15 คน เปนเพศชายรอยละ 53.33 และเปนเพศ
หญง รอยละ 46.67
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 134
ตวอยางท 4 ในการสารวจขอมลนกศกษาจานวน 8 คน โดยแบบสอบถามเปนดงน
1. เพศ (V1) 1. ชาย 2. หญง
2. คณะ (V2) 1. คณะครศาสตร 2. คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย
3. คณะวทยาการจดการ 4. คณะสงคมศาสตร
3. อาย (V3) 1. 17 -18 ป 2. 19 – 20 ป
3. 21 – 22 ป 4. 23 – 24 ป
ผลจากการสารวจไดขอมลแลวแปลงเปนตวเลข (Coding) ผลเปนดงน
คนท V1 V2 V3
01
02
03
04
05
06
07
08
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
3
3
2
3
4
4
1
3
3
2
3
2
1
1
ตารางแสดงจานวนและรอยละเปนดงน
รายการ จานวน รอยละ
เพศ
ชาย
หญง
คณะ
ครศาสตร
วทยาศาสตรและเทคโนโลย
วทยาการจดการ
สงคมศาสตร
3
5
1
2
3
2
37.50
62.50
12.50
25.00
37.50
25.00
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 135
รายการ จานวน รอยละ
อาย
17-18 ป
19-20 ป
21-22 ป
3
2
3
37.50
25.00
37.50
จากตารางพบวา กลมตวอยางทตอบแบบสอบถามจานวน 8 คน สวนใหญเปนเพศหญงรอย
ละ 62.50 ซงศกษาอยคณะวทยาการจดการ รอยละ 37.50 อาย 17-18 ป และ 21-22 ป รอยละ 37.50
การวดแนวโนมสสวนกลาง (Measures of Central Tendency)
การวดแนวโนมสสวนกลาง เปนวธการทางสถตเพอใหทราบคากลางของขอมลทงหมด
เพอใชเปนตวแทนเวลากลาวถงขอมลชดนน การวดแนวโนมสสวนกลาง ทจะกลาวถงในทนม 3
วธ ไดแก คาเฉลย มธยฐาน และฐานนยม
1. คาเฉลย
คาเฉลย หมายถง ผลรวมของขอมลทงหมดแลวนามาหารดวยจานวนขอมล เขยนแทนดวย
สญลกษณ หรอ X
ประชากรขนาด N ประกอบดวยขอมล N321 x,...,x,x,x คาเฉลย คอ อานวา “ มว ”
=N
x...xxx N321 =
N
xN
1ii
เขยนโดยยอไดดงน = N
x i
ตวอยางขนาด n ประกอบดวยขอมล n321 x,...,x,x,x คาเฉลย คอ X อานวา “ เอกซบาร ”
X =n
x...xxx n321 =
n
xn
1ii
เขยนโดยยอไดดงน X = nx i
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 136
ตวอยางท 5 ครอบครวหนงมสมาชก 5 คน อายของแตละคนเปนดงน 45 40 18 15 และ 12 ป จงหา
คาเฉลยของอายสมาชกครอบครวน
วธทา
จากโจทย เราทราบวา N = 5 และ ix = 130
จาก = N
x i
=5
130
= 26
คาเฉลยของอายสมาชกครอบครวน เทากบ 26 ป
ตวอยางท 6 สมสารวจนกศกษา 10 คน จากนกศกษาทสอบทงหมดผลคะแนนการสอบเปนดงน
9 12 12 2 6 8 12 10 5 4
จงหาคาเฉลยคะแนนสอบของนกศกษาทง 10 คนน
วธทา
ทราบวา n = 10 และ ix = 80
จาก X = nx i
=10
80
= 8
คาเฉลยของคะแนนสอบ เทากบ 8 คะแนน
2. มธยฐาน
มธยฐาน หมายถง ขอมลทอยตรงตาแหนงกงกลางของขอมลทมการเรยงลาดบ จากตาสด
ไปหาสงสด ซงแสดงวามขอมลครงหนงของขอมลทงหมดมคาสงกวาคาทเปนมธยฐาน และมขอมล
อกครงหนงของขอมลชดเดยวกนมคาตากวาคาทเปนมธยฐาน วธการหาคามธยฐานทาไดดงน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 137
1) จดเรยงขอมลจานวน N ตวจากคาตาสดไปหาคาสงสด
2) ตาแหนงกงกลาง = 2
1N , เมอ N แทนจานวนขอมลทงหมด
3) มธยฐาน เทากบ ขอมลตวทอยตรงกบตาแหนงกงกลาง แตถาหากวาตรงตาแหนง
กงกลางไมมขอมลอยใหเอาขอมล 2 ตวระหวางตาแหนงกงกลาง มาบวกกนแลวหารดวย 2
ตวอยางท 7 จงหาคามธยฐานของขอมลทกาหนดใหตอไปน
21 15 26 19 16 23 25 27 20 30 33 20 27 25 35
วธทา
นาขอมลมาเรยงจากตาสดไปหาสงสด ไดดงน
15 16 19 20 20 21 23 25 25 26 27 27 30 33 35
ตาแหนงกงกลาง คอ = 2
1N=
2
115 = 8
ขอมลตาแหนงท 8 มคาเทากบ 25
ดงนน จะไดวา มธยฐาน เทากบ 25
ตวอยางท 8 จงหามธยฐานของคะแนนการสอบของนกศกษา จานวน 10 คน
9 12 12 2 6 8 12 10 5 4
วธทา
เรยงคะแนนจากตาสดไปหาสงสด ไดดงน
2 4 5 6 8 9 10 12 12 12
ตาแหนงกงกลาง คอ = 2
1N=
2
110 = 5.5
ขอมลตาแหนงท 5.5 มคาเทากบ 2
98 = 8.5
จะไดวา มธยฐานของคะแนนการสอบ เทากบ 8.5 คะแนน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 138
3. ฐานนยม
ฐานนยม คอ ขอมลทมความถสงสด
ตวอยางท 9 สมคะแนนการสอบของนกศกษา 10 คน เปนดงน
9, 12, 12, 2, 6, 8, 12, 10, 5, 4
จงหาฐานนยมของคะแนนการสอบ
วธทา
จากโจทยและขอมลจะเหนวา คะแนน 12 มความถสงสด เทากบ 3
จะไดวา ฐานนยมของคะแนน เทากบ 12 คะแนน
การวดการกระจายของขอมล
ในการเปรยบเทยบขอมลชดตางๆ นยมใชคาตวกลางของขอมลเหลานนมาเปรยบเทยบกน
แตการใชเฉพาะคากลางขอมลไมสามารถบอกลกษณะของขอมลชดนนไดถกตองและชดเจน เชน
คะแนนการสอบของนกศกษาชายและนกศกษาหญงกลมละ 5 คน เปนดงน
นกศกษาชาย 20 18 5 10 47 พบวาคาเฉลย เทากบ 20 คะแนน
นกศกษาหญง 15 17 22 29 17 พบวาคาเฉลย เทากบ 20 คะแนน
การทจะสรปวานกศกษาทง 2 กลม มความสามารถในการเรยนเทากนจงไมเปนการ
ถกตอง เพราะการกระจายของขอมลแตกตางกนมาก ดงนนในการวเคราะหขอมลนอกจากจะมการวด
คาแนวโนมสสวนกลางแลวจาเปนตองมการวดการกระจายของขอมลควบคกนดวยเสมอ โดยท
คาเฉลยจะทาใหทราบวาขอมลทงหมดมคาประมาณเทากบเทาไร และการวดการกระจายจะทาให
ทราบวาขอมลแตละตวมความแตกตางจากคาเฉลยมากนอยเพยงใด การวดการกระจายของขอมลม
วธหลายวธ ทจะกลาวถงในทน คอ พสย สวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน
1. พสย
พสย หมายถง ผลตางระหวางขอมลทมคาสงสด (Max) กบขอมลทมคาตาสด (Min)
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 139
ตวอยางท 10 จงหาพสยของขอมลตอไปน 9 12 12 2 6 8 12 10 5 4
วธทา
ขอมลทมคาสงสด เทากบ 12
ขอมลทมคาตาสด เทากบ 2
จะไดวา พสย = 12 – 2
= 10
2. สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน
สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร คอ (อานวา ซกมา)
=
N
xN
1i
2i
หรอ = 2
i2i
N
x
N
x
สวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง คอ s
s =
1n
xxn
1i
2i
หรอ s =
)1n(n
)x(xn2
i2i
(สวนเบยงเบนมาตรฐานยกกาลงสอง เรยกวา ความแปรปรวน (Variance))
ตวอยางท 11 กาหนดประชากรหนงมขอมลดงน 2 4 5 6 10
จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของขอมลประชากรน
วธทา
ix 2 4 5 6 10
2ix 4 16 25 36 100
จากตารางทราบวา N = 5 , ix = 27 , 2ix = 181
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 140
= N
x i
= 5
27
= 5.40
การหาสวนเบยงเบนมาตรฐานโดยวธท จากสตร
=
N
xN
1i
2i
=5
)40.510(...)40.55()40.54()40.52(2222
= 04.7
= 2.653
การหาสวนเบยงเบนมาตรฐานวธท จากสตร
= 2
i2i
N
x
N
x
= 2
5
27
5
181
= 04.7
= 2.653
ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน มคาเทากบ 2.653
2 = 2.6532
= 7.04
ดงนน ความแปรปรวน เทากบ 7.04
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 141
ตวอยางท 12 สมสารวจคะแนนการสอบของนกศกษา 10 คนจากนกศกษาทงหมด ผลเปนดงน
9 , 12 , 12 , 2 , 6 , 8 , 12 , 10 , 5 , 4
จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของคะแนนการสอบ
วธทา
ix 9 12 12 2 6 8 12 10 5 4
2ix 81 144 144 4 36 64 144 100 25 16
จากตารางทราบวา n = 10 , ix = 80 , 2ix = 758
x = nx i
=10
80
= 8
การหาสวนเบยงเบนมาตรฐานวธท จากสตร
s =
1n
xxn
1i
2i
=110
)84(...)812()812()89(2222
= 111.13
= 3.621
การหาสวนเบยงเบนมาตรฐานวธท จากสตร
s = )1n(n
)x(xn2
i2i
= )110(10
)80()758x10(2
= 111.13
= 3.621
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 142
ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ 3.621
s2 = 2621.3
= 13.111
ดงนน ความแปรปรวน เทากบ 13.111
ความนาจะเปน (Probability)
ในชวตประจาวนของคนเรานนจะตองมการตดสนใจอยเสมอ ซงการตดสนใจถาทราบ
โอกาสทจะเกดเหตการณตาง ๆ วามมากหรอนอยเพยงใด กจะทาใหการทตดสนใจมความถกตอง
มากยงขน โอกาสดงกลาวนนเรยกวา ความนาจะเปน (Probability) เชน ความนาจะเปนทนามนจะ
ขนราคาเทากบ 0.80 หรอความนาจะเปนทจะเกดฝนทงชวงรอยละ 60 เปนตน ในการศกษาความ
นาจะเปนจะตองทาความเขาใจเกยวกบคาศพทตอไปน คอ การทดลองสม (Random Experiment)
ปรภมตวอยาง (Sample Space) และเหตการณ (Event)
1. การทดลองสม
การทดลองสม หมายถง การทดลองทผทดลองไมสามารถคาดคะเนผลการทดลองลวงหนา
ไดวาผลทเกดขนจะเปนอยางไรแนนอน แตสามารถบอกไดวาผลทจะเกดขนเปนอะไรไดบาง เชน
การโยนเหรยญ การทอดลกเตา การจบสลาก การหยบลกบอลจากกลอง เปนตน
2. ปรภมตวอยาง
ปรภมตวอยาง หมายถง เซตทมสมาชกเปนผลลพธทอาจเปนไปไดทงหมดของการทดลอง
สมและสมาชกแตละตวของปรภมตวอยางเรยกวา ผลลพธ (Outcome) ปรภมตวอยางเขยนแทนดวย S
3. เหตการณ
เหตการณ หมายถง เซตยอยของปรภมตวอยางของการทดลองสมทเปนเซตของผลลพธ
ของการทดลองสมทเราสนใจ เขยนแทนดวย E
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 143
4. ความนาจะเปน
ความนาจะเปน หมายถง โอกาสหรอความเปนไปไดทจะเกดเหตการณตาง ๆ ทสนใจ ม
คาอยระหวาง 0 ถง 1 ถาความนาจะเปนเทากบ 0 แสดงวาไมมโอกาสเกดเหตการณนนไดเลย
ถามคาเทากบ 1 แสดงวาเหตการณนนมโอกาสเกดอยางแนนอน
ความนาจะเปนของเหตการณ E เขยนแทนดวย P(E)
P(E) = )S(n
)E(n
เมอ n(E) แทน จานวนสมาชกของเหตการณ E
n(S) แทน จานวนสมาชกของปรภมตวอยาง
ตวอยางท 13 ในการโยนเหรยญ 2 อน 1 ครง
วธทา ให S แทน ปรภมตวอยาง
H แทน เหรยญขนหว
T แทน เหรยญขนกอย
จะได S = (H,H) , (H,T) , (T,H) , (T,T)
n(S) = 4
ให E แทน เหตการณทเหรยญขนหวอยางนอย 1 อน
จะได E = (H,H) , (H,T) , (T,H)
n(E) = 3
ให P(E) แทน ความนาจะเปนทเหรยญจะขนหวอยางนอยหนงเหรยญ
จะได P(E) = )S(n
)E(n
= 4
3
= 0.75
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 144
ตวอยาง 14 ในการโยนลกเตา 2 ลก 1 ครง
1) จงหาปรภมตวอยาง
2) จงหาเหตการณทผลรวมของแตม เทากบ 7
3) จงหาความนาจะเปนของเหตการณทผลรวมของแตม เทากบ 7
วธทา
1) ให S แทน ปรภมตวอยาง
จะได S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) ,
(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) ,
(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) ,
(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) ,
(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) ,
(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }
n(S) = 36
2) ให E แทน เหตการณทผลรวมของแตม เทากบ 7
จะได E = { (1,6) , (2,5) , (3,4) , (4,3) , (5,2) , (6,1) }
n(E) = 6
3) ให P(E) แทน ความนาจะเปนของเหตการณทผลรวมของแตม เทากบ 7
จะได P(E) = )S(n
)E(n
= 36
6
= 0.17
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 145
ตวอยาง 15 ในการซอหวยใตดนเลขทาย 3 ตว หมายเลขละ 1 บาท ถาซอถกจะไดรางวล 500 บาท
1) จงหาปรภมตวอยาง
2) จงหาจานวนสมาชกของเหตการณทจะถกรางวลในแตละงวด
3) จงหาความนาจะเปนของเหตการณทจะถกรางวลในแตละงวด
วธทา
1) ให S แทน ปรภมตวอยาง
จะได S = {000 , 001 , 002 , 003 , 004 , ….. , 999}
n(S) = 1,000
2) ให E แทน เหตการณทจะถกรางวลในแตละงวด
ในแตละงวดจะมเลขทาย 3 ตวทถกรางวล 1 หมายเลข
n(E) = 1
3) ให P(E) แทน ความนาจะเปนของเหตการณทจะถกรางวลในแตละงวด
จะได P(E) = )S(n
)E(n
= 000,1
1
= 0.001
การประยกตใชโปรแกรมสาเรจรปทางสถต
ในปจจบนการวเคราะหขอมลนยมใชโปรแกรมสาเรจรปทางสถต ไดแก โปรแกรม SPSS
for Windows หรอโปรแกรม Microsoft Excel ในทนจะนาเสนอการวเคราะหขอมลโดยใช
โปรแกรม Microsoft Excel เทานน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 146
ตวอยาง 16 ในการสารวจความคดเหนของนกศกษาในสถาบนแหงหนงโดยใชแบบสอบถาม
ลกษณะดงตอไปน
1. เพศ (V1)
1. ชาย 2. หญง
2. สถานทอยขณะทเรยน (V2)
1. อยกบบดามารดา 2. หอพกพกในสถาบน 3. อยหอพกเอกชน
3. อาชพของบดา-มารดา (V3)
1. เกษตรกร 2. คาขาย 3. รบราชการ 4. อนๆ (โปรดระบ)..........
4. เกรดเฉลยสะสม (V5) เทากบ ……………………….
5. เวลาทใชอานหนงสอตอสปดาห (V6) ………………..ชวโมง
6. ความคดเหนของทานตอปญหาภายในสถาบนในดานตางๆ
ดาน
ระดบปญหา
มากทสด
(5)
มาก
(4)
ปานกลาง
(3)
นอย
(2)
นอยทสด
(1)
1. หองเรยน (V6-1)
2. สภาพถนน (V6-2)
3. อาจารยผสอน (V6-3)
4. อปกรณการเรยน (V6-4)
5. การแตงกาย (V6-5)
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 147
ขอมลทเกบรวบรวมไดนามาแปลงเปนตวเลข (Coding) เปนดงน
คนท V1 V2 V3 V4 V5 V6-1 V6-2 V6-3 V6-4 V6-5
1 1 3 1 2.50 3 1 4 2 4 4
2 1 2 2 3.45 10 2 5 3 4 2
3 2 2 1 2.80 5 3 5 2 2 2
4 1 3 1 3.15 6 1 4 4 3 5
5 2 2 2 3.10 5 4 5 3 1 2
6 1 3 4 2.25 1 1 4 4 4 4
7 1 2 3 3.70 12 2 4 2 4 1
8 2 3 2 2.85 8 4 5 5 2 3
9 1 3 3 2.10 0 1 5 4 4 3
10 1 1 2 2.75 2 1 4 4 2 3
11 2 2 3 3.65 8 5 5 2 2 4
12 1 1 2 2.50 4 3 5 2 5 2
13 2 3 1 2.60 3 3 4 3 2 2
14 2 3 1 3.25 5 4 4 4 2 4
15 1 2 1 2.13 1 1 5 2 4 4
1. จงแจกแจงความถของขอมลจาแนกตามเพศ ทอยอาศยขณะทเรยน และอาชพบดา-มารดา
2. จงหาคา คาตาสด คาสงสด คาเฉลย และสวนเบยงเบนมาตรฐานของเกรดเฉลย และ เวลาท
ใชอานหนงสอ
3. จงหาคาเฉลย สวนเบยงเบนมาตรฐานและแปลความหมายของคาเฉลยของความคดเหนใน
ปญหาดานตาง ๆ
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 148
วธทา
การเตรยมขอมลเพอการวเคราะหโดยใชโปรแกรม Microsoft Excel
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 149
1. การแจกแจงความถของขอมลจาแนกตามเพศ ทอยอาศยขณะทเรยน อาชพบดา-มารดา
เลอกคาสง แทรกฟงกชน หรอ fx / เลอกประเภท : ทางสถต / เลอกฟงกชน : COUNTIF
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 150
ผลการวเคราะหขอมลโดยใชโปรแกรม Microsoft Excel
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 151
การนาเสนอขอมลเปนดงน
รายการ จานวน รอยละ
1. เพศ
ชาย 9 60.00
หญง 6 40.00
2. ทอยอาศยขณะทเรยน
อยกบบดามารดา 2 13.33
อยหอพกในสถาบน 6 40.00
อยหอพกเอกชน 7 46.67
3. อาชพบดา-มารดา
เกษตรกร 6 40.00
คาขาย 5 33.33
รบราชการ 3 20.00
อน ๆ 1 6.67
จากตารางพบวา กลมตวอยางทตอบแบบสอบถามจานวน 15 คน สวนใหญเปนเพศชาย
รอยละ 60.00 อยหอพกเอกชน รอยละ 46.67 บดา-มารดาอาชพเกษตรกร รอยละ 40.00
2. คาตาสด คาสงสด คาเฉลย และสวนเบยงเบนมาตรฐานของเกรดเฉลย และเวลาทใชอานหนงสอ
- การหาคาตาสดใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : MIN
- การหาคาสงสดใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : MAX
- การหาคาเฉลยใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : AVERAGE
- การสวนเบยงเบนมาตรฐานใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : STDEV
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 152
การวเคราะหขอมลโดยใชโปรแกรม Microsoft Excel
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 153
การนาเสนอขอมลเปนดงน
รายการ min max X S.D.
เกรดเฉลยสะสม 2.10 3.70 2.85 0.52
เวลาทใชอานหนงสอ 0 12 4.87 3.46
จากตารางพบวา กลมตวอยางทตอบแบบสอบถามจานวน 15 คน มเกรดเฉลยสะสมโดย
เฉลย 2.85 และเวลาทใชอานหนงสอโดยเฉลย 4.87 ชวโมง
3. คาเฉลย สวนเบยงเบนมาตรฐานและแปลความหมายของคาเฉลยของความคดเหนในดานตาง ๆ
- การหาคาเฉลยใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : AVERAGE
- การสวนเบยงเบนมาตรฐานใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : STDEV
การวเคราะหขอมลโดยใชโปรแกรม Microsoft Excel
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 154
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 155
การนาเสนอขอมลเปนดงน
ดาน x S.D. ความหมาย
1. หองเรยน 2.40 1.40 นอย
2. สภาพถนน 4.53 0.52 มากทสด
3. อาจารย 3.07 1.03 ปานกลาง
4. อปกรณ 3.00 1.20 ปานกลาง
5. การแตงกาย 3.00 1.13 ปานกลาง
จากตาราง กลมตวอยางทตอบแบบสอบถามจานวน 15 คน มความคดเหนเกยวกบปญหา
ภายในสถาบนพบวามปญหามากทสดในดานสภาพถนน ( x =4.53) และมปญหานอยในดาน
หองเรยน ( x = 2.40) สวนดานอน ๆ มปญหาปานกลาง
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 156
แบบฝกหดทายบทท 6
1. การวจยเรองการศกษาคาเฉลยความพงพอใจเกยวกบเงนเดอนและคาตอบแทนอนๆ ของ
ขาราชการครสงกดกระทรวงศกษาธการ โดยมการเกบรวบรวมขอมลจากขาราชการครสงกด
กระทรวง
ศกษาธการ จานวน 384 คน พบวาคาเฉลยของรายไดเทากบ 19,833.33 บาท
จงตอบคาถามตอไปน
1.1 คาเฉลยความพงพอใจเกยวกบเงนเดอนและคาตอบแทนอนๆ ของขาราชการครสงกด
กระทรวงศกษาธการ เรยกวา ..........................................................................
1.2 ขาราชการครสงกดกระทรวงศกษาธการ เรยกวา ............................................................
1.3 ขาราชการครสงกดกระทรวงศกษาธการจานวน 384 คน เรยกวา ...................................
1.4 คาเฉลยของรายไดเทากบ 19,833.33 บาท เรยกวา ...........................................................
2. จงบอกประเภทและมาตรการวดทสงสดของขอมลตอไปน
ขอมล ประเภทของขอมล มาตราการวดทสงสด
1. เพศ …………………………. ………………………….
2. อาย(ป) …………………………. ………………………….
3. อาชพ …………………………. ………………………….
4. คะแนน …………………………. ………………………….
5. รายได(บาท) …………………………. ………………………….
6. รายจาย(3 ระดบ) …………………………. ………………………….
7. สญชาต …………………………. ………………………….
8. อณหภม …………………………. ………………………….
9. เกรดเฉลยสะสม …………………………. ………………………….
10. คะแนนความคดเหนแบบมาตรการ
ประเมน(Rating Scale)
………………………….
………………………….
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 157
3. จานวนนกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนทเดนทางเขามาในประเทศไทย พ.ศ. 2555 – 2556
สญชาต 2555 2556 อตราเพม
บรไน 10,459 14,304 36.76%
กมพชา 423,642 468,366 10.56%
อนโดนเซย 447,820 589,079 …….%
ลาว 975,999 1,106,080 13.33%
มาเลเซย 2,544,397 …………… 17.29%
พมา 129,385 172,374 ……..%
ฟลปปนส 289,566 326,245 12.67%
สงคโปร 831,215 936,477 12.66%
เวยดนาม 618,670 ……………. 27.26%
จงตอบคาถามตอไปน
3.1 นกทองเทยวจากประเทศอนโดนเซยเพมขนกเปอรเซนต
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
3.2 นกทองเทยวจากประเทศมาเลเซยในป 2556 มจานวนกคน
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
3.3 อตราสวนนกทองเทยวจากประเทศกมพชาตอประเทศมาเลเซยในป 2555 เทากบเทาใด
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 158
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
4. ขอมลของประชากรหนงเปนดงน 4 7 1 3 2 4 6 8
จงหา
4.1 คาเฉลย
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
4.2 มธยฐาน
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
4.3 ฐานนยม
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 159
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
4.4 พสย
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
4.5 สวนเบยงเบนมาตรฐาน
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
4.6 ความแปรปรวน
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 160
5. สมสารวจคะแนนการสอบของนกศกษา 9 คน จากนกศกษาทงหมดผลเปนดงน
9 6 10 8 7 5 6 4 3
จงหา
5.1 คาเฉลยเลขคณต
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
5.2 มธยฐาน
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
5.3 ฐานนยม
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………..
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 161
5.4 พสย
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
5.5 สวนเบยงเบนมาตรฐาน
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
5.6 ความแปรปรวน
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………...
6. ในการสารวจความคดเหนของนกศกษาในสถาบนแหงหนงโดยใชแบบสอบถามลกษณะ
ดงตอไปน
1. เพศ (V1)
1. ชาย 2. หญง
2. สถานทอยขณะทเรยน (V2)
1. อยกบบดามารดา 2. หอพกพกในสถาบน 3. อยหอพกเอกชน
3. เกรดเฉลยสะสม (V3) เทากบ ……………………….
4. เวลาทใชอานหนงสอ (V4) ………………..ชวโมง
5. ความคดเหนของทานตอปญหาภายในสถาบนในดานตาง ๆ
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 162
ระดบความคดเหน
มากทสด
(4)
มาก
(3)
นอย
(2)
นอยทสด
(1)
1. หองเรยน (V5-1)
2. สภาพถนน (V5-2)
3. อาจารยผสอน (V5-3)
4. อปกรณการเรยน (V5-4)
5. การแตงกาย (V5-5)
ขอมลทเกบรวบรวมไดนามาแปลงเปนตวเลข (Coding) เปนดงน
ท V1 V2 V3 V4 V5-1 V5-2 V5-3 V5-4 V5-5
1 1 3 2.50 3 1 4 2 4 4
2 1 2 3.45 10 2 4 3 4 2
3 2 2 2.80 5 3 4 2 2 2
4 1 3 3.15 6 1 4 4 3 4
5 2 2 3.10 5 4 3 3 1 2
6 1 3 2.25 1 1 4 4 4 4
7 1 2 3.70 12 2 4 2 4 1
8 2 3 2.85 8 4 4 4 2 3
9 1 3 2.10 0 1 4 4 4 3
10 1 1 2.75 2 1 4 4 2 3
11 2 2 3.65 8 4 4 2 2 4
12 1 1 2.50 4 3 4 2 3 2
13 2 3 2.60 3 3 4 3 2 2
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 163
จงเตมผลการวเคราะหขอมลในตารางตอไปน
ตารางท 1 ขอมลทวไปของผตอบแบบสอบถาม
รายการ จานวน รอยละ
1. เพศ
ชาย ……… ………
หญง ……… ………
2. ทอยอาศยขณะทเรยน
อยกบบดามารดา ……… ………
อยหอพกในสถาบน ……… ………
อยหอพกเอกชน ……… ………
จากตารางพบวา
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 164
ตารางท 2 ขอมลเกยวกบเวลาทใชอานหนงสอ
รายการ min max x s
เวลาทใชอานหนงสอ
…….
……..
……..
………
จงแสดงวธหาคา x และ s ของเวลาทใชอานหนงสอ
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………..……………………………………………………………………………
…………………………………….………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
…….…..………………………..……………………………………………………………………
……….……………………………..………………………………………………………………
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 165
ตารางท 3 คาเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานของความคดเหนในปญหาดานตาง ๆ
ดาน x s ความหมาย
1. หองเรยน ……. …….. ………………..
2. สภาพถนน ……. …….. ………………..
3. อาจารย ……. …….. ………………..
4. อปกรณ ……. …….. ………………..
5. การแตงกาย ……. …….. ………………..
จากตารางพบวา
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
จงแสดงวธหาคา x และ s พรอมทงแปลความหมายของความคดเหนปญหาดานหองเรยน
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………..…………………………………………………………………………….
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 166
(ปญหาดานอนๆ ใหหาโดยใชโปรแกรม Microsoft Excel )
7. ในการโยนเหรยญ 3 อน 1 ครง
จงหา
7.1 ปรภมตวอยาง
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
7.2 เหตการณทเหรยญขนหวอยางนอย 1 อน
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
7.3 ความนาจะเปนทเหรยญจะขนหวอยางนอยหนงเหรยญ
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 167
8. กลองใบหนงบรรจหลอดไฟ 5 หลอด ในจานวนนเปนหลอดด 3 หลอด หลอดเสย 2 หลอด ถา
สมหยบหลอดไฟมา 2 หลอด
จงหา
8.1 ปรภมตวอยาง
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
8.2 เหตการณทจะไดหลอดเสยอยางนอย 1 หลอด
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
8.3 ความนาจะเปนทจะไดหลอดเสยอยางนอย 1 หลอด
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………..…………………………………………………………………………….
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 168
เอกสารอางอง
สพล ดรงควฒนา. (2537). การวเคราะหเชงสถต : การวเคราะหความถดถอย. กรงเทพมหานคร:
จฬาลงกรณมหา วทยาลย,2537.
สม จ ต ว ฒ น า ช ย า ก ล . (2527). ก า ร ว เ ค ร า ะ ห ขอ ม ล เ ช ง ส ถ ต . ก ร ง เ ท พ ม ห า น ค ร :
มหาวทยาลยธรรมศาสตร.
สรชย พศาลบตร. (2542). สถตธรกจ. กรงเทพมหานคร : จฬาลงกรณมหาวทยาลย
อจฉรย จนทลกขณา. (2543). หลกสถตเพอการวเคราะหขอมลท วไป. กรงเทพมหานคร:
มหาวทยาลยเกษตรศาสตร.
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 169
บรรณานกรม
กรมสรรพากร. (2556) . มารจก ภาษมลคาเพม กนกอนดมย. กรงเทพมหานคร : กรมสรรพากร
กรมสรรพากร. (2556) . วธกรอกแบบแสดงรายการ ภาษเงนไดบคคลธรรมดา ปภาษ 2556 ภ.ง.ด.
90. กรงเทพมหานคร : กรมสรรพากร
กรมสรรพากร. (2556) . วธกรอกแบบแสดงรายการ ภาษเงนไดบคคลธรรมดา ปภาษ 2556 ภ.ง.ด.
91. กรงเทพมหานคร : กรมสรรพากร
การคานวณดอกเบย.สบคนเมอ 1 มถนายน 2557, จาก http://www. .or.th/th/serviceunderbot
การใหเหตผล.สบคนเมอ 4 พฤษภาคม 2557, จาก http://www. thaigoodview.com/node/18026
การใหเหตผล.สบคนเมอ 4 พฤษภาคม 2557, จาก ttp://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?
คณตศาสตรในชวตประจาวน.สบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://goo.gl/XQblon
คณตศาสตรในชวตประจาวน.สบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://goo.gl/K9NeYG
ดอกเบย.สบคนเมอ 30 พฤษภาคม 2557, จาก http://www.bot.or.th
นพพร ธนะชยขนธ. (2543). คณตศาสตรพนฐาน. เชยงราย : คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย
มหาวทยาลยราชภฏเชยงราย.
ภาษเงนไดบคคลธรรมดา.สบคนเมอ 14 พฤษภาคม 2557, จาก http://www.rd.go.th/publish/309.0.
html
ภาษมลคาเพม.สบคนเมอ 14 พฤษภาคม 2557, จาก http://www.rd.go.th/publish/307.0.html
ศรจนทร เวสารชศาสตร (2549). คณตศาสตรพนฐาน.กรงเทพฯ : คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย
มหาวทยาลยธรรมศาสตร
สโขทยธรรมาธราช สาขาวชานตศาสตร. (2546). เอกสารการสอนชดวชา กฏหมายภาษอากร 1
หนวยท 1 – 7 . กรงเทพมหานคร : มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช.
สโขทยธรรมาธราช สาขาวชานตศาสตร. (2546). เอกสารการสอนชดวชา กฏหมายภาษอากร 1
หนวยท 8 – 15 . กรงเทพมหานคร : มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช.
สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย,สถาบน. (2553). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน
คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตร
สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย,สถาบน. (2552). หนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐาน
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 170
คณตศาสตร เลม 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 3 ตามหลกสตร
สพล ดรงควฒนา. (2537). การวเคราะหเชงสถต : การวเคราะหความถดถอย. กรงเทพมหานคร
จฬาลงกรณมหา วทยาลย,2537.
สมจต ว ฒน าชยา กล. (2527). การ ว เคร าะหขอมลเ ชงสถ ต . ก รง เ ทพมห านคร :
มหาวทยาลยธรรมศาสตร.
สรชย พศาลบตร. (2542). สถตธรกจ. กรงเทพมหานคร : จฬาลงกรณมหาวทยาลย
สมการและอสมการสบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก htttp://math .snru.ac.th/UserFiles/File/ma
th @snru/... - /.../unit .doc
สมการและอสมการสบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://th.wikipedia.org/wiki/สมการ
สมการและอสมการสบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://home.kku.ac.th/wattou/service/m12
3/03.pdf
สมการและอสมการสบคนเมอ 1 มถนายน 2557, จาก https://sites.google.com/site/mathgang2m3/3
หลงสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.
ลาดพราว.
หลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544. กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.ลาดพราว.
อจฉรย จนทลกขณา. (2543). หลกสถตเพอการวเคราะหขอมลท วไป. กรงเทพมหานคร :
มหาวทยาลยเกษตรศาสตร.
อตราดอกเบย.สบคนเมอ 1 มถนายน 2557, จาก https://www.tmbbank.com
Kellison, Stephen G. (1970). The Theory of Interest. Richard D. Irwin, Inc. Library of Congress
Catalog Card No. 79-98251.
Leonhardy, A. (1960). College Algebra. Missouri : John Wiley & Sons.
Lipschuyz, S. & Hall, G. G. (1966). Finite Mathematics. New York : McGraw – Hill Book
Company.
GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 171
คณะผจดทา
แบบเรยนบทท
รศ.ดร.นพพร ธนะชยขนธ
แบบเรยนบทท
อาจารยวทยา พลสวสด
แบบเรยนบทท
อาจารยจารวรรณ ศรนภาดล
แบบเรยนบทท
อาจารย ดร.ธญวรชญ บตรสาร
แบบเรยนบทท
อาจารยธนายทธ ชางเรอนงาม
แบบเรยนบทท
ผศ. มน สมเพชร
ผประสานงานรายวชา GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน
อาจารย ดร.สฤทธพร วทยผดง
Recommended