GEN1101 คณิตศาสตร์ในชีวิตประจําวัน Mathematics for Daily Lifereg2.crru.ac.th/reg/files/20160111014803_1edd1e5c01753775ae80c3d25e73e... ·

GEN1101

คณตศาสตรในชวตประจาวน

Mathematics for Daily Life

(ฉบบแกไขสมบรณ ปการศกษา 6778)

GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน

(ปกใน)


คานา

เอกสารประกอบการสอนรายวชา GEN1101: คณตศาสตรในชวตประจาวน (Mathematics

for Daily Life) คณะผจดทาไดเรยบเรยงและแบงวชาเปน 6 บท ประกอบไปดวย การใหเหตผล

พBนทCและปรมาตร อตราสวน สดสวนและรอยละ การคานวณภาษในชวตประจาวน การประยกตใช

สมการและอสมการ และการประยกตใชความรทางสถต เพCอนาไปใชในการประกอบการเรยนการ

สอนสาหรบนกศกษาของมหาวทยาลยราชภฏเชยงราย ใหมความรความเขาใจในหลกการคานวณ

พBนฐาน และวธคดแกปญหาในชวตประจาวนโดยใชคณตศาสตรเปนเครCองมอในการแกปญหา

ตลอดจนเปนพBนฐานในการสอบเขารบราชการภายใตสานกงานคณะกรรมการขาราชการพลเรอน

(ก.พ.)

คณะผจดทาหวงเปนอยางยCงวาเอกสารประกอบการสอนเลมนB จกเปนประโยชนตอนกศกษา

และผสนใจทCวไป ตลอดจนปรบใชในชวตประจาวนไดอยางเหมาะสม

คณะผจดทา

255R


สารบญ

หนา

คานา

สารบญ

บทท< 1 การใหเหตผล 1

การใหเหตผลแบบนรนย 3

การใหเหตผลแบบอปนย 12

แบบฝกหดทายบททC U 18

เอกสารอางอง 22

บทท< 2 พEนท<และปรมาตร 23

การหาเสนรอบรปและพBนทCของรปเรขาคณตสองมต 25

การหาพBนผวและปรมาตรของรปเรขาคณตสามมต 33

แบบฝกหดทายบททC W 44


บทท< 3 อตราสวน เศษสวน และรอยละ 50

อตราสวน 52

สดสวน 53

รอยละ 55

ดอกเบBย 57

แบบฝกหดทายบททC [ 61


บทท< 4 การคานวณภาษในชวตประจาวน 70

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา 72

ภาษมลคาเพCม 84

แบบฝกหดทายบททC \ 89



สารบญ (ตอ)

หนา

บทท< 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 98

สมการ 100

อสมการ 113

แบบฝกหดทายบททC ] 118


บทท< 6 การประยกตใชความรทางสถต 123

ความหมายของสถต 125

การแจกแจงความถC 133

การวดแนวโนมสสวนกลาง 135

การวดการกระจายของขอมล 138

ความนาจะเปน 142

การประยกตใชโปรแกรมสาเรจรปทางสถต 145

แบบฝกหดทายบททC ^ 156


บรรณานกรม 169

คณะผจดทา 171

บทท

การใหเหตผล เวลา 6 ชวโมง

สาระสาคญ /ความคดรวบยอด

การใหเหตผลมอย 2 แบบ คอการใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) และการ

ใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) การใหเหตผลแบบนรนยจะเรมดวยเหตหลก (Major

Premise) แลวตามดวยเหตรอง (Minor Premise) เมอพจารณาดความสมพนธระหวางเหตทงสอง

แลวจงสรปผล (Conclusion) สาหรบการใหเหตผลแบบอปนยนนจะประกอบดวยเหตหลายๆเหตท

อสระ และมความสาคญเทาๆกนไมมเหตใดเปนเหตหลกหรอเหตรอง ในทสดเหตเหลานนกรวมตว

กนอยในรปนยทวไป (Generalization) ซงเรยกวาผล

จดประสงคการเรยนร

1. เพอใหผเรยนสามารถใหเหตผลแบบนรนย และบอกไดวาการใหเหตผลนน

สมเหตสมผลหรอไมเพราะเหตใด

. เพอใหผเรยนสามารถใหเหตผลแบบอปนยได

. เ พอใหผ เ ร ยนสามารถนาการให เหตผลทงแบบนรนยและอปนยไปใชใน

ชวตประจาวนไดอยางเหมาะสม

เนอหา

1. การใหเหตผลแบบนรนย และการตรวจสอบความสมเหตสมผล

. การใหเหตผลแบบอปนย

กจกรรมประกอบการสอน

1. ผสอนบรรยายใหความร

2. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเนอหา

. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามทกาหนดไว

GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 2

สอประกอบการสอน

1. เอกสารเนอหาประกอบการสอน

2. แบบฝกหด

การวดและการประเมนผล

1. ดานความร โดยการตรวจแบบฝกหด

2. ดานทกษะ/กระบวนการ โดยการสงเกตการใหเหตผล

3. คณลกษณะทพงประสงค โดยการสงเกตการมสวนรวมในการทากจกรรมการเรยน


ธรรมชาตของคณตศาสตรนนจะประกอบดวยสองสวน สวนแรกคอโครงสรางทาง

คณตศาสตรซงไดแก คาอนยาม (Undefined Term) คานยาม (Defined Term) สจพจน (Postulate or

Axiom) และทฤษฎบท (Theorem) สวนทสองคอกระบวนการใหเหตผลซงเปนกระบวนการเรยบ

เรยงขอความหรอปรากฏการณตางๆใหเกดความสมพนธกน เพอสงผลใหขอความหรอ

ปรากฏการณเหลานนมความตอเนองกน จนทาใหเกดขอความใหมหรอปรากฏการณใหมขนมา

บางครงอาจกลาววากระบวนการใหเหตผล เปนกระบวนการทางจตทมนษยใชเปนเครองมอสอ

ความหมายกนดวยการเรยบเรยงขอเทจจรงทมอยกอนทเรยกวา เหต (Premise) แลวสรางขอเทจจรง

ใหมขนมาทเรยกวา ผล (Conclusion)

ในบทนจะศกษาในสวนของกระบวนการใหเหตผล มนษยใชการใหเหตผลเพอแสวงหา

ความรใหม การคดคนทางวทยาศาสตรและเทคโนโลย การวจย บางครงอาจใชคอมพวเตอรชวย

ในการวเคราะหขอมลเพอหาขอสรปทถกตองรวดเรว ปจจบนการใหเหตผลทมรปแบบทชดเจนนน

ม 2 แบบคอการใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) และการใหเหตผลแบบอปนย

(Inductive Reasoning)

การใหเหตผลแบบนรนย

การใหเหตผลแบบแบบนรนยเปนการใหเหตผลทประกอบดวยสองสวนคอสวนแรกเปน

ขอความทกาหนดขนกอนซงเรยกวาเหต (Premise) จะแยกเปนเหตหลก (Major Premise) และเหต

รอง(Minor Premise) สาหรบขอความทเปนเหตนจะนามาจากความรพนฐานทอาจเปน บทนยาม

ความเชอ ขอตกลงเบองตน กฎหรอทฤษฎบท เปนสวนทรมากอนแลวและยอมรบวาเปนจรง

สวนทสองเปนขอความทเกดขนมาภายหลงเรยกวาผล (Conclusion) ดงนนเมอมเหตและผลขนมา

ชดหนง ถาเหตบงคบใหเกดผล หรอผลเปนขอสรปทไดมาจากเหต เราเรยกการใหเหตผลนนวา

เปน การอางเหตผลอยางสมเหตสมผล (Valid Argument) ตรงกนขามถาเหตมไดบงคบใหเกดผล

กลาวคอผลอาจจะมาจากเหตหรอไมกได เราเรยกการใหเหตผลนนวาเปน การอางเหตผลอยางไม

สมเหตสมผล (Invalid Argument) ตอไปนเปนตวอยางของการใหเหตผลแบบนรนย


ตวอยางท 1 เหต 1. คนเชยงรายทกคนเปนคนภาคเหนอ

2. คนภาคเหนอทกคนเปนคนไทย

ผล คนเชยงรายทกคนเปนคนไทย

จากตวอยางท 1 เหตขอท 1 เปนเหตหลก และเหตขอท 2 เปนเหตรอง

ตวอยางท 2 เหต 1. รปสเหลยมมมฉากทกรปเปนรปสเหลยมดานขนาน

2. รปสเหลยมดานขนานทกรปเปนรปสเหลยม

ผล รปสเหลยมมมฉากทกรปเปนรปสเหลยม

ตวอยางท 3 เหต 1. นกศกษาทกคนเปนคนฉลาด

2. สมบรณเปนคนฉลาด

ผล สมบรณเปนนกศกษา

ตวอยางท 4 เหต 1. นกศกษาบางคนเปนคนสวย

2. คนผวขาวบางคนสวย

ผล นกศกษาบางคนเปนคนผวขาว

ตวอยางท 5 เหต 1. ไมมคนสายตาสนคนใดเปนนกบน

2. แดงเปนคนสายตาสน

ผล แดงไมเปนนกบน

ตวอยางท 6 เหต 1. ทก X เปน Y

2. ทก Y เปน Z

ผล ทก X เปน Z

จากตวอยางท 1 ถงตวอยางท 6 เปนการใหเหตผลแบบนรนยทงสน เมอมการใหเหตผล

แบบนรนยแลวเราตองการตรวจสอบวาเหตบงคบใหเกดผล หรอผลเปนขอสรปมาจากเหตหรอไม

เรยกวธการนวาการตรวจสอบความสมเหตสมผล (Testing the Validity) วธการหนงของการ

ตรวจสอบความสมเหตสมผลคอใชแผนภาพวงกลม (Circle Diagram) ทเรยกวา แผนภาพเวนนและ

ออยเลอร (Venn and Euler Diagram) เพอเปนการใหเกยรตแก จอหนเวนน (John Venn, 1834 –

1923) นกคณตศาสตรชาวองกฤษ ผศกษา และเลออนฮารด ออยเลอร (Leonhard Euler, 1707 –

1783) นกคณตศาสตรชาวสวส ผรเรมวธการน


การตรวจสอบความสมเหตสมผลดวยวธใชแผนภาพเวนนและออยเลอร

การตรวจสอบความสมเหตสมผล ดวยวธใชแผนภาพเวนนและออยเลอรนน เราตอง

เขาใจการเขยนแผนภาพวงกลมเพอใชแทนขอความใน 4 แบบ ตอไปน

แบบท 1 ขอความ “ทกสงทเปน A จะเปน B” เขยนแทนดวยแผนภาพ

B

A

แบบท 2 ขอความ “ทกสงทเปน A จะไมเปน B” เขยนแทนดวยแผนภาพ

A B

แบบท 3 ขอความ “บางสงทเปน A จะเปน B” หรอ “บางสงทเปน B จะเปน A” เขยน

แทนดวยแผนภาพ


แบบท 4 ขอความ “บางสงทเปน A แตไมเปน B” เขยนแทนดวยแผนภาพ

ตวอยางท 7 จงตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใหเหตผลตอไปน

เหต 1. คนดทกคนเปนคนนานบถอ

2. คนนานบถอทกคนเปนคนซอสตย

ผล คนดทกคนเปนคนซอสตย

วธทา จากเหตขอ 1 จะไดแผนภาพท 1 เปน

คนด

คนนานบถอ

จากเหตขอ 2 จะไดแผนภาพท 2 เปน


คนซอสตย


เมอนาเอาแผนภาพท 1 และแผนภาพท 2 มาเขยนเขาดวยกน จะไดแผนภาพท 3 ดงน

คนด


คนซอสตย

เมอพจารณาแผนภาพท 3 พบวาทกจดในวงกลมของคนดจะอยในวงกลมของคนซอสตย

แสดงวา “คนดทกคนเปนคนซอสตย” ซงสอดคลองกบผลของการใหเหตผล ดงนน การใหเหตผล

นจงสมเหตสมผล


เหต 1. สตวนาบางชนดเปนปลา

2. ปลาทงหมดเปนสตวทวายนาได

ผล สตวนาบางชนดเปนสตวทวายนาได




สตวทวายนาได

ปลา

เมอนาเอาแผนภาพท 1 และแผนภาพท 2 มาเขยนเขาดวยกน จะไดแผนภาพท 3 สองแบบ ดงน

แบบท 1


แบบท 2



เมอพจารณาแผนภาพท 3 ทงแบบท 1 และแบบท 2 พบวาสวนทแรเงาจาเปนตองอยใน

วงกลมของสตวทวายนาไดเสมอ นนคอ “สตวนาบางชนดเปนสตวทวายนาได” ซงสอดคลองกบ

ผลของการใหเหตผล ดงนนการใหเหตผลนจงสมเหตสมผล


เหต 1. ชาวรสเซยบางคนเปนชาวยโรป

2. ชาวรสเซยบางคนเปนชาวเอเซย

ผล ชาวยโรปบางคนเปนชาวเอเซย



เมอนาเอาแผนภาพท 1 และแผนภาพท 2 มาเขยนเขาดวยกน จะไดแผนภาพท 3 สแบบ ดงน

แบบท 1


แบบท 2

แบบท 3

แบบท 4

เมอพจารณาแผนภาพท 3 ทงแบบท 1 ถงแบบท 4 พบวาทกแบบสอดคลองกบเหตท 1 และ

เหตท 2 ทงหมด แตมแบบท 1 สามารถเขยนแผนภาพหลกเลยงไมใหจดบางจดของวงกลมชาว


ยโรปไปอยในวงกลมของชาวเอเซยได ดงนนการทสรปผลวา “ชาวยโรปบางคนเปนชาวเอเซย”

ไมจรงเสมอไป เพราะฉะนน การใหเหตผลนจงไมสมเหตสมผล

จากตวอยางท 9 ตอไปไมจาเปนตองเขยนแผนภาพท 3 ครบทกแบบกได เพยงแตเลอก

เขยนเฉพาะแบบททาใหผลไมเปนจรง กสามารถสรปไดวาการใหเหตผลนนไมสมเหตสมผล

ขอใหศกษาตวอยางท 10 ตอไปน


เหต 1. ไมมนกตวใดอาศยอยในนา

2. นกทกชนดเปนสตวมปก

ผล สตวมปกบางตวอาศยอยในนา

วธทา จากเหตขอ 1 และขอ 2 สามารถเขยนแผนภาพไดดงน

นก สงทอาศย

สตวมปก อยในนา

จากแผนภาพทได เราสามารถหลกเลยงไมใหจดในวงกลมของสตวมปกเขาไปอยใน

วงกลมของสงทอาศยอยในนาได ทงๆทแผนภาพนยงคงสอดคลองกบเหตขอ 1 และขอ 2 ดงนน

การทสรปผลวา “สตวปกบางตวอาศยอยในนา” จงเปนการสรปทไมสมเหตสมผล

ขอสงเกตจากการใหเหตผลแบบนรนย เราตองพจารณาแผนภาพตามเหตในทกแบบท

เปนไปได ถาแผนภาพทกแบบสอดคลองและตรงกบผลสรปแสดงวาการใหเหตผลนน

สมเหตสมผลดงตวอยางท 7 และ 8 แตถามแผนภาพบางแบบไมสอดคลองกบผลสรป แสดงวาการ

ใหเหตผลนนไมสมเหตสมผล ดงตวอยางท 9

อนงจะเหนวาผลสรปทไดจากการใหเหตผลทสมเหตสมผล ไมจาเปนตองเปนจรงใน

ชวตประจาวนกได ขอใหพจารณาจากตวอยางท 11 ตอไปน



เหต 1. ไกทกตวเปนสตวปก

2. สตวปกทกตวเปนนก

ผล ไกทกตวเปนนก

วธทา จากเหตขอ 1 และขอ 2 สามารถเขยนแผนภาพไดดงน

ไก

สตวปก

นก

จากแผนภาพจะเหนวาทกจดในวงกลมของไกจาเปนตองอยในวงกลมของนกอยาง

หลกเลยงไมได ดงนนการใหเหตผลนสมเหตสมผล

การใหเหตผลแบบอปนย

การใหเหตผลแบบอปนยเปนการใหเหตผลโดยอาศยเหตหลายๆเหตแตละเหตเปนอสระ

ตอกน และมความสาคญเทาๆกน ไมมเหตใดเปนเหตหลกหรอเหตรองเหมอนกบการใหเหตผล

แบบนรนย เหตเหลานอาจไดมาจากการสงเกตหรอการทดลองหลายๆครงจนในทสดเหตเหลานน

กรวมตวกนอยในรปของขอสรปทเปนนยทวไปในภายหลง นกวทยาศาสตรหรอนกวจยมกใช

การใหเหตผลแบบอปนยเพอคนหากฎเกณฑ จะเหนวาการนาเอาขอสงเกตหรอผลการทดลองจาก

บางสวน มาสนบสนนใหไดขอความทวไปซงกนความไปถงทกสวนยอมไมสมเหตสมผล เพราะ

เปนการอนมานเกนสงทกาหนดใหดงนนการใหเหตผลแบบอปนยจงจาเปนตองมขอสงเกตหรอผล

การทดลองมากพอทจะเชอไดวาขอสรปนนเปนจรง เชนเราเคยเหนวาปลาสวนมากออกลกเปนไข

เราจงสรปวา “ปลาทกชนดออกลกเปนไข” ซงเปนเทจ เพราะมปลาบางชนดออกลกเปนตว เชน

ปลาหางนกยง เปนตน ทงนอาจเปนเพราะขอสงเกตมนอยเกนไป การใหเหตผลแบบอปนยถก


นามาใชคนควาในทางวทยาศาสตรหรอคณตศาสตร เชนขอสรปทวา “สารสกดจากสะเดาสามารถ

ใชเปนยากาจดแมลงศตรพชได” ขอสรปนมาจากการทดลองซากนหลายๆครงแลวไดผลตรงกน

ในทางคณตศาสตรใชการใหเหตผลแบบอปนยสรางสจพจน เชน เราทดลองลากเสนตรงสองเสน

บนระนาบใหตดกนจะตดกนไดเพยงจดเดยวเทานน ไมวาจะทดลองลากกครงกตาม เราจงสรปวา

“บนระนาบเสนตรงสองเสนตดกนจะตดกนเพยงจดเดยวเทานน” ใหศกษาตวอยางการใหเหตผล

แบบอปนยดงน

ตวอยางท 12 เหต 1. ดาปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง

2. ขาวปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง

3. เขยวปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง

4. แดงปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง

5. สมปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง

ผล คนทกคนทปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง

จากตวอยางท 12 จะเหนวาการใหเหตผลแบบอปนยนน เหตจะมกเหตกได โดยทวไปแลว

ตองมหลายๆเหต จนเปนทมนใจวาจะสามารถสรปไดถกตอง ซงเราพจารณาจากลกษณะท

คลายกนของเหตเหลานนมาเปนขอสรปในรปนยทวไป

ตวอยางท 13 เหต 1. คนทกคนตองตาย

2. นกทกตวตองตาย

3. สนขทกตวตองตาย

4. ตนไมทกตนตองตาย

5. ปลาทกตวตองตาย

ผล สงมชวตทกชนดตองตาย

ตวอยางท 14 เหต 1. 2 = 1(1 + 1)

2. 2 + 4 = 2(2 +1)

3. 2 + 4 + 6 = 3(3 +1)

4. 2 + 4 + 6 + 8 = 4(4 +1)


5. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 5(5 +1)

ผล 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 2n = n(n + 1) สาหรบ n ทกตวทเปนจานวน

เตมบวก

ตวอยางท 15 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย เพอหาสมการถดไปจากแบบรปสมการทกาหนดให

1. 1 = 1

2. 1 + 2 = 3

3. 1 + 2 + 3 = 6

4. 1 + 2 + 3 + 4 = 10

………………….. = ….

ตอบ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15


1. (1 9) + 2 = 11

2. (12 9) + 3 = 111

3. (123 9) + 4 = 1,111

………………….. = ….

ตอบ (1,234 9) + 5 = 11,111


1. 9 9 = 81

2. 99 9 = 891

3. 999 9 = 8,991

………………….. = ….

ตอบ 9,999 9 = 89,991

ตวอยางท 18 ถาผลบวกของเลขโดดในแตละหลกของจานวนนบทมสามหลกหารดวย 3 ลงตวแลว

จงใชการใหเหตผลแบบอปนยสรปเกยวกบจานวนนบดงกลาว


วธทา สงเกตจานวนนบบางจานวนทมสามหลกและผลบวกของเลขโดดแตละหลกหารดวย 3

ลงตว ดงน

จานวนนบทมสามหลก ผลบวกของเลขโดดหารดวย 3 ลงตว ผลลพธของการหารจานวน

นบดวย 3

111 1 + 1 + 1 = 3 111 3 = 37

123 1 + 2 + 3 = 6 123 3 = 41

171 1 + 7 + 1 = 9 171 3 = 57

225 2 + 2 + 5 = 9 225 3 = 75

543 5 + 4 + 3 = 12 543 3 = 181

945 9 + 4 + 5 = 18 945 3 = 315

จากการสงเกตตวอยางของจานวนนบขางตนพบวา เมอผลบวกของเลขโดดในแตละหลก

ของจานวนนบนนหารดวย 3 ลงตว แลวจานวนนบดงกลาวกจะหารดวย 3 ลงตวเชนเดยวกน โดย

การใหเหตผลแบบอปนยจงสรปวา “ถาผลบวกของเลขโดดในแตละหลกของจานวนนบทมสาม

หลกหารดวย 3 ลงตว แลว จานวนนบนนจะหารดวย 3 ลงตว”

ตวอยางท 19 จงใชการใหเหตผลแบบอปนยเพอหาจานวนถดไป จากแบบรปของจานวนท

กาหนดใหในแตละขอตอไปน

(1) 4, 7, 10, 13, … (4) 102, 204, 306, …

(2) 2, 4, 8, 32, … (5) 2, 5, 11, 14, 20, …

(3) 11, 17, 22, 26, … (6) 2, 7, 23, 72, …

วธทา

(1) 4, 7, 10, 13, …

เพราะวา 4 + 3 = 7, 7 + 3 = 10, 10 + 3 = 13, ดงนนจานวนถดไปคอ 13 + 3 = 16

(2) 2, 4, 8, 32, …

เพราะวา 2 4 = 8, 4 8 = 32 ดงนนจานวนถดไปคอ 8 32 = 256

(3) 11, 17, 22, 26, …


เพราะวา 11 + 6 = 17, 17 + 5 = 22, 22 + 4 = 26 ดงนนจานวนถดไปคอ 26 + 3 = 29

(4) 102, 204, 306, …

เพราะวา 102 + 102 = 204, 204 + 102 = 306 ดงนนจานวนถดไปคอ 306 + 102 = 408

(5) 2, 5, 11, 14, 20, …

เพราะวา 2 + 3 = 5, 5 + 6 = 11, 11 + 3 = 14, 14 + 6 = 20 ดงนนจานวนถดไปคอ 20 + 3 = 23

(6) 2, 7, 23, 72, …

เพราะวา (2 3) + 1 = 7, (7 3) +2 = 23, (23 3) +3 = 72 ดงนนจานวนถดไปคอ (72 3) +

4 = 220

อยางไรกตามการใหเหตผลแบบอปนยเพอหาขอสรปหรอความจรงนน ไมจาเปนตองได

ขอสรปทถกตองเสมอไป เนองจากการใหเหตผลแบบอปนยเปนการสรปจากหลกฐานหรอ

ขอเทจจรงทมอยเทานน ขอสรปจะเชอถอไดมากนอยเพยงใด ขนอยกบหลกฐานหรอขอเทจจรงท

นามาอาง โดยมขอสงเกตดงน

1. จานวนหลกฐานหรอขอเทจจรงทนามาอางตองมจานวนมากพอ เชน จากแบบรปของ

2, 4, 6, X แลว X ควรเปนจานวนใด จากการสงเกตแบบรปอาจสรปตางกน ดงน

(1) ถา 2 + 2 = 4 และ 4 + 2 = 6 แลว X = 6 + 2 = 8

(2) ถา 2 + 4 = 6 แลว X = 4 + 6 = 10

(3) ถา (2 4) – 2 = 6 แลว X = (4 6) – 2 = 22

สาเหตทสรปตางกนเชนนเปนเพราะเรามขอเทจจรงเพยง 2, 4 และ 6 เทานน ซงมจานวน

นอยเกนไปทจะนาไปอปนยเพอหาคาของจานวน X นนเอง หรอถาเราไปรบประทานอาหารทราน

แหงหนงแลวเกดทองเสย เราจงสรปวาอาหารทกชนดทรานดงกลาวทาใหทองเสย เปนการสรปท

เชอถอไดนอยกวาการไปรบประทานอาหารทรานนบอยๆแลวทองเสยทกครง

2. ขอสรปของการใหเหตผลแบบอปนยอาจผดพลาดหรอเปนเทจได เชน ให

Fn = + 1 เมอเราทดลองแทนคา n ดวยจานวนนบ พบวา

F1 = + 1 = 5 เปนจานวนเฉพาะ




F4 = + 1 = 65,537 เปนจานวนเฉพาะ

จงใหเหตผลแบบอปนยสรปวา Fn = + 1 เปนจานวนเฉพาะสาหรบทกจานวนนบ n

ซงเปนการสรปทไมถกตอง เพราะ F5 = + 1 = 4,294,967,296 + 1 = 4,294,967,297 แต

4,294,967,297 641 = 6,700,417 ดงนน F5 ไมเปนจานวนเฉพาะ

สรป

การใหเหตผลมอย 2 แบบ คอการใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) และการ

ใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) การใหเหตผลแบบนรนยจะเรมดวยเหตหลก (Major

Premise) แลวตามดวยเหตรอง (Minor Premise) เมอพจารณาดความสมพนธระหวางเหตทงสอง

แลวจงสรปผล (Conclusion) เหตหลกและเหตรองอาจไดมาจากความรพนฐานทอาจเปน บทนยาม

ความเชอ ขอตกลงเบองตน กฎเกณฑหรอทฤษฎบท เปนสวนทรมากอนแลวและยอมรบวาเปน

จรง การใหเหตผลแบบนรนยสามารถตรวจสอบไดวาสมเหตสมผลหรอไมโดยใชแผนภาพ

วงกลมเวนนและออยเลอร ถาตรวจสอบแลวพบวาการใหเหตผลแบบนรนยสมเหตสมผล กมได

หมายความวาผลสรปนนจะเปนจรงในชวตประจาวนเสมอไป สาหรบการใหเหตผลแบบอปนย

นนจะประกอบดวยเหตหลายๆเหตทอสระและมความสาคญเทาๆกน ไมมเหตใดเปนเหตหลก

หรอเหตรอง เหตเหลานจะไดมาจากการสงเกตหรอการทดลองซาๆกนหลายๆครง ในทสดเหต

เหลานนกรวมตวกนอยในรปนยทวไป (Generalization) ซงเรยกวาผล การใหเหตผลแบบอปนยจะ

นาเชอถอมากยงขนถามจานวนขอสงเกตหรอผลการทดลองมากเพยงพอ แตบางครงขอสรปจาก

การใหเหตผลแบบอปนยอาจเปนเทจได

………………………………..


แบบฝกหดทายบทท 1

1. จงตรวจสอบการใหเหตผลแบบนรนยแตละขอตอไปนวาสมเหตสมผลหรอไม โดยใชแผนภาพ

วงกลมของเวนนและออยเลอร

1.1 เหต 1. นกทกตวบนได

2. สตวบางตวเปนนก

ผล สตวบางตวบนได

1.2 เหต 1. ชาวบานบางคนเปนคนขยน

2. ผหญงทงหมดเปนคนขยน

ผล ชาวบานบางคนเปนผหญง


1.3 เหต 1. กรรมกรทกคนทางานหนก

2. สมชาตเปนกรรมกร

ผล สมชาตทางานหนก

1.4 เหต 1. ไมมนกการเมองคนใดเปนคนขเกยจ

2. วชยไมเปนคนขเกยจ

ผล วชยเปนนกการเมอง


1.5 เหต 1. อาจารยทกคนไดคาจางมาก

2. สพจนไดคาจางมาก

ผล สพจนเปนอาจารย

2. จงใชการใหเหตผลแบบอปนย เพอหาสมการถดไปจากแบบรปสมการทกาหนดใหในแตละขอ

ตอไปน

2.1 1. 1 = 1

2. 1 + 3 = 4

3. 1 + 3 + 5 = 9

………………….. = ……….

2.2 1. 1 + 10 = 11

2. 1 + 10 + 100 = 111

3. 1 + 10 + 100 + 1,000 = 1,111

………………….. = ……….

2.3 1. 11 11 = 121

2. 111 111 = 12,321

3. 1,111 1,111 = 1,234,321

………………….. = ……….


2.4 1. 9 9 = 81

2. 909 9 = 8,181

3. 90,909 = 818,181

………………….. = ……….

2.5 1. (1 8) + 1 = 9

2. (12 8) + 2 = 98

3. (123 8) + 3 = 987

………………….. = ……….

2.6 1. 1,089 1 = 1,089

2. 1,089 2 = 2,178

3. 1,089 3 = 3,267

4. 1,089 4 = 4,356

………………….. = ……….

3. จงใชการใหเหตผลแบบอปนยเพอหาจานวนถดไป จากแบบรปของจานวนทกาหนดใหในแตละ

ขอตอไปน

3.1 2, 4, 8, 16, ……

3.2 3, 9, 4, 16, 5, ……

3.3 1, 2, 4, 8, ……

3.4 25, 24, 22, 19, ……

3.5 3, 10, 27, 68, ……


เอกสารอางอง

นพพร ธนะชยขนธ. (2543). คณตศาสตรพนฐาน. เชยงราย: คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

มหาวทยาลยราชภฏเชยงราย.

การใหเหตผล.สบคนเมอ 4 พฤษภาคม 2557, จาก http://www. thaigoodview.com/node/18026

การใหเหตผล.สบคนเมอ 4 พฤษภาคม 2557, จาก ttp://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?

Leonhardy, A. (1960). College Algebra. Missouri: John Wiley & Sons.

Lipschuyz, S. & Hall, G. G. (1966). Finite Mathematics. New York : McGraw – Hill Book

Company.

บทท 2

พนทและปรมาตร เวลา 9 ชวโมง


ในชวตประจาวนเราใชความรทางเรขาคณต ในการหาพนท ระยะทาง และปรมาตร เชน การหา

ระยะทางระหวางจดสองจด การหาปรมาตรของนาในสระ การหาพนทของผนงทตองการปวอลลเปเปอร

เปนตน


1. เพอใหผเรยนหาเสนรอบรปของรปเรขาคณตสองมตได

2. เพอใหผเรยนหาพนทของรปเรขาคณตสองมตได

3. เพอใหผเรยนหาพนทผวของรปเรขาคณตสามมตได

4. เพอใหผเรยนหาปรมาตรของรปเรขาคณตสามมตได

5. เพอใหผเรยนสามารถนาความรเรองพนทและปรมาตรไปใชในชวตประจาวนไดอยาง

เหมาะสม

เนอหา

1. การหาเสนรอบรปและพนทของรปเรขาคณตสองมต

. การหาพนทผวและปรมาตรของรปเรขาคณตสามมต



. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเนอหา








2. ดานทกษะ/กระบวนการ โดยการใหเหตผล และการแกปญหา



รปเรขาคณตสองมต มความกวาง ความยาว ใชแสดงขนาด แบงตามลกษณะของดาน

หรอขอบของรปนน เชน รปสามเหลยม รปสเหลยม รปหลายเหลยม หรอ รปวงกลม เปนตน

ตวอยางรปเรขาคณตสองมต

รปสามเหลยม รปสเหลยม รปหลายเหลยม รปวงกลม

รปเรขาคณตสามมต ใชแสดงรปราง เปนรปทรงสามมตทมฐานหรอหนาตดเปนรปตางๆ

เชน ทรงกระบอก ทรงกลม พระมด ทรงสเหลยมมมฉาก เปนตน

ตวอยางรปเรขาคณตสามมต

ทรงกระบอก ทรงกลม พระมด ทรงสเหลยมมมฉาก

การหาเสนรอบรปและพนทของรปเรขาคณตสองมต

สตรการหาเสนรอบรปของรปเรขาคณตสองมต

เสนรอบรปของสเหลยมจตรส = 4 × ความยาวดาน

เสนรอบรปของสเหลยมผนผา = 2 × (ดานกวาง + ดานยาว)

เสนรอบรปของรปวงกลม = r2 เมอ r คอความยาวของรศม

และ มคาประมาณ 14.3 หรอ 722


ตวอยางท 1 จงหาเสนรอบรปของรปทกาหนดใหตอไปน

1. รปสเหลยมจตรสทมความยาวของดานเทากบ 8 เซนตเมตร

2. รปสเหลยมผนผากวาง 12 เมตร ยาว 18 เมตร

3. รปวงกลมรศม 28 นว ( มคาประมาณ 722 )

วธทา

1. เสนรอบรปของสเหลยมจตรส = 4 × ความยาวดาน

= 4 × 8 เซนตเมตร

= 32 เซนตเมตร

2. เสนรอบรปของสเหลยมผนผา = 2 × (ดานกวาง + ดานยาว)

= 2 × (12 + 18) เมตร

= 60 เมตร

3. เสนรอบรปของรปวงกลม = r2 เมอ r คอความยาวของรศม

` 2 × 722 × 28 นว

176 นว

ตวอยางท 2 นายหนงมปญหาเรองนาหนกตว คณหมอจงส งใหเดนอยางนอยวนละ 1,500 เมตร

ถาในหมบานของนายหนงมสนามรปครงวงกลมดงรป นายหนงจะตองเดนอยางนอย

กรอบสนาม จงไดระยะทางตามทหมอสง ( มคาประมาณ 722 )


วธทา

จากรป วงกลมมเสนผานศนยกลางยาว 70 เมตร ดงนนรศม ยาว 35 เมตร


2 × 722 × 35 เมตร

220 เมตร

ถานายหนงเดนรอบสนาม 1 รอบ จะไดระยะทาง 2220 + 70 180 เมตร

คณหมอสงนายหนงใหเดนอยางนอยวนละ 1,500 เมตร

ดงนน นายหนงจะตองเดนรอบสนามอยางนอย 180500,1 9 รอบ จงไดระยะทางตามท

หมอสง

หนวยการวดความยาว

หนวยการวดความยาวทสาคญ ซงผเรยนควรรจกมดงน

เมตร เทากบ เซนตเมตร

กโลเมตร เทากบ , เมตร

ฟต เทากบ 2 นว

วา เทากบ 2 เมตร

นว เทากบ 2.54 เซนตเมตร (โดยประมาณ)

ไมล เทากบ 1.6093 กโลเมตร (โดยประมาณ)

ตวอยางท 3 สหรถ สงคปรชา นกแสดงทมชอเสยงสง 180 เซนตเมตร สวนโรเจอร เฟเดอเรอร

เปนนกเทนนสอาชพชาวสวส สง 6 ฟต 1 นว อยากทราบวาใครสงกวากน และสงกวา

เทาไร

วธทา

เนองจาก ฟต เทากบ 2 นว

ดงนน โรเจอร เฟเดอเรอร สง 6 ฟต 1 นว เทากบ ( 6 × 12 ) + 1 = 73 นว


เนองจาก นว เทากบ 2.54 เซนตเมตรโดยประมาณ

ดงนน โรเจอร เฟเดอเรอร สงประมาณ 73 × 2.54 185.42 เซนตเมตร

แตสหรถ สงคปรชา สง 180 เซนตเมตร

นนคอ โรเจอร เฟเดอเรอร สงกวา สหรถ ประมาณ 185.42 – 180 5.42 เซนตเมตร

ตวอยางท 4 ผาปโตะรปสเหลยมผนผากวาง 85 เซนตเมตร ยาว 1.5 เมตร ตองการตดผาลกไมรอบ

ชายผาทงหมด ตองใชผาลกไมยาวกเมตร

วธทา

เนองจาก 100 เซนตเมตร เทากบ 1 เมตร

ดงนนผาปโตะรปสเหลยมผนผากวาง 85 เซนตเมตร เทากบ 0.85 เมตร


= 2 × (0.85 + 1.5) เมตร

= 4.7 เมตร

ถาตองการตดผาลกไมรอบชายผาทงหมด ตองใชผาลกไมยาว 4.7 เมตร

สตรการหาพนทของรปเรขาคณตสองมต

พนทรปสเหลยมจตรส = ดาน ดาน

พนทรปสเหลยมผนผา = ดานกวาง ดานยาว

พนทของรปสเหลยมดานขนาน = ความยาวของฐาน ความสง

พนทของรปสเหลยมขนมเปยกปน = 21 ผลคณความยาวเสนทแยงมม

พนทสเหลยมคางหม = 21 สง ผลบวกดานคขนาน

พนทสเหลยมใดๆ = 21 ความยาวของเสนทแยงมม ผลบวก

ของ เสนกงทตงฉากกบเสนทแยงมมนน

พนทรปสามเหลยม = 21 สง ฐาน

พนทของรปวงกลม = 2

r เมอ r คอความยาวของรศม


ตวอยางท 5 จงหาพนทของรปทกาหนดใหตอไปน

วธทา

จากรปทกาหนดให แบงเปน 2 รปเลก

Iณ

รปท 1 เปนพนทรปสเหลยมผนผา กวาง 2 เซนตเมตร ยาว 3 เซนตเมตร


= 2 3 ตารางเซนตเมตร

= 6 ตารางเซนตเมตร

รปท 2 เปนพนทรปสเหลยมผนผา กวาง 2 เซนตเมตร ยาว 7 เซนตเมตร




ดงนนพนทของรปทกาหนดให = 6 + 14 = 20 ตารางเซนตเมตร

3 ซม.

2 ซม.

2 ซม. 2 ซม.

7 ซม.

3 ซม.

2 ซม.

2 ซม. 2 ซม.

7 ซม.


ตวอยางท 6 จงหาพนทของรปทกาหนดใหตอไปน

วธทา

จากรปทกาหนดให แบงเปน 2 รปเลก

รปท 1 เปนพนทรปสเหลยมผนผา BCDG กวาง 4 เซนตเมตร ยาว 12 เซนตเมตร




รปท 2 เปนพนทรปสเหลยมคางหม AFEG มดาน AF และGE เปนดานคขนาน



= 21 6 (5 + 9) ตารางเซนตเมตร


ดงนนพนทของรปทกาหนดให = 48 + 42 = 90 ตารางเซนตเมตร

ตวอยางท 7 ถาจางคนตดหญาในสนามรปวงกลมรศม 14 เมตร ในราคาตารางเมตรละ 1.50 บาท

จะเสยคาตดหญาทงหมดเทาไร ( มคาประมาณ 722 )

วธทา



722 × 14 × 14 ตารางเมตร

616 ตารางเมตร

ถาจางคนตดหญาราคาตารางเมตรละ 1.50 บาท

ดงนนตองเสยเงนคาตดหญาทงหมด 616 × 1.50 = 924 บาท

หนวยการวดพนท

หนวยการวดพนททสาคญ ซงผเรยนควรรจกมดงน

ตารางเมตร เทากบ , ตารางเซนตเมตร

ตารางกโลเมตร เทากบ , , ตารางเมตร

ตารางฟต เทากบ ตารางนว

ไร เทากบ งาน

งาน เทากบ ตารางวา

ไร เทากบ ตารางวา

ตารางวา เทากบ ตารางเมตร

ตารางกโลเมตร เทากบ ไร


ตวอยางท 8 ทดนแปลงหนงเปนรปสเหลยมผนผา มพนท 1 ไร 2 งาน 84 ตารางวา และกวาง 48

เมตร ทดนแปลงนยาวกเมตร

วธทา

ทดน 1 ไร 2 งาน 84 ตารางวา คดเปนพนท 684 ตารางวา

พนท ตารางวา เทากบ ตารางเมตร

ดงนนพนท 684 ตารางวา เทากบ 68 × 4 = 2,736 ตารางเมตร

ทดนกวาง 48 เมตร

ดงนน ทดนแปลงนยาว 48736,2

= 57 เมตร

ตวอยางท 9 บรเวณทเลยงมาแหงหนงเปนรปสเหลยมผนผา มพนท 2 ไร 16 ตารางวา มความ

กวาง 24 วา ถาจะซอลวดหนามมาลอมทดนแหงน ลวดหนามทจะใชขง 1 รอบตอง

ยาวอยางนอยทสด กเมตร

วธทา

ทดน 2 ไร 16 ตารางวาคดเปนพนท 816 ตารางวา

ทดนกวาง 24 วา


ดงนน ทดนแหงนยาว 24816 = 34 วา


= 2 × (24 + 34 ) วา

= 116 วา

เนองจากความยาว วา เทากบ 2 เมตร

ดงนนลวดหนามทจะใชขง 1 รอบตองยาวอยางนอยทสด 116 × 2 = 232 เมตร


ตวอยางท 10 สนามฟตบอลรปสเหลยมผนผา กวาง 35 วา ยาว 65 วา ผรบเหมาตดหญาคดคาตด

หญาตารางเมตรละ 0.75 บาท จะตองเสยคาตดหญาเปนเงนเทาไร

วธทา

สนามฟตบอลมความกวาง 35 วา และความยาว 65 วา

ดงนน สนามฟตบอลมพนทเปน 35 × 65 = 2,275 ตารางวา

เนองจาก ตารางวา เทากบ ตารางเมตร

นนคอ สนามฟตบอลผนนมพนทเปน 2,275 × 4 = 9,100 ตารางเมตร

ดงนน เสยคาตดหญาเปนเงน 9,100 × 0.75 = 6,825 บาท

การหาพนทผวและปรมาตรของรปเรขาคณตสามมต

สตรการหาพนทผวของรปเรขาคณตสามมต

พนทผวของทรงสเหลยมมมฉาก = พนทผวขาง + (2 × พนทฐาน)

พนทผวขางของทรงสเหลยมมมฉาก = ความยาวรอบฐาน × ความสง

พนทผวของทรงกระบอก = พนทผวขาง + (2 × พนทฐาน)

= rh2 + (2 × 2

r )

เมอ r คอรศมปากกระบอก

และ h คอความสงของทรงกระบอก

พนทผวของทรงกลม = 2

r4 เมอ r คอความยาวรศมของทรงกลม

ตวอยางท 11 จงหาพนทผวของรปเรขาคณตสามมตทกาหนดใหตอไปน

1. ทรงกระบอกสง 11 เซนตเมตร รศมของฐาน 2.5 เซนตเมตร

2. รปทรงกลม มรศม 27 เซนตเมตร ( มคาประมาณ 3.14)

วธทา 1. พนทผวของทรงกระบอก = พนทผวขาง + (2 × พนทฐาน)

= rh2 + (2 × 2

r )

(2 × 3.14 × 2.5 × 11)+ (2 × 3.14 × 2.5 × 2.5)


211.95 ตารางเซนตเมตร

2. พนทผวของทรงกลม = 2

r4

4 × 3.14 × 27 × 27 ตารางเซนตเมตร

9,156.24 ตารางเซนตเมตร

ตวอยางท 2 ลงไมเปดทรงสเหลยมมมฉาก มดานกวาง 2 เมตร ยาว 3 เมตร และสง เมตร

ถาตองการทาสภายนอกทงหาดาน บรเวณททาสจะมพนทเทาใด

วธทา

ลงไมทรงสเหลยมมมฉาก มดานกวาง 2 เมตร ยาว 3 เมตร และสง เมตร

ผนงลงไมเปนรปสเหลยมมมฉากมสดาน ดานทอยตรงขามกนจะมพนทเทากน

จะไดพนทของผนงลงไมคหนง = (ความกวาง ความสง)

= 2 (2 )

= 4 ตารางเมตร

พนทของผนงลงไมอกคหนง = (ความยาว ความสง)

= 2 (3 )


พนทของพน = ความกวาง ความยาว

= 2 3


ดงนน บรเวณททาสทงหาดาน มพนท = 4 + 6 + 6 = 16 ตารางเมตร


ตวอยางท 13 แจนตองการทากลองเหลกทรงลกบาศกยาวดานละ 10 นว ถาแผนเหลกราคา

ตารางนวละ 25 บาท แจนตองซอแผนเหลกเปนเงนเทาไรเพอทากลองใบน

วธทา

ทรงลกบาศกคอทรงสเหลยมมมฉากทมความกวาง ความยาว และความสงเทากน


= (ความยาวรอบฐาน × ความสง) + (2×พนทฐาน)

= ((10 + 10 + 10 + 10) × 10) + (2 × (10 × 10))

= 600 ตารางนว

ถาแผนเหลกราคาตารางนวละ 25 บาท

ดงนน แจนตองซอแผนเหลกเปนเงน 600 × 25 = 15,000 บาท

สตรการหาปรมาตรของรปเรขาคณตสามมต

ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก = พนทฐาน × ความสง

ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก = ความกวาง ความยาว × ความสง

ปรมาตรของทรงกระบอก = hr2

เมอ r คอรศมปากกระบอก

และ h คอความสงของทรงกระบอก

ปรมาตรของทรงกลม = 3πr34 เมอ r คอความยาวรศมของทรงกลม


ตวอยางท 14 จงหาปรมาตรของทรงกลมซงมรศม 27 เซนตเมตร ( มคาประมาณ 3.14)

วธทา


34 × 3.14 × 27 × 27 × 27 ลกบาศกเซนตเมตร

82,406.16 ลกบาศกเซนตเมตร

ตวอยางท 15 จงหาปรมาตรของรปทรงตอไปน (ความยาวทกาหนดใหมหนวยเปนเซนตเมตร)

วธทา

พจารณารปทรงทกาหนดให แบงออกเปนสองสวนปรซมสเหลยมมมฉากและปรซม

สามเหลยมมมฉาก



ปรซมสเหลยมมมฉากมปรมาตร = 12 6 4 ลกบาศกเซนตเมตร

= 768 ลกบาศกเซนตเมตร

ปรมาตรของปรซมสามเหลยมมมฉาก = พนทฐาน × ความสง

= ( 21 สง ฐาน) × ความสง

= ( 21 8 16) × 12 ลกบาศกเซนตเมตร

= 768 ลกบาศกเซนตเมตร

ดงนน ปรมาตรของรปทรงนเทากบ 768 + 768 = 1,536 ลกบาศกเซนตเมตร

ตวอยางท 6 แกวทรงกระบอกใบหนงมรศม 7 เซนตเมตร สง 14 เซนตเมตร ใสนาไวเตม เมอ

หยอนโลหะทรงกลมลงไปในแกวแลวนาโลหะออก พบวา เหลอนาในแกว ครงหนง

โลหะชนดน มปรมาตรเทาไร ( มคาประมาณ 722 )

วธทา ปรมาตรของทรงกระบอก = hr2

722 × 7 × 7 × 14 ลกบาศกเซนตเมตร

ดงนน แกวใบนมนาอย 2,156 ลกบาศกเซนตเมตร

ถาหยอนโลหะทรงกลมลงไปในแกวแลวนาโลหะออก พบวา เหลอนาในแกว ครงหนง

จะไดวา ปรมาตรนาทหายไปครงหนงคอ ปรมาตรของโลหะทรงกลม

ดงนนโลหะชนดน มปรมาตรประมาณ 2156,2

1,078 ลกบาศกเซนตเมตร


หนวยการวดปรมาตร

หนวยการวดปรมาตรทสาคญ ซงผเรยนควรรจกมดงน

ลกบาศกเมตร เทากบ , , ลกบาศกเซนตเมตร

ลตร เทากบ , ลกบาศกเซนตเมตร

ลกบาศกเมตร เทากบ , ลตร

ถวยตวง เทากบ ออนซ

ชอนชา เทากบ ลกบาศกเซนตเมตร (โดยประมาณ)

ถวยตวง เทากบ ลกบาศกเซนตเมตร

ตวอยางท 7 อมอนดมนมวนละ ขวด ขวดละ 12 ออนซ ในแตละวนอมอนไดดมนมกลกบาศก

เซนตเมตร

วธทา นม ขวด ขวดละ 12 ออนซ คดเปนนม 24 ออนซ

เนองจาก ออนซ เทากบ ถวยตวง

นม ขวด ขวดละ 12 ออนซ คดเปนนม 3 ถวยตวง

เนองจาก ถวยตวง เทากบ ลกบาศกเซนตเมตร

ดงนน นม 3 ถวยตวง คดเปนนม 3 × 240 = 720 ลกบาศกเซนตเมตร

นนคอ อมอนดมนมวนละ 72 ลกบาศกเซนตเมตร


ตวอยางท 8 กลองพลาสตกทรงสเหลยมมมฉากใบหนงกวาง 7 เซนตเมตร ยาว .5 เมตร สง

. เมตร กลองนจะมความจกลตร

วธทา

ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก = ความกวาง ความยาว ความสง

ขนาดของกลอง กวาง 7 เซนตเมตร

ยาว .5 เมตร = 5 เซนตเมตร

สง . เมตร = เซนตเมตร

กลองใบนมปรมาตร = 7 5

= 1, 6 , ลกบาศกเซนตเมตร

ปรมาตร , ลกบาศกเซนตเมตร เทากบ ลตร

ดงนน กลองใบนมความจเทากบ 000,1000,260,1

= 1,260 ลตร

ตวอยางท 19 โคมไฟฟาแกวรปทรงกลมมรศมภายนอก 2 เซนตเมตร แกวหนา . เซนตเมตร

จงหาปรมาตรของแกวทใชทาโคมไฟฟาน ( มคาประมาณ 3.14)

วธทา

โคมไฟฟาแกวรปทรงกลมมรศม 2 เซนตเมตร

แกวหนา . เซนตเมตร

รศมภายใน = 12 – 0.3 = 11.7 เซนตเมตร

ปรมาตรของทรงกลม = 3πr34 เมอ r คอความยาวรศมทรงกลม

ดงนน ปรมาตรของโคมไฟฟารวมชองวางภายในดวย

34 × 3.14 × 12 × 12 × 12 ลกบาศกเซนตเมตร


ปรมาตรของชองวางภายใน 34 × 3.14 × 11.7 × 11.7 × 11.7



ดงนน แกวทใชทาโคมไฟฟานมปรมาตร 7,234.56 – 6,705.42

529.14 ลกบาศกเซนตเมตร

ตวอยางท 20 ทอเหลกกลวงทรงกระบอกยาว 21 เซนตเมตร หนา 1 เซนตเมตร มเสนผาน

ศนยกลาง 16 เซนตเมตร จงหาปรมาตรของเหลกทใชทาทอ ( มคาประมาณ

722 )

r 1

14 R = 8

r = 7

16

วธทา


ปรมาตรทอกลวง = hR2 – hr

2

= ( 82 21) – ( 72 21)

= 1,344 – 1,029

= 315

315 722 990 ลกบาศกเซนตเมตร

ดงนน ปรมาตรเหลกทใชทาทอประมาณ 990 ลกบาศกเซนตเมตร


ตวอยางท 21 ระบายนาจากบอนาใหญเขาบอปลาทรงสเหลยมมมฉากซงมพนทฐาน 5,400 ตาราง

ฟต ถาระบายนาเขาบอปลาไดนาทละ 300 ลกบาศกฟต ตองใชเวลานานเทาไร ระดบ

นาในบอปลาจงจะสงขน 20 นว

วธทา


บอปลาทรงสเหลยมมมฉากมพนทฐาน 5,400 ตารางฟต

ถาระบายนาเขาบอปลาไดนาทละ 300 ลกบาศกฟต

ดงนน ใน 1 นาท ระดบนาในบอปลาจะสงขน 400,5300 = 18

1 ฟต

เนองจาก ฟต เทากบ 2 นว

ดงนน ใน 1 นาท ระดบนาในบอปลาจะสงขน 181 × 12 = 3

2 นว

ถาตองการใหระดบนาในบอปลาสงขน 20 นว

จะตองใชเวลาระบายนาเขาบอปลา = 3220 = 20 × 2

3 = 30 นาท

ตวอยางท 22 แทงเหลก ขนาดกวาง 10 เซนตเมตร ยาว 32 เซนตเมตรสง 0.5 เมตรนามาหลอม

เพอหลอเปนลกเปตองเหลกทมเสนผานศนยกลางยาว 8 เซนตเมตร จะไดทงหมด

ประมาณกลก ( มคาประมาณ 3.14)

วธทา


ขนาดของแทงเหลก กวาง 1 เซนตเมตร

ยาว 32 เซนตเมตร

สง 0.5 เมตร = 5 เซนตเมตร

แทงเหลกนมปรมาตร = 1 32 5

= 16, ลกบาศกเซนตเมตร



34 × 3.14 × 4 × 4 × 4 ลกบาศกเซนตเมตร

ลกเปตองเหลกหนงลกมปรมาตร 267.95 ลกบาศกเซนตเมตร

เมอนาแทงเหลกมาหลอม เพอหลอเปนลกเปตองจะไดทงหมด 95.267

000,16 59 ลก

สรป

รปเรขาคณตสองมต มสตรการหาเสนรอบรปและการหาพนท ดงน

เสนรอบรปของสเหลยมจตรส = 4 × ความยาวดาน



พนทรปสเหลยมจตรส = ดาน ดาน


พนทของรปสเหลยมดานขนาน = ความยาวของฐาน ความสง

พนทของรปสเหลยมขนมเปยกปน = 21 ผลคณความยาวเสนทแยงมม


พนทสเหลยมใดๆ = 21 ความยาวของเสนทแยงมม

ผลบวกของเสนกงทตงฉากกบเสนทแยงมมนน

พนทรปสามเหลยม = 21 สง ฐาน



รปเรขาคณตสามมต มสตรการหาพนทผวและการหาปรมาตร ดงน



พนทผวขางของทรงสเหลยมมมฉาก = ความยาวรอบฐาน × ความสง

พนทผวของทรงกระบอก = พนทผวขาง + (2 × พนทฐาน)

= rh2 + (2 × 2

r )

พนทผวของทรงกลม = 2

r4




ปรมาตรของทรงกลม = 3πr34



1. ทดนแปลงหนงเปนรปสเหลยมจตรสยาวดานละ 24 เมตร ตองการปลกตนไผรอบทดนแหงน

โดยปลกหางกนตนละ 2 เมตร จะตองใชตนไผทงหมดกตน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………,

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

2. สวนขนดหนงเปนรปสเหลยมจตรสมพนท 7,396 ตารางเมตร สวนนยาวดานละกวา

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


3. ฝาผนงรปสเหลยมผนผามความกวาง 3.5 เมตร ยาว 5 เมตร มหนาตางรปสเหลยมจตรสยาวดาน

ละ 80 เซนตเมตรอย 2 บานถาตองการทาสผนงหองโดยไมทาสหนาตาง จะตองทาสเปนพนท

เทาไร

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

4. กรอบรปอนหนงมกรอบทาดวยไมสก วดขอบรอบนอกได กวาง 42 นว ยาว 54 นว ขอบไมกวาง

3 นว จงหาวาบรเวณทเปนภาพมพนทกตารางฟต

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….


5. นายหนมตองการเดนออกกาลงกายอยางนอยวนละ 1 กโลเมตร ถาในหมบานของนายหนมม

สนามหญารปวงกลมทมเสนผานศนยกลาง 50 เมตร นายหนมจะตองเดนอยางนอยกรอบสนาม

จงไดระยะทางตามทตองการ (π มคาประมาณ 3.14 )

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

6. นาทพยตองการซอดนมาถมสนามหญาหนาบานซงเปนรปสเหลยมมมฉากกวาง 18 เมตร ยาว 22

เมตร โดยยกระดบสงกวาระดบเดม 35 เซนตเมตร ถารถบรรทกดนคนหนงมกระบะบรรทกยาว

3.5 เมตร กวาง 2 เมตร สง 1 เมตร จะตองซอดนอยางนอยกคน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


7. แมนาสายหนงลก 9 เมตร กวาง 175 เมตร โดยเฉลยนาไหลลงทะเลดวยอตราเรวประมาณ 4.5

กโลเมตรตอชวโมง จงหาปรมาตรนาทไหลลงทะเลใน 1 วนาท

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

8. ถงเกบนาฝนทรงกระบอกของบานหลงหนงสง 3 เมตร วดเสนรอบวงภายในไดเทากบ 3.14 เมตร

ถงใบนเกบนาฝนไวไดมากทสดเทาใด (π มคาประมาณ 3.14 )

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


9. ลกฟตบอลลกหนงวดความยาวรอบวงกลมใหญได 66 เซนตเมตร ถาลกฟตบอลทาดวยหนงหนา

0.5 เซนตเมตร จะจลมไดกลกบาศกเซนตเมตร ( มคาประมาณ 722 )

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

10. ทอนาทรงกระบอกสองทอทาจากวสดชนดเดยวกน มความหนาสมาเสมอ ทอทหนงยาว 42

เซนตเมตร เสนผานศนยกลางภายในยาว 60 เซนตเมตร ทอทสองยาว 90 เซนตเมตร เสนผาน

ศนยกลางภายในยาว 40 เซนตเมตร ถาปลอยใหนาไหลผานทอพรอมกน จงหาวาทอนาใดมนา

ไหลผานไดมากกวา (π มคาประมาณ 3.14 )

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….



สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย,สถาบน. (2553). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน

คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตร

หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.

ลาดพราว.

สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย,สถาบน. (2552). หนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐาน

คณตศาสตร เลม 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 3 ตามหลกสตร

หลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544. กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.ลาดพราว.

คณตศาสตรในชวตประจาวน.สบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://goo.gl/XQblon

คณตศาสตรในชวตประจาวน.สบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://goo.gl/K9NeYG

บทท 3

อตราสวน สดสวนและรอยละ เวลา 6 ชวโมง


อตราสวน เปนการเปรยบเทยบจานวนตงแตสองจานวนขนไป ซงเขยนอยในรปทวไป

คอ ba : หรอ ba

ในการเขยนอตราสวนนยมเขยนใหอยในรปอตราสวนอยางตา สวนการหา

อตราสวนทเทากบอตราสวนทกาหนดใหนน หาไดโดยใชการคณหรอการหารดวยจานวนเดยวกน

และการตรวจสอบการเทากนของอตราสวนอาจจะใชวธการคณไขว และการเปรยบเทยบจานวน

ตงแตสามจานวนขนไปในรปอตราสวนนน ตองทาใหอตราสวนนนๆ เปนอตราสวนเดยวกน จงจะ

เปรยบเทยบกนได

สดสวน เปนการเขยนแสดงการเทากนของสองอตราสวน การหาคาตวแปรในสดสวนหา

ไดโดยใชวธการคณ วธการหาร และวธการคณไขว

รอยละ เปนอตราสวนทมจานวนหลงหรอมตวสวนเปน 100 นยมเรยกวา เปอรเซนต เรา

สามารถเปลยนอตราสวนใหเปนรอยละ หรอเปลยนรอยละใหเปนอตราสวนได


1. เพอใหผเรยนเขาใจความหมายของอตราสวน สดสวน และรอยละ

2. เพอใหผเรยนหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทกาหนดใหได

3. เพอใหผเรยนใชความรเรองอตราสวน สดสวน หาคาของตวแปรทตองการได

4. เพอใหผเรยนเขยนอตราสวนใหอยในรปรอยละและเขยนรอยละใหอยในรปอตราสวน

ได

5. เพอใหผเรยนสามารถแกโจทยปญหาและตรวจสอบคาตอบเกยวกบอตราสวน สดสวน

รอยละ และดอกเบยได

เนอหา

1. อตราสวนและการแกปญหา

2. สดสวนและการแกปญหา

3. รอยละ ดอกเบยและการแกปญหา





3. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามทกาหนดไว






2. ดานทกษะกระบวนการ โดยการสงเกตการใหเหตผล



อตราสวน (Ratio) และ สดสวน (Proportion) เปนเครองมอทใชในการเปรยบเทยบหรอ

หาคาทเกดจากการเปรยบเทยบสงตางๆอาท การผสมสารเคมกาจดวชพช ทตองเปรยบเทยบปรมาณ

สารเคมกบปรมาณนา หรอการประกอบอาหาร ทตองเปรยบเทยบปรมาณเครองปรง และวตถดบ

เปนตน ซงหาไดโดยใชการคณหรอการหารดวยจานวนเดยวกน และการตรวจสอบการเทากนของ

อตราสวน และเราสามารถเปลยนอตราสวนใหเปนรอยละ รอยละ (Percent) โดยทาใหเปน

อตราสวนทมจานวนหลงหรอมตวสวนเปน 100 ซงเราสามารถประยกต ใชกบปญหาเรอง ดอกเบย

(Interest) ซงม 2 แบบคอ ดอกเบยเชงเดยว (Simple Interest) และดอกเบยทบตน (Compound

Interest) ซงปญหาเหลานสามารถเจอไดในชวตประจาวน

อตราสวน

อตราสวนเปนการเปรยบเทยบของสงหนงตอของอกสงหนงทมหนวยอยางเดยวกน เชน

a: b อานวา a ตอ b หรอ ba

ตวอยางท 1 ในการเปรยบเทยบความสงของคนสองคนระหวางนายสมภพ ซม. และนาง

สมหวง ซม. ดงนนความสงของนายสมภพตอความสงของนางสมหวง คอ

ตอ หรอเขยนเปน

นายสมภพ : นางสมหวง = : หรอ นางสมหวง : นายสมภพ = 70 : 5

ตวอยางท 2 จากการสารวจจานวนระหวางผใชรถยนต ผใชรถจกรยานยนต และผใชรถจกรยาน

ในมหาวทยาลยราชภฏเชยงราย มขอมลดงตอไปน

ประเภทของยานพาหนะ จานวนผใช(คน)

รถจกรยานยนต 4,030

รถยนต 1,601

รถจกรยาน 598

ดงนน อตราสวนระหวางผใชรถจกรยานยนตกบรถยนต คอ 4,030 : 1,601

อตราสวนระหวางผใชรถจกรยานยนตกบรถจกรยาน คอ 4,030 : 598

อตราสวนระหวางผใชรถยนตกบรถจกรยาน คอ 1,601 : 598


15x2

310x

3102xx

1032

อตราสวนระหวางผใชรถยนตกบผใชยานพาหนะ คอ 1,601 : 6,229

อตราสวนระหวางผใชรถยนต รถจกรยานและรถจกรยาน คอ 1,601 : 598 : 4,030

อตราสวนทเทากน

อตราสวนทแสดงอตราเดยวกน

ตวอยางท 3 จาก ตวอยาง 1 ทาใหเราไดวาอตราสวนทเทากนกบของคาตอบของตวอยางท 1 คอ

150 : 170 = 15 : 17 = 30 : 34 เปนตน

สดสวน

ประโยคสญลกษณทแสดงการเทากนของ 2 อตราสวน เชน a : b = c : d อานวา

a ตอb เทากบ c ตอ d

ตวอยางท 4 ถาสดสวน x:103:2 จงหาคาของ x

วธทา จดรปใหมได

การแกปญหาโจทยสดสวน

1. อานโจทยใหเขาใจวาโจทยตองการอะไร และใหขอมลอะไรมาบาง

2. สมมตตวแปร แทนสงทตองการ

3. เขยนเปนสดสวน (เปลยนประโยคภาษาไทยใหเปนประโยคสญลกษณ)

4. หาคาตวแปรในสดสวน

5. ตรวจสอบคาตอบ (นาคาตอบทไดไปแทนคาในโจทย) เพอความไมประมาท

15010 : 17010 1505 : 1705


20x9

454 x

45x

94

ตวอยางท 5 การผสมปนใชปนซเมนตและทรายผสมกนดวยอตราสวน 4 : 5 ถาตองการปนฉาบ

45 ถง จะตองใชปนซเมนตและทรายอยางละเทาไร

วธทา ปนซเมนตและทรายมอตราสวน 4 : 5

ปรมาณปนฉาบทงหมดเทากบ 4 + 5 = 9 ปนซเมนตตอปนฉาบทงหมดคอ 4 ตอ 5

สมมตให ปนซเมนต จานวน x ถงดงนน

ใชปนซเมนตจานวน 20 ถง ใชทราย จานวน 45 - 20 = 5 ถง

ตวอยางท 6 ในการผสมเครองดมชนดหนงจะตองใชอตราสวนดงน สารเอทลแอลกอฮอล 2 สวน

ตอ โซดา 8 สวน และ อตราสวนระหวาง โซดา ตอ นาทมกรดซตรกผสมอย เปน 4

: 1 จงหาวาถาตองการผลตเครองดมชนดน 4,800 มลลลตร จะตองใช โซดากลตร

วธทา ดงนน สารเอทลแอลกอฮอล : โซดา = 2 : 8 ………………….(1)

และ นาทมกรดซตรกผสมอย : โซดา = 1 : 4 ...……………….(2)

นา ( ) คณดวย 2 จะได นาทมกรดซตรกผสมอย : โซดา = 2 : 8

ดงนน สารเอทลแอลกอฮอล : โซดา : นาทมกรดซตรกผสมอย = 2:8:2

ใหสารทงสามชนดมหนวยเปนมลลลตร ดงนนเครองดมชนดนจะเกดจาก สาร

เอทลแอลกอฮอล 2 มลลลตร โซดา 8 มลลลตร และนาทมกรดซตรกผสมอย 2 มลลลตร ทาให

เครองดมชนดนมปรมาตร 2 + 8 + 2 = 12 มลลลตร แตจากโจทยตองการ 4,800 มลลลตรดงนน

จะตองเพมอตราสวนอยางละ 40012

4800 ทาใหไดอตราสวนใหมเปน

สารเอทลแอลกอฮอล : โซดา : นาทมกรดซตรกผสมอย = 4002:4008:4002

= 800 : 3200 : 800

ดงนน ตองใชโซดา 3,200 มลลตร


รอยละ

อตราสวนทมจานวนหลง หรอจานวนทสองเปน 100 เชน :100 หมายถง รอยละ

หรอ %

ตวอยางท 7 3.5% ของ เทากบเทาไร

วธทา ให x เปนจานวนทตองการ

จดในรปอตราสวนได 800

x1003.5

x100

8003.5

28x

ดงนน 3.5% ของ 800 เทากบ 28

ตวอยางท 8 20 เปนกเปอรเซนตของ 1000

วธทา ใหจานวนทตองการคอ x

จดในรปอตราสวนได 1000

20100

x

1000

10020x

2x

ดงนน 20 เปนกเปอรเซนตของ 1000 คอ 2

ตวอยางท 9 7 เปน % ของจานวนใด

วธทา ให x เปนจานวนทตองการ

จดในรปอตราสวนได x

32710075

75

100327x

436x

ดงนน 327 เปน 75% ของ 436


ตวอยางท 10 บวขาวไดรบสวนแบงทดนจากการเปดพนยกรรมของครอบครวโดยทบวขาวไดทดน

จานวน 237 ไรซงคดเปนรอยละ 15 ของจานวนทดนในพนยกรรม จงหาวาทดน

ทงหมดในพนยกรรมมจานวนกไร

วธทา ให x เปนจานวนทดนทงหมด

จดในรปอตราสวนได x

23710015

15

100237x

1,580x

ดงนน ทดนทงหมดในพนยกรรมเทากบ 1,580 ไร

ตวอยางท 11 นายพงกางกบนางสาวพงยอยรบประทานอาหารในรานอาหารบฟเฟตปงยางแบบ

เกาหลโดยมราคาหนาราน 320 บาทตอคน แตมคาภาษมลคาเพม 15 % แตเนองจาก

เปนวนจนทรทางรานจงลดให 25 % จากราคาปายหนาราน จงหาวานายพงกางกบ

นางสาวพงยอยจะตองจายเงนเปนจานวนกบาท

วธทา ขนตอนท 1 หาราคาทตองจายหลงจากทางรานลดราคา 25 %

ทาให จาย 75% จากราคาปายหนาราน

ดงนน 320x

10075

100

32075x

240x

ขนตอนท 2 หาราคาทตองจายจรงหลงจากรวมภาษมลคาเพมทาให จาย 115% จากราคา

240 (ราคาทลดแลว)

ดงนน 240x

100115

100

240115x

276x


แตเนองจากม 2 คน จงตองจาย 552 บาท

ดอกเบย

ในโลกเราทกวนน แทบจะกลาวไดวาไมมผใดไมรจกคาวา “ดอกเบย” ทงนเพราะในการ

ดารงชวตปจจบนของคนเรามกเกยวของกบเงนเปนสวนใหญ ทงในเรองการนาเงนไปลงทน หรอ

ใหผอนกยมไปใชประโยชนกตาม ซงแนนอนวาผลงทนหรอผใหกยอมตองการผลตอบแทนจาก

การลงทนหรอการใหกนน ผลตอบแทนดงกลาวนเองทเราเรยกวา “ดอกเบย” ดอกเบยสามารถแบง

ออกเปน 2 ประเภท คอ

1. ดอกเบยเชงเดยว หมายถง ดอกเบยทคดจากเงนตนเรมแรก ซงจานวนดอกเบยดงกลาว

จะคงทเทากนทกปซง

สตรทวไปในการคานวณหาดอกเบยเชงเดยว ดงน

trP I

โดย I แทน จานวนดอกเบย

P แทน เงนตน

r แทน อตราดอกเบย

t แทน ระยะเวลา

และจะไดสตรในการคานวณหาเงนรวมซงประกอบไปดวยเงนตนและอตราดอกเบย ดงน

S = P+ I

โดยท S คอ เงนรวมหรอเงนทลกหนจะตองชาระคนแกเจาหนทงเงนตนและดอกเบย

หมายเหต : ในการคานวณดอกเบยเชงเดยวน มขอสงเกตทควรทราบดงน

1. คา r เปนอตราดอกเบยรอยละ ดงนน การแทนคาในสตรจะตองหารดวย 100 เสมอ เชน

ถากาหนดวา อตราดอกเบยคอ 15% ในสตร กจะตองแทนคา เปน 10015

หรอ 0.15

2. คา r และ t จะตองสมพนธกน เชน ถา r คออตราดอกเบยตอเดอน คา t ตองทาใหม

หนวยเปนเดอนดวย ถา r คอ อตราดอกเบยตอป คา t กจะตองทาใหมหนวยเปนปดวย


ตวอยางท 12 ขดศลกเงนจากแหลงเงนกนอกระบบทชอวาพระพกตรโลหตมา 100,000 บาท เปน

เวลา 3 ปมาแลว โดยทพระพกตรโลหตคดดอกเบยเชงเดยวในอตรา 15% อยากทราบ

วาขดศลจะตองใชหนทงเงนตนและดอกเบยรวมเปนเงนเทาไร

วธทา ขนท 1 หาดอกเบย

สตร trP I

จากโจทย P = 100,000 บาท t = 3 ป r = 15%

ดงนน I = 10015

3100,000

นนคอดอกเบยเทากบ 45,000 บาท

ขนท 2 เงนตนและดอกเบยรวม

สตร S = P + I

ดงนน = 100,000 + 45,000

= 145,000

เพราะฉะนนขดศลจะตองใชหนพระพกตรโลหตทงเงนตนและดอกเบยรวมเปนเงน 145,000 บาท

2. ดอกเบยทบตน หมายถง ดอกเบยทคดจากเงนตนเรมแรกบวกกบดอกเบยทไดรบในแต

ละงวดทผานมาโดยมแนวคดวาไดมการนาจานวนดอกเบยทไดรบในงวดกอน ๆ นนไปลงทนตอ

อนจะมผลใหดอกเบยทคานวณไดเพมขนทกปตามเงนตนทเพมขนนน

การคานวณดอกเบยทบตนจะยงยากกวาการคานวณดอกเบยเชงเดยว เพราะเงนตนทนามา

คดดอกเบยในแตละปจะไมเทากนและนอกจากน ในวงการธรกจประเภทตางๆ กยงนยมคด

ดอกเบยทบตนตอชวงเวลาทแตกตางกนอกดวย เชน อาจจะคดดอกเบยทบตนตอป ตอครงป ตอ

เดอนจนไปถงตอวนกได อกทงในการลงทนบางอยาง ผลตอบแทนกวาจะไดรบใชเวลาหลายปมาก

ดงนน จงมการคดสตรทวไปในการหาดอกเบยทบตน ดงน

ถากาหนดให P แทน เงนตน

i แทน อตราดอกเบยตองวด

n แทน จานวนงวดทงหมด

Sn แทน เงนรวมปลายงวดท n


สตรท วไปในการคานวณหาเงนรวมในปท n หรอมลคาของเงนตนจานวนหนงท

ฝากเมอตนปท 1 เปนเวลา n ป อตราดอกเบย i % ตอป โดยทผฝากจะไมมการรบดอกเบย

ไปใชกอนถงกาหนดเวลา ดงน

Sn = P (1+i) n

และสตรท วไปทใชคานวณหาดอกเบยทบตน ไดดงน

I = Sn- P

โดยท I คอ จานวนดอกเบยทบตนทตองการหา

หมายเหต : ในการคานวณหาเงนรวมและดอกเบยทบตน มข อสงเกตทควรทราบ

คอ คา i และ n จะตองสมพนธก น เชน ถา i คออตราดอกเบยตอเดอน n กต องนบเปน

จานวนเดอนดวย หรอ ถา i คออตราดอกเบยตอ 6 เดอน n กตองนบจานวนงวดโดยท 1 งวด

คอ 6 เดอนดวย แตเนองจากคา i มกนยมคดเปนตอป ดงนน เพอใหสอดคลองกบคา n จงใชสตร

ดงน

อตราดอกเบยตองวด (i) = อตราดอกเบยตอปทกาหนด

จานวนครงทคดดอกเบยใน 1 ป

สวนจานวนงวด กสามารถทาได ดงน

จานวนงวดทงหมด (n) = จานวนครงทคดดอกเบยใน 1 ป จานวนปทกยม

ตวอยางท 13 นายบญตระกลฝากเงนไวทธนาคารแหงหนงเปนจานวนเงน 100,000 บาท อตรา

ดอกเบย 7% ตอป โดยธนาคารจะคดดอกเบยแบบทบตนใหทก ๆ 6 เดอน ถานายบญ

ตระกลฝากเงนไวเปนเวลา 5 ปแลวโดยทไมไดถอนเงนเลย อยากทราบวา

ก.นายบญตระกลจะมเงนในบญชเทาไร

ข.นายบญตระกลไดรบดอกเบยจานวนเทาไร

วธทา ก. สตร Sn = P 1 i n

จากโจทย P = 100,000 บาท


i = 2

0.07= 0.035

n = 2 5 = 10 งวด

แทนคา Sn = 100,000(1 + 0.035)10

= 100,000(1.4106)

ดงนนเงนในบญชเทากบ 141,060 บาท

ข. สตร I = Sn - P

จากโจทย P = 100,000 บาท

Sn = 141,060 บาท

แทนคา I = 141,060 - 100,000

ไดรบดอกเบยจานวนเทากบ 41,060 บาท

สรป

ในการเปรยบเทยบนนวชาคณตศาสตรไดมระเบยบวธทใชเปรยบเทยบ ซงเรยกวา

อตราสวน ซงเปนการเปรยบเทยบจานวนตงแตสองจานวนขนไป และเขยนอยในรปทวไปคอ

ba : หรอ ba

ในการเขยนอตราสวนนยมเขยนใหอยในรปอตราสวนอยางตา สวนการหาอตราสวน

ทเทากบอตราสวนทกาหนดใหนน หาไดโดยใชการคณหรอการหารดวยจานวนเดยวกน และการ

ตรวจสอบการเทากนของอตราสวนอาจจะใชวธการคณไขว และการเปรยบเทยบจานวนตงแตสาม

จานวนขนไปในรปอตราสวนนน ตองทาใหอตราสวนนนๆ เปนอตราสวนเดยวกน จงจะ

เปรยบเทยบกนได และการเขยนแสดงการเทากนของสองอตราสวน เราเรยกวา สดสวนซงจะใช

แกปญหาในการหาคาตอบของตวแปรทเกดจากอตราสวน และอตราสวนทเราคนเคยอกหนงกคอ

รอยละ ซงเปนอตราสวนทมจานวนหลงหรอมตวสวนเปน 100 เราสามารถเปลยนอตราสวนใหเปน

รอยละ หรอเปลยนรอยละใหเปนอตราสวนได และประโยชนของรอยละยงใชแกปญหาเกยวกบ

ดอกเบยไดอกดวย

………………………………………….



1.โตโนแบงเงนใหหลาน 2 คน โดยใหอตราสวนคนโตตอคนเลกเปน 5 : 4 ถาโตโนมเงน 630,000

บาท หลานแตละคนจะไดรบสวนแบงคนละเทาไร

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...

2.ในสวนของลกเกดมตนมะมวง 54

ของจานวนตนชมพจงหา

2.1 อตราสวนระหวางจานวนตนมะมวงตอจานวนตนชมพ

……………..…………………………………………………………………………………….

2.2 ถามตนมะมวง ตน จะมชมพกตน

……………..…………………………………………………………………………………….

2.3 ถามตน ชมพ ตน จะมมะมวงกตน

……………..…………………………………………………………………………………….

2.4 ถาในสวนนมตนมะมวงและตนชมพรวมกน ตน จะมมะมวงและตนชมพอยางละกตน

……………..…………………………………………………………………………………….

……………..…………………………………………………………………………………….


3.ในโรงงานแหงหนง อตราสวนของจานวนพนกงานชายตอเครองจกรเปน 3 : 2 และอตราสวน

พนกงานหญง ตอเครองจกรเปน 5 : 3 จงหาอตราสวนของเครองจกรตอจานวนพนกงานชายตอ

จานวนพนงงานหญง

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

4. แบงเงนจานวนหนงใหออย อน ออม อน ในอตราสวน ออย : อน = 1 : 2 ,อน : ออม = 4 : 3 และ

ออม: อน = 5 : 4 จงหาถาอนมเงน 240 บาท แตละออยและออมจะมเงนตางกนกบาท

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...


5. บรษทบญสนกเกดจากการลงทนของ สมสนก และ แสนสนก คนละ 480,000 บาท และ 400,000

บาทตามลาดบ ตอมา สมสนกขายหนใหนกสนก และทาใหจานวนหนของ สมสนก และ แสนสนก

เทากน จงตอบคาถามตอไปน

5.1 จงหาวานกสนกถอหนรอยละเทาไรของบรษท

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

5.2 ถากาไรของบรษทเปน 1,200,000 บาท สมสนกจะไดเงนปนผลกบาท

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...


6. ทดนแปลงหนงใชพนทสาหรบอยอาศยตอพนทเกบกกนาเปนอตราสวน 2 : 3 ใชพนทสาหรบ

เกบกกตอพนทเพาะปลกเปนอตราสวน 4 : 15 ถาทดนแปลงนมพนท 455 ไร จะเปนทอยอาศย ท

เกบกกนา และพนทเพาะปลกอยางละกไร

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

7. นาผลไมรวมบรรจขวดปรมาตร 200 ลบ.ซม. มสวนผสมของ นาสม:นาแครอท:นาตาล เทากบ

3 : 2 : 1 ถาตองการนาผลไมรวม 250 ขวด ตองใชนาสมก ลบ.ซม.

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...


8.โรงเรยนมอตราสวนของนกเรยนชายตอนกเรยนหญงเปน 5 : 7 โดยมนกเรยนหญงมากกวา

นกเรยนชายอย 264 คน และตองจายเงนคานมกลองละ 11.50 บาท สาหรบนกเรยนทกคน ดงนน

ตองจายเงนเทาใด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

9.จงหาคาของแตละขอ

9.1 40% ของ 30 เปนเทาใด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

9.2 5.2% ของ 950 เปนเทาใด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

9.3 93 เปน 20% ของจานวนใด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


10. เสรไดคานายหนาจากการขายทดน 5% จากราคาขาย 850,000 บาท เสรจะไดคานายหนาขาย

ทดนไดกบาท

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………….......

11. ขายของชนแรกไดกาไร 10% ขายชนทสองไดกาไร 20% ถาตนทนของชนแรกเปนสองเทาของ

ชนทสอง จงหาวาขายของทงสองชนไดกาไรกเปอรเซนต

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...


12.ลดดาซอเสอมาตวหนงราคา 450 บาท แลวขายใหวนเพญไดกาไร 10 % วนเพญขายตอใหมาล

โดยไดกาไร 5 % ถาลนดาขายใหมาลเทากบราคาทวนเพญขายใหมาล ลนดาจะไดกาไรกเปอรเซนต

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

13.โรงงานตงราคาเสอไว 240 บาท ใหสวนลดแกรานคา % ของราคาทตงไว รานคาปลกลดใหผ

ซอ 10% ของราคาโรงงาน จงหาวารานไดกาไรกเปอรเซนต

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...


14. นายวนชยฝากเงน 10,000 บาทไวกบธนาคารแหงหนงซงธนาคารแหงนนใหดอกเบยในอตรา

12 % ตอป โดยคดดอกเบยปละ 3 ครงแบบทบตน ถานายวนชยฝากเงนไวครบ 5 ป เขาจะไดรบเงน

คนจานวนเทาใด และจานวนดอกเบยทเขาไดรบนนเปนเงนเทาไร

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

15. นายเจนณรงคกเงนธนาคารเปนจานวนเงน 480,000 บาทโดยธนาคารคดดอกเบย 7.5%ตอป เมอ

เวลาผานไประยะหนงนายเจนณรงคไปตรวจสอบดทธนาคาร ปรากฏวาธนาคารแจงวานายเจน

ณรงคเปนหนธนาคารเปนจานวนเงนทงสน 498,000 บาท อยากทราบวา นายเจนณรงคไดกเงนจาก

ธนาคารเปนเวลานานเทาใด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………



การคานวณดอกเบย.สบคนเมอ 1 มถนายน 2557, จาก http://www. .or.th/th/serviceunderbot

ดอกเบย.สบคนเมอ 30 พฤษภาคม 2557, จาก http://www.bot.or.th

อตราดอกเบย.สบคนเมอ 1 มถนายน 2557, จาก https://www.tmbbank.com

Kellison, Stephen G. (1970). The Theory of Interest. Richard D. Irwin, Inc. Library of Congress

Catalog Card No. 79-98251.

บทท� 4

การคานวณภาษในชวตประจาวน เวลา 6 ช�วโมง


ภาษเงนไดบคคลธรรมดา เปนภาษท�รฐจดเกบจากผท�มรายไดซ� งไดมาในรปแบบตาง ๆ

ในทางกฎหมายไดแยกประเภทของเงนไดบคคลธรรมดาไว ในมาตรา 40 (1) – (8) การคานวณหก

คาใชจาย และการคานวณหกลดหยอนภาษ ซ� งเปนตวบทกฎหมายท�ตองศกษา จากน7นจงคานวณ

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา โดยผเสยภาษมหนาท�ย�นแบบแสดงภาษโดยใชแบบ ภ.ง.ด. 90 หรอ

ภ.ง.ด. 91 ตามท�กฎหมายกาหนด สาหรบภาษมลคาเพ�ม (Value added tax) เปนภาษตาม ประมวล

รษฎากร เปนภาษทางออมท�จดเกบจากการขายสนคาหรอการใหบรการโดยผ มหนาท� เสย

ภาษมลคาเพ�ม ไดแก ผขายสนคาและผใหบรการ โดยผขายสนคาและผใหบรการสามารถเรยกเกบ

ไดจากผซ7อสนคาหรอผรบบรการตามอตราภาษท�กาหนด ซ� งปจจบนอตราภาษมลคาเพ�มมอตรารอย

ละ 7 ของมลคาสนคาหรอบรการ


1. เพ�อใหผเรยนสามารถคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดาตามแบบ ภ.ง.ด. 90 และ ภ.ง.ด.91

ได

2. เพ�อใหผเรยนสามารถคานวณภาษมลคาเพ�มได

3. เพ�อใหผเรยนสามารถนาความรในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดาและการคานวณ

ภาษมลคาเพ�มไปใชในชวตประจาวนไดอยางเหมาะสม

เน*อหา

1. ภาษเงนไดบคคลธรรมดาตามแบบ ภ.ง.ด. 90 และ ภ.ง.ด. 91

J. ภาษมลคาเพ�ม




2. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเน7อหา

O. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามท�กาหนดไว

ส�อประกอบการสอน

1. เอกสารเน7อหาประกอบการสอน




2. ดา นทก ษ ะ /ก ระ บ วนก า ร โ ดย ก า รส ง เ ก ตก า รแกป ญหา แ ล ะ ก า รใ ห เ ห ตผ ล

3. คณลกษณะท�พงประสงค โดยการสงเกตการมสวนรวมในการทากจกรรมการเรยน


ภาษเปนรายรบประเภทรายไดของรฐบาลท�ถอวาสาคญอยางย�งและเปนยอดรายรบท�สง

ท�สดเม�อเทยบกบรายรบอ�นๆ ท�รฐบาลจะไดมาเพ�อใชในการพฒนาประเทศ ซ� งมการจดเกบ

หลากหลายประเภทตางกนออกไปตามประมวลกฎหมาย โดยภาษท�รฐบาลจดเกบและเปนภาษท�

สาคญมากประเภทหน�ง คอรายไดท�เปนภาษอากร เปนรายไดท�รฐบาลบงคบเกบจากประชาชนโดย

อาศยอานาจทางกฎหมาย ประชาชนของชาตท�มรายไดตามท�กฎหมายกาหนดจงตองเสยภาษเพ�อ

เปนรายไดของรฐบาลท�นาไปใชในการพฒนาประเทศเพ�อใหประชาชนมความเปนอยด มงานทา ม

ความม�นคง และมความปลอดภยในชวตและทรพยสน

ในบทน7 จะศกษาภาษท�เก�ยวของกบประชาชนและสาคญกบผมเงนไดซ� งไดมาจากการ

ประกอบอาชพท�ว ๆ ไป คอ ภาษเงนไดบคคลธรรมดา (ภ.ง.ด. 90 – ภ.ง.ด. 91) และภาษมลคาเพ�ม

(VAT)

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา คอ ภาษท�จดเกบจากบคคลท�วไป หรอจากหนวยภาษท�ม

ลกษณะพเศษ ตามท�กฎหมายกาหนดและมรายไดเกดข7นตามเกณฑท�กาหนด โดยปกตจดเกบเปน

รายป รายไดท�เกดข7นในปใด ๆ ผมรายไดมหนาท�ตองนาไปแสดงรายการตนเองตามแบบแสดง

รายการภาษท�กาหนดภายในเดอนมกราคม ถง เดอนมนาคมของปถดไป โดยการย�นแบบแบงเปน 2

ประเภท คอ แบบแสดงรายการภาษเงนไดบคคลธรรมดา ภ.ง.ด. 90 และ แบบแสดงรายการภาษเงน

ไดบคคลธรรมดา ภ.ง.ด. 91 โดยผมหนาท�ย�นแบบ ภ.ง.ด. 90 และ ภ.ง.ด. 91 มรายละเอยดดงน7

ผมหนาท�ย�นแบบ ภ.ง.ด. 90 ไดแก ผมเงนไดพงประเมนตามมาตรา 40 (1) - (8) แหง

ประมวลรษฎากรหลายประเภทหรอประเภทเดยว (แตมใชเงนไดตามมาตรา 40 (1) แหงประมวล

รษฎากรประเภทเดยว) ตามเกณฑตอไปน7

1. ผมเงนไดจากการทาธรกจการคาท�วไปท�มใชเกดจากการจางแรงงานท�ไดรบในป

ภาษน7น (ต7งแต 1 มกราคม ถง 31 ธนวาคม)

2. กรณไมมคสมรสตองมเงนไดพงประเมนเกน 30,000 บาท

3. กรณมคสมรสไมวาฝายเดยวหรอท7งสองฝาย ตองมเงนไดพงประเมนรวมกน เกน

60,000 บาท


ผมหนาท�ย�นแบบ ภ.ง.ด. 91 ไดแก ผมเงนไดจากการจางแรงงาน ตามมาตรา 40 (1) แหง

ประมวลรษฎากรประเภทเดยว ตามเกณตตอไปน7

1. ผมเงนไดจากการจางแรงงานประเภทเงนเดอน คาจางท�ไดรบในปภาษน7น (ต7งแต 1

มกราคม ถง 31 ธนวาคม)

2. กรณไมมคสมรสตองมเงนไดพงประเมนเกน 50,000 บาท

3. กรณท�มคสมรสไมวาฝายเดยว หรอท7งสองฝาย ตองมเงนไดพงประเมนรวมกน เกน

100,000 บาท

ผมเงนไดพงประเมนแยกตามประเภท มาตรา 40 (1) – (8)

เน�องจากผมเงนไดประกอบอาชพแตกตางกน มความยากงายหรอตนทนท�แตกตางกน เพ�อความ เปนธรรม ในกฎหมายจงไดแบงลกษณะเงนได (พงประเมน) ออกเปนกลม ๆ ตามความเหมาะสมเพ�อกาหนดวธคานวณภาษใหเกดความเปนธรรมมากท�สด ดงน7

1. เงนไดประเภทท� 1 40 (1) ไดแก เงนไดเน�องจากการจางแรงงาน ไมวาจะเปน เงนเดอนคาจาง เบ7ยเล7ยง โบนส เบ7ยหวด บาเหนจ บานาญ

2. เงนไดประเภทท� 2 40 (2) ไดแก เงนไดเน�องจากหนาท�หรอตาแหนงงานท�ทา หรอจากการรบทางานให ไมวาจะเปน คาธรรมเนยม คานายหนา ตลอดจน เงน ทรพยสน หรอประโยชนใด ๆ ท�ไดเน�องจากหนาท�หรอตาแหนงงานท�ทา หรอจากการรบทางานใหน7น

3. เงนไดประเภทท� 3 40 (3) ไดแก คาแหงกดวลล (Goodwill) หมายถง คาความนยมท�เปนผลมาจากการประกอบธรกจดวยความยตธรรม มคณภาพดจนเปนท�เช�อถอและวางใจของลกคา คาแหงลขสทธ_ หรอสทธอยางอ�น เงนป หรอเงนไดท�มลกษณะเปนเงนรายปอนไดมาจากพนยกรรม นตกรรมอยางอ�น หรอคาพพากษาของศาล

4. เงนไดประเภทท� 4 40 (4) เงนไดจากเงนลงทน ไดแก ดอกเบ7ย เงนปนผล เงนสวนแบงกาไร เงนลดทน เงนเพ�มทน ผลประโยชนท�ไดจากการโอนหน เปนตน

5. เงนไดประเภทท� 5 40 (5) เงนไดจากการใหเชาทรพยสน หรอเงนท�ไดจากประโยชนอยางอ�น เชน การผดสญญาเชาซ7อทรพยสน การผดสญญาซ7อขายเงนผอนซ� งผขายไดรบคนทรพยสนท�ซ7อขายน7นโดยไมตองคนเงนหรอประโยชนท�ไดรบไวแลว

6. เงนไดประเภทท� 6 40 (6) ไดแก เงนไดจากวชาชพอสระ คอ วชากฎหมาย การประกอบโรคศลป วศวกรรม สถาปตยกรรม การบญช ประณตศลปกรรม หรอวชาชพอ�นซ� งจะไดมพระราชกฤษฎกากาหนดไว


7. เงนไดประเภทท� 7 40 (7) ไดแก เงนไดจากการรบเหมาท�ผรบเหมาตองลงทนดวยการจดหาสมภาระในสวนสาคญนอกจากเคร�องมอ

8. เงนไดประเภทท� 8 40 (8) ไดแก เงนไดจากการธรกจ การพาณชย การเกษตร การอตสาหกรรม การขนสง การขายอสงหารมทรพย หรอการอ�นนอกจากท�ระบไวในประเภทท� 1 ถงประเภทท� 7

รายการคานวณหกคาใชจาย เงนไดพงประเมนแตละกรณ

1. เงนไดพงประเมนประเภทท� 1 และ 2 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายใหหก คาใชจายเปนการเหมา ตามเง�อนไขท�กาหนดดงน7

(1) ผมเงนไดสามารถหกคาใชจายเปนการเหมาไดรอยละ 40 ของเงนได แตรวมกนแลวตองไมเกน 60,000 บาท

(2) ในกรณสามภรยา ตางฝายตางมเงนไดและความเปนสามภรยาไดมอยตลอดปภาษ ใหตางฝายตางหกคาใชจายไดรอยละ 40 แตไมเกนฝายละ 60,000 บาท

2. เงนไดพงประเมนประเภทท� 3 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายยอมใหหกคาใชจายไดเฉพาะเงนไดท�เปนคาแหงลขสทธ_ โดยใหหกเปนการเหมาไดรอยละ 40 ของคาแหงลขสทธ_ แตไมเกน 60,000 บาท สาหรบคาแหงกดวลล หรอสทธอยางอ�น เงนป หรอเงนไดท�มลกษณะเปนเงนรายปอนไดมาจาก พนยกรรม นตกรรมอยางอ�น หรอคาพพากษาของศาล ไมยอมใหหกคาใชจายใด ๆ ท7งส7น

3. เงนไดพงประเมนประเภทท� 4 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายไมยอมใหหก คาใชจายใด ๆ ท7งส7น

4. เงนไดพงประเมนประเภทท� 5 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายใหหกคาใชจายได ดงน7

(1) การใหเชาทรพยสน ผมเงนไดมสทธเลอกหกคาใชจายวธใดวธหน�งดงน7 ก. หกตามความจาเปนและสมควร

ข. หกเปนการเหมาในอตราท�กาหนด รอยละ 30 (2) การผดสญญาเชาซ7อทรพยสน กฎหมายยอมใหผมเงนไดหกคาใชจายเปนการ

เหมาไดรอยละ 20 วธเดยว


(3) การผดสญญาซ7อขายเงนผอน ซ� งผขายไดรบคนทรพยสนท�ซ7อขายน7นโดยไมตองคนเงนหรอประโยชนท�ไดรบไวแลว กฎหมายยอมใหหกคาใชจายเปนการเหมาไดรอยละ 20 วธเดยว

5. เงนไดพงประเมนประเภทท� 6 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายยอมใหเลอกหก คาใชจายวธใดวธหน�งดงน7 5.1 ใหหกตามความจาเปนและสมควร 5.2 ใหหกเปนการเหมาดงตอไปน7

5.2.1 เงนไดจากการประกอบวชาชพอสระ การประกอบโรคศลป ใหหกคาใชจายรอยละ 60

5.2.2 เงนไดจากการประกอบวชาชพอสระนอกจาก 5.2.1 หกคาใชจายไดรอยละ 30

6. เงนไดพงประเมนประเภทท� 7 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายยอมใหหกคา ใชจายวธใดวธหน�ง ดงน7

6.1 หกตามความจาเปนและสมควร 6.2 หกเปนการเหมาในอตรารอยละ 70

7. เงนไดพงประเมนประเภทท� 8 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายยอมใหเลอกหก คาใชจายวธใดวธหน�ง ดงน7

7.1 หกตามความจาเปนและสมควร 7.2 หกเปนการเหมาในอตรารอยละตามท�กฎหมายกาหนด

สทธหกลดหยอนสาหรบผมเงนไดบคคลธรรมดา

การหกลดหยอน หมายถง รายการตางๆ ท�กฎหมายไดกาหนดใหหกไดเพ�มข7นหลงจากไดหกคาใชจายแลว เพ�อเปนการบรรเทาภาระภาษใหแกผเสยภาษ กอนนาเงนไดท�เหลอซ� งเรยกวา เงนไดสทธ ไปคานวณภาษตามบญชอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา รายการหกลดหยอนกรณตางๆ มดงน7

1. การหกลดหยอนในกรณท�วไป 1.1 ผมเงนได 30,000 บาท (ไมวาจะอยในประเทศไทยถง 180 วน หรอไมกตาม)1.2 สามหรอภรยาของผมเงนได 30,000 บาท


1.2.1 สามหรอภรยาของผมเงนไดท�มสทธหกลดหยอน จะตองเปนสามหรอภรยาชอบดวยกฎหมาย การสมรส ไมครบปภาษกมสทธหกลดหยอนได เชน จดทะเบยนสมรสระหวางปภาษ หรอตายในระหวางปภาษ กมสทธหกลดหยอนได 30,000 บาท 1.2.2 สามหรอภรยาของผมเงนไดท�จะนามาหกลดหยอนจะตองไมมเงนไดพงประเมนหรอมแตไมไดแยกคานวณภาษ เชน สามภรยาแตงงานครบปภาษและตางฝายตางมเงนไดประเภทท� 1 กรณดงกลาว ภรยาสามารถแยกคานวณภาษตางหากจากสามไดโดยชอบ ท7งสามภรยาจงไมมสทธนาคสมรสมาหกลดหยอนได แตหากภรยามเงนไดประเภทอ�น (2 - 8) ใหสามนาเงนไดของภรยามารวมคานวณและมสทธนาคสมรสมาหกลดหยอนได

1.3 การหกลดหยอนบตร ใหหกสาหรบบตรชอบดวยกฎหมาย หรอบตรบญธรรมของผมเงนได รวมท7งบตรชอบดวยกฎหมายของสามหรอภรยาของผมเงนไดดวย โดยมเง�อนไขวาบตรท�เกดกอน หรอในพ.ศ. 2522 หรอท�ไดรบเปนบตรบญธรรม กอน พ.ศ. 2522 คนละ 15,000 บาท บตรท�เกดหลง พ.ศ. 2522 หรอท�ไดรบเปนบตรบญธรรมในหรอหลง พ.ศ. 2522 คนละ 15,000 บาท แตรวมกนตองไมเกน 3 คน การนบจานวนบตรใหนบเฉพาะบตรท�มชวตอยตามลาดบอายสงสดของบตร โดยใหนบรวมท7งบตรท�ไมอยในเกณฑไดรบการหกลดหยอนดวย การหกลดหยอนสาหรบบตร ใหหกไดเฉพาะบตรซ� งมอายไมเกน 25 ป และยงศกษาอย ในมหาวทยาลยหรอช7นอดมศกษาเฉพาะภายในประเทศใหลดหยอนเพ�อการศกษาไดอกคนละ 2,000 บาท หรอเปนผเยาว หรอศาลส�งใหเปนคนไรความสามารถหรอเสมอนไรความสามารถอนอยในความอปการะเล7ยงด

1.4 เบ7ยประกนภย ท�ผมเงนไดจายไปในปภาษ สาหรบการประกนชวตของผมเงนไดตามจานวนท�จายจรง โดยสวนแรกหกได 10,000 บาท สวนท�เกน 10,000 บาท หกไดไมเกนเงนไดหลงจากหกคาใชจาย แตไมเกน 90,000 บาท ท7งน7 เฉพาะในกรณท�กรมธรรมประกนชวตมกาหนดเวลาต7งแต 10 ปข7นไป 1.5 เงนสะสม ท�จายเขากองทนสารองเล7 ยงชพ หกลดหยอนไดตามจานวนท�จายจรง แตไมเกน 10,000 บาท สวนท�เกน 10,000 บาท แตไมเกน 490,000 บาท เปนเงนท�ไดรบยกเวนภาษ โดยนาจานวนเงนสวนท�เกนดงกลาวหกจากเงนไดพงประเมน กอนหกคาใชจายตามจานวนท�จายจรงแตไมเกน 490,000 บาท


1.6 ดอกเบ7ยเงนกยม การยกเวนภาษเงนไดสาหรบเงนไดเทาท�ไดจายเปนดอกเบ7ยเงนกสาหรบการกยมเงนเพ�อซ7อ เชาซ7อ หรอสรางอาคารท�อยอาศย โดยจานองอาคารท�ซ7อหรอสรางเปนประกนการกยมน7น ตามจานวนเงนท�ไดจายไปจรงแตไมเกน 100,000 บาท 1.7 เงนสมทบ ท�ผประกนตนจายเขากองทนประกนสงคม ตามกฎหมายวาดวยการประกนสงคมตามจานวนท�จายจรง 1.8 คาลดหยอนบดามารดา กรณผมเงนไดและคสมรสท�มเงนไดรวมคานวณภาษ หรอคสมรสไมมเงนได อปการะเล7ยงดบดามารดาท�มอาย 60 ปข7นไป ซ� งมรายไดไมเพยงพอตอการเล7 ยงชพ ผมเงนไดและคสมรสมสทธหกลดหยอนคาอปการะเล7 ยงดบดามารดาไดคนละ 30,000 บาท ท7งน7 บดาหรอมารดาของผมเงนไดหรอคสมรสจะตองออกหนงสอรบรองวาบตรคนใดคนหน�งเปนผอปการะเล7ยงดเพยงคนเดยว 1.9 คาอปการะเล7 ยงดบดามารดา สามหรอภรยา บตรชอบดวยกฎหมายหรอบตรบญธรรมของผมเงนได บดามารดาหรอบตรชอบดวยกฎหมายของสามหรอภรยาของผมเงนไดหรอบคคลอ�นท�ผมเงนไดเปนผดแลตามกฎหมายวาดวยการสงเสรมและพฒนาคณภาพชวตคนพการ คนละ 60,000 บาท โดยบคคลดงกลาวตองเปนคนพการซ� งมบตรประจาตวคนพการตามกฎหมายวาดวยการสงเสรมและพฒนาคณภาพชวตคนพการ หรอเปนคนทพพลภาพ มรายไดไมเพยงพอแกการยงชพ และอยในความอปการะเล7ยงดของผมเงนได 1.10 เงนสนบสนนเพ�อการศกษา ไดแก เงนท�จายเปนคาใชจายเพ�อสนบสนนการศกษา มสทธหกลดหยอนได 2 เทาของจานวนเงนท�ไดจายไปจรง แตไมเกนรอยละ 10 ของเงนคงเหลอหลงจากหกคาใชจายและคาลดหยอนอ�น ๆ แลว

2. การหกลดหยอนในกรณสามภรยาตางฝายตางมเงนได ถาความเปนสามภรยาไดมอยตลอดปภาษ การหกลดหยอนผมเงนไดและสามหรอภรยาของผมเงนไดใหหกลดหยอนรวมกนได 60,000 บาท แตถาความเปนสามหรอภรยามไดมอยตลอดปภาษ หรอภรยาแยกคานวณเงนไดพงประเมนประเภทท� 1 ตางหากจากสาม ใหตางฝายตางหกลดหยอนได 30,000 บาท และสาหรบการหกลดหยอนบตรและคาลดหยอนดอกเบ7 ยเงนกอ�น ๆ ใหตางฝายตางหกไดก� งหน� งตามเกณฑท�กาหนดไวในแตละกรณเฉพาะในปภาษน7น

3. การหกลดหยอนในกรณผมเงนไดมไดเปนผอยในประเทศไทย การหกลดหยอนผมเงนไดและสามหรอภรยาของผมเงนได บตร และการศกษาของบตรของผมเงนได

4. การหกลดหยอนในกรณผมเงนไดถงแกความตายในระหวางปภาษ ใหหกลดหยอนไดเสมอนผตายมชวตอยตลอดปภาษท�ผน7นถงแกความตาย


5. การหกลดหยอนในกรณผมเงนไดเปนกองมรดกท�ยงไมไดแบง ใหหกลดหยอนสาหรบผ มเงนได30,000 บาท

6. การหกลดหยอนในกรณผมเงนไดเปนหางหนสวนสามญ หรอคณะบคคลท�มใชนตบคคล ใหหก ลดหยอนสาหรบผมเงนไดแกผเปนหนสวนหรอบคคลในคณะบคคลแตละคนท�อยในประเทศไทยคนละ 30,000 บาท แตรวมกนตองไมเกน 60,000 บาท

วธการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

โดยท�วไปผมเงนไดตองนาเงนไดพงประเมนทกประเภทของตนตลอดปภาษ (ไมรวมเงนไดท�กฎหมายยกเวนภาษ หรอท�ไมตองเสยภาษ) ไปคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดาส7นป เพ�อย�นแบบแสดงรายการและชาระภาษภายในเดอนมนาคมของปถดจากปท�มเงนได การคานวณภาษม 3 ข7นตอน คอ ข*นตอนท� 1 การคานวณภาษตามอตรากาวหนา เงนไดพงประเมนทกประเภทรวมกนตลอดปภาษ A บาท

หกคาใชจายตามท�กฎหมายกาหนด (ดรายละเอยดในหวขอรายการคานวณหกคาใชจาย เงนไดพงประเมนแตละกรณ)

B บาท

เหลอเงนไดหลงจากหกคาใชจาย (A – B) C บาท หกคาลดหยอนตาง ๆ (ไมรวมคาลดหยอนเงนบรจาค) ตามท�กฎหมายกาหนด (ดรายละเอยดในหวขอสทธหกลดหยอน)

D บาท

เหลอเงนไดหลงจากหกคาลดหยอนตาง ๆ (C - D) E บาท

หกคาลดหยอนเงนบรจาค ไมเกนจานวนท�กฎหมายกาหนด (ดรายละเอยดใน

หวขอสทธหกลดหยอนสาหรบผมเงนไดบคคลธรรมดา) F บาท

เหลอเงนไดสทธ (E – F) G บาท นาเงนไดสทธตาม G บาท ไปคานวณภาษตามอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา จานวนภาษตามการคานวณภาษข7นตอนท� 1 H บาท

ข*นตอนท� 2 กรณท�ตองคานวณภาษตามข7นตอนน7 ไดแก กรณท�เงนไดพงประเมนทกประเภทในปภาษ แตไมรวม เงนไดพงประเมนตามประเภทท� 1 มจานวนรวมกนต7งแต 60,000 บาทข7นไป การคานวณภาษตามข7นตอนน7 ใหคานวณในอตรารอยละ 0.5 ของยอดเงนไดพงประเมน (ยอดเงนไดพง


ประเมน หาไดจาก เงนไดพงประเมนทกประเภทลบเงนไดพงประเมนประเภทท� 1 คณดวย 0.005) การคานวณภาษตามข7นตอนน7 เรยกวาการคานวณแบบอตราคงท� กาหนดใหจานวนภาษท�คานวณไดตามข7นตอนท� 2 คอ I บาท

ข*นตอนท� 3 สรปจานวนภาษท�ตองเสยภาษ กรณท� 1 ผมเงนได ตามมาตรา 40 (1) เพยงอยางเดยวใหคานวณภาษตามข7นตอนท� 1 เทาน7น กรณท� 2 ผมเงนได ตามมาตรา 40 (1) - (8) ใหคานวณภาษท7งข7นตอนท� 1 และ 2 โดยเปรยบเทยบจานวนภาษเงนไดส7นปท�ตองเสย ระหวาง คา H กบคา I แลวใหจายตามจานวนท�สงกวา

อตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา (อตรากาวหนา)

อตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา จะคดจากเงนไดสทธและนามาคานวณภาษตามอตราท�

กาหนด โดยตารางท�กาหนดให ใชสาหรบปภาษ 2556 และ 2557

เงนไดสทธ ชวงเงนได

สทธ

แตละข7น

อตราภาษ

รอยละ

ภาษแตละข7น

เงนไดสทธ

ภาษสะสม

สงสดของข7น

1 – 150,000 150,000 ไดรบยกเวน - -

150,001 – 300,000 150,000 5 7,500 7,500

300,001 – 500,000 200,000 10 20,000 27,500

500,001 – 750,000 250,000 15 37,500 65,000

750,001 – 1,000,000 250,000 20 50,000 115,000

1,000,001 – 2,000,000 1,000,000 25 250,000 365,000

2,000,001 – 4,000,000 2,000,000 30 600,000 965,000

4,000,001 บาทข7นไป - 35 - -

หมายเหต เงนไดสทธ คอ เงนไดท�คานวณจากเงนไดพงประเมนทกรายการ หกคาใชจาย

และคาลดหยอนตาง ๆ ตามกฎหมายกาหนด


ตวอยางท� 1 นพนธทางานเปนลกจางประจาในบรษทแหงหน�ง มเงนเดอน เดอนละ 18,000 บาท

โดยท�เขายงไมมคสมรส และเขาจะตองถกหกเงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพรอยละ

3 ของเงนเดอน หกประกนสงคมรอยละ 5 ของเงนเดอน นพนธตองย�นภาษหรอไม ถา

ย�นตองใชแบบแสดงรายการภาษแบบใด และตองเสยภาษเปนเงนเทาใด

วธทา การคานวณภาษ นพนธ มเงนเดอน 18,000 บาท

ในรอบปภาษเขาจะมเงนไดพงประเมน 18,000 x 12 = 216,000 บาท

หกคาใชจาย

หกคาใชจายเงนไดตามมาตรา 40 (1) รอยละ 40 แตไมเกน 60,000 บาท

216,000 x 0.4 = 86,400 เพราะฉะน7นหกจรง 60,000 บาท

เงนไดหลงจากหกคาใชจาย 216,000 – 60,000 = 156,000 บาท

หกลดหยอน

รายการท� 1 ผมเงนได 30,000 บาท

รายการท� 2 เงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพ

นพนธ ตองจายเงนกองทนเล7ยงชพเดอนละ 18,000 x 0.03 = 540 บาท

1 ป เปนเงน 540 x 12 = 6,480 บาท

รายการท� 3 เงนจายประกนสงคม

นพนธ ตองจายประกนสงคมเดอนละ 18,000 x 0.05 = 900 บาท แตกฏหมายใหหกคา

ประกนสงคมไมเกน 750 บาทตอเดอน

1 ป เปนเงน 750 x 12 = 9,000 บาท

รวมหกลดหยอน 3 รายการ เปนเงน 30,000 + 6,480 + 9,000 = 45,480 บาท เหลอเงนได

หลงจากหกคาลดหยอนตาง ๆ 56,000 – 45,480 = 110,520 บาท

นพนธมเงนไดสทธ 110,520 บาท

ตอบ นพนธตองย�นภาษ และแบบแสดงรายการภาษท�จะตองใชคอ ภ.ง.ด.91 แตยงไมตอง

เสยภาษ เพราะตามกฎหมายเงนไดสทธ ยงไมเกน 150,000 บาท ไดรบการยกเวนภาษ


ตวอยางท� 2 ดร.วทยาพร เปนอาจารยมหาวทยาลยแหงหน�ง มเงนเดอนเดอนละ 32,000 บาท มเงน

ประจาตาแหนงอกเดอนละ 20,000 บาท และตองถกหกเงนสะสมกองทนสารองเล7ยง

ชพรอยละ 3 ของเงนเดอน หกประกนสงคมรอยละ 5 ของเงนเดอน แตเขายงมรายได

คาลขสทธ_ ในการขายเตาอบพลงงานแสงอาทตยอกปละ 150,000 บาท โดยท�เขายงไมม

คสมรส ดร.ดร.วทยาพร ตองย�นภาษหรอไม ถาย�นตองใชแบบแสดงรายการภาษแบบ

ใดและตองเสยภาษเปนเงนเทาใด

วธทา การคานวณภาษ ดร.ดร.วทยาพร มเงนไดเปนเงนเดอน ตามมาตรา 40 (1)

ในรอบปภาษ 32,000 x 12 = 384,000 บาท

หกเงนกองทนสะสมเล7ยงชพสวนท�เกน 10,000 บาท เปนเงน 1,520 บาท

(เปนเงนสวนเกนท�ไดรบการยกเวนภาษจากการหกเงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพ ดการ

คานวณจากการหกลดหยอนรายการท� 2)

เงนไดหลงหกเงนกองทนสะสมเล7ยงชพสวนท�เกน 10,000 บาท เปนเงน

384,000 – 1,520 = 382,480 บาท

ดร.วทยาพร มเงนประจาตาแหนง ตามมาตรา 40 (2) เปนเงน

20,000 x 12 = 240,000 บาท ดร.วทยาพร มเงนไดเปนเงนเดอน ตามมาตรา 40 (1) และ 40 (2)

ในรอบปภาษ คอ 382,480 + 240,000 = 622,480 บาท

หกคาใชจาย เน�องจาก ดร.วทยาพร มเงนไดท�ตองหกคาใชจายสองรายการ คอ

รายการท� 1 หกคาใชจายเงนไดตามมาตรา 40 (1) และ 40 (2) รอยละ 40 แตไมเกน 60,000


เงนไดมารตรา 40 (1) และ 40 (2) หลงจากหกคาใชจาย 622,480 – 60,000 = 562,480 บาท

รายการท� 2 หกคาใชจายเงนไดตามมาตรา 40 (3) รอยละ 40 แตไมเกน 60,000 บาท


เงนไดตามมารตรา 40 (3)หลงจากหกคาใชจาย 150,000 – 60,000 = 90,000 บาท

เงนไดท7งหมดหลงจากหกคาใชจาย 562,480 + 90,000 = 652,480 บาท





ดร.วทยาพร ตองจายเงนกองทนเล7ยงชพเดอนละ 32,000 x 0.03 = 960 บาท

1 ป เปนเงน 960 x 12 = 11,520 บาท (ตามกฎหมายกาหนดวาสวนเกน 10,000 บาท ไดรบ

การยกเวนภาษใหนาไปหกจากเงนไดพงประเมนประเภทท� 1 มาตรา 40(1)) หกจรง 10,000 บาท


ดร.วทยาพร ตองจายประกนสงคมเดอนละ 32,000 x 0.05 = 1,600 บาท แตกฎหมายใหหก

คาประกนสงคมไมเกน 750 บาทตอเดอน

1 ป เปนเงน 750 x 12 = 9,000 บาท

รวมหกลดหยอน 3 รายการ เปนเงน 30,000 + 10,000 + 9,000 = 49,000 บาท เหลอเงนได


ดร.วทยาพร มเงนไดสทธ 603,480 บาท

ดร.วทยาพร ตองเสยภาษโดยคานวณภาษตามอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา

เงนไดสทธ 1 – 150,000

ไดรบการยกเวน

เงนไดสทธ 150,001 – 300,000 เสยภาษ รอยละ 5 ชวงเงนไดสทธ 150,000 บาท คดเปน

เงน 150,000 x 0.05 = 7,500 บาท เงนไดสทธ 300,001 – 500,000 เสยภาษ รอยละ 10 ชวง

เงนไดสทธ 200,000 บาท คดเปนเงน 200,000 x 0.10 = 20,000 บาท

เงนไดสทธ 500,001 – 605,000 เสยภาษ รอยละ 15 ชวงเงนไดสทธ 103,480 บาท

คดเปนเงน 103,480 x 0.15 = 15,522 บาท

ดร.วทยาพร ตองเสยภาษโดยคานวณภาษตามอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา (อตรา

กาวหนา) เปนเงน ท7งส7น 7,500 + 20,000 + 15,522 = 43,022 บาท

แตเน�องจาก ดร.วทยาพร มเงนไดท�นอกเหนอจากมาตรา 40 (1) เปนเงนไดพงประเมนท�ไม

หกคาใชจายและคาลดหยอน คดเปนเงนประจาตาแหนง 240,000 บาท และเงนจากคาลขสทธ_

150,000 บาท รวมเปนเงน 390,000 บาท ซ� งมเงนไดพงประเมนเกน 60,000 บาท จงตองคานวณภาษ

ในอตาคงท� รอยละ 0.5


ดร.วทยาพร ตองเสยภาษโดยคานวณภาษตามอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา(อตราคงท�)

เปนเงน ท7งส7น 390,000 x 0.005 = 1,950 บาท

ตอบ ดร.วทยาพรตองย�นภาษ และแบบแสดงรายการภาษท�จะตองใชคอ ภ.ง.ด.90 โดย

ดร.วทยาพรตองเสยภาษในจานวนเงนจากการคานวณภาษในอตรากาวหนา เปนเงนท7งส7น 43,022

บาท

ตวอยางท� 3 สมพงษเปนพนกงานขายของบรษทแหงหน� งสมรสกบนางสมรซ� งทางานบรษท

เดยวกน เขาและภรรยามเงนเดอนเดอนละ 25,000 บาทเทากน โดยบรษทหกเงนสะสม

กองทนสารองเล7ยงชพรอยละ 3 ของเงนเดอน หกประกนสงคมรอยละ 5 ของเงนเดอน

ส7นปบรษทจายโบนสใหอกปละ 90,000 บาท ท7งคมบตร 2 คน โดยคนแรกศกษาอย

ตางประเทศ และคนท�สองศกษาในประเทศ ปจจบนสมพงษยงตองเล7 ยงดพอแมท�ม

อายเกน 60 ป สมพงษตองย�นภาษหรอไม ถาย�นตองใชแบบแสดงรายการภาษแบบใด

และตองเสยภาษเปนเงนเทาใด

วธทา การคานวณภาษ สมพงษ มเงนไดเปนเงนเดอน ตามมาตรา 40 (1)

ในรอบปภาษ 25,000 x 12 = 300,000 บาท

โบนสอกปละ 90,000 บาท

ในรอบปภาษสมพงษมเงนได 300,000 + 90,000 = 390,000 บาท

หกคาใชจาย

หกคาใชจายเงนไดตามมาตรา 40 (1) รอยละ 40 แตไมเกน 60,000


เงนไดมารตรา 40 (1) หลงจากหกคาใชจาย 390,000 – 60,000 = 330,000 บาท




สมพงษ ตองจายเงนกองทนเล7ยงชพเดอนละ 25,000 x 0.03 = 750 บาท

1 ป เปนเงน 750 x 12 = 9,000 บาท หกจรง (ตามกฎหมายกาหนด) 9,000 บาท



สมพงษ ตองจายประกนสงคมเดอนละ 25,000 x 0.05 = 1,250 บาท แตกฎหมายใหหกคา

ประกนสงคมไมเกน 750 บาท ตอเดอน 1 ป เปนเงน 750 x 12 = 9,000 บาท

รายการท� 4 เงนคาเล7ยงดบตร

บตรคนแรกศกษาอยตางประเทศ ลดหยอนได 15,000 บาท

บตรคนท�สองศกษาในประเทศ 17,000 บาท

หกลดหยอนบตรเปนเงน 15,000 + 17,000 = 32,000 บาท

รายการท� 5 หกลดหยอนเงนคาอปการะเล7ยงดบดามารดา (คนละ 30,000 บาท)

60,000 บาท รวมหกลดหยอน 5 รายการ เปนเงน

30,000 + 9,000 + 9,000 + 32,000 + 60,000 = 140,000 บาท เหลอเงนได


สมพงษ มเงนไดสทธ 190,000 บาท

สมพงษตองเสยภาษโดยคานวณภาษตามอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา

เงนไดสทธ 1 – 150,000

ไดรบการยกเวน

เงนไดสทธ 150,001 – 300,000 เสยภาษ รอยละ 5 ชวงเงนไดสทธ 40,000 บาท

คดเปนเงน 40,000 x 0.05 = 2,000 บาท

ตอบ สมพงษตองย�นภาษ และแบบแสดงรายการภาษท�จะตองใชคอ ภ.ง.ด.91 โดยสมพงษ

ตองเสยภาษ เปนเงน ท7งส7น 2,000 บาท

ภาษมลคาเพ�ม (VAT)

ภาษมลคาเพ�มไดเร�มมการจดเกบเปนคร7 งแรกในประเทศไทย เม�อ วนท� 1 มกราคม พ.ศ. 2535 อนเน�องมาจาก ในชวงเวลาน7นเศรษฐกจของประเทศไทยขยายตวอยางรวดเรว ฐานะทางเศรษฐกจ การเงน การคลงของประเทศมความม�นคงมากข7น แตในขณะท�โครงสรางภาษยงมความไมเหมาะสมตอเศรษฐกจของประเทศ ซ� งเหนไดจากความซ7 าซอนของระบบภาษการคาท�ใชในขณะน7น และความหลากหลายของโครงสรางอตราภาษ จากเหตผลดงกลาว กระทรวงการคลง จงไดเสนอพจารณายกเลกภาษการคา และนาภาษมลคาเพ�มมาใชแทน โดยภาษมลคาเพ�มจะมอตราเดยวท�ใชกบสนคาและบรการทกชนด ทาใหเกดความเปนธรรมและความสะดวกตอการปฏบตตาม


ของผเสยภาษอกดวย ในฐานะประชาชนแลวเรามสวนเขาไปเก�ยวของกบภาษมลคาเพ�มอยางแนนอนเพราะเราเองตองเปนผบรโภคท7งสนคาและบรการ ดงน7นเราจงควรศกษาเพ�อทาความเขาใจและชวยแนะนาใหกบรานคาหรอสถานประกอบการท�ยงไมไดจดทะเบยนภาษมลคาเพ�มดาเนนการใหถกตองเพ�อใหกลไกในการพฒนาเศรษฐกจของประเทศเปนไปอยางมระบบและมการพฒนาอยางตอเน�อง

การจดเกบภาษมลคาเพ�ม

ภาษมลคาเพ�ม (Value added tax) เปนภาษตาม ประมวลรษฎากร ถอวาเปนภาษทางออม

ท�จดเกบจากฐานผบรโภค ซ� งเปนภาษท�จดเกบจากการขายสนคาหรอการใหบรการ

ผมหนาท�เ สยภาษมลคาเพ�ม ไดแก ผ ขายสนคาและผ ใหบรการในทางธรกจ โดย

ผประกอบการสามารถเรยกเกบภาษมลคาเพ�มจากผซ7อสนคาหรอผรบบรการได

อตราภาษมลคาเพ�ม ภาษมลคาเพ�มจะคานวณจากยอดมลคาของสนคาหรอบรการ ตาม

อตราภาษท�กาหนด ซ� งปจจบนคออตรารอยละ 7 ของมลคาสนคาหรอบรการ

ตวอยางท� 4 รานคาต7งราคาขายรองเทาคหน� งไมรวม VAT ไวท� คละ 200 บาท ถาตองการซ7อ

รองเทาคน7ผซ7อจะตองจายเงนเปนจานวนเงนเทาใด

วธทา รองเทาคละ 200 บาทผซ7อตองเสย VAT เพ�มในอตรารอยละ 7

น�นคอ ถาราคาสนคา 100 บาท แลวราคารวม VAT คอ 107 บาท

ดงน7น ถาราคารองเทา 200 บาท แลวราคารวม VAT คอ 1.07 x 200 = 214 บาท

ตอบ ผซ7อจะตองจายเงนเปนจานวนเงน 214 บาท

ตวอยางท� 5 หางสรรพสนคาแหงหน� งออกใบเสรจรบเงนคาทวใหกบลกคาในราคา 42,000 บาท

โดยใบเสรจเขยนไววา ราคารวมภาษมลคาเพ�ม (VAT included) อยากทราบวาราคาท�

ยงไมรวม VAT ของทวเคร�องน7 เปนจานวนเงนเทาใด

วธทา ราคาทวรวม VAT 42,000 บาท ผซ7อตองจาย VAT ในอตรารอยละ 7

ราคาสนคา 100 บาท เปนราคาท�ไมรวม VAT ซ� งถารวมแลวจะมราคาเปน 107 บาท

ดงน7น จากราคาทว 42,000 บาท จะเปนราคาท�ไมรวม VAT = 107

100000,42 × = 39,252 บาท

ตอบ ราคาทวท�ยงไมรวม VAT เคร�องน7 เปนเงน 39,252 บาท


จากตวอยางขางตนเปนเพยงการคดภาษมลคาเพ�มท�ผบรโภคตองจายในการซ7อสนคาหรอ

เพยงแคตองการทราบวาราคาสนคากอนรวมภาษมลคาเพ�มคดเปนเงนเทาใด ซ� งแทท�จรงแลวในการ

คานวณภาษมลคาเพ�มท�รฐบาลจดเกบเพ�อใชในการพฒนาประเทศน7น จะจดเกบจากผประกอบการ

ท�จดทะเบยนภาษมลคาเพ�ม โดยรฐบาลจะเรยกเกบภาษมลคาเพ�มจากผ ประกอบการหรอ

ผประกอบการจะขอคนภาษมลคาเพ�มจากรฐบาลไดหรอไมน7น ผศกษาตองศกษา ภาษขาย และภาษ

ซ7อ ซ� งเราในฐานะประชาชนของชาตจาเปนตองเขาใจเพ�อกระตนใหผประกอบการท�ยงไมไดจด

ทะเบยนเปนผประกอบการท�ตองเสยภาษมลคาเพ�ม ไดทาการจดทะเบยนใหถกตองตามกฎหมาย

เพ�อนาเงนท�ไดจากการจดเกบภาษมลคาเพ�มไปใชในการพฒนาประเทศตอไป ดงจะเหนไดจากการ

รณรงคใหมการขอใบเสรจท�มใบกากบภาษทกคร7 งในการซ7อสนคาหรอใชบรการ

ภาษขาย (Output Tax) หมายถง ภาษมลคาเพ�มท�ผประกอบการจดทะเบยนภาษมลคาเพ�ม

เรยกเกบจากผซ7อสนคาหรอผรบบรการ เม�อมการขายสนคาหรอเรยกเกบคาบรการ

ภาษซ*อ (Input Tax) หมายถง ภาษมลคาเพ�มท�ผประกอบการจดทะเบยนภาษมลคาเพ�มจาย

ใหกบผขายสนคาหรอผใหบรการท�เปนผจดทะเบยนภาษมลคาเพ�ม เม�อมการซ7อสนคาหรอชาระ

คาบรการเพ�อใชในการประกอบกจการของตน

ภาษท�ตองเสย คานวณจากการนาภาษขายหกดวยภาษซ7อในรอบท�ตองย�นเสยภาษ โดยแยก

เปน 2 กรณคอ

กรณท� 1 ตองชาระภาษ เม�อ ภาษขายมากกวาภาษซ7อ

กรณท� 2 ขอคนภาษหรอขอเครดตภาษเพ�อใชหกในรอบย�นเสยภาษคร7 งตอไป เม�อภาษขาย

นอยกวาภาษซ7อ

ตวอยางท� 6 บรษทแหงหน�งจดทะเบยนเพ�อเปนผประกอบการเสยภาษมลคาเพ�มแลว เม�อครบรอบ

ภาษบรษทตรวจสอบบญชพบวา ยอดในการซ7อของเพ�อจาหนายเปนเงน 56,000 บาท

และยอดขายในรอบภาษน7 เปนเงน 72,000 บาท บรษทแหงน7 จะตองจายภาษมลคาเพ�ม

เปนเงนเทาใด

วธทา ภาษมลคาเพ�มท�ผประกอบการจะตองจายใหกบรฐบาลคานวณไดจากผลตาง

ระหวางภาษขายกบภาษซ7อ

ดงน7น เราตองทราบภาษขายและภาษซ7อกอน


ภาษขาย คอ VAT 7% ของยอดขาย ดงน7นภาษขายเทากบ 0.07 x 72,000 = 5,040 บาท

ภาษซ7อ คอ VAT 7% ของยอดซ7อ ดงน7นภาษซ7อเทากบ 0.07 x 56,000 = 3,920 บาท

น�นคอ ถาษมลคาเพ�มท�ผประกอบการจะตองจายเทากบ 5,040 – 3,920 = 1,120 บาท

ตอบ บรษทแหงน7 จะตองจายภาษมลคาเพ�มเปนเงน 1,120 บาท

ตวอยาง 7 บรษทจาหนายอปกรณคอมพวเตอรจดทะเบยนเพ�อเปนผประกอบการเสยภาษมลคาเพ�ม

อยางถกตอง ในรอบภาษน7บรษทตรวจสอบรายการซ7อและรายการขายดงตารางบรษท

แหงน7จะตองจายภาษมลคาเพ�มหรอไดเงนคนภาษเปนเงนเทาใด

รายการซ7อ

ลาดบ รายการ ราคาตอ

หนวย(บาท) จานวน

ราคารวม

(บาท)

1 จอคอมพวเตอร 4,500 5 22,500

2 แปนพมพ 150 10 1,500

3 ฮารทดสความจ 800 GB 2,000 5 10,000

4 เมาส 80 20 1,600

5 เคร�องสารองไฟ 1,500 4 6,000

รวม 41,600

รายการขาย

ลาดบ รายการ ราคาตอ

หนวย(บาท) จานวน


(บาท)

1 จอคอมพวเตอร 5,000 3 15,000

2 แปนพมพ 250 5 1,250

3 ฮารทดสความจ 800 GB 3,000 4 12,000

4 เมาส 150 10 1,500

5 เคร�องสารองไฟ 2,000 2 4,000

รวม 33,750


วธทา ดงน7น ในรอบการย�นเสยภาษคร7 งน7 เราตองทราบภาษขายและภาษซ7อกอน

ภาษขาย คอ VAT 7%ของยอดขาย ดงน7นภาษขายเทากบ 0.07 x 33,750 = 2,362.50 บาท

ภาษซ7อ คอ VAT 7%ของยอดซ7อ ดงน7นภาษซ7อเทากบ 0.07 x 41,600 = 2,912 บาท

น�นคอ ภาษมลคาเพ�มท�ผประกอบการจะตองจายเทากบ 2,362.50 – 2,912 = -549.50 บาท

ตอบ บรษทแหงน7 จะไดเงนคนภาษเปนเงน 549.50 บาท (อาจใชขอเครดตภาษเพ�อใชหก

ในรอบย�นเสยภาษคร7 งตอไป)

สรป

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา คอ ภาษท�จดเกบจากบคคลท�วไป โดยปกตจดเกบเปนรายป โดยปภาษเร�มคดต7งวนท� 1 มกราคมถง 31 ธนวาคมของทกป โดยผมรายไดมหนาท�ตองแสดงรายการตามแบบแสดงรายการภาษท�กาหนดภายในเดอนมกราคม ถง เดอนมนาคมของปถดไป โดยการย�นแบบ แบงเปน 2 ประเภท คอ แบบแสดงรายการภาษเงนไดบคคลธรรมดา ภ.ง.ด. 90 และ แบบแสดงรายการภาษเงนไดบคคลธรรมดา ภ.ง.ด. 91 โดยผมหนาท�ย�นแบบ ภ.ง.ด. 90 ไดแกผมเงนไดพงประเมนตามมาตรา 40 (1) - (8) แหงประมวลรษฎากรหลายประเภทหรอประเภทเดยว (แตมใชเงนไดตามมาตรา 40 (1) แหงประมวลรษฎากรประเภทเดยว) ผมหนาท�ย�นแบบ ภ.ง.ด. 91 ไดแก ผมเงนไดจากการจางแรงงาน ตามมาตรา 40 (1) แหงประมวลรษฎากรประเภทเดยว โดยการเสยภาษของผมเงนไดตองนาเงนไดพงประเมนทกประเภทของตนตลอดปภาษ ไปคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา เพ�อย�นแบบแสดงรายการและชาระภาษภายในเดอนมนาคมของปถดจากปท�มเงนได การคานวณภาษม 3 ข7นตอน ดงน7 ข7นตอนท� 1 การคานวณภาษตามอตรากาวหนา ข7นตอนท� 2 การคาควณภาษอตราคงท� (กรณท�มเงนไดนอกเหนอจากเงนไดตามมาตรา 40 (1)) ข7นตอนท� 3 การเปรยบเทยบภาษระหวางภาษในอตรากาวหนาและภาษในอตราคงท� โดยใหจายภาษในจานวนเงนท�สงกวาจากการเปรยบเทยบ สาหรบภาษมลคาเพ�มน7น เปนภาษตาม ประมวลรษฎากรเปนภาษทางออมท�จดเกบจากฐานผบรโภค ซ� งเปนภาษท�จดเกบจากการขายสนคาหรอการใหบรการโดยผมหนาท�เสยภาษมลคาเพ�ม ไดแก ผขายสนคาและผใหบรการในทางธรกจ โดยผประกอบการสามารถเรยกเกบภาษมลคาเพ�มจากผซ7 อสนคาหรอผรบบรการไดตามอตราภาษท�กาหนด ซ� งปจจบนคออตรารอยละ 7 ของมลคาสนคาหรอบรการ

………………………………..


แบบฝกหดทายบทท� 4

1. ปภาษนบต7งแตเม�อใดถงเม�อใด ……………………………………………………………………………………………………...

2. ผมเงนไดจากเงนเดอนเพยงอยางเดยวตองย�นแบบแสดงภาษประเภทใด ตอบ...............…………………………………………………………………………………..…...

3. นายธนายทธประกอบอาชพเปนนายหนาขายท�ดน นายธนายทธตองย�นแบบแสดงภาษประเภทใด ตอบ...............……………………………………………………………………….……………...

4. นายปยะพงษเปนโสด เขาไดรบเงนเดอนเดอนละ 4,000 บาท ไมมอาชพเสรมใด ๆ เขาตองย�นเสยภาษหรอไม และจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


5. ปตมเงนไดจากการรบเงนเดอนเพยงอยางเดยวเดอนละ 6,000 บาท ปตตองย�นภาษหรอไม ใชแบบแสดงรายการภาษประเภทใด และจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. สรพงษเปนพนกงานขายของบรษทแหงหน� งไดรบเงนเดอน 9,000 บาทตอเดอน โดยปน7 เขาไดรบ

โบนสอก 50,000 บาท เขาตองย�นเสยภาษหรอไม ใชแบบแสดงรายการภาษประเภทใดและจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…


7. สงาเปนนกประพนธเพลง เขาแตงเพลงใหคายเพลงแหงหน�ง โดยคายเพลงตกลงใหคาลขสทธ_ จากการขายเพลงของสงา รอยละ 2 ของยอดขายท7งหมด ในปน7 คายเพลงขายเพลงของสงาไดเปนเงน 30,000,000 บาท สงาไมมรายไดอ�น ๆ อก เขาตองย�นเสยภาษหรอไม ใชแบบแสดงรายการภาษประเภทใด และจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


8. สดศรเปนขาราชการและไมไดสมรส มรายไดเดอนละ 25,000 บาท และมบานใหเชาโดยคาเชาบาน 3,000 บาทตอเดอน และตองถกหกเงนสะสมกองทนสารองเล7 ยงชพรอยละ 3 ของเงนเดอน หกประกนสงคมรอยละ 5 ของเงนเดอน เขาตองย�นเสยภาษหรอไม ใชแบบแสดงรายการภาษประเภทใด และจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


9. มงคลเปนครโรงเรยนเอกชนแหงหน�งมเงนเดอน 20,000 บาท เขามรายการหกเงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพรอยละ 3 ของเงนเดอน หกประกนสงคมรอยละ 5 ของเงนเดอน และเขาเล7 ยงดบดาซ� งอายเกน 60 ป เขาตองย�นเสยภาษหรอไม ใชแบบแสดงรายการภาษประเภทใด และจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


10. คากลาวท�วา “ภาษมลคาเพ�ม (Value added tax) เปนภาษทางออม” โดยภาษประเภทน7ผบรโภคจะ

ถกเรยกเกบในเม�อใด

ตอบ...............…………………………………………………………………………………... 11. ผมหนาท�ย�นแบบเสยภาษมลคาเพ�ม คอ

ตอบ...............…………………………………………………………………………………. 12. อตราภาษมลคาเพ�ม ท�ใชในปจจบน คอ

ตอบ...............…………………………………………………………………………………... 13. จากใบเสรจรบเงนท�กาหนดให จงตอบคาถามตอไปน7

13.1 จงหาราคาสนคาตอไปน7 กอนรวม VAT

ตอบ

เลยสาหราย 1 ซอง.........……..บาท

นมสด 1 ขวด.................…….บาท

นมเปร7 ยว 1 ขวด.............…….บาท

น7าแขง 1 ถง.....................……บาท


13.2 เม�อซ7อสนคาท7ง 5 รายการตองเสย VAT เปนเงนเทาใด

ตอบ..................…………………………….

14. จากรายการสนคาท�กาหนดให จงเตมคาตอบท�ถกตอง

ลาดบ ช�อสนคา ราคา/หนวย

(ไมรวม VAT)

จงเตมราคาตอหนวย

ท�รวมVAT

1 คอมพวเตอร 26,500

2 คยบอรด 350

3 เคร�อง SCAN ลายน7วมอ 17,500

4 โปรแกรมสาเรจรป

สาหรบ SCAN

ลายน7วมอ

20,000

5 เมาส 150

6 ลาโพง 250

15. จากรายการสนคาท�กาหนดให จงเตมคาตอบท�ถกตอง

บนทกรายการซ7อในรอบภาษ

ลาดบ รายการ ราคาตอหนวย

(บาท) จานวน

ราคารวม (บาท)

1 สมด 25 200 2 ปากกา 15 500 3 ดนสอ 10 500 4 น7ายาลบคาผด 40 100 5 ยางลบ 5 200 รวม


บนทกรายการขายในรอบภาษ

ลาดบ รายการ ราคาตอหนวย

(บาท) จานวน


(บาท)

1 สมด 35 150

2 ปากกา 20 400

3 ดนสอ 15 450

4 น7ายาลบคาผด 50 60

5 ยางลบ 10 150

รวม

ภาษซ7อ เปนเงน....................……………………………………..บาท

ภาษขาย เปนเงน....................…………………………………….บาท

ภาษมลคาเพ�มท�ตองเสย.........………….........................................บาท



กรมสรรพากร. (2556) . วธกรอกแบบแสดงรายการ ภาษเงนไดบคคลธรรมดา ปภาษ 2556 ภ.ง.ด.

90. กรงเทพมหานคร : กรมสรรพากร



กรมสรรพากร. (2556) . มารจก ภาษมลคาเพ�ม กนกอนดม7ย. กรงเทพมหานคร : กรมสรรพากร

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา. สบคนเม�อ wx พฤษภาคม Jyyz, จาก htt://www.rd.go.th/publish/309.0.

html

ภาษมลคาเพ�ม.สบคนเม�อ 14 พฤษภาคม 2557, จาก http://www.rd.go.th/publish/307.0.html

สโขทยธรรมาธราช สาขาวชานตศาสตร. (2546). เอกสารการสอนชดวชา กฎหมายภาษอากร 1

หนวยท� 1 – 7 . กรงเทพมหานคร : มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช.

สโขทยธรรมาธราช สาขาวชานตศาสตร. (2546). เอกสารการสอนชดวชา กฎหมายภาษอากร 1

หนวยท� 8 – 15 . กรงเทพมหานคร : มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช.

http://www.rd.go.th/publish/307.0.html

บทท 5

การประยกตใชสมการและอสมการ เวลา 6 ชวโมง


สมการ (Equation) คอประโยคทเปรยบเทยบสงสองสงวาเทากนโดยใชเครองหมายเทากบ

“ = ” สวนอสมการ (Inequation) คอ ประโยคทกลาวถงการไมเทากนโดยใชเครองหมาย “<”, “>”,

“ ”, “ ” และ “ ” ซงจะเปนจรงเทจกได เมอกลาวถงสมการและอสมการสงสาคญทเราตอง

รจกคอ ตวแปร (Variable or Unknown) หมายถงตวไมทราบคาและเปนสงทตองการหาคาตอบ

สวนมากมกแทนดวยอกษรภาษาองกฤษ โดยคาของตวแปรททาใหสมการหรออสมการเปนจรงจะ

เรยกวา คาตอบ (Solution) ของสมการหรออสมการ ซงกระบวนการในการหาคาตอบสาหรบ

สมการหรออสมการนนเรยกวา การแกสมการหรอการแกอสมการ (Solving ) ตามลาดบ เนองจาก

ปญหาในชวตประจาวนทตองการหาคาตอบเปนตวเลขมกเปรยบเทยบไดกบโจทยปญหาสมการ

และอสมการ ในบทเรยนนจงมงทจะเสรมสรางทกษะในการแกโจทยปญหาสมการและอสมการ

รวมถงการประยกตใชสมการและอสมการกบปญหาในชวตจรงเพอนาไปสการหาคาตอบทตองการ


1. เพอใหผเรยนเขาใจสมบตบางประการของเครองหมาย “ , , ,, , ”ได

2. เพอใหผเรยนเขยนความสมพนธตางๆในรปแบบสมการหรออสมการได เพอให

ผเรยนสามารถประยกตความสมพนธใหอยในรปแบบสมการหรออสมการได

3. เพอใหผเรยนหาคาตอบของสมการและอสมการทสรางขนได

เนอหา

1. สมการและการแกปญหา

. อสมการและการแกปญหา

บทท 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 99



2. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเนอหารวมกน







2. ดานทกษะ/กระบวนการ โดยการสงเกตการแกปญหาและการใหเหตผล



ในการอธบายความสมพนธระหวางสงตางๆ เรามกมการอธบายถงการเทากน มากวาหรอ

นอยกวา ในทางคณตศาสตรจะมการกาหนดสญลกษณเพอทาการเปรยบเทยบระหวางสงตางๆ

ไดแกเครองหมายเทากบ “=” เพอเปรยบเทยบวาสองสงเทากน เชน 2=2, 2

x - 3 = 0, x + y = 4x

เปนตน ซงความสมพนธในลกษณะนเราเรยกวา “สมการ” ในบางสถานการณเมอเปรยบเทยบ

สองสงทไมเทากน ความสมพนธทางคณตศาสตรมกใชเครองหมาย " " เพอแสดงวาสองสงไม

เทากน , เครองหมายนอยกวา " " เพอแสดงวาสงทอยทางซายของเครองหมายนอยกวาสงทอย

ทางขวา, เครองหมายมากกวา " " เพอแสดงวาสงทอยทางซายของเครองหมายมากกวากวาสงท

อยทางขวา, เครองหมายนอยกวาหรอเทากบ " " เพอแสดงวาสงทอยทางซายของเครองหมายนอย

กวาหรออาจเทากบสงทอยทางขวา และสดทาย เครองหมาย มากกวาหรอเทากบ " " เพอแสดงวา

สงทอยทางซายมากกวาหรออาจเทากบสงทอยทางขวา ซงความสมพนธทประกอบดวยเครองหมาย

" "," ", " ", " " และ " " จะเรยกวา “อสมการ” เชน x + 2y 3x , 2x + 2x + 1 0 ,

5 4 เปนตน

สมการ

ในชวตประจาวนเรามกทาการเปรยบเทยบสงตางๆอยเสมอ เชน เดกชายเอสงเทากบ

เดกชายบ, ไขในตะกราท 1 มมากกวาไขในตะกราทสองอย 10 ฟอง, ระยะทางทเรอแลนได เทากบ

ความเรวของเรอคณดวยเวลาทใชในการแลน เปนตน หรออาจอยในรปของปญหาทเรามกใชเลน

เกม เชน สมมตใหผชายมคาหาสบสตางค ผหญงมคาหนงบาท ดงนนกลมหนงอาจใชผหญง 3 คน

ผชาย 2 คนรวมไดเปน 4 บาท เปนตน และบอยครงเรามกตองหาคาของสงตางๆทเรากาลง

เปรยบเทยบ เชน ขาหมมากกวาขาไกอย 8 ขา แตถานบหวไก จะมากกวาหวหมอย 8 หว อยากทราบ

วามหมกตว (ขอสอบ กพ. ภาค ก ป 2556) เพอแกปญหาดงกลาวเราจงมกสมมตใหอยในรป

ประโยคสญลกษณ โดยใหมการกาหนดสญลกษณใหกบตวไมทราบคาใดๆ เรยกวา “ตวแปร” และ

เครองหมายแสดงการเทากนคอ เครองหมาย “ = ” จากประโยคขางตน เราจะทาการกาหนดให ตว

แปร x แทนจานวนหม ดงนน ไกจะม x + 8 หว จะไดวา ขาหมม 4x ขา และ ขาไกม 2 x + 8 ขา

ทาใหเราสรางประโยคสญลกษณไดดงน 4x - 2 x + 8 = 8 เรยกประโยคสญลกษณทมเครองหมาย

“ = ” นวาสมการ ซงจะเหนไดชดวา x = 12 นนคอมหวหมอย 12 หว น นเอง สมการจงเปนสงทม


ประโยชนตอเราอยางมากในชวตประจาวน นอกจากสมการทมตวแปรเดยวแลว อาจมสมการทมตว

แปรมากกวา 1 ตว เชน 2x + 3y = 4 หรอบางครงตวแปรในสมการอาจมเลขชกาลงมากกวา 1 อก

ดวย เชน 2

2x + x = 4 ซงจะกลาวถงนยามของสมการโดยสรปไวดงน

นยาม สมการ (Equation) หมายถงประโยคสญลกษณทางคณตศาสตร ทกลาวถงการเทากน โดยใช

เครองหมาย “=”

นยาม ตวแปร (Variable or Unknown) คอ ตวไมทราบคาทอยในรปตวอกษรหรอสญลกษณตางๆ

นยาม สวนคาทใชแทนตวแปรแลวทาใหสองขางของเครองหมาย “=” เทากน เรยกวา ผลเฉลยของ

สมการ (Solution)

สมบตของสมการ

1. ปรมาณใดๆรวมถงฟงกชนสามารถบวกทงสองขางของสมการได

2. ปรมาณใดๆรวมถงฟงกชนสามารถลบทงสองขางของสมการได

3. ปรมาณใดๆรวมถงฟงกชนสามารถคณทงสองขางของสมการได

4. ปรมาณใดๆรวมถงฟงกชนทไมเปนศนยสามารถหารทงสองขางของสมการได

จะเหนวาการหาผลเฉลยของสมการไมใชเรองยาก สงทเรามกสบสนคอโจทยปญหากอนท

จะมาเปนสมการ ในบทนเราจงขามการฝกทกษะวธการแกสมการเพยงอยางเดยว ไปสการฝกหดทา

โจทยปญหาทสามารถเปลยนใหอยในรปสมการรวมถงการแกสมการดวย

ขอแนะนาในการแกปญหาเกยวกบโจทยปญหาสมการทวๆ ไป มดงน

1. เมออานปญหาโจทยแลวจะตองกาหนดตวแปรแทนขอความทยงไมทราบคาในโจทย

ซงอาจมหลายขอความโดยทวไปมกจะกาหนดตวแปรแทนขอความทโจทยถาม

2. เครองหมาย “=” มกจะสรางจากขอความ เปน, อย, จะได (ได), เทากบ, รวมกบ,

ตางกน, หรอมาจากการสรางความสมพนธระหวางขอความ

3. ในบางครงเราอาจตองวาดรปประกอบเพอใหงายตอการกาหนดสงตาง ๆ


ในบทท 5 นเราจะทาการฝกทกษะในการหาผลเฉลยของโจทยปญหาสมการทตวแปรมเลข

ชกาลงเปน1หรอทเราเรยกอกอยางหนงวา สมการเชงเสน

ตวอยางท 1 พอกบแมมเงนรวมกน 10,000 บาท ถาพอใหเงนแมใชเพมจากเงนของแมเองอก 2,000

บาท เดมพอมเงนมากกวาแมอย 4,000 บาท เดมแมจะมเงนใชกบาท

วธทา กาหนดให แมมเงนใช x บาท (ซงเปนจานวนไมทราบคา)

ดงนน เดมแมมเงน x - 2,000 บาท

และ เงนของพอจะม 10, 000 - x - 2, 000 บาท หรอ 12,000 – x บาท

จากประโยคทวา เดมพอมเงนมากกวาแมอย 4,000 บาท จะไดวา

สมการคอ (12,000 - x) - x - 2,000 = 4,000

12,000 - x - x + 2,000 = 4,000

14,000 - 2x = 4,000

-2x = -10,000

x = 5,000

ดงนน แมมเงนใช 5,000 บาท

ในบางครงเราอาจกาหนดตวแปรไมตรงกบสงทโจทยถาม ในจดนเราจงตองมความ

ระมดระวงและรอบคอบกอนตอบดวย เชนโจทยถามวาเดมแมมเงนกบาท ในทน 5,000 บาทจะ

ไมใชคาตอบทถกตอง ตองทาตอไปอกขนหนงคอ เดมแมมเงน x – 2,000 = 5,000 – 2,000 บาท

จากตวอยางท 1 อาจกาหนดตวแปรไดสองตวคอ ใหเงนของพอและเงนของแมเปนสงทไม

ทราบคาทงค เราอาจกาหนดตวแปรไดดงน


ให เดมแมมเงน x บาท

และเดมพอมเงน y บาท

ดงนนแมมเงนใช 2,000 + x บาท

เดมพอมเงนมากกวาแม y – x = 4,000 บาท

เงนสองคนรวมกนได x + y = 10,000 บาท

ดงนน เกดเปนสมการสองตวแปรทมเลขชกาลงเปน 1 จานวนสองสมการ หรอจะกลาววาม

สมการเชงเสนสองตวแปรสองสมการ โดยทสมการทงสองตองมชดคาตอบเดยวกน

นยาม สมการมากกวาหนงสมการทมชดคาตอบรวมกนจะเรยกวา ระบบสมการ

หลกสาคญทใชแกระบบสมการสองตวแปร

1. กาหนดตวแปรใหครบ

2. พยายามลดจานวนตวแปรในแตละสมการ โดยใชวธการดงน

2.1 จดรปตวแปรหนงใหอยในรปของตวแปรทเหลอ แลวนาไปแทนคาในอกสมการ

หนง

2.2 จดรปใหตวแปรหนงอยในรปของตวแปรทเหลอทงสองสมการ แลวจบเทากน

2.3 ทาสมประสทธหนาตวแปรใดตวแปรหนงใหเทากน หรอตรงขามกน แลวจบ

สมการลบหรอบวกกน เพอหกลางตวแปรทมสมประสทธเทากน หรอตรงขาม

กนทง

จากตวอยางท 1 เรากาหนดตวแปรและสรางสมการไดดงน

ใหเดมแมมเงน x บาท

และเดมพอมเงน y บาท


ดงนนแมมเงนใช 2,000 + x บาท

เดมพอมเงนมากกวาแม y – x = 4,000 บาท

เงนสองคนรวมกนได x + y = 10,000 บาท

จงกาหนดสมการไดดงน y - x = 4,000 ……..………….(1)

x + y = 10,000 …….………….(2)

ตอไปจะเปนวธการหาคาตอบของระบบสมการ

วธท 1 โดยจดรป y ในรปของ x เฉพาะสมการท (1)

จาก (1) y = 4,000 + x

x + 4,000 + x = 10,000

4,000 + 2x = 10,000

2x = 6,000

x = 3,000

นนคอเดมแมมเงน 3,000 บาท

(ดงนน เงนทแมใชไดคอ x + 2,000 = 3,000 + 2,000 = 5,000 บาท)

วธท 2 โดยจดรป y ในรปของ x ทงสองสมการ

จาก (1); y = 4,000 + x

จาก (2); y = 10,000 – x

เนองจาก y ในสมการท (1) และ (2) เทากน

จะไดวา 4,000 + x = 10,000 - x


x + x = 10,000 - 4,000

2x = 6,000

x = 3,000

นนคอเดมแมมเงน 3,000 บาท


วธท 3 เนองจากสมประสทธ ทอยหนา y มคาตรงขามกน จะไดวา

นา (1) + (2); 2x = 6,000

x = 3,000

นนคอเดมแมมเงน3,000 บาท


... ซงจะเหนวาทง วธจะมคาตอบเดยวกน แลวแตความถนดของผทา...

โดยทวไปปญหาสาหรบสมการ 2 ตวแปรมกเกยวของกบเรองตอไปน

1. จานวนกบตวเลข

เลข 2 หลก ตองกาหนดทละหลก เชน ให x เปนหลกสบและ y เปนหลกหนวย ใช

คาประจาหลกเขยนเลขจานวนนเปน 10x+y

เลขเศษสวน ตองกาหนดตวเศษและตวสวนเปนตวแปรคนละตว เชน ให x เปนตว

เศษ และ y เปนตวสวน เศษสวนจานวนนนคอ x

y

เลข 2 จานวน ตองระบลงไปวา x หรอ y เปนจานวนนอย อกจานวนเปนจานวนมาก

ถาไมมจานวนนอย จานวนมาก แตม 2 จานวน ใหกาหนดจานวนแรกเปน x อก

จานวนหนงเปน y แลวเขาสมการตามโจทยใหถก


ตวอยางท 2 เลขจานวนหนงประกอบดวยสองหลก เลขหลกหนวยมากกวาเลขหลกสบอย 5 ผลบวก

ของเลขจานวนเดมกบจานวนทเกดจากการสลบหลกกนกบจานวนเดมเปน 143 จงหา

จานวนเดม

วธทา ใหจานวนแรกมหลกหนวยเปน x และ หลกสบเปน y

ดงนนจานวนแรกคอ x+10y

และจานวนทสองคอ 10x+y

ในการสรางสมการ จะเหนวา

จานวนแรกหลกหนวยมากกวาหลกสบอยหาจะไดวา x-y = 5 ………….(1)

ผลบวกของจานวนทงสองจานวนคอ 143 จะไดวา (x+10y)+(10x+y) = 143

หรอ 11x+11y = 143 ………….(2)

จาก (1) 11; 11x-11y = 55 ………….(3)

จาก (3)+(2); 22x = 198

198

x = = 922

แทนคา x=9 ลงใน(1); 9 – y = 5

y = 4

นนคอหลกหนวยเปน 9 และหลกสบเปน 4 ดงนนจานวนนนคอ 49

. อายในอดต - ปจจบน – อนาคต

นยมกาหนดอายในปจจบนเปน x เปน y แลวใชวธลบออกเมอตองการหาจานวนอาย

เปนปในอดต และใชวธบวกเมอตองการหาอายในอนาคต


ตวอยางท 3 เมอ 3 ปทแลว อตราสวนของอายของนายอารมกบนายกอลฟ เปน 3:5 และถาใน 10

ปขางหนาอตราสวนของอายของนายอารมกบนายกอลฟ เปน 2:3 จงหาอายปจจบน

ของนายอารม และนายกอลฟ

วธทา ใหอายนายอารม ณ ปจจบนเปน x ป

อายของนายกอลฟ ณ ปจจบนเปน y ป

ดงนน 3 ปทแลวนายอารม มอาย x-3 ป

และ 3 ปทแลวนายกอลฟ มอาย y – 3 ป

จะได สมการ x - 3 3

=y - 3 5

และ 32

10y10x

นนคอ 5 x - 3 = 3 y - 3

นนคอ 5x – 3y = 6 ………….(1)

และ (x + 10) = 2(y + 10)

นนคอ 3x - 2y = -10 ………….(2)

จาก (1) 2; 10x - 6y = 12 ………….(3)

จาก (2) 3; 9x - 6y = -30 ………….(4)

จาก (3) – (4); x = 42

แทนคา x ใน (3) จะได 420 6y 12

จะได y = 68

ดงนน จะไดวา อายนายอารมปจจบนเปน 42 ป

อายนายกอลฟปจจบนเปน 68 ป

3. ราคาสงของ – จานวนสงของ

จานวนเงนทงหมด = จานวนสงของ × ราคาตอหนวย

ราคาของหนงหนวย = จานวนเงนทงหมด / จานวนสงของ


ตวอยางท 4 ปากกา 4 ดาม ดนสอ 2 แทง รวมกน 24 บาท แตปากกา 6 ดาม ดนสอ 5 แทง ราคา

รวมกน 40 บาท ดงนน ปากกา 1 ดาม ดนสอ 1 แทง ราคารวมกนเทาใด

วธทา ใหปากกาดามละ x บาท

และ ดนสอแทงละ y บาท

จะไดสมการ 4x + 2y = 24 ………….(1)

และ 6x + 5y = 40 ………….(2)

จาก (1) 3; 12x+6y = 72 ………….(3)

จาก (2) 2; 12x+10y=80 ………….(4)

นา (3) - (4); -4y = -8

y = 2

แทนคา y = 2 ลงใน (1); 4x + 2(2) = 24

4x + 4 = 24

4x = 20

x = 5

ดงนนปากกา ดามละ 5 บาท และ ดนสอดามละ 2 บาท ราคารวมกนแลวเทากบ 7 บาท

4. ระยะทาง-ความเรว-เวลา

ระยะทาง = ความเรว × เวลา

เวลา = ระยะทาง / ความเรว


5. กระแสนา

การแลนเรอหรอพายเรอในนาเกยวของกบกระแสนา ความเรวเรอในนานง ทศทางการ

เคลอนทของเรอตามหรอทวนนา

ความเรวของเรอทตามนา = ความเรวของเรอในนานง + ความเรวของกระแสนา

ความเรวของเรอททวนนา = ความเรวของเรอในนานง - ความเรวของกระแสนา

เขยนสนๆไดวา ตามนา = นานง + กระแสนา ….…(1)

ทวนนา = นานง – กระแสนา ….…(2)

ถานา (1)+(2) จะได ตามนา+ทวนนา = 2นานง

นนคอ นานง = (ตามนา + ทวนนา) / 2 ….…(3)

เชนเดยวกน ถานา (1)-(2) จะได กระแสนา = (ตามนา – ทวนนา) / 2 …….(4)

สตร (1), (2), (3) และ (4) น มหนวยเปนระยะทาง ขณะเวลาเทากน

ตวอยางท 5 พายเรอตามนา 3 ชวโมง ไดระยะทางเทากบพายเรอทวนนาถง 5 ชวโมง อตราสวน

ความเรวของเรอในนาน งกบความเรวของกระแสนาเปนเทาไหร (โจทยขอนตองใช

ความรในขอ 4 และ ขอ 5)

วธทา ใหอตราเรวของการพายเรอในนานงชวโมงละ x กโลเมตร

ใหอตราเรวของกระแสนาชวโมงละ y กโลเมตร

ดงนนพายเรอตามนาหนงชวโมงไดทาง x + y

และพายเรอทวนนาหนงชวโมงไดทาง x - y

เนองจากพายเรอตามนา 3 ชวโมง ไดทางเทากบพายเรอทวนนา 5 ชวโมง


จะไดสมการคอ 3 x + y = 5 x - y

3x + 3y = 5x - 5y

5y + 3y = 5x - 3x

8y = 2x

x 4

=y 1

ดงนน อตราสวนของเรอในนานงกบความเรวของกรแสนาคอ 4:1

จะเหนวาตวอยางนไมจาเปนตองกาหนดตวแปรเปนสงทโจทยถาม เนองจากยากตอการ

นาไปใชงานตอ และสดทายไมจาเปนตองหาคาของตวแปรแตละตวกจะสามารถทราบคาตอบได

6. กาไร-ขาดทน-สวนลด-นายหนา

กาไรรอยละหรอขาดทนรอยละ ตองคดจากตนทน 100 บาทเสมอ

7. ของผสม

เปนการนาของทมคณภาพตางกนมาผสมกน ใหเกดของทมคณภาพอยระหวางของเดมนน

เชน เอาของดผสมของไมดแลวไดของชนดปานกลาง วธทาตองกาหนดจานวนของทผสมแตละ

ชนด แลวตองหาตนทนของของผสมนนดวยทกครง

ตวอยาง 6 ซอสบปะรดนางแลรานยายสวสดกโลกรมละ 20 บาท และ สบปะรดภแลกโลกรมละ 30

บาท หากเอามาขายคละกนในราคากโลกรมละ 25 บาท ไดกาไรทงหมด 20% ตองขาย

สบปะรดนางแลกกโลกรม ถาขายสบปะรดภแล 5 กโลกรม (ใชความรในขอ 6 และ 7)

วธทา ใหสบปะรดนางแลขายได x กโลกรม

ใหสบปะรดภแลขายได y กโลกรม

ดงนนขายสบปะรดไดทงหมด x+y กโลกรม


สบปะรดนางแลซอมา 20x บาท

สบปะรดภแลซอมา 30y บาท

ดงนนจะมตนทน 20x+30y

แตหากขายคละกโลละ 25 จะขายได 25(x+y ) ซงขายไดกาไร 20%

ทน 100 บาท ขายไป 120 บาท

ทน 20 30x y ขายไป 20x + 30y

×120100

ดงนน สมการคอ 20x + 30y×120 = 25 x + y

100

จะได x – 11y = 0

x = 11y

ถา y = 5 จะได x = 11 × 5 = 55

ดงนน ตองขายสบปะรดนางแล 55 กโลกรม

8. แรงงาน

การคานวณเกยวกบแรงงานของคน สตว สงของ ตองสมพนธกบเวลา โดยใชหลกการ

เทยบเวลา 1 หนวยเวลา

ตวอยางท 7 ถาชาย 3 คน กบหญง 2 คน ทางานอยางหนงเสรจใน 3 วน แตถาใหชายเพยง 2 คน กบ

หญงอก 3 คน ทางานนนเสรจใน 4 วน จงหาวาถาชายคนเดยวจะเสรจในกวน

วธทา ใหชายคนเดยวทางานเสรจใน x วน

และหญงคนเดยวทางานเสรจใน y วน

ดงนนใน 1 วนชายคนเดยวไดงาน 1x


และใน 1 วนหญงคนเดยวไดงาน 1y

ดงนน ใน 1 วน ชาย 3 คน และ หญง 2 คน ไดงาน

1 13 + 2

x y

นนคอใน 3 วน ชาย 3 คน และ หญง 2 คน ไดงาน

1 19 + 6

x y

และใน 1 วน ชาย 2 คน และ หญง 3 คน ไดงาน

1 12 + 3

x y

นนคอใน 4 วน ชาย 2 คน และ หญง 3 คน ไดงาน

1 18 +12

x y

เนองจากงานทไดเทากน จะได วา

1 1 1 19 + 6 = 8 +12

x y x y ………….(1)

จะไดวา 1 6

=x y

นนคอ y = 6x

เนองจากใน 3 วน ชาย 3 คน และ หญง 2 คน ไดงาน

1 19 + 6

x y

จะไดวา 1 1 9 1 10

9 + 6 = + =x 6x x x x

เนองจากชายคนเดยวทางานได 1

x หนวย ใชเวลา 1 วน

ถาชายคนเดยวทางานได 10

x หนวยจะตองใชเวลา

10×

10x = × x = 101 x

1

x

วน

นนคอชายคนเดยวตองใชเวลาในการทางาน 10 วน


อสมการ

บอยครงทเราจะพบเหนความสมพนธทมากกวา, นอยกวา, มากกวา หรอเทากบ, นอยกวา

หรอเทากบ และการไมเทากบ ในชวตประจาวน ซงเราสามารถแปลงความสมพนธเหลานนใหอย

ใน ร ป ป ร ะ โ ย ค สญ ลก ษ ณ ไ ด เ ช น เ ด ย ว กบ สม ก า ร แ ละ เค ร อ ง ห ม า ย ท ใชจ ะ แ ท น ดว ย

" "," ", " ", " " และ " " ตามลาดบ ในการหาคาตอบของอสมการจาเปนตองทราบ

สมบตของจานวนจรงบางประการ ตอไปนดวย

1. ถา a > 0 และ b > 0 แลว a+b > 0

2. a < 0 กตอเมอ -a > 0 และ a > 0 กตอเมอ –a < 0

3. ถา a > 0 แลว 1

> 0a

4. ถา a < 0 แลว 1

< 0a

5. ab < 0 กตอเมอ (a > 0 และ b < 0) หรอ (a < 0 , b > 0 )

6. ab > 0 กตอเมอ (a > 0 และ b > 0) หรอ (a < 0 และ b < 0)

7. a b และ b a กตอเมอ a = b

8. ถา a < b และ b < c แลว a < c

9. ถา a < b แลว a+c < b+c

10. ถา a < b และ c < d แลว a+c < b+d

11. ถา a < b และ c > 0 แลว ac < cb

12. ถา a < b และ c < 0 แลว ac > bc

รวมถงทฤษฎบททควรทราบดงตอไปน

ทฤษฎบท1 สาหรบจานวนจรง a, b, c และ d ใดๆ ท 0 < a < b, 0 < c < d และ n เปนจานวนเตม

บวกใดๆ

1. 0 < ac < bd

2. 0 < an < bn


3. 1 1> > 0

a b

4. 1 1n >

a bn > 0

นอกจากนนทฤษฎบทขางตนยงจะคงเปนจรงหากแทนเครองหมาย “ ” ดวย “ ” และแทน

“ ” ดวย “ ”

ทฤษฎบท 2 สาหรบจานวนจรง a ใดๆ

1. a2 0

2. 02a กตอเมอ a = 0

ตวอยางท 8 จงหาคาตอบทเปนไปไดทงหมดของอสมการ 3x +1 5 + 8x

x + <2 3

วธทา 3x +1 5 + 8x

x + <2 3

6x + 3 3x +1 < 2 5 + 8x

6x + 9x + 3 < 10 +16x

15x + 3 < 10 +16x

-x < 7

x > -7

สาหรบโจทยปญหาอสมการ มกจะมการกาหนดตวแปร และหลกการในการเขยนประโยค

สญลกษณเชนเดยวกบการเขยนประโยคสญลกษณในเรองสมการโดยมขนตอนดงน

1. วเคราะหโจทยเพอหาวาโจทยกาหนดอะไรมาใหและใหหาอะไร

2. กาหนดตวแปรแทนสงทโจทยใหมาหรอแทนสงทเกยวของกบสงทโจทยใหหา

3. เขยนอสมการตามเงอนไขในโจทย

4. แกอสมการเพอหาคาตอบทโจทยตองการ

5. ตรวจสอบคาตอบทไดกบเงอนไขคาตอบในโจทย


ตวอยางท 9 หนงสอเรยนวชาหนงมแบบฝกหดจานวน 100 ขอ นกศกษาคนหนงคาดหมายทจะทา

แบบฝกหดในหนงสอใหไดครบทกขอเนองจากอยากไดเกรด A หากพบวาในแตละวน

เขาทาแบบฝกหดไดมากกวา 5 ขอ นกศกษาคนนตองใชเวลากวนจงจะทาแบบฝกหด

ครบทกขอ

วธทา ให x แทนจานวนวนทนกศกษาใชทาแบบฝกหด

ดงนนนกศกษาจะทาแบบฝกหดไดมากกวา 5x ขอ

นกศกษาตองการทาแบบฝกหด 100 ขอ ดงนนจะสามารถเขยนอสมการไดดงน

5x < 100

100

x <5

x < 20

ดงนนจะทาแบบฝกหดหมดไดตองใชเวลานอยกวา 20 วน

ตวอยางท 10 ตองการตดกระดาษรปสเหลยมผนผา โดยอยากไดพนทมากกวา 20 ตารางเซนตเมตร

และ เสนรอบรปไมเกน 18 เซนตเมตร จะตองตดกระดาษความกวางไมเกนเทาไหร

วธทา ให x เปนความกวางของกระดาษ

และ y เปนความยาวของกระดาษ

จะไดวากระดาษมพนทเปน xy ตารางเซนตเมตร

และมเสนรอบรป 2x+2y เซนตเมตร

เนองจากพนทตองมากกวาหรอเทากบ 20 ตารางเซนตเมตร จะไดวา xy 20 ………(1)

และ เสนรอบรปไมเกน 18 เซนตเมตร จะไดวา 2x + 29 18 …………...……(2)

ดงนน 2218 xy


+

21 x

1y 8 - 2

…………(3)

นนคอ

220

11

xyy 8 - 2x

401 x

x8 - 2

x 18 - 2x 40

-2x +182 x - 40 0

2x -18x2 + 40 0

x - 9x +2 20 0

x - 5 x - 4 0

จะไดวา 4 x 5

นนคอกระดาษตองกวางไมเกน 5 เซนตเมตร

5 4

+ -


สรป

ในการประยกตใชสมการและอสมการ เปนการมองปญหาในชวตประจาวนทเราตองการ

คาตอบใหอยในรปโจทยปญหาของสมการหรออสมการ ถดจากนนเราจะเรมเขยนปญหานนใหอย

ในรปประโยคสญลกษณ เพอใหสามารถแกสมการหรออสมการเพอหาคาตอบ ซงจะนาไปคาตอบ

ของปญหานนๆได

………………………………..



1. จงสรปองคความรทไดจากเนอหาในบทนโดยเขยนใหอยในรปแผนผงความคด


. นกศกษามหาวทยาลยราชภฏเชยงรายไปทศนศกษา เขาพกทโรงแรมแหงหนง หากพกหองละ

คนจะมนกศกษาหนงคนไมมหอง หากเขาพกหองละสองคนจะมหองเหลอ 1 หอง จงหาวา

นกศกษา มกคน และหองพกมกหอง

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

2. เรอหางยาวแลนผานดานขางโรงเรยน เปนระยะทาง 5 กโลเมตรใชเวลา 10 นาท แตขากลบ

ดวยระยะทางทเทากนกลบใชเวลา 15 นาท เรอหางยาวนแลนดวยอตราเรวเทาไรในนานง

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………


3. ในการเลนเกมออมเงนกาหนดใหนกเรยนชายมมลคา 50 สตางค และนกเรยนหญงมมลคา

1 บาท ถานกเรยนชายมนอยกวานกเรยนหญง 5 คนและรวมมลคาของทกคนในหองได

36.50 บาท แลวจะมนกเรยนหญงกคน

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

4. จงแกอสมการ x + 3

3x +2

x +132

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………


5. คณธนายทธแกกวาคณสภกจไมเกน 3 ป หากหมอดนาโนทายวา คณธนายทธกบคณสภกจ

ตองแตงงานกนตอนอายรวมกนไมนอยกวา 50 ป จงจะอยกนยด อยากทราบวาคณธนายทธ

และคณสภกจตองอายไมนอยกวาเทาใด

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

6. ยกตวอยางปญหาในชวตประจาวน และเขยนอยในรปของสมการและอสมการ พรอมทง

แสดงวธการแกปญหา

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………



ศรจนทร เวสารชศาสตร (2549). คณตศาสตรพนฐาน.กรงเทพฯ : คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

มหาวทยาลยธรรมศาสตร

สมการและอสมการสบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก

htttp://math .snru.ac.th/UserFiles/File/math @snru/... - /.../unit .doc

สมการและอสมการสบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://th.wikipedia.org/wiki/สมการ

สมการและอสมการสบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://home.kku.ac.th/wattou/service/m12

3/03.pdf

สมการและอสมการสบคนเมอ 1 มถนายน 2557, จาก https://sites.google.com/site/mathgang2m3/3

บทท 6

การประยกตใชความรทางสถต เวลา 9 ชวโมง


คาวา “สถต” (Statistics) มความหมายแยกไดเปน 2 ประการ คอ ประการแรก สถต หมายถง ขอมล

หรอตวเลขซงแสดงขอเทจจรงเกยวกบเรองตางๆ เชน รายได รายจาย จานวนประชากร จานวน

นกเรยน ปรมาณนาฝน เปนตน ประการทสอง สถต หมายถง ศาสตรทวาดวยการจดการกบขอมล 4

ขนตอน ดงนคอ การเกบรวบรวมขอมล (Collection of Data) การวเคราะหขอมล (Analysis of Data)

การนาเสนอขอมล (Presentation of Data) และการแปลผลขอมล (Interpretation of Data) ซงการ

วเคราะหขอมลในสถตขนสงมความจาเปนจะตองอาศยความนาจะเปน (Probability)


1. เพอใหผเรยนมความรความเขาใจในระเบยบวธการทางสถต

2. เพอใหผเรยนมความรความเขาใจในเรองความนาจะเปน

3. เพอใหผเรยนสามารถนาวธการทางสถตและความนาจะเปนไปประยกตใชในชวต ประจาวน

และการวจยไดอยางเหมาะสม

เนอหา

1. สถตพรรณนา

2. ความนาจะเปน

3. การนาวธการทางสถตและความนาจะเปนไปประยกตใชในชวตประจาวนและการวจย




3. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามทกาหนดไว







2. ดานทกษะ/กระบวนการ โดยการสงเกต



ในปจจบนสถตเขามาเกยวของกบมนษยเราอยตลอดเวลา ทงจากการสนทนา การอาน

หนงสอ วารสารวชาการ หรองานวจยตางๆ มกจะมขอมล ตวเลข หรอวธการทางสถตเกยวของอย

ดวยเสมอ

ตวเลขทางสถตทเราคนเคย ไดแก สถตการเกดอบตเหต สถตผปวยโรคเอดส สถตการตด

ยาเสพตด สถตจานวนประชากร เปนตน ซงสถตเหลานอาจจะแสดงอยในรปของตาราง กราฟแทง

กราฟเชงเสน แผนภาพ วงกลม หรออาจจะเปนวธการทางสถต เชน การตอบแบบสอบถาม การ

สมภาษณ เปนตน สถตดงกลาวจะมสวนชวยในการตดสนใจดานตางๆ ทงดานการดาเนนชวต การ

บรหารองคกร ตลอดจนถงการบรหารประเทศ

ความหมายของสถต

คาวา “สถต” (Statistics) มความหมายแยกไดเปน 2 ประการ คอ ประการแรก สถต หมายถง

ขอมลหรอตวเลขซงแสดงขอเทจจรงเกยวกบเรองตางๆ เชน รายได รายจาย จานวนประชากร จานวน

นกเรยน ปรมาณนาฝน เปนตน ประการทสอง สถต หมายถง ศาสตรทวาดวยการจดการกบขอมล 4

ขนตอน ดงนคอ

1. การเกบรวบรวมขอมล (Collection of Data) ในการตดสนใจในเรองตาง ๆ จาเปนตอง

อาศยขอมลแทบทงสน จงมความจาเปนตองมการเกบรวบรวมขอมลซงอาจจะเกบจากทะเบยน

ตางๆทมผรวบรวมไวแลว หรออาจจะเกบรวบรวมดวยตนเองโดยวธการสารวจ หรอการสมภาษณ

เปนตน

2. การนาเสนอขอมล (Presentation of Data) เปนการนาขอมลทเกบรวบรวมไดหรอท

วเคราะหไดมาจดใหอยในรปแบบทนาสนใจ งายตอความเขาใจของบคคลทวไป ซงอาจอยในรป

ตาราง แผนภาพ หรอแผนภม เปนตน

3. การวเคราะหขอมล (Analysis of Data) เปนการดาเนนการกบขอมลทเกบรวบรวมมา

ได เพอใหไดผลลพธทจะนาไปใชในการตดสนใจตอไป การวเคราะหขอมลสามารถทาไดโดยการ

ใชสตรสถต หรอใชโปรแกรมสาเรจรปกไดผลเชนเดยวกน


4. การแปลผลขอมล (Interpretation of Data) เปนการนาผลจากการวเคราะหขอมลทเปน

ตวเลขซงยากตอความเขาใจของบคคลทวไปมาอธบายความหมายของตวเลขเหลานนใหเปนผลสรป

ทสามารถใหคาตอบของวตถประสงคทตองการศกษาได

คาศพททางสถตทควรทราบ

ในการศกษาเกยวกบสถตจะมคาศพททใชบอยๆ ซงจะตองมความเขาใจความหมายดงน

1. ประชากร (Population) หมายถง ขอมลทกๆ หนวยของสงทเกยวของกบสงทเรากาลง

ศกษา เชน ตองการศกษารายจายของนกศกษาในมหาวทยาลยราชภฏเชยงราย ประชากรหมายถง

นกศกษาทกคนในมหาวทยาลยราชภฏเชยงราย หรอตองการศกษาอายการใชงานของหลอดไฟฟา

ยหอหนง ประชากรหมายถงหลอดไฟฟายหอนทงหมด เปนตน

2. กลมตวอยาง (Sample) หมายถง ขอมลทถกเลอกมาเปนตวแทนของประชากร

3. พารามเตอร (Parameter) หมายถง คาคงตวทแสดงถงคณลกษณะของประชากร เชน

คาเฉลยของประชากร แทนดวย

สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร แทนดวย

ความแปรปรวนของประชากร แทนดวย 2

สดสวนของประชากร แทนดวย p

4. คาสถต (Statistic) หมายถง คาทแสดงคณลกษณะของตวอยาง เชน

คาเฉลยของตวอยาง แทนดวย X

คาเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง แทนดวย S

ความแปรปรวนของตวอยาง แทนดวย S2

สดสวนของตวอยาง แทนดวย p


ประชากร การสม กลมตวอยาง

ประกอบดวย x1,x2,x3,…,xN ประกอบดวย x1,x2,x3,…,xn

การวเคราะห การวเคราะห

คาพารามเตอร คาสถต

1) คาเฉลย ( ) การอนมาน 1) คาเฉลย ( x )

2) คามธยฐาน 2) คามธยฐาน

3) คาฐานนยม 3) คาฐานนยม

4) คาเบยงเบนมาตรฐาน ( ) 4) คาเบยงเบนมาตรฐาน (S)

5) ความแปรปรวน ( 2 ) 5) ความแปรปรวน (S2)

ประเภทของสถต

สถตในฐานะทเปนศาสตรแบงออกเปน 2 ประเภท คอ

1. สถตพรรณนา (Descriptive Statistics)

สถตพรรณนา เปนสถตทใชบรรยายถงลกษณะของขอมลทศกษาเพยงกลมใดกลมหนง

เทานน ไมสามารถนาผลสรปไปอางองขอมลกลมอนได เชน การศกษารายไดของประชาชนใน

จงหวดเชยงราย โดยการเกบรวบรวมขอมลรายไดของประชาชนทกคนในจงหวดเชยงราย แลวทา

การวเคราะหขอมลเพอหาคาเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล

จะเหนวาผลการวเคราะหทไดสามารถอธบายรายไดของประชาชนในจงหวดเชยงราย

เทานน ไมสามารถนาไปอธบายรายไดของประชาชนในจงหวดอนๆ ได วธการวเคราะหขอมลสถต

พรรณนามดงน คอ การแจกแจงความถ การหาคาสดสวนหรอคารอยละ การวดแนวโนมส

สวนกลางและการวดการกระจายของขอมล เปนตน


2. สถตอนมาน (Inferential Statistics)

สถตอนมาน เปนสถตอาศยการวเคราะหจากขอมลตวอยางแลวนาผลทไดไปสรปถง

พารามเตอรของประชากร ตวอยางเชน พรรคการเมองพรรคหนงตองการทราบความนยมของ

ประชาชนทมตอพรรค ถาหากสอบถามผมสทธเลอกตงทกคนทวประเทศ กจะทาใหสนเปลองเวลา

งบประมาณ และอาจจะไมทนการณ นกวจยผรบผดชอบจะใชวธการสมสารวจผมสทธเลอกตง

เพยงบางสวนนาผลทไดมาวเคราะหแลวสามารถสรปผลไดวาความนยมทมตอพรรคทวทงประเทศ

วามมากนอยเพยงใดและยงสามารถบอกไดวาการสรปดงกลาวมความถกตองเชอถอไดมากนอย

เพยงใดดวย วธการวเคราะหทาไดโดยใชวธการประมาณคา (Estimation) และการทดสอบ

สมมตฐาน (Hypothesis Test)

ขอมล

ขอมล (Data) หมายถง ขอเทจจรงเกยวกบเรองทสนใจศกษาซงอาจจะเปนตวเลขหรอไม

เปนตวเลขกได ขอมลแบงออกไดเปน 2 ประเภท คอ

1. ขอมลเชงปรมาณ (Quantitative Data) หมายถง ขอมลทสามารถวดออกมาเปน

ตวเลขและคานวณได เชน อาย นาหนก สวนสง คะแนน หรอคะแนนความคดเหนแบบมาตรการ

ประเมน(Rating Scale) เชน มากทสด(5) มาก(4) ปานกลาง(3) นอย(2) นอยทสด(1) เปนตน การ

วเคราะหขอมลสามารถหาคาเฉลย มธยฐาน ฐานนยม สวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน

2. ขอมลเชงคณภาพ (Qualitative Data) หมายถง ขอมลทไมสามารถคานวณได เชน เพศ

ศาสนา อาชพ ระดบการศกษา หรอ อายทแบงเปนชวง ๆ เปนตน การวเคราะหขอมลสามารถแจกแจง

ความถและรอยละ ไดเทานน

มาตราการวดขอมล

จากทกลาวมาแลววา ขอมล หมายถงขอเทจจรงเกยวกบเรองทสนใจศกษาซงอาจจะเปน

ตวเลขหรอไมเปนตวเลขกได เราสามารถแบงขอมลออกเปน 4 ระดบ ตามมาตราการวดดงตอไปน

1. มาตรานามบญญต (Nominal Scale) เปนการวดขอมลเชงคณภาพโดยการจาแนก

ขอมลออกเปนกลมๆตามลกษณะใดลกษณะหนง และสามารถนบจานวนความถได เชน จาแนกตาม


เพศ เปนเพศชายและเพศหญง จาแนกตามวฒการศกษาเปนประถมศกษา มธยมศกษา และ

อดมศกษา เปนตน

2. มาตราเรยงอนดบ (Ordinal Scale) เปนการวดขอมลเชงคณภาพทสามารถจดจดเปน

อนดบบอกความมากหรอนอยกวากนได เชน ผลการประกวดภาพวาดเปนอนดบ 1 2 และ3 ซงบอก

ไดวาอนดบ 1 สวยกวาอนดบ 2 และอนดบ 2 สวยกวาอนดบ 3 แตไมสามรถบอกไดวาสวยกวากน

มากนอยเทาใดนอกจากนระดบการศกษา หรอยศทหารและตารวจ กจดเปนขอมลในมาตรานดวย

3. มาตราอนตรภาค (Interval Scale) เปนการวดขอมลเชงปรมาณทมความแตกตางของ

ขอมลแตละหนวยมคาเทากนโดยมศนยเปนจดเรมตนของการวด เชน คะแนน และอณหภม แตคา

ศนยดงกลาวไมใชศนยแท เชน คะแนนศนยไมไดหมายความวาผสอบไมมความรอยเลย หรอนาย

ณเดชณ สอบได 40 คะแนน สวนนายอนนดา สอบได 20 คะแนน ไมไดหมายความวา นายณเดชณ

มความรเปน 2 เทาของนายอนนดา เปนตน

4. มาตราอตราสวน (Ratio Scale) เปนการวดขอมลเชงปรมาณเชนเดยวกบขอมลในมาตรา

อนตรภาคแตเปนขอมลทมศนยแท ไดแก นาหนก สวนสง ระยะทาง รายได เปนตน เชน นาย ก. ม

รายได 0 บาท แสดงวานาย ก. ไมมรายไดเลย และขอมลมาตรานสามารถนามาเปรยบเทยบกนในรป

อตราสวนได เชนโตะตวหนงกวาง 30 นว ยาว 60 นว สามารถบอกไดวาโตะตวนมความยาวเปน 2

เทาของความกวาง เปนตน

การเกบรวบรวมขอมล

จากการทกลาวมาแลววา สถต ในฐานะทเปนศาสตรจะตองเรมจากการเกบรวบรวม

ขอมล และวธการเกบรวบรวมขอมลจะแตกตางกนไปตามความตองการและวตถประสงคของผใช

ขอมล

ขอมลมการจาแนกตามแหลงทเกบไดเปน 2 ชนดคอ ขอมลทตยภม (Secondary Data)

เปนขอมลทเกบรวบรวมจากแหลงทมการเกบไวกอนแลว เชน จากทะเบยน เอกสารหรอรายงาน

ตาง ๆ และขอมลปฐมภม (Primary Data) เปนขอมลทตองทาการเกบรวบรวมดวยตนเอง เนองจาก

ขอมลทตองการยงไมมผเกบรวบรวมมากอนหรอถามการเกบรวบรวมไวแลวกไมตรงตามความ

ตองการหรอขอมลไมทนสมย ขอมลปฐมภมมวธการเกบรวบรวมไดดงน


1. โดยการสามะโน (Census) หมายถง การเกบรวบรวมขอมลจากทกหนวยในประชากร

ภายในขอบเขตของเรองทสนใจศกษา เชน สามะโนประชากรคอการเกบขอมลทกครวเรอนในประเทศ

ไทย นอกเหนอจากนยงมสามะโนการเกษตร สามะโนธรกจการคาและการบรการ เปนตน ซงการ

สามะโนจะตองใชเวลา แรงงาน และคาใชจายเปนจานวนมาก

2. โดยการสารวจ (Survey) หมายถง การเกบรวบรวมขอมลจากตวอยางทเปนตวแทนทด

ของประชากรและประกอบไปดวยลกษณะตางๆ ของประชากรครบถวน

การนาเสนอขอมล

วตถประสงคทสาคญของการนาเสนอขอมล กเพอทจะนาขอมลทเกบรวบรวมไดมาเสนอ

หรอเผยแพรใหผสนใจในขอมลนนๆ ทราบหรอสามารถนาขอมลไปใชประโยชนในดานตางๆได

โดยทวไปการนาเสนอขอมล สามารถทาไดในรปขอความ รปตาราง หรอรปกราฟ

ตวอยางท 1 จากสถตประชากรจงหวดเชยงราย ดงตารางตอไปน

รายการ 2551 2552 2553 2554 2555

จานวนประชากรชาย 606,775 588,850 589,890 589,759 590,446

จานวนประชากรหญง 620,542 606,083 608,328 608,897 609,977

จานวนคนเกด 11,269 11,284 11,335 11,792 12,399

จานวนคนตาย 9,152 8,820 9,359 9,355 9,415

จานวนคนยายเขา 61,436 60,735 58,761 60,420 58,516

จานวนคนยายออก 59,090 57,772 55,271 56,388 53,995

จงตอบคาถามตอไปน

1. ป 2555 ประชากรจงหวดเชยงรายทงหมดมจานวนเทาใด

2. ป 2552 ประชากรชายตอประชากรทงหมดคดเปนอตราสวนประมาณเทาใด

3. ป 2551 ประชากรชายเปนกเปอรเซนตของประชากรหญง

4. ตงแตป 2551 ถงป 2555 โดยเฉลยมจานวนคนเกดปละกคน


วธทา 1. ป 2555 ประชากรจงหวดเชยงรายทงหมดมจานวนเทา 1,200,423 คน

2. ป 2552 ประชากรทงหมด = 588,850 + 606,083 = 1,194,933

อตราสวนของประชากรชายตอประชากรทงหมด

2

1

96.1

1

933,194,1

850,588

กรทงหมดจานวนประชา

กรชายจานวนประชา

อตราสวนประมาณ 1 : 2

3. ป 2551 จานวนประชากรหญง 620,542 คน คดเปน 100%

จานวนประชากรหญง 606,775 คน คดเปน %78.97542,620

775,606%100

4. ตงแตป 2551 ถงป 2555

มจานวนคนเกดปทงหมด = 11,269+ 11,284+ 11,335+ 11,792+ 12,399

= 58,079 คน

โดยเฉลยปละ 11,615.805

079,58 หรอประมาณ 11,616 คน

ตวอยางท 2 กราฟแสดงจานวนนกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนทเดนทางเขามาในประเทศ

ไทย พ.ศ. 2551 – 2556

3,971,429 3,968,5794,534,235

5,594,5776,281,153

7,396,297

-

1,000,000

2,000,000

3,000,000

4,000,000

5,000,000

6,000,000

7,000,000

8,000,000

2551 2552 2553 2554 2555 2556



1. อตราสวนนกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนป 2553 ตอป 2555 ประมาณเทาใด

2. นกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนป 2551 เปนกเปอรเซนตของป 2556

3. ตงแตป 2551 ถงป 2556 โดยเฉลยมนกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนปละกคน

วธทา

1. อตราสวนนกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนป 2553 ตอป 2555

11

8

08.11

8

6,281,153

4,534,235

2555ป

2553ป

อตราสวนประมาณ 8 : 11

2. นกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนป 2551 เปนกเปอรเซนตของป 2556

ป 2556 จานวนนกทองเทยว 7,396,297 คน คดเปน 100 %

ป 2551 จานวนนกทองเทยว 3,971,429 คน คดเปน 7,396,297

3,971,429 %100

%69.53

3. ตงแตป 2551 ถงป 2556 มนกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนรวมทงหมด

= 3,971,429 + 3,968,579 + 4,534,235 + 5,594,577 + 6,281,153 + 7,396,297

= 31,746,270

โดยเฉลยปละ 5,291,045 6

31,746,270 คน

การวเคราะหขอมล

เปนการดาเนนการกบขอมลทเกบรวบรวมมาได เพอใหไดผลลพธทจะนาไปใชในการ

ตดสนใจตอไป การวเคราะหขอมลแบงเปนสถตพรรณนาไดแก การแจกแจงความถ การวด

แนวโนมสสวนกลาง และการวดการกระจายของขอมล และสถตอนมานไดแก การประมาณคา

และการทดสอบสมมตฐาน เปนตน ซงในทนจะกลาวถงเฉพาะการวเคราะหขอมลแบบสถต

พรรณนาเทานน


การแจกแจงความถ

การแจกแจงความถ หมายถง การนบจานวนขอมลทมคาเดยวกนหรอขอมลทอยในกลม

เดยวกน และนยมแสดงจานวนทนบไดใหอยในรปรอยละ(Percent) ดวย โดยท

รอยละ = ลทงหมดจานวนขอม

ลทนบไดจานวนขอม x 100

ตวอยางท 3 ในการสารวจกลมตวอยางนกศกษาจานวน 15 คน พบวาเพศของนกศกษาแตละคนเปน

ดงน (เพศชาย แทนดวย 1 และเพศหญง แทนดวย 2)

คนท 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

เพศ 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2

จงแจกแจงความถของนกศกษากลมนจาแนกตามเพศ

วธทา

เพศชาย จานวน 8 คน คดเปนรอยละเทากบ 100x15

8= 53.33

เพศหญง จานวน 7 คน คดเปนรอยละเทากบ 100x15

7= 46.67

การนาเสนอขอมล นยมนาเสนอในรปตารางดงน

เพศ จานวน รอยละ

ชาย

หญง

8

7

53.33

46.67

รวม 15 100.00

การแปลผล

จากตารางขางตนพบวา กลมตวอยางจานวน 15 คน เปนเพศชายรอยละ 53.33 และเปนเพศ

หญง รอยละ 46.67


ตวอยางท 4 ในการสารวจขอมลนกศกษาจานวน 8 คน โดยแบบสอบถามเปนดงน

1. เพศ (V1) 1. ชาย 2. หญง

2. คณะ (V2) 1. คณะครศาสตร 2. คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

3. คณะวทยาการจดการ 4. คณะสงคมศาสตร

3. อาย (V3) 1. 17 -18 ป 2. 19 – 20 ป

3. 21 – 22 ป 4. 23 – 24 ป

ผลจากการสารวจไดขอมลแลวแปลงเปนตวเลข (Coding) ผลเปนดงน

คนท V1 V2 V3

01

02

03

04

05

06

07

08

2

2

1

2

1

1

2

2

1

2

3

3

2

3

4

4

1

3

3

2

3

2

1

1

ตารางแสดงจานวนและรอยละเปนดงน

รายการ จานวน รอยละ

เพศ

ชาย

หญง

คณะ

ครศาสตร

วทยาศาสตรและเทคโนโลย

วทยาการจดการ

สงคมศาสตร

3

5

1

2

3

2

37.50

62.50

12.50

25.00

37.50

25.00



อาย

17-18 ป

19-20 ป

21-22 ป

3

2

3

37.50

25.00

37.50

จากตารางพบวา กลมตวอยางทตอบแบบสอบถามจานวน 8 คน สวนใหญเปนเพศหญงรอย

ละ 62.50 ซงศกษาอยคณะวทยาการจดการ รอยละ 37.50 อาย 17-18 ป และ 21-22 ป รอยละ 37.50

การวดแนวโนมสสวนกลาง (Measures of Central Tendency)

การวดแนวโนมสสวนกลาง เปนวธการทางสถตเพอใหทราบคากลางของขอมลทงหมด

เพอใชเปนตวแทนเวลากลาวถงขอมลชดนน การวดแนวโนมสสวนกลาง ทจะกลาวถงในทนม 3

วธ ไดแก คาเฉลย มธยฐาน และฐานนยม

1. คาเฉลย

คาเฉลย หมายถง ผลรวมของขอมลทงหมดแลวนามาหารดวยจานวนขอมล เขยนแทนดวย

สญลกษณ หรอ X

ประชากรขนาด N ประกอบดวยขอมล N321 x,...,x,x,x คาเฉลย คอ อานวา “ มว ”

=N

x...xxx N321 =

N

xN

1ii

เขยนโดยยอไดดงน = N

x i

ตวอยางขนาด n ประกอบดวยขอมล n321 x,...,x,x,x คาเฉลย คอ X อานวา “ เอกซบาร ”

X =n

x...xxx n321 =

n

xn

1ii

เขยนโดยยอไดดงน X = nx i


ตวอยางท 5 ครอบครวหนงมสมาชก 5 คน อายของแตละคนเปนดงน 45 40 18 15 และ 12 ป จงหา

คาเฉลยของอายสมาชกครอบครวน

วธทา

จากโจทย เราทราบวา N = 5 และ ix = 130

จาก = N

x i

=5

130

= 26

คาเฉลยของอายสมาชกครอบครวน เทากบ 26 ป

ตวอยางท 6 สมสารวจนกศกษา 10 คน จากนกศกษาทสอบทงหมดผลคะแนนการสอบเปนดงน

9 12 12 2 6 8 12 10 5 4

จงหาคาเฉลยคะแนนสอบของนกศกษาทง 10 คนน

วธทา

ทราบวา n = 10 และ ix = 80

จาก X = nx i

=10

80

= 8

คาเฉลยของคะแนนสอบ เทากบ 8 คะแนน

2. มธยฐาน

มธยฐาน หมายถง ขอมลทอยตรงตาแหนงกงกลางของขอมลทมการเรยงลาดบ จากตาสด

ไปหาสงสด ซงแสดงวามขอมลครงหนงของขอมลทงหมดมคาสงกวาคาทเปนมธยฐาน และมขอมล

อกครงหนงของขอมลชดเดยวกนมคาตากวาคาทเปนมธยฐาน วธการหาคามธยฐานทาไดดงน


1) จดเรยงขอมลจานวน N ตวจากคาตาสดไปหาคาสงสด

2) ตาแหนงกงกลาง = 2

1N , เมอ N แทนจานวนขอมลทงหมด

3) มธยฐาน เทากบ ขอมลตวทอยตรงกบตาแหนงกงกลาง แตถาหากวาตรงตาแหนง

กงกลางไมมขอมลอยใหเอาขอมล 2 ตวระหวางตาแหนงกงกลาง มาบวกกนแลวหารดวย 2

ตวอยางท 7 จงหาคามธยฐานของขอมลทกาหนดใหตอไปน

21 15 26 19 16 23 25 27 20 30 33 20 27 25 35

วธทา

นาขอมลมาเรยงจากตาสดไปหาสงสด ไดดงน

15 16 19 20 20 21 23 25 25 26 27 27 30 33 35

ตาแหนงกงกลาง คอ = 2

1N=

2

115 = 8

ขอมลตาแหนงท 8 มคาเทากบ 25

ดงนน จะไดวา มธยฐาน เทากบ 25

ตวอยางท 8 จงหามธยฐานของคะแนนการสอบของนกศกษา จานวน 10 คน

9 12 12 2 6 8 12 10 5 4

วธทา

เรยงคะแนนจากตาสดไปหาสงสด ไดดงน

2 4 5 6 8 9 10 12 12 12

ตาแหนงกงกลาง คอ = 2

1N=

2

110 = 5.5

ขอมลตาแหนงท 5.5 มคาเทากบ 2

98 = 8.5

จะไดวา มธยฐานของคะแนนการสอบ เทากบ 8.5 คะแนน


3. ฐานนยม

ฐานนยม คอ ขอมลทมความถสงสด

ตวอยางท 9 สมคะแนนการสอบของนกศกษา 10 คน เปนดงน

9, 12, 12, 2, 6, 8, 12, 10, 5, 4

จงหาฐานนยมของคะแนนการสอบ

วธทา

จากโจทยและขอมลจะเหนวา คะแนน 12 มความถสงสด เทากบ 3

จะไดวา ฐานนยมของคะแนน เทากบ 12 คะแนน

การวดการกระจายของขอมล

ในการเปรยบเทยบขอมลชดตางๆ นยมใชคาตวกลางของขอมลเหลานนมาเปรยบเทยบกน

แตการใชเฉพาะคากลางขอมลไมสามารถบอกลกษณะของขอมลชดนนไดถกตองและชดเจน เชน

คะแนนการสอบของนกศกษาชายและนกศกษาหญงกลมละ 5 คน เปนดงน

นกศกษาชาย 20 18 5 10 47 พบวาคาเฉลย เทากบ 20 คะแนน

นกศกษาหญง 15 17 22 29 17 พบวาคาเฉลย เทากบ 20 คะแนน

การทจะสรปวานกศกษาทง 2 กลม มความสามารถในการเรยนเทากนจงไมเปนการ

ถกตอง เพราะการกระจายของขอมลแตกตางกนมาก ดงนนในการวเคราะหขอมลนอกจากจะมการวด

คาแนวโนมสสวนกลางแลวจาเปนตองมการวดการกระจายของขอมลควบคกนดวยเสมอ โดยท

คาเฉลยจะทาใหทราบวาขอมลทงหมดมคาประมาณเทากบเทาไร และการวดการกระจายจะทาให

ทราบวาขอมลแตละตวมความแตกตางจากคาเฉลยมากนอยเพยงใด การวดการกระจายของขอมลม

วธหลายวธ ทจะกลาวถงในทน คอ พสย สวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน

1. พสย

พสย หมายถง ผลตางระหวางขอมลทมคาสงสด (Max) กบขอมลทมคาตาสด (Min)


ตวอยางท 10 จงหาพสยของขอมลตอไปน 9 12 12 2 6 8 12 10 5 4

วธทา

ขอมลทมคาสงสด เทากบ 12

ขอมลทมคาตาสด เทากบ 2

จะไดวา พสย = 12 – 2

= 10

2. สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน

สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร คอ (อานวา ซกมา)

=

N

xN

1i

2i

หรอ = 2

i2i

N

x

N

x

สวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง คอ s

s =

1n

xxn

1i

2i

หรอ s =

)1n(n

)x(xn2

i2i

(สวนเบยงเบนมาตรฐานยกกาลงสอง เรยกวา ความแปรปรวน (Variance))

ตวอยางท 11 กาหนดประชากรหนงมขอมลดงน 2 4 5 6 10

จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของขอมลประชากรน

วธทา

ix 2 4 5 6 10

2ix 4 16 25 36 100

จากตารางทราบวา N = 5 , ix = 27 , 2ix = 181


= N

x i

= 5

27

= 5.40

การหาสวนเบยงเบนมาตรฐานโดยวธท จากสตร

=

N

xN

1i

2i

=5

)40.510(...)40.55()40.54()40.52(2222

= 04.7

= 2.653

การหาสวนเบยงเบนมาตรฐานวธท จากสตร

= 2

i2i

N

x

N

x

= 2

5

27

5

181

= 04.7

= 2.653

ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน มคาเทากบ 2.653

2 = 2.6532

= 7.04

ดงนน ความแปรปรวน เทากบ 7.04


ตวอยางท 12 สมสารวจคะแนนการสอบของนกศกษา 10 คนจากนกศกษาทงหมด ผลเปนดงน

9 , 12 , 12 , 2 , 6 , 8 , 12 , 10 , 5 , 4

จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของคะแนนการสอบ

วธทา

ix 9 12 12 2 6 8 12 10 5 4

2ix 81 144 144 4 36 64 144 100 25 16

จากตารางทราบวา n = 10 , ix = 80 , 2ix = 758

x = nx i

=10

80

= 8


s =

1n

xxn

1i

2i

=110

)84(...)812()812()89(2222

= 111.13

= 3.621


s = )1n(n

)x(xn2

i2i

= )110(10

)80()758x10(2

= 111.13

= 3.621


ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ 3.621

s2 = 2621.3

= 13.111

ดงนน ความแปรปรวน เทากบ 13.111

ความนาจะเปน (Probability)

ในชวตประจาวนของคนเรานนจะตองมการตดสนใจอยเสมอ ซงการตดสนใจถาทราบ

โอกาสทจะเกดเหตการณตาง ๆ วามมากหรอนอยเพยงใด กจะทาใหการทตดสนใจมความถกตอง

มากยงขน โอกาสดงกลาวนนเรยกวา ความนาจะเปน (Probability) เชน ความนาจะเปนทนามนจะ

ขนราคาเทากบ 0.80 หรอความนาจะเปนทจะเกดฝนทงชวงรอยละ 60 เปนตน ในการศกษาความ

นาจะเปนจะตองทาความเขาใจเกยวกบคาศพทตอไปน คอ การทดลองสม (Random Experiment)

ปรภมตวอยาง (Sample Space) และเหตการณ (Event)

1. การทดลองสม

การทดลองสม หมายถง การทดลองทผทดลองไมสามารถคาดคะเนผลการทดลองลวงหนา

ไดวาผลทเกดขนจะเปนอยางไรแนนอน แตสามารถบอกไดวาผลทจะเกดขนเปนอะไรไดบาง เชน

การโยนเหรยญ การทอดลกเตา การจบสลาก การหยบลกบอลจากกลอง เปนตน

2. ปรภมตวอยาง

ปรภมตวอยาง หมายถง เซตทมสมาชกเปนผลลพธทอาจเปนไปไดทงหมดของการทดลอง

สมและสมาชกแตละตวของปรภมตวอยางเรยกวา ผลลพธ (Outcome) ปรภมตวอยางเขยนแทนดวย S

3. เหตการณ

เหตการณ หมายถง เซตยอยของปรภมตวอยางของการทดลองสมทเปนเซตของผลลพธ

ของการทดลองสมทเราสนใจ เขยนแทนดวย E


4. ความนาจะเปน

ความนาจะเปน หมายถง โอกาสหรอความเปนไปไดทจะเกดเหตการณตาง ๆ ทสนใจ ม

คาอยระหวาง 0 ถง 1 ถาความนาจะเปนเทากบ 0 แสดงวาไมมโอกาสเกดเหตการณนนไดเลย

ถามคาเทากบ 1 แสดงวาเหตการณนนมโอกาสเกดอยางแนนอน

ความนาจะเปนของเหตการณ E เขยนแทนดวย P(E)

P(E) = )S(n

)E(n

เมอ n(E) แทน จานวนสมาชกของเหตการณ E

n(S) แทน จานวนสมาชกของปรภมตวอยาง

ตวอยางท 13 ในการโยนเหรยญ 2 อน 1 ครง

วธทา ให S แทน ปรภมตวอยาง

H แทน เหรยญขนหว

T แทน เหรยญขนกอย

จะได S = (H,H) , (H,T) , (T,H) , (T,T)

n(S) = 4

ให E แทน เหตการณทเหรยญขนหวอยางนอย 1 อน

จะได E = (H,H) , (H,T) , (T,H)

n(E) = 3

ให P(E) แทน ความนาจะเปนทเหรยญจะขนหวอยางนอยหนงเหรยญ

จะได P(E) = )S(n

)E(n

= 4

3

= 0.75


ตวอยาง 14 ในการโยนลกเตา 2 ลก 1 ครง

1) จงหาปรภมตวอยาง

2) จงหาเหตการณทผลรวมของแตม เทากบ 7

3) จงหาความนาจะเปนของเหตการณทผลรวมของแตม เทากบ 7

วธทา

1) ให S แทน ปรภมตวอยาง

จะได S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) ,

(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) ,

(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) ,

(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) ,

(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) ,

(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

n(S) = 36

2) ให E แทน เหตการณทผลรวมของแตม เทากบ 7

จะได E = { (1,6) , (2,5) , (3,4) , (4,3) , (5,2) , (6,1) }

n(E) = 6

3) ให P(E) แทน ความนาจะเปนของเหตการณทผลรวมของแตม เทากบ 7


)E(n

= 36

6

= 0.17


ตวอยาง 15 ในการซอหวยใตดนเลขทาย 3 ตว หมายเลขละ 1 บาท ถาซอถกจะไดรางวล 500 บาท

1) จงหาปรภมตวอยาง

2) จงหาจานวนสมาชกของเหตการณทจะถกรางวลในแตละงวด

3) จงหาความนาจะเปนของเหตการณทจะถกรางวลในแตละงวด

วธทา

1) ให S แทน ปรภมตวอยาง

จะได S = {000 , 001 , 002 , 003 , 004 , ….. , 999}

n(S) = 1,000

2) ให E แทน เหตการณทจะถกรางวลในแตละงวด

ในแตละงวดจะมเลขทาย 3 ตวทถกรางวล 1 หมายเลข

n(E) = 1

3) ให P(E) แทน ความนาจะเปนของเหตการณทจะถกรางวลในแตละงวด


)E(n

= 000,1

1

= 0.001

การประยกตใชโปรแกรมสาเรจรปทางสถต

ในปจจบนการวเคราะหขอมลนยมใชโปรแกรมสาเรจรปทางสถต ไดแก โปรแกรม SPSS

for Windows หรอโปรแกรม Microsoft Excel ในทนจะนาเสนอการวเคราะหขอมลโดยใช

โปรแกรม Microsoft Excel เทานน


ตวอยาง 16 ในการสารวจความคดเหนของนกศกษาในสถาบนแหงหนงโดยใชแบบสอบถาม

ลกษณะดงตอไปน

1. เพศ (V1)

1. ชาย 2. หญง

2. สถานทอยขณะทเรยน (V2)

1. อยกบบดามารดา 2. หอพกพกในสถาบน 3. อยหอพกเอกชน

3. อาชพของบดา-มารดา (V3)

1. เกษตรกร 2. คาขาย 3. รบราชการ 4. อนๆ (โปรดระบ)..........

4. เกรดเฉลยสะสม (V5) เทากบ ……………………….

5. เวลาทใชอานหนงสอตอสปดาห (V6) ………………..ชวโมง

6. ความคดเหนของทานตอปญหาภายในสถาบนในดานตางๆ

ดาน

ระดบปญหา

มากทสด

(5)

มาก

(4)

ปานกลาง

(3)

นอย

(2)

นอยทสด

(1)

1. หองเรยน (V6-1)

2. สภาพถนน (V6-2)

3. อาจารยผสอน (V6-3)

4. อปกรณการเรยน (V6-4)

5. การแตงกาย (V6-5)


ขอมลทเกบรวบรวมไดนามาแปลงเปนตวเลข (Coding) เปนดงน

คนท V1 V2 V3 V4 V5 V6-1 V6-2 V6-3 V6-4 V6-5

1 1 3 1 2.50 3 1 4 2 4 4

2 1 2 2 3.45 10 2 5 3 4 2

3 2 2 1 2.80 5 3 5 2 2 2

4 1 3 1 3.15 6 1 4 4 3 5

5 2 2 2 3.10 5 4 5 3 1 2

6 1 3 4 2.25 1 1 4 4 4 4

7 1 2 3 3.70 12 2 4 2 4 1

8 2 3 2 2.85 8 4 5 5 2 3

9 1 3 3 2.10 0 1 5 4 4 3

10 1 1 2 2.75 2 1 4 4 2 3

11 2 2 3 3.65 8 5 5 2 2 4

12 1 1 2 2.50 4 3 5 2 5 2

13 2 3 1 2.60 3 3 4 3 2 2

14 2 3 1 3.25 5 4 4 4 2 4

15 1 2 1 2.13 1 1 5 2 4 4

1. จงแจกแจงความถของขอมลจาแนกตามเพศ ทอยอาศยขณะทเรยน และอาชพบดา-มารดา

2. จงหาคา คาตาสด คาสงสด คาเฉลย และสวนเบยงเบนมาตรฐานของเกรดเฉลย และ เวลาท

ใชอานหนงสอ

3. จงหาคาเฉลย สวนเบยงเบนมาตรฐานและแปลความหมายของคาเฉลยของความคดเหนใน

ปญหาดานตาง ๆ


วธทา

การเตรยมขอมลเพอการวเคราะหโดยใชโปรแกรม Microsoft Excel


1. การแจกแจงความถของขอมลจาแนกตามเพศ ทอยอาศยขณะทเรยน อาชพบดา-มารดา

เลอกคาสง แทรกฟงกชน หรอ fx / เลอกประเภท : ทางสถต / เลอกฟงกชน : COUNTIF


ผลการวเคราะหขอมลโดยใชโปรแกรม Microsoft Excel


การนาเสนอขอมลเปนดงน


1. เพศ

ชาย 9 60.00

หญง 6 40.00

2. ทอยอาศยขณะทเรยน

อยกบบดามารดา 2 13.33

อยหอพกในสถาบน 6 40.00

อยหอพกเอกชน 7 46.67

3. อาชพบดา-มารดา

เกษตรกร 6 40.00

คาขาย 5 33.33

รบราชการ 3 20.00

อน ๆ 1 6.67

จากตารางพบวา กลมตวอยางทตอบแบบสอบถามจานวน 15 คน สวนใหญเปนเพศชาย

รอยละ 60.00 อยหอพกเอกชน รอยละ 46.67 บดา-มารดาอาชพเกษตรกร รอยละ 40.00

2. คาตาสด คาสงสด คาเฉลย และสวนเบยงเบนมาตรฐานของเกรดเฉลย และเวลาทใชอานหนงสอ

- การหาคาตาสดใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : MIN

- การหาคาสงสดใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : MAX

- การหาคาเฉลยใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : AVERAGE

- การสวนเบยงเบนมาตรฐานใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : STDEV


การวเคราะหขอมลโดยใชโปรแกรม Microsoft Excel



รายการ min max X S.D.

เกรดเฉลยสะสม 2.10 3.70 2.85 0.52

เวลาทใชอานหนงสอ 0 12 4.87 3.46

จากตารางพบวา กลมตวอยางทตอบแบบสอบถามจานวน 15 คน มเกรดเฉลยสะสมโดย

เฉลย 2.85 และเวลาทใชอานหนงสอโดยเฉลย 4.87 ชวโมง

3. คาเฉลย สวนเบยงเบนมาตรฐานและแปลความหมายของคาเฉลยของความคดเหนในดานตาง ๆ

- การหาคาเฉลยใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : AVERAGE

- การสวนเบยงเบนมาตรฐานใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : STDEV

การวเคราะหขอมลโดยใชโปรแกรม Microsoft Excel




ดาน x S.D. ความหมาย

1. หองเรยน 2.40 1.40 นอย

2. สภาพถนน 4.53 0.52 มากทสด

3. อาจารย 3.07 1.03 ปานกลาง

4. อปกรณ 3.00 1.20 ปานกลาง

5. การแตงกาย 3.00 1.13 ปานกลาง

จากตาราง กลมตวอยางทตอบแบบสอบถามจานวน 15 คน มความคดเหนเกยวกบปญหา

ภายในสถาบนพบวามปญหามากทสดในดานสภาพถนน ( x =4.53) และมปญหานอยในดาน

หองเรยน ( x = 2.40) สวนดานอน ๆ มปญหาปานกลาง



1. การวจยเรองการศกษาคาเฉลยความพงพอใจเกยวกบเงนเดอนและคาตอบแทนอนๆ ของ

ขาราชการครสงกดกระทรวงศกษาธการ โดยมการเกบรวบรวมขอมลจากขาราชการครสงกด

กระทรวง

ศกษาธการ จานวน 384 คน พบวาคาเฉลยของรายไดเทากบ 19,833.33 บาท


1.1 คาเฉลยความพงพอใจเกยวกบเงนเดอนและคาตอบแทนอนๆ ของขาราชการครสงกด

กระทรวงศกษาธการ เรยกวา ..........................................................................

1.2 ขาราชการครสงกดกระทรวงศกษาธการ เรยกวา ............................................................

1.3 ขาราชการครสงกดกระทรวงศกษาธการจานวน 384 คน เรยกวา ...................................

1.4 คาเฉลยของรายไดเทากบ 19,833.33 บาท เรยกวา ...........................................................

2. จงบอกประเภทและมาตรการวดทสงสดของขอมลตอไปน

ขอมล ประเภทของขอมล มาตราการวดทสงสด

1. เพศ …………………………. ………………………….

2. อาย(ป) …………………………. ………………………….

3. อาชพ …………………………. ………………………….

4. คะแนน …………………………. ………………………….

5. รายได(บาท) …………………………. ………………………….

6. รายจาย(3 ระดบ) …………………………. ………………………….

7. สญชาต …………………………. ………………………….

8. อณหภม …………………………. ………………………….

9. เกรดเฉลยสะสม …………………………. ………………………….

10. คะแนนความคดเหนแบบมาตรการ

ประเมน(Rating Scale)

………………………….

………………………….


3. จานวนนกทองเทยวจากประเทศกลมอาเซยนทเดนทางเขามาในประเทศไทย พ.ศ. 2555 – 2556

สญชาต 2555 2556 อตราเพม

บรไน 10,459 14,304 36.76%

กมพชา 423,642 468,366 10.56%

อนโดนเซย 447,820 589,079 …….%

ลาว 975,999 1,106,080 13.33%

มาเลเซย 2,544,397 …………… 17.29%

พมา 129,385 172,374 ……..%

ฟลปปนส 289,566 326,245 12.67%

สงคโปร 831,215 936,477 12.66%

เวยดนาม 618,670 ……………. 27.26%


3.1 นกทองเทยวจากประเทศอนโดนเซยเพมขนกเปอรเซนต

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

3.2 นกทองเทยวจากประเทศมาเลเซยในป 2556 มจานวนกคน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

3.3 อตราสวนนกทองเทยวจากประเทศกมพชาตอประเทศมาเลเซยในป 2555 เทากบเทาใด


………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

4. ขอมลของประชากรหนงเปนดงน 4 7 1 3 2 4 6 8

จงหา

4.1 คาเฉลย

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

4.2 มธยฐาน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

4.3 ฐานนยม


………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

4.4 พสย

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

4.5 สวนเบยงเบนมาตรฐาน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

4.6 ความแปรปรวน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


5. สมสารวจคะแนนการสอบของนกศกษา 9 คน จากนกศกษาทงหมดผลเปนดงน

9 6 10 8 7 5 6 4 3

จงหา

5.1 คาเฉลยเลขคณต

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

5.2 มธยฐาน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

5.3 ฐานนยม

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………..


5.4 พสย

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

5.5 สวนเบยงเบนมาตรฐาน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

5.6 ความแปรปรวน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………...

6. ในการสารวจความคดเหนของนกศกษาในสถาบนแหงหนงโดยใชแบบสอบถามลกษณะ

ดงตอไปน

1. เพศ (V1)

1. ชาย 2. หญง

2. สถานทอยขณะทเรยน (V2)

1. อยกบบดามารดา 2. หอพกพกในสถาบน 3. อยหอพกเอกชน

3. เกรดเฉลยสะสม (V3) เทากบ ……………………….

4. เวลาทใชอานหนงสอ (V4) ………………..ชวโมง

5. ความคดเหนของทานตอปญหาภายในสถาบนในดานตาง ๆ


ระดบความคดเหน

มากทสด

(4)

มาก

(3)

นอย

(2)

นอยทสด

(1)

1. หองเรยน (V5-1)

2. สภาพถนน (V5-2)

3. อาจารยผสอน (V5-3)

4. อปกรณการเรยน (V5-4)

5. การแตงกาย (V5-5)

ขอมลทเกบรวบรวมไดนามาแปลงเปนตวเลข (Coding) เปนดงน

ท V1 V2 V3 V4 V5-1 V5-2 V5-3 V5-4 V5-5

1 1 3 2.50 3 1 4 2 4 4

2 1 2 3.45 10 2 4 3 4 2

3 2 2 2.80 5 3 4 2 2 2

4 1 3 3.15 6 1 4 4 3 4

5 2 2 3.10 5 4 3 3 1 2

6 1 3 2.25 1 1 4 4 4 4

7 1 2 3.70 12 2 4 2 4 1

8 2 3 2.85 8 4 4 4 2 3

9 1 3 2.10 0 1 4 4 4 3

10 1 1 2.75 2 1 4 4 2 3

11 2 2 3.65 8 4 4 2 2 4

12 1 1 2.50 4 3 4 2 3 2

13 2 3 2.60 3 3 4 3 2 2


จงเตมผลการวเคราะหขอมลในตารางตอไปน

ตารางท 1 ขอมลทวไปของผตอบแบบสอบถาม


1. เพศ

ชาย ……… ………

หญง ……… ………

2. ทอยอาศยขณะทเรยน

อยกบบดามารดา ……… ………

อยหอพกในสถาบน ……… ………

อยหอพกเอกชน ……… ………

จากตารางพบวา

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


ตารางท 2 ขอมลเกยวกบเวลาทใชอานหนงสอ

รายการ min max x s

เวลาทใชอานหนงสอ

…….

……..

……..

………

จงแสดงวธหาคา x และ s ของเวลาทใชอานหนงสอ

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………..……………………………………………………………………………

…………………………………….………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…….…..………………………..……………………………………………………………………

……….……………………………..………………………………………………………………


ตารางท 3 คาเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานของความคดเหนในปญหาดานตาง ๆ

ดาน x s ความหมาย

1. หองเรยน ……. …….. ………………..

2. สภาพถนน ……. …….. ………………..

3. อาจารย ……. …….. ………………..

4. อปกรณ ……. …….. ………………..

5. การแตงกาย ……. …….. ………………..

จากตารางพบวา

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

จงแสดงวธหาคา x และ s พรอมทงแปลความหมายของความคดเหนปญหาดานหองเรยน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………………….


(ปญหาดานอนๆ ใหหาโดยใชโปรแกรม Microsoft Excel )

7. ในการโยนเหรยญ 3 อน 1 ครง

จงหา

7.1 ปรภมตวอยาง

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

7.2 เหตการณทเหรยญขนหวอยางนอย 1 อน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

7.3 ความนาจะเปนทเหรยญจะขนหวอยางนอยหนงเหรยญ

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


8. กลองใบหนงบรรจหลอดไฟ 5 หลอด ในจานวนนเปนหลอดด 3 หลอด หลอดเสย 2 หลอด ถา

สมหยบหลอดไฟมา 2 หลอด

จงหา

8.1 ปรภมตวอยาง

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

8.2 เหตการณทจะไดหลอดเสยอยางนอย 1 หลอด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

8.3 ความนาจะเปนทจะไดหลอดเสยอยางนอย 1 หลอด

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………………….



สพล ดรงควฒนา. (2537). การวเคราะหเชงสถต : การวเคราะหความถดถอย. กรงเทพมหานคร:

จฬาลงกรณมหา วทยาลย,2537.

สม จ ต ว ฒ น า ช ย า ก ล . (2527). ก า ร ว เ ค ร า ะ ห ขอ ม ล เ ช ง ส ถ ต . ก ร ง เ ท พ ม ห า น ค ร :

มหาวทยาลยธรรมศาสตร.

สรชย พศาลบตร. (2542). สถตธรกจ. กรงเทพมหานคร : จฬาลงกรณมหาวทยาลย

อจฉรย จนทลกขณา. (2543). หลกสถตเพอการวเคราะหขอมลท วไป. กรงเทพมหานคร:

มหาวทยาลยเกษตรศาสตร.


บรรณานกรม

กรมสรรพากร. (2556) . มารจก ภาษมลคาเพม กนกอนดมย. กรงเทพมหานคร : กรมสรรพากร





การคานวณดอกเบย.สบคนเมอ 1 มถนายน 2557, จาก http://www. .or.th/th/serviceunderbot

การใหเหตผล.สบคนเมอ 4 พฤษภาคม 2557, จาก http://www. thaigoodview.com/node/18026

การใหเหตผล.สบคนเมอ 4 พฤษภาคม 2557, จาก ttp://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?

คณตศาสตรในชวตประจาวน.สบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://goo.gl/XQblon

คณตศาสตรในชวตประจาวน.สบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://goo.gl/K9NeYG

ดอกเบย.สบคนเมอ 30 พฤษภาคม 2557, จาก http://www.bot.or.th

นพพร ธนะชยขนธ. (2543). คณตศาสตรพนฐาน. เชยงราย : คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

มหาวทยาลยราชภฏเชยงราย.

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา.สบคนเมอ 14 พฤษภาคม 2557, จาก http://www.rd.go.th/publish/309.0.

html

ภาษมลคาเพม.สบคนเมอ 14 พฤษภาคม 2557, จาก http://www.rd.go.th/publish/307.0.html

ศรจนทร เวสารชศาสตร (2549). คณตศาสตรพนฐาน.กรงเทพฯ : คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

มหาวทยาลยธรรมศาสตร

สโขทยธรรมาธราช สาขาวชานตศาสตร. (2546). เอกสารการสอนชดวชา กฏหมายภาษอากร 1

หนวยท 1 – 7 . กรงเทพมหานคร : มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช.

สโขทยธรรมาธราช สาขาวชานตศาสตร. (2546). เอกสารการสอนชดวชา กฏหมายภาษอากร 1

หนวยท 8 – 15 . กรงเทพมหานคร : มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช.

สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย,สถาบน. (2553). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน

คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตร

สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย,สถาบน. (2552). หนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐาน


คณตศาสตร เลม 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 3 ตามหลกสตร

สพล ดรงควฒนา. (2537). การวเคราะหเชงสถต : การวเคราะหความถดถอย. กรงเทพมหานคร

จฬาลงกรณมหา วทยาลย,2537.

สมจต ว ฒน าชยา กล. (2527). การ ว เคร าะหขอมลเ ชงสถ ต . ก รง เ ทพมห านคร :

มหาวทยาลยธรรมศาสตร.

สรชย พศาลบตร. (2542). สถตธรกจ. กรงเทพมหานคร : จฬาลงกรณมหาวทยาลย

สมการและอสมการสบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก htttp://math .snru.ac.th/UserFiles/File/ma

th @snru/... - /.../unit .doc

สมการและอสมการสบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://th.wikipedia.org/wiki/สมการ

สมการและอสมการสบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://home.kku.ac.th/wattou/service/m12

3/03.pdf

สมการและอสมการสบคนเมอ 1 มถนายน 2557, จาก https://sites.google.com/site/mathgang2m3/3

หลงสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.

ลาดพราว.

หลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544. กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.ลาดพราว.

อจฉรย จนทลกขณา. (2543). หลกสถตเพอการวเคราะหขอมลท วไป. กรงเทพมหานคร :

มหาวทยาลยเกษตรศาสตร.

อตราดอกเบย.สบคนเมอ 1 มถนายน 2557, จาก https://www.tmbbank.com

Kellison, Stephen G. (1970). The Theory of Interest. Richard D. Irwin, Inc. Library of Congress

Catalog Card No. 79-98251.

Leonhardy, A. (1960). College Algebra. Missouri : John Wiley & Sons.

Lipschuyz, S. & Hall, G. G. (1966). Finite Mathematics. New York : McGraw – Hill Book

Company.


คณะผจดทา

แบบเรยนบทท

รศ.ดร.นพพร ธนะชยขนธ


อาจารยวทยา พลสวสด


อาจารยจารวรรณ ศรนภาดล


อาจารย ดร.ธญวรชญ บตรสาร


อาจารยธนายทธ ชางเรอนงาม


ผศ. มน สมเพชร

ผประสานงานรายวชา GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน

อาจารย ดร.สฤทธพร วทยผดง

Documents

GEN1101 คณิตศาสตร์ในชีวิตประจําวัน Mathematics for Daily Lifereg2.crru.ac.th/reg/files/20160111014803_1edd1e5c01753775ae80c3d25e73e... ·