View
15
Download
4
Category
Preview:
DESCRIPTION
hidrobilanca predavanja fhfh fhgjdgdhk xhgfkhgk fgkhjdfh,jv xhv
Citation preview
1
Primena verovatnoPrimena verovatnoćće i statistike e i statistike u hidrologijiu hidrologiji
Vodoprivredni sistemi/hidrotehničke mere se planiraju i projektuju za određene događaje u budućnosti za koje se ne zna kada će se dogoditi – zato se pri planiranju mora naznačiti verovatnoća da će se takav događaj dogoditi
verovatnoća da će se na prelivu brane javiti protok jednak ili veći od onog na koji je preliv projektovanveroatnoća da će nivo vode u reci (u određenom profilu) prevazići kotu krune nasipaverovatnoća da će vodozahvat (za industriju, navodnjavanje ili HE) ostati na suvom, tj. da će nivo vode u reci pasti ispod kote vodozahvataverovatnoća da će protok u reci pasti ispod granice biološkog minimuma za određenu vrstu ribaitd.
Primena verovatnoPrimena verovatnoćće i statistike e i statistike u hidrologijiu hidrologiji
Hidrološki procesi odvijaju se u prostoru i vremenu delom predvidivo (deterministički)delom nepredvidivo (slučajno, stohastički)
Čisto slučajan proces: jedan podatak osmatranja ne zavisi od prethodnih ili narednih osmatranja – pogodno za ekstremne hidrološke pojave (velike/male vode)
Statistički modeli u hidrologijimodeli verovatnoće pojave hidroloških ekstremaregresioni modeli (veze između dve ili više promenljivih)
2
StatistiStatističčka analiza hidroloka analiza hidrološških ekstremakih ekstrema
Hidrološki ekstremi (velike/male vode) dešavaju se relativno retko (u poređenju sa neekstremnim događajima)mogu se posmatrati kao slučajni događajiveličina (“jačina”) ekstrema povezuje se verovatnoćom pojave
što je veći ekstrem, manja je verovatnoća njegovog prevazilaženja
veličina ekstremaX
verovatnoća pojaveP
StatistiStatističčka analiza hidroloka analiza hidrološških ekstremakih ekstrema
Veza između veličine ekstrema i verovatnoće = raspodela verovatnoće
veličina ekstremaX
verovatnoća pojaveP
raspodela verovatnoće
3
StatistiStatističčka analiza hidroloka analiza hidrološških ekstremakih ekstrema
Cilj statističke analize: pronaći raspodelu verovatnoće (“model”) koja dovoljno dobro opisuje vezu X-P u osmotrenom nizu podatakauz pomoć odabrane raspodele, odrediti:
verovatnoću pojave zadatog ekstrema, P(X)veličinu ekstrema zadate verovatnoće pojave, X(P)
veličina ekstremaX
verovatnoća pojaveP
raspodela verovatnoće
StatistiStatističčka analiza hidroloka analiza hidrološških ekstremakih ekstrema
Rezultati statističke analize koriste se za: projektovanje objekata i sistema za zaštitu od poplava
analiza maksimalnih protoka, nivoa vode, kiša
analizu dugotrajnih sušnih perioda za potrebe vodosnabdevanja ili poljoprivrede
analiza minimalnih protoka, maksimalnih beskišnih perioda
analize kvaliteta voda i garantovanih ekoloških protokaanaliza minimalnih protoka
4
Osnovni pojmovi iz verovatnoOsnovni pojmovi iz verovatnoććee
Slučajna promenljiva veličina koja se ponaša po nekom zakonu verovatnoće, tj. uzima određene vrednosti sa nekom verovatnoćom
Ishodi ili realizacije vrednosti koje uzima slučajna promenljiva
Skup svih mogućih ishodaoblast definisanosti slučajne promenljive
Slučajni događajpodskup skupa svih mogućih ishoda
Osnovni pojmoviOsnovni pojmovi
Primer:Visina kiše kao slučajna promenljiva XSkup svih mogućih ishoda: 0 ≤ X < ∞
X0 10 20 30 40 50 60
Skup svih mogu ih ishodać
5
Osnovni pojmoviOsnovni pojmovi
Primer:Visina kiše kao slučajna promenljiva XSkup svih mogućih ishoda: 0 ≤ X < ∞Ishodi ili realizacije (osmatranja): X = 52 mm
X0 10 20 30 40 50 60
Jedan ishod
X0 10 20 30 40 50 60
Doga > 20đaj X
Osnovni pojmoviOsnovni pojmovi
Primer:Visina kiše kao slučajna promenljiva XSkup svih mogućih ishoda: 0 ≤ X < ∞Ishodi ili realizacije (osmatranja): X = 52 mmSlučajni događaj: X > 20 mm
6
X0 10 20 30 40 50 60
Doga < 10đaj X
Osnovni pojmoviOsnovni pojmovi
Primer:Visina kiše kao slučajna promenljiva XSkup svih mogućih ishoda: 0 ≤ X < ∞Ishodi ili realizacije (osmatranja): X = 52 mmSlučajni događaj: X > 20 mm, X ≤ 10 mm
X0 10 20 30 40 50 60
Doga aj 30 < < 60đ X
Osnovni pojmoviOsnovni pojmovi
Primer:Visina kiše kao slučajna promenljiva XSkup svih mogućih ishoda: 0 ≤ X < ∞Ishodi ili realizacije (osmatranja): X = 52 mmSlučajni događaj: X > 20 mm, X ≤ 10 mm, 30 ≤ X ≤ 60 mm
7
Osnovni pojmoviOsnovni pojmovi
Slučajne promenljive:prekidne ili diskretne: skup svih mogućih ishoda = skup celih brojeva
broj dana u godini sa kišom većom od 10 mmbroj dana u godini sa temperaturom ispod 0oCbroj talasa velikih voda u godini sa maksimalnim protokom većim od neke vrednosti
neprekidne ili kontinualne: skup svih mogućih ishoda = skup realnih brojeva
visina kiševodostaj (nivo vode)protokzapremine talasa velikih vodanivo podzemnih voda
Zakon raspodele verovatnoZakon raspodele verovatnoććee
Ishodi ili realizacije i događaji se dešavaju sa određenom verovatnoćom, prema RASPODELI VEROVATNOĆE
Raspodela verovatnoće za diskretnu slučajnu promenljivu
1
}{
:
321
3
3
2
2
1
1
==+++
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∑i
i
ii
pppp
xXPp
px
px
px
X
K
K
8
Zakon raspodele verovatnoZakon raspodele verovatnoćće za e za diskretnu sludiskretnu sluččajnu promenljivuajnu promenljivu
Primer:
bacanje novčića
bacanje kocke
ocena na ispitu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛5.05.0
:GP
X
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛6/1
66/1
56/1
46/1
36/1
26/1
1:X
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛05.0
1012.09
25.08
18.07
10.06
30.05
:X
Zakon raspodele verovatnoZakon raspodele verovatnoćće za e za diskretnu sludiskretnu sluččajnu promenljivuajnu promenljivu
Grafički prikazocena na ispitu
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
5 6 7 8 9 10
ocena na ispitu
vero
vatn
oća
9
Zakon raspodele verovatnoZakon raspodele verovatnoćće za e za diskretnu sludiskretnu sluččajnu promenljivuajnu promenljivu
Primer događajaocena na ispitu
verovatnoća da se padne ispit: P{X = 5} = 0.30verovatnoća da se položi ispit: P{X > 5} = P{X ≥ 6} = P{X = 6 ili X = 7 ili X = 8 ili X = 9 ili X = 10} =P{X = 6} + P{X = 7} + P{X = 8} + P{X = 9} + P{X = 10} =0.10 + 0.18 + 0.25 + 0.12 + 0.05 = 0.70iliP{X ≠ 5} = 1 – P{X = 5} = 1 – 0.30 = 0.70verovatnoća za odličnu ocenu:P{X ≥ 9} = P{X = 9} + P{X = 10} =0.12 + 0.05 = 0.17
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
5 6 7 8 9 10
ocena na ispitu
vero
vatn
oća
Zakon raspodele verovatnoZakon raspodele verovatnoććee
Raspodela verovatnoće za kontinualnu slučajnu promenljivu
funkcija gustine verovatnoće f(x)
funkcija raspodele verovatnoće F(x)
0
x
x
f x( )
F x( )
F x( )
x
x
1
F(x) = P{X ≤ x}
1)( =∫∞
∞−duuf
∫∞−
=≤=x
duufxXPxF )(}{)(
10
Zakon raspodele verovatnoZakon raspodele verovatnoććee za za kontinualnu slukontinualnu sluččajnu promenljivuajnu promenljivu
Verovatnoće događaja
P{X ≤ x} = F(x)
0
x
x
f x( )
F x( )
F x( )
x
x
1
P{X ≤ x} = F(x)
Zakon raspodele verovatnoZakon raspodele verovatnoććee za za kontinualnu slukontinualnu sluččajnu promenljivuajnu promenljivu
Verovatnoće događaja
P{X > x} = 1 – P{X ≤ x} = 1 – F(x)
x
f x( )
x
0 x
F x( )
F x( )
1 - ( )F x
x
1
P{X > x} = 1 – F(x)
11
Zakon raspodele verovatnoZakon raspodele verovatnoććee za za kontinualnu slukontinualnu sluččajnu promenljivuajnu promenljivu
x
f x( )
x2
x2
x1
x10 x
F x( )
F x( )1
F x( )2
F x( ) - 2 F x( )1
1
Verovatnoće događaja
P{x1 < X < x2} = = 1 – P{X < x1} – P{X > x2} = = 1– P{X > x2} – P{X < x1} = = P{X < x2} – P{X < x1} = F(x2) – F(x1)
P{x1 < X < x2} = F(x1) – F(x2)
Zakon raspodele verovatnoZakon raspodele verovatnoććee za za kontinualnu slukontinualnu sluččajnu promenljivuajnu promenljivu
Primer:eksponencijalna raspodela:
xxux
ux
x
eedueduufxXPxF
xexf
−−−
−
−=−===≤=
≥=
∫∫ 1)(}{)(
0,)(
000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
x
f(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7
x
F(x
)
000.1050.0085.0233.0632.0}3{}32{}21{}1{
050.011)3(1}3{
085.0050.0135.011)2()3(}32{
233.0135.0368.011)1()2(}21{
632.0368.011)1(}1{
3
23
12
1
=+++==>+<<+<<+≤
=+−=−=>
=−==+−−=−=<<
=−==+−−=−=<<
=−=−==≤
−
−−
−−
−
XPXPXPXP
eFXP
eeFFXP
eeFFXP
eFXP
12
Osobine raspodela verovatnoOsobine raspodela verovatnoććee
Momenti raspodelemomenti oko koordinatnog početka
momenti oko sredine
∫∞
∞−=μ dxxfx r
r )('
∫∞
∞−μ−=μ dxxfx r
r )()(
Osobine raspodela verovatnoOsobine raspodela verovatnoććee
Mere centralne tendencije
srednja vrednost težište gustine raspodele:
iz uzorka:
medijana:
∫∞
∞−=μ=μ dxxfx )('1
∑=
=N
iix
Nx
1
1
5.0)()()( === ∫∫∞
∞− Me
MedxxfdxxfMeF
x
f x( )
Me x
f x( )
0.50.5
μ
13
Osobine raspodela verovatnoOsobine raspodela verovatnoććee
Mere odstupanja od srednje vrednostidisperzija (varijansa):
iz uzorka:
standardna devijacija:
koeficijent varijacije:
∫∞
∞−μ−=σ=μ dxxfx )()( 22
2
∑=
−−
=N
ii xx
NS
1
22 )(1
1
∑=
−−
=N
ii xx
NS
1
2)(1
1
x
f x( )
μ
malo σ
veliko σ
μσ
=vCxScv =
Osobine raspodela verovatnoOsobine raspodela verovatnoććee
Asimetrija raspodele
treći momenat:
koeficijent asimetrije:
iz uzorka:
∫∞
∞−μ−=μ dxxfx )()( 3
3
∑=
−−−
=N
iis xx
SNNNc
1
33 )(1
)2)(1(
μ
33
σ
μ=sC
x
f x( )
pozitivna asimetrijaCs > 0
negativnaasimetrijaCs < 0
14
NaNaččin izrain izražžavanja veze Xavanja veze X--PP
vrednost slučajne promenljive
x
VEROVATNOĆA:
funkcija raspodele ili verovatnoća neprevazilaženja
F(x) = P{X ≤ x}
verovatnoća prevazilaženja P{X > x} = 1 – F(x)
velike vode (maksimumi)P{X ≤ x} = F(x) → obezbeđenostP{X > x} = 1 – F(x) → rizik, neobezbeđenost
male vode (minimumi)P{X ≤ x} = F(x) → rizik, neobezbeđenostP{X > x} = 1 – F(x) → obezbeđenost
Povratni periodPovratni periodDefiniše se kao recipročna vrednost verovatnoće kritičnog događaja
predstavlja način izražavanja verovatnoće kritičnog događajapredstavlja prosečan broj godina između dva prevazilaženja vrednostiizražava se u godinama
velike vode (maksimumi)primer: T(200 m3/s) = 50 god. znači da će se protok od 200 m3/s prevazići jednom u 50 godina (odnosno sa verovatnoćom 1/50 = 0.02 = 2%)
male vode (minimumi)primer: T(0.4 m3/s) = 20 god. znači da će se protok manji od 0.4 m3/s javiti jednom u 20 godina (odnosno sa verovatnoćom 1/20 = 0.05 = 5%)
)(11
}{1)(
xFxXPxT
−=
>=
)(1
}{1)(
xFxXPxT =
≤=
15
StatistiStatističčka analiza hidroloka analiza hidrološških ekstrema kih ekstrema
Uslovi koje hidrološki nizovi ekstrema moraju da ispune:
nezavisni podaci (slučajnost)jednako raspoređeni, “istorodni” (homogenost)
Smatra se da uzorci formirani od vrednosti godišnjih ekstrema u opštem slučaju ispunjavaju ove uslove
Ispunjavanje uslova proverava se pomoću odgovarajućih statističkih testova
StatistiStatističčka analiza hidroloka analiza hidrološških ekstrema kih ekstrema
Vrste hidroloških nizova:1. Nizovi godišnjih ekstrema
godišnji minimumi (male vode)godišnji maksimumi (velike vode, padavine)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1.1.1998. 1.1.1999. 1.1.2000. 31.12.2000.
Q (m
3 /s)
Dunav, Bezdan
16
StatistiStatističčka analiza hidroloka analiza hidrološških ekstrema kih ekstrema
Vrste hidroloških nizova:2. Nizovi prekoračenja iznad/ispod praga (POT metoda)
Za N godina:1) niz brojeva prekoračenja u godini dana n1, n2, ..., nN (ukupan broj prekoračenja M;
prosečan broj prekoračenja godišnje Λ = M/N)2) niz prekoračenja Z1, Z2, ..., ZM3) niz godišnjih maksimuma X1, X2, ..., XN
n 1 = 5
Z 2
Z 3
Z 1
Z 5
Z 4
x B
Z 6
Z
n 2 = 4 n 3 = 3 ... n N = 4godina 1 godina 2 godina 3 godina N
Z = X - x B
X 1
X 2
X 3
X
StatistiStatističčka analiza velikih vodaka analiza velikih voda
Vrste hidroloških nizova:2. Nizovi prekoračenja iznad/ispod praga (POT metoda)
Postupak proračuna:
najveće prekoračenjeχ(t) = max { Z1, Z2, ..., Zη(t) }
broj prekoračenjaη(t)
prekoračenjaZ1, Z2, ..., Zη(t)
raspodela:P{ η(t) = n }
raspodela:Hi(z) = P{ Zi ≤ z }
raspodela:F(z;t) = P{ χ(t) ≤ z }
17
StatistiStatističčka analiza hidroloka analiza hidrološških ekstrema: kih ekstrema: postupak postupak
PRILAGOĐAVANJE teorijskih raspodela osmotrenim podacimaformiranje EMPIRIJSKE RASPODELE >>>proračun parametara TEORIJSKIH RASPODELA >>>TESTIRANJE SAGLASNOSTI empirijske i teorijskih raspodela >>>IZBOR najbolje raspodele >>>
F
x
F
x
osmotreni podaci –EMPIRIJSKA RASPODELA
prilagođavanje –TEORIJSKA RASPODELA
Fe(x) F (x)
PRILAGOĐAVANJE teorijskih raspodela osmotrenim podacimaformiranje EMPIRIJSKE RASPODELE >>>proračun parametara TEORIJSKIH RASPODELA >>>TESTIRANJE SAGLASNOSTI empirijske i teorijskih raspodela >>>IZBOR najbolje raspodele >>>
StatistiStatističčka analiza hidroloka analiza hidrološških ekstrema: kih ekstrema: postupakpostupak
II. PRORAČUN teorijske raspodeleVEROVATNOĆE za zadatu vrednost, F(x)KVANTILA (vrednosti za zadatu verovatnoću), x(F)
F
x
proračun KVANTILA
F (x)
F
x
proračun VEROVATNOĆE
F (x)
x
Fx
xF
F
18
Empirijska raspodelaEmpirijska raspodela
Proračun empirijske funkcije raspodelepotrebno oceniti funkciju raspodele F(x) tj. verovatnoću P{X ≤ x}
kumulativna relativna frekvencija:
xk – k-ti podatak u nizu uređenom u rastući redosled
primer (N = 51):
nizuu podataka broj podataka broj
}{ kk
xNkxXP
≤==≤
k xk
1 2680
2 2996
3 3190
4 3310
5 3360
6 ...
098.0515}3360{}{ 5 ==≤=≤ XPxXP
Empirijska raspodelaEmpirijska raspodela
Kumulativna relativna frekvencija kao empirijska raspodela
k xk k / N
1 x1 = xmin
x2
x3
x4
x5
38 x38 38/40
39 x39 39/40
40 x40 = xmax 40/40 = 1
1/40
2 2/40
3 3/40
4 4/40
5 5/40
...
N = 40
1}{ max ==≤NNxXP
?0}{1}{ maxmax =≤−=> xXPxXP
sigurno će X biti manje od xmaxtj. nemoguće da X bude veće od xmax
19
Empirijska raspodelaEmpirijska raspodela
“Korekcija” kumulativne relativne frekvencije kao empirijska raspodela
k xk k – 1 / N
1 x1 = xmin
x2
x3
x4
x5
38 x38 37/40
39 x39 38/40
40 x40 = xmax 39/40
0/40 = 0
2 1/40
3 2/40
4 3/40
5 4/40
...
N = 40
00}{ min ==≤N
xXP
?1}{1}{ minmin =≤−=> xXPxXP
nemoguće je da X bude manje od xmintj. sigurno će X biti veće od xmin
Empirijska raspodelaEmpirijska raspodela
Kumulativna relativna frekvencija kao empirijska raspodela
x10.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0 F x( )
x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10x
NkxXP k =≤ }{
NkxXP k
1}{ −=≤
N = 10
“nešto između” = kompromisna verovatnoća“nešto između” = kompromisna verovatnoća
20
Empirijska raspodelaEmpirijska raspodela
Kompromisna verovatnoća po Hejzenu kao empirijska raspodela
k xk k – 0.5 / N
1 x1 = xmin
x2
x3
x4
x5
38 x38 37.5/40
39 x39 38.5/40
40 x40 = xmax 39.5/40
0.5/40
2 1.5/40
3 2.5/40
4 3.5/40
5 4.5/40
...
N = 40
0125.040
5.05.0}{ min ===≤N
xXP
NkxXP k
5.0}{ −=≤
0125.0}{1}{
9875.040
5.391}{
maxmax
max
=≤−=>
==−
=≤
xXPxXPN
NxXP
Empirijska raspodelaEmpirijska raspodela
Kompromisna verovatnoća po Vejbulu kao empirijska raspodela
k xk k / N + 1
1 x1 = xmin
x2
x3
x4
x5
38 x38 38/41
39 x39 39/41
40 x40 = xmax 40/41
1/41
2 2/41
3 3/41
4 4/41
5 5/41
...
N = 40
0244.0411
11}{ min ==+
=≤N
xXP
1}{
+=≤
NkxXP k
0244.0}{1}{
9756.04140
1}{
maxmax
max
=≤−=>
==+
=≤
xXPxXPN
NxXP
nazad >
21
Teorijske raspodele verovatnoTeorijske raspodele verovatnoćće e u hidrologijiu hidrologiji
Normalna i log-normalna raspodela
Gumbelova raspodela
Pirson III i log-Pirson III raspodela
nazad >
primer >
NormalnaNormalna raspodelaraspodela
gustina raspodele:
funkcija raspodele:
∞<<∞−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
σμ−
−πσ
= xxxf ,2
)(exp2
1)( 2
2
x
f(x)
μ
F(x)
x
1
0
duuxFx
∫∞−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
σμ−
−πσ
= 2
2
2)(exp
21)(
0.5
μ
22
NormalnaNormalna raspodelaraspodela
parametri:μ – srednja vrednost (μ = μ’1)σ – standardna devijacija (σ2 = μ2)
x
f(x)
μ
F(x)
x
1
0
0.5
μμ – parametar
lokacije
σ – parametarrazmere
σ1
σ2
σ1
σ2
NormalnaNormalna raspodelaraspodelaStandardna normalna raspodela
smena:
gustina i funkcija raspodele:
parametri:
σμ−
=xz
1,0 =σ=μ
z
φ(z)
0
Φ(z)
z
1
0
duuzz
∫∞−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
π=Φ
2exp
21)(
2
0.5
0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
π=ϕ
2exp
21)(
2zz
23
NormalnaNormalna raspodelaraspodela
važna osobina: simetričnost → Cs = 0
z
φ(z)
0
Φ(z)
z
1
0
0.5
0z–z
φ(–z)= φ(z)
z–z
Φ(–z)Φ(z)
1 – Φ(–z) = Φ(z)
1 – Φ(z) = Φ(–z)
NormalnaNormalna raspodelaraspodela
Veza između normalne i standardne normalne raspodele:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
σμ−
Φ=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
σμ−
≤=
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
σμ−
≤σμ−
=
=μ−≤μ−=≤=
xxZP
xXP
xXPxXPxF }{}{)(⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
σμ−
Φ=xxF )(
σμ−
=Φ=xzzxF ),()(
24
Normalna raspodelaNormalna raspodela
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
F = NORMSDIST(z)z = NORMSINV(F)
F = NORMSDIST(z)z = NORMSINV(F)
)()(TAB xFzFS
xxzx XZx
=⎯⎯ →⎯−
=→
xZX SzxxzzFxF ⋅+=→⎯⎯ →⎯= TAB)()(
xSx
=σ=μ
LogLog--normalna raspodelanormalna raspodela
Primena normalne raspodele na logaritmovane podatkeako slučajna promenljiva Y = log X prati normalnu raspodelu, tada X prati log-normalnu raspodeluparametri: srednja vrednost i standardna devijacija logaritmovanog niza
Veza sa standardnom normalnom raspodelomYY σμ ,
)(log}log{}10{}{)(
xFxYPxPxXPxF
Y
Y
=≤==≤=≤=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
σμ−
Φ==xxFxF Y
log)(log)(
σμ−
==Φ==yzxyzyFxF Y ,log),()()(
25
LogLog--normalna raspodelanormalna raspodela
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
F = NORMSDIST(z)z = NORMSINV(F)
F = NORMSDIST(z)z = NORMSINV(F)
yY
Y
Sy
=σ=μ
)()()(log TAB xFyFzFS
yyzxyx XYZy
==⎯⎯ →⎯−
=→=→
yyZX xSzyyzzFxF 10)()( TAB =→⋅+=→⎯⎯ →⎯=
Gumbelova raspodelaGumbelova raspodela
gustina raspodele:
funkcija raspodele:
inverzna funkcija raspodele:
drugi nazivi:dvostruko eksponencijalna raspodelaraspodela ekstremnih vrednosti I tipa
∞<<∞−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
α−
−−α−
−α
= xuxuxxf ,expexp1)(
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
α−
−−=uxxF expexp)(
)]lnln([)( FuFx −−α+=
26
Gumbelova raspodelaGumbelova raspodela
parametri:α – parametar razmereu – parametar lokacije
osobine:srednja vrednost μ(u,α)standardna devijacija σ(u,α)
koef. asimetrije Cs = 1.14
x
f(x)
u
α1
α2 > α1
u – parametarlokacije
α – parametarrazmere
απ
=σ
α+=μ
6
5772.0u
Gumbelova raspodelaGumbelova raspodela
Standardna Gumbelova raspodela
smena:
parametri:
gustina raspodele:
funkcija raspodele:
inverzna funkcija raspodele:
∞<<∞−=−−− yeeyg
yey ,)(
yeeyG−−=)(
)lnln()( GGy −−=
α = 1u = 0
α−
=uxy
Cs = 1.14
y
g(y)
0
27
GumbelovaGumbelova raspodelaraspodela
Veza između obične i standardne Gumbelove raspodele:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
α−
≤=
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
α−
≤α−
=
=−≤−=≤=
uxGuxYP
uxuXP
uxuXPxXPxF }{}{)(⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α−
=uxGxF )(
α−
==uxyyGxF ),()(
Gumbelova raspodelaGumbelova raspodela
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
F = EXP(–EXP(–y))y = –LN(–LN(F))
F = EXP(–EXP(–y))y = –LN(–LN(F))
x
x
SSxu
78.045.0
=α−=
)()( xFeyFuxyx Xe
Yy==→
α−
=→−−
α⋅+=→−−=→= yuxFyyFxF YX )lnln()()(
28
Familija gama raspodelaFamilija gama raspodelaDvoparametarska gama raspodela
gustina raspodele:
parametri:α – parametar oblikaβ – parametar razmere
0,)(
1)( /1
≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛βαΓβ
= β−−α
xexxf x
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
f(x)
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
f(x)
β = 1 α = 2
α = 1
α = 2
α = 4
β = 1
β = 2β = 4
Pirsonova raspodela III tipaPirsonova raspodela III tipa
Troparametarska gama raspodela
gustina raspodele:
parametri:α – parametar oblikaβ – parametar razmereγ – parametar lokacije
osobine:asimetrična; za Cs = 0 postaje normalna raspodelamomenti:
0,)(
1)( /)(1
≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛βγ−
αΓβ= βγ−−
−α
xexxf x
α=
αβ=σ
γ+αβ=μ
2sC
29
Pirsonova raspodela III tipaPirsonova raspodela III tipa
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
Csx > 0: F = GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(F,a,1)
Csx < 0: F = 1 – GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)
Csx > 0: F = GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(F,a,1)
Csx < 0: F = 1 – GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)
αβ−=γ⋅
=β=α xcS
csxx
sx
,2
,42
)( za TAB xFcS
xxKx Xsx
xP ⎯⎯⎯⎯ →⎯
−=→
xPPsx
X SKxxKcxF ⋅+=→⎯⎯⎯⎯ →⎯ za TAB)(
KP – faktorfrekvencije
LogLog--Pirson III raspodelaPirson III raspodela
Log-Pirson III raspodelaako slučajna promenljiva Y = log X prati Pirson III raspodelu, tada X prati log-Pirson III raspodeluprimena Pirson III raspodele na logaritmovane podatke
30
LogLog--Pirson III raspodelaPirson III raspodela
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
Csy > 0: F = GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(F,a,1)
Csy < 0: F = 1 – GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)
Csy > 0: F = GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(F,a,1)
Csy < 0: F = 1 – GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)
αβ−=γ⋅
=β=α ycS
csyy
sy
,2
,42
)()(log za TAB
xFyFc
SyyKxyx XY
sy
yP =⎯⎯⎯⎯ →⎯
−=→=→
yyPP
syX xSKyyK
cxF 10)(
za TAB=→⋅+=→⎯⎯⎯⎯ →⎯
TestiranjeTestiranje saglasnostisaglasnosti
Saglasnost empirijske i teorijske raspodeleempirijska raspodela Fe(x)teorijska raspodela Ft(x)
Test Kolmogorova-Smirnovakontrolna statistika Dmax = max |Ft(x) – Fe(x)|kriterijum:
Dmax < Dkr → raspodele su saglasneDmax > Dkr → raspodele nisu saglasne
Dkr zavisi od dužine uzorka N i praga značajnosti α, dato u tablicama
N α = 10% α = 5% α = 2% α = 1%
20 0.265 0.294 0.329 0.352
40 0.189 0.210 0.235 0.252nazad >
31
Izbor teorijske raspodeleIzbor teorijske raspodele
Izbor najbolje teorijske raspodelena osnovu primenljivosti teorijske raspodele
da li osobine teorijske raspodele odgovaraju osobinama uzorka (npr. asimetrija)
na osnovu testova saglasnosti emirijske i teorijske raspodelevizuelna provera na papiru verovatnoće
nazad >
Papiri verovatnoPapiri verovatnoććee
Verovatnoća u aritmetičkoj razmeri?
Kako “linearizovati” zavisnost F(x)?
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 200 400 600 800 1000
x
F(x
)
oblasti teškog očitavanja verovatnoće
32
Papiri verovatnoPapiri verovatnoććee
Standardizovane promenljive – jednoznačna veza između promenljive i verovatnoće
normalna raspodela: z – F(z)Gumbelova raspodela: y = –ln(–ln F)
Linearna veza između standardizovane i “originalne”promenljive
normalna raspodela: X = μ + σ ZGumbelova raspodela: X = u + α Y
Papir normalne verovatnoPapir normalne verovatnoććee
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
-3 -2 -1 0
0.5
0.5
2
0.3
0.7
0.1
0.9
0.01
0.99
0.001
0.999
0.7
0.3
0.9
0.1
10
0.99
0.01
100
0.999
0.001
1000
1 2 3
Standardizovana normalna promenljiva z
Sluč
ajna
pro
men
ljiva
x
Funkcija raspodele ( )F x
Verovatnoća prevazilaženja { > } = 1 ( ) = 1/P X x F x T-
Povratni period (godina)T
33
Papir Gumbelove verovatnoPapir Gumbelove verovatnoććee
Standardizovana Gumbelova promenljiva y
Sluč
ajna
pro
men
ljiva
x
Funkcija raspodele ( )F x
Verovatnoća prevazilaženja { > } = 1 ( ) = 1/P X x F x T-
Povratni period (godina)T
0
200
400
600
800
1000
1200
-2
0.001
-1
0.01
0.99
0
0.1
0.9
0.3
0.7
0.5
0.5
2
1
0.7
0.3
2
0.9
0.1
10
3 4 5
0.99
0.01
100
0.95
0.05
20
0.98
0.02
50
6 7
0.999
0.001
1000
0.998
0.002
500
0.995
0.005
200
Papir logPapir log--normalne verovatnonormalne verovatnoććee
10
100
1000
10000
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Standardna normalna promenljiva z
Prot
ok (m
3 /s)
osmotreni niz
LN raspodela
0.005 0.01 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.99 0.99
Funkcija raspodele F (x )
34
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Q (m
3 /s)
PrimerPrimerSava – Sremska Mitrovica
originalni niz X
logaritmovani niz Y = log X
broj podataka 51 51
srednja vrednost 4187 3.6147
standardna devijacija 781.3 0.07936
koeficijent varijacije 0.187 0.022
koeficijent asimetrije 0.623 0.196
PrimerPrimer
Proračun parametara raspodela
Normalna raspodela:
Log-normalna raspodela:
Gumbelova raspodela:
X Y = log X
broj podataka 51 51
srednja vrednost 4187 3.6147
standardna devijacija 781.3 0.07936
koeficijent asimetrije 0.623 0.196/sm3.781
/sm41873
3
==σ
==μ
xS
x
07936.06147.3
==σ==μ
yY
Y
Sy
/sm4.6093.78178.078.0
/sm38353.78145.0418745.03
3
=⋅=⋅=α
=⋅−=⋅−=
x
x
S
Sxu
35
PrimerPrimer
Proračun parametara raspodela
Pirson III raspodela:
Log-Pirson III raspodela:
X Y = log X
broj podataka 51 51
srednja vrednost 4187 3.6147
standardna devijacija 781.3 0.07936
koeficijent asimetrije 0.623 0.196
/sm1678623.0
3.781241872
3.2432
623.03.7812
31.10623.044
3
22
=⋅
−=−=γ
=⋅
=⋅
=β
===α
sx
x
sxx
sx
cS
x
cSc
804.2196.007936.026147.3
2
007771.02
196.007936.02
31.104196.044
22
=⋅
−=−=γ
=⋅
=⋅
=β
===α
sy
y
syy
sy
cS
y
cS
c
PrimerPrimer
Proračun teorijskih raspodelaprotok za F(x) = 0.95
Normalna raspodela:
Log-normalna raspodela:
/sm54723.781645.14187
645.1)95.0(95.0)(3
XL TAB,
=⋅+=⋅+=
=⎯⎯⎯ →⎯=
x
X
Szxx
zxF
/sm556210
74524.307936.0645.16147.3645.1)95.0(95.0)(
3
XL TAB,
==
=⋅+=⋅+==⎯⎯⎯ →⎯=
y
y
X
x
SzyyzxF
36
PrimerPrimer
Proračun teorijskih raspodelaprotok za F(x) = 0.95
Gumbelova raspodela:
Pirson III raspodela:
/sm56454.609970.23835
970.2)95.0lnln()95.0(95.0)(3=⋅+=α⋅+=
=−−=→=
yux
yxFX
/sm55953.781802.14187
802.1)623.0,95.0(819.1)7.0,95.0(,797.1)6.0,95.0(95.0)(
3
TAB
=⋅+=⋅+=
=========⎯⎯ →⎯=
xP
sxP
sxPsxPX
Skxx
cFkcFkcFkxF
/sm55953.243098.161678
098.1695.0)(
3
XL
=⋅+=β⋅+γ=
===βγ−
⎯→⎯=
ux
uxxFX 1)10.311,.95,GAMMAINV(0
PrimerPrimer
Proračun teorijskih raspodelaprotok za F(x) = 0.95
Log-Pirson III raspodela:
/sm561710
74953.307936.0699.16147.3
699.1)196.0,95.0(
700.1)2.0,95.0(,673.1)1.0,95.0(95.0)(
3
TAB
==
=⋅+=⋅+=
===
======⎯⎯ →⎯=
y
yP
syP
syPsyPX
x
Skyy
cFk
cFkcFkxF
/sm561700777.066.1218041.2
66.12195.0)(
3
XL
=⋅+=β⋅+γ=
===βγ−
⎯→⎯=
uy
uyxFX 1)104.31,.95,GAMMAINV(0
37
PrimerPrimer
Sava – Sremska MitrovicaRezultati proračuna kvantila od 95%
Raspodela Protok sa F(x) = 0.95
(m3/s)
Normalna 5472
Log-normalna 5562
Gumbelova 5645
Pirson III 5595
Log-Pirson 3 5617
PrimerPrimer
Sava – Sremska MitrovicaSaglasnost empirijske i teorijske raspodele –test Kolmogorova-Smirnova
Dmax
N LN G P3 LP3
0.088 0.072 0.072 0.065 0.067
0.2280.2130.1900.17151
α = 1%α = 2%α = 5%α = 10%N
Dkr
38
PrimerPrimer
Sava – Sremska Mitrovicaizbor najbolje raspodele: kontrola osobina raspodela
originalni niz X
logaritmovani niz Y = log X
broj podataka 51 51
srednja vrednost 4187 3.6147
standardna devijacija 781.3 0.07936
koeficijent varijacije 0.187 0.022
koeficijent asimetrije 0.623 0.196
P3 LP3, možda LN
PrimerPrimer
Sava – Sremska Mitrovicaizbor najbolje raspodele: saglasnost empirijske i teorijskeraspodele
Dmax
N LN G P3 LP3
0.088 0.072 0.072 0.065 0.067
najbolje slaganje
39
PrimerPrimer
Sava – Sremska Mitrovicaizbor najbolje raspodele: vizuelna provera na papiru verovatnoće
0.9990.990.950.90.80.50.20.001 0.01 0.05 0.10
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
F(x)
x =
Q (m
3/s)
N LN
G P3
LP3 emp
Recommended