hidro bilanca

1

Primena verovatnoPrimena verovatnoćće i statistike e i statistike u hidrologijiu hidrologiji

Vodoprivredni sistemi/hidrotehničke mere se planiraju i projektuju za određene događaje u budućnosti za koje se ne zna kada će se dogoditi – zato se pri planiranju mora naznačiti verovatnoća da će se takav događaj dogoditi

verovatnoća da će se na prelivu brane javiti protok jednak ili veći od onog na koji je preliv projektovanveroatnoća da će nivo vode u reci (u određenom profilu) prevazići kotu krune nasipaverovatnoća da će vodozahvat (za industriju, navodnjavanje ili HE) ostati na suvom, tj. da će nivo vode u reci pasti ispod kote vodozahvataverovatnoća da će protok u reci pasti ispod granice biološkog minimuma za određenu vrstu ribaitd.

Primena verovatnoPrimena verovatnoćće i statistike e i statistike u hidrologijiu hidrologiji

Hidrološki procesi odvijaju se u prostoru i vremenu delom predvidivo (deterministički)delom nepredvidivo (slučajno, stohastički)

Čisto slučajan proces: jedan podatak osmatranja ne zavisi od prethodnih ili narednih osmatranja – pogodno za ekstremne hidrološke pojave (velike/male vode)

Statistički modeli u hidrologijimodeli verovatnoće pojave hidroloških ekstremaregresioni modeli (veze između dve ili više promenljivih)

2

StatistiStatističčka analiza hidroloka analiza hidrološških ekstremakih ekstrema

Hidrološki ekstremi (velike/male vode) dešavaju se relativno retko (u poređenju sa neekstremnim događajima)mogu se posmatrati kao slučajni događajiveličina (“jačina”) ekstrema povezuje se verovatnoćom pojave

što je veći ekstrem, manja je verovatnoća njegovog prevazilaženja

veličina ekstremaX

verovatnoća pojaveP


Veza između veličine ekstrema i verovatnoće = raspodela verovatnoće

veličina ekstremaX


raspodela verovatnoće

3


Cilj statističke analize: pronaći raspodelu verovatnoće (“model”) koja dovoljno dobro opisuje vezu X-P u osmotrenom nizu podatakauz pomoć odabrane raspodele, odrediti:

verovatnoću pojave zadatog ekstrema, P(X)veličinu ekstrema zadate verovatnoće pojave, X(P)

veličina ekstremaX


raspodela verovatnoće


Rezultati statističke analize koriste se za: projektovanje objekata i sistema za zaštitu od poplava

analiza maksimalnih protoka, nivoa vode, kiša

analizu dugotrajnih sušnih perioda za potrebe vodosnabdevanja ili poljoprivrede

analiza minimalnih protoka, maksimalnih beskišnih perioda

analize kvaliteta voda i garantovanih ekoloških protokaanaliza minimalnih protoka

4

Osnovni pojmovi iz verovatnoOsnovni pojmovi iz verovatnoććee

Slučajna promenljiva veličina koja se ponaša po nekom zakonu verovatnoće, tj. uzima određene vrednosti sa nekom verovatnoćom

Ishodi ili realizacije vrednosti koje uzima slučajna promenljiva

Skup svih mogućih ishodaoblast definisanosti slučajne promenljive

Slučajni događajpodskup skupa svih mogućih ishoda

Osnovni pojmoviOsnovni pojmovi

Primer:Visina kiše kao slučajna promenljiva XSkup svih mogućih ishoda: 0 ≤ X < ∞

X0 10 20 30 40 50 60

Skup svih mogu ih ishodać

5


Primer:Visina kiše kao slučajna promenljiva XSkup svih mogućih ishoda: 0 ≤ X < ∞Ishodi ili realizacije (osmatranja): X = 52 mm

X0 10 20 30 40 50 60

Jedan ishod

X0 10 20 30 40 50 60

Doga > 20đaj X


Primer:Visina kiše kao slučajna promenljiva XSkup svih mogućih ishoda: 0 ≤ X < ∞Ishodi ili realizacije (osmatranja): X = 52 mmSlučajni događaj: X > 20 mm

6

X0 10 20 30 40 50 60

Doga < 10đaj X


Primer:Visina kiše kao slučajna promenljiva XSkup svih mogućih ishoda: 0 ≤ X < ∞Ishodi ili realizacije (osmatranja): X = 52 mmSlučajni događaj: X > 20 mm, X ≤ 10 mm

X0 10 20 30 40 50 60

Doga aj 30 < < 60đ X


Primer:Visina kiše kao slučajna promenljiva XSkup svih mogućih ishoda: 0 ≤ X < ∞Ishodi ili realizacije (osmatranja): X = 52 mmSlučajni događaj: X > 20 mm, X ≤ 10 mm, 30 ≤ X ≤ 60 mm

7


Slučajne promenljive:prekidne ili diskretne: skup svih mogućih ishoda = skup celih brojeva

broj dana u godini sa kišom većom od 10 mmbroj dana u godini sa temperaturom ispod 0oCbroj talasa velikih voda u godini sa maksimalnim protokom većim od neke vrednosti

neprekidne ili kontinualne: skup svih mogućih ishoda = skup realnih brojeva

visina kiševodostaj (nivo vode)protokzapremine talasa velikih vodanivo podzemnih voda

Zakon raspodele verovatnoZakon raspodele verovatnoććee

Ishodi ili realizacije i događaji se dešavaju sa određenom verovatnoćom, prema RASPODELI VEROVATNOĆE

Raspodela verovatnoće za diskretnu slučajnu promenljivu

1

}{

:

321

3

3

2

2

1

1

==+++

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∑i

i

ii

pppp

xXPp

px

px

px

X

K

K

8

Zakon raspodele verovatnoZakon raspodele verovatnoćće za e za diskretnu sludiskretnu sluččajnu promenljivuajnu promenljivu

Primer:

bacanje novčića

bacanje kocke

ocena na ispitu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5.05.0

:GP

X

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛6/1

66/1

56/1

46/1

36/1

26/1

1:X

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛05.0

1012.09

25.08

18.07

10.06

30.05

:X


Grafički prikazocena na ispitu

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

5 6 7 8 9 10

ocena na ispitu

vero

vatn

oća

9


Primer događajaocena na ispitu

verovatnoća da se padne ispit: P{X = 5} = 0.30verovatnoća da se položi ispit: P{X > 5} = P{X ≥ 6} = P{X = 6 ili X = 7 ili X = 8 ili X = 9 ili X = 10} =P{X = 6} + P{X = 7} + P{X = 8} + P{X = 9} + P{X = 10} =0.10 + 0.18 + 0.25 + 0.12 + 0.05 = 0.70iliP{X ≠ 5} = 1 – P{X = 5} = 1 – 0.30 = 0.70verovatnoća za odličnu ocenu:P{X ≥ 9} = P{X = 9} + P{X = 10} =0.12 + 0.05 = 0.17

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

5 6 7 8 9 10

ocena na ispitu

vero

vatn

oća

Zakon raspodele verovatnoZakon raspodele verovatnoććee

Raspodela verovatnoće za kontinualnu slučajnu promenljivu

funkcija gustine verovatnoće f(x)

funkcija raspodele verovatnoće F(x)

0

x

x

f x( )

F x( )

F x( )

x

x

1

F(x) = P{X ≤ x}

1)( =∫∞

∞−duuf

∫∞−

=≤=x

duufxXPxF )(}{)(

10

Zakon raspodele verovatnoZakon raspodele verovatnoććee za za kontinualnu slukontinualnu sluččajnu promenljivuajnu promenljivu

Verovatnoće događaja

P{X ≤ x} = F(x)

0

x

x

f x( )

F x( )

F x( )

x

x

1

P{X ≤ x} = F(x)



P{X > x} = 1 – P{X ≤ x} = 1 – F(x)

x

f x( )

x

0 x

F x( )

F x( )

1 - ( )F x

x

1

P{X > x} = 1 – F(x)

11


x

f x( )

x2

x2

x1

x10 x

F x( )

F x( )1

F x( )2

F x( ) - 2 F x( )1

1


P{x1 < X < x2} = = 1 – P{X < x1} – P{X > x2} = = 1– P{X > x2} – P{X < x1} = = P{X < x2} – P{X < x1} = F(x2) – F(x1)

P{x1 < X < x2} = F(x1) – F(x2)


Primer:eksponencijalna raspodela:

xxux

ux

x

eedueduufxXPxF

xexf

−−−

−

−=−===≤=

≥=

∫∫ 1)(}{)(

0,)(

000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

x

f(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7

x

F(x

)

000.1050.0085.0233.0632.0}3{}32{}21{}1{

050.011)3(1}3{

085.0050.0135.011)2()3(}32{

233.0135.0368.011)1()2(}21{

632.0368.011)1(}1{

3

23

12

1

=+++==>+<<+<<+≤

=+−=−=>

=−==+−−=−=<<

=−==+−−=−=<<

=−=−==≤

−

−−

−−

−

XPXPXPXP

eFXP

eeFFXP

eeFFXP

eFXP

12

Osobine raspodela verovatnoOsobine raspodela verovatnoććee

Momenti raspodelemomenti oko koordinatnog početka

momenti oko sredine

∫∞

∞−=μ dxxfx r

r )('

∫∞

∞−μ−=μ dxxfx r

r )()(


Mere centralne tendencije

srednja vrednost težište gustine raspodele:

iz uzorka:

medijana:

∫∞

∞−=μ=μ dxxfx )('1

∑=

=N

iix

Nx

1

1

5.0)()()( === ∫∫∞

∞− Me

MedxxfdxxfMeF

x

f x( )

Me x

f x( )

0.50.5

μ

13


Mere odstupanja od srednje vrednostidisperzija (varijansa):

iz uzorka:

standardna devijacija:

koeficijent varijacije:

∫∞

∞−μ−=σ=μ dxxfx )()( 22

2

∑=

−−

=N

ii xx

NS

1

22 )(1

1

∑=

−−

=N

ii xx

NS

1

2)(1

1

x

f x( )

μ

malo σ

veliko σ

μσ

=vCxScv =


Asimetrija raspodele

treći momenat:

koeficijent asimetrije:

iz uzorka:

∫∞

∞−μ−=μ dxxfx )()( 3

3

∑=

−−−

=N

iis xx

SNNNc

1

33 )(1

)2)(1(

μ

33

σ

μ=sC

x

f x( )

pozitivna asimetrijaCs > 0

negativnaasimetrijaCs < 0

14

NaNaččin izrain izražžavanja veze Xavanja veze X--PP

vrednost slučajne promenljive

x

VEROVATNOĆA:

funkcija raspodele ili verovatnoća neprevazilaženja

F(x) = P{X ≤ x}

verovatnoća prevazilaženja P{X > x} = 1 – F(x)

velike vode (maksimumi)P{X ≤ x} = F(x) → obezbeđenostP{X > x} = 1 – F(x) → rizik, neobezbeđenost

male vode (minimumi)P{X ≤ x} = F(x) → rizik, neobezbeđenostP{X > x} = 1 – F(x) → obezbeđenost

Povratni periodPovratni periodDefiniše se kao recipročna vrednost verovatnoće kritičnog događaja

predstavlja način izražavanja verovatnoće kritičnog događajapredstavlja prosečan broj godina između dva prevazilaženja vrednostiizražava se u godinama

velike vode (maksimumi)primer: T(200 m3/s) = 50 god. znači da će se protok od 200 m3/s prevazići jednom u 50 godina (odnosno sa verovatnoćom 1/50 = 0.02 = 2%)

male vode (minimumi)primer: T(0.4 m3/s) = 20 god. znači da će se protok manji od 0.4 m3/s javiti jednom u 20 godina (odnosno sa verovatnoćom 1/20 = 0.05 = 5%)

)(11

}{1)(

xFxXPxT

−=

>=

)(1

}{1)(

xFxXPxT =

≤=

15

StatistiStatističčka analiza hidroloka analiza hidrološških ekstrema kih ekstrema

Uslovi koje hidrološki nizovi ekstrema moraju da ispune:

nezavisni podaci (slučajnost)jednako raspoređeni, “istorodni” (homogenost)

Smatra se da uzorci formirani od vrednosti godišnjih ekstrema u opštem slučaju ispunjavaju ove uslove

Ispunjavanje uslova proverava se pomoću odgovarajućih statističkih testova


Vrste hidroloških nizova:1. Nizovi godišnjih ekstrema

godišnji minimumi (male vode)godišnji maksimumi (velike vode, padavine)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1.1.1998. 1.1.1999. 1.1.2000. 31.12.2000.

Q (m

3 /s)

Dunav, Bezdan

16


Vrste hidroloških nizova:2. Nizovi prekoračenja iznad/ispod praga (POT metoda)

Za N godina:1) niz brojeva prekoračenja u godini dana n1, n2, ..., nN (ukupan broj prekoračenja M;

prosečan broj prekoračenja godišnje Λ = M/N)2) niz prekoračenja Z1, Z2, ..., ZM3) niz godišnjih maksimuma X1, X2, ..., XN

n 1 = 5

Z 2

Z 3

Z 1

Z 5

Z 4

x B

Z 6

Z

n 2 = 4 n 3 = 3 ... n N = 4godina 1 godina 2 godina 3 godina N

Z = X - x B

X 1

X 2

X 3

X

StatistiStatističčka analiza velikih vodaka analiza velikih voda

Vrste hidroloških nizova:2. Nizovi prekoračenja iznad/ispod praga (POT metoda)

Postupak proračuna:

najveće prekoračenjeχ(t) = max { Z1, Z2, ..., Zη(t) }

broj prekoračenjaη(t)

prekoračenjaZ1, Z2, ..., Zη(t)

raspodela:P{ η(t) = n }

raspodela:Hi(z) = P{ Zi ≤ z }

raspodela:F(z;t) = P{ χ(t) ≤ z }

17

StatistiStatističčka analiza hidroloka analiza hidrološških ekstrema: kih ekstrema: postupak postupak

PRILAGOĐAVANJE teorijskih raspodela osmotrenim podacimaformiranje EMPIRIJSKE RASPODELE >>>proračun parametara TEORIJSKIH RASPODELA >>>TESTIRANJE SAGLASNOSTI empirijske i teorijskih raspodela >>>IZBOR najbolje raspodele >>>

F

x

F

x

osmotreni podaci –EMPIRIJSKA RASPODELA

prilagođavanje –TEORIJSKA RASPODELA

Fe(x) F (x)

PRILAGOĐAVANJE teorijskih raspodela osmotrenim podacimaformiranje EMPIRIJSKE RASPODELE >>>proračun parametara TEORIJSKIH RASPODELA >>>TESTIRANJE SAGLASNOSTI empirijske i teorijskih raspodela >>>IZBOR najbolje raspodele >>>

StatistiStatističčka analiza hidroloka analiza hidrološških ekstrema: kih ekstrema: postupakpostupak

II. PRORAČUN teorijske raspodeleVEROVATNOĆE za zadatu vrednost, F(x)KVANTILA (vrednosti za zadatu verovatnoću), x(F)

F

x

proračun KVANTILA

F (x)

F

x

proračun VEROVATNOĆE

F (x)

x

Fx

xF

F

18

Empirijska raspodelaEmpirijska raspodela

Proračun empirijske funkcije raspodelepotrebno oceniti funkciju raspodele F(x) tj. verovatnoću P{X ≤ x}

kumulativna relativna frekvencija:

xk – k-ti podatak u nizu uređenom u rastući redosled

primer (N = 51):

nizuu podataka broj podataka broj

}{ kk

xNkxXP

≤==≤

k xk

1 2680

2 2996

3 3190

4 3310

5 3360

6 ...

098.0515}3360{}{ 5 ==≤=≤ XPxXP


Kumulativna relativna frekvencija kao empirijska raspodela

k xk k / N

1 x1 = xmin

x2

x3

x4

x5

38 x38 38/40

39 x39 39/40

40 x40 = xmax 40/40 = 1

1/40

2 2/40

3 3/40

4 4/40

5 5/40

...

N = 40

1}{ max ==≤NNxXP

?0}{1}{ maxmax =≤−=> xXPxXP

sigurno će X biti manje od xmaxtj. nemoguće da X bude veće od xmax

19


“Korekcija” kumulativne relativne frekvencije kao empirijska raspodela

k xk k – 1 / N

1 x1 = xmin

x2

x3

x4

x5

38 x38 37/40

39 x39 38/40

40 x40 = xmax 39/40

0/40 = 0

2 1/40

3 2/40

4 3/40

5 4/40

...

N = 40

00}{ min ==≤N

xXP

?1}{1}{ minmin =≤−=> xXPxXP

nemoguće je da X bude manje od xmintj. sigurno će X biti veće od xmin


Kumulativna relativna frekvencija kao empirijska raspodela

x10.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0 F x( )

x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10x

NkxXP k =≤ }{

NkxXP k

1}{ −=≤

N = 10

“nešto između” = kompromisna verovatnoća“nešto između” = kompromisna verovatnoća

20


Kompromisna verovatnoća po Hejzenu kao empirijska raspodela

k xk k – 0.5 / N

1 x1 = xmin

x2

x3

x4

x5

38 x38 37.5/40

39 x39 38.5/40

40 x40 = xmax 39.5/40

0.5/40

2 1.5/40

3 2.5/40

4 3.5/40

5 4.5/40

...

N = 40

0125.040

5.05.0}{ min ===≤N

xXP

NkxXP k

5.0}{ −=≤

0125.0}{1}{

9875.040

5.391}{

maxmax

max

=≤−=>

==−

=≤

xXPxXPN

NxXP


Kompromisna verovatnoća po Vejbulu kao empirijska raspodela

k xk k / N + 1

1 x1 = xmin

x2

x3

x4

x5

38 x38 38/41

39 x39 39/41

40 x40 = xmax 40/41

1/41

2 2/41

3 3/41

4 4/41

5 5/41

...

N = 40

0244.0411

11}{ min ==+

=≤N

xXP

1}{

+=≤

NkxXP k

0244.0}{1}{

9756.04140

1}{

maxmax

max

=≤−=>

==+

=≤

xXPxXPN

NxXP

nazad >

21

Teorijske raspodele verovatnoTeorijske raspodele verovatnoćće e u hidrologijiu hidrologiji

Normalna i log-normalna raspodela

Gumbelova raspodela

Pirson III i log-Pirson III raspodela

nazad >

primer >

NormalnaNormalna raspodelaraspodela

gustina raspodele:

funkcija raspodele:

∞<<∞−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

σμ−

−πσ

= xxxf ,2

)(exp2

1)( 2

2

x

f(x)

μ

F(x)

x

1

0

duuxFx

∫∞−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

σμ−

−πσ

= 2

2

2)(exp

21)(

0.5

μ

22


parametri:μ – srednja vrednost (μ = μ’1)σ – standardna devijacija (σ2 = μ2)

x

f(x)

μ

F(x)

x

1

0

0.5

μμ – parametar

lokacije

σ – parametarrazmere

σ1

σ2

σ1

σ2

NormalnaNormalna raspodelaraspodelaStandardna normalna raspodela

smena:

gustina i funkcija raspodele:

parametri:

σμ−

=xz

1,0 =σ=μ

z

φ(z)

0

Φ(z)

z

1

0

duuzz

∫∞−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

π=Φ

2exp

21)(

2

0.5

0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

π=ϕ

2exp

21)(

2zz

23


važna osobina: simetričnost → Cs = 0

z

φ(z)

0

Φ(z)

z

1

0

0.5

0z–z

φ(–z)= φ(z)

z–z

Φ(–z)Φ(z)

1 – Φ(–z) = Φ(z)

1 – Φ(z) = Φ(–z)


Veza između normalne i standardne normalne raspodele:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σμ−

Φ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σμ−

≤=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σμ−

≤σμ−

=

=μ−≤μ−=≤=

xxZP

xXP

xXPxXPxF }{}{)(⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σμ−

Φ=xxF )(

σμ−

=Φ=xzzxF ),()(

24

Normalna raspodelaNormalna raspodela

Određivanje parametara na osnovu uzorka

Postupak proračuna

F = NORMSDIST(z)z = NORMSINV(F)


)()(TAB xFzFS

xxzx XZx

=⎯⎯ →⎯−

=→

xZX SzxxzzFxF ⋅+=→⎯⎯ →⎯= TAB)()(

xSx

=σ=μ

LogLog--normalna raspodelanormalna raspodela

Primena normalne raspodele na logaritmovane podatkeako slučajna promenljiva Y = log X prati normalnu raspodelu, tada X prati log-normalnu raspodeluparametri: srednja vrednost i standardna devijacija logaritmovanog niza

Veza sa standardnom normalnom raspodelomYY σμ ,

)(log}log{}10{}{)(

xFxYPxPxXPxF

Y

Y

=≤==≤=≤=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σμ−

Φ==xxFxF Y

log)(log)(

σμ−

==Φ==yzxyzyFxF Y ,log),()()(

25

LogLog--normalna raspodelanormalna raspodela


Postupak proračuna



yY

Y

Sy

=σ=μ

)()()(log TAB xFyFzFS

yyzxyx XYZy

==⎯⎯ →⎯−

=→=→

yyZX xSzyyzzFxF 10)()( TAB =→⋅+=→⎯⎯ →⎯=

Gumbelova raspodelaGumbelova raspodela

gustina raspodele:

funkcija raspodele:

inverzna funkcija raspodele:

drugi nazivi:dvostruko eksponencijalna raspodelaraspodela ekstremnih vrednosti I tipa

∞<<∞−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

α−

−−α−

−α

= xuxuxxf ,expexp1)(

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

α−

−−=uxxF expexp)(

)]lnln([)( FuFx −−α+=

26


parametri:α – parametar razmereu – parametar lokacije

osobine:srednja vrednost μ(u,α)standardna devijacija σ(u,α)

koef. asimetrije Cs = 1.14

x

f(x)

u

α1

α2 > α1

u – parametarlokacije

α – parametarrazmere

απ

=σ

α+=μ

6

5772.0u


Standardna Gumbelova raspodela

smena:

parametri:

gustina raspodele:

funkcija raspodele:

inverzna funkcija raspodele:

∞<<∞−=−−− yeeyg

yey ,)(

yeeyG−−=)(

)lnln()( GGy −−=

α = 1u = 0

α−

=uxy

Cs = 1.14

y

g(y)

0

27

GumbelovaGumbelova raspodelaraspodela

Veza između obične i standardne Gumbelove raspodele:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

α−

≤=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

α−

≤α−

=

=−≤−=≤=

uxGuxYP

uxuXP

uxuXPxXPxF }{}{)(⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α−

=uxGxF )(

α−

==uxyyGxF ),()(



Postupak proračuna

F = EXP(–EXP(–y))y = –LN(–LN(F))

F = EXP(–EXP(–y))y = –LN(–LN(F))

x

x

SSxu

78.045.0

=α−=

)()( xFeyFuxyx Xe

Yy==→

α−

=→−−

α⋅+=→−−=→= yuxFyyFxF YX )lnln()()(

28

Familija gama raspodelaFamilija gama raspodelaDvoparametarska gama raspodela

gustina raspodele:

parametri:α – parametar oblikaβ – parametar razmere

0,)(

1)( /1

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βαΓβ

= β−−α

xexxf x

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

f(x)

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

f(x)

β = 1 α = 2

α = 1

α = 2

α = 4

β = 1

β = 2β = 4

Pirsonova raspodela III tipaPirsonova raspodela III tipa

Troparametarska gama raspodela

gustina raspodele:

parametri:α – parametar oblikaβ – parametar razmereγ – parametar lokacije

osobine:asimetrična; za Cs = 0 postaje normalna raspodelamomenti:

0,)(

1)( /)(1

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βγ−

αΓβ= βγ−−

−α

xexxf x

α=

αβ=σ

γ+αβ=μ

2sC

29

Pirsonova raspodela III tipaPirsonova raspodela III tipa


Postupak proračuna

Csx > 0: F = GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csx < 0: F = 1 – GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

Csx > 0: F = GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csx < 0: F = 1 – GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

αβ−=γ⋅

=β=α xcS

csxx

sx

,2

,42

)( za TAB xFcS

xxKx Xsx

xP ⎯⎯⎯⎯ →⎯

−=→

xPPsx

X SKxxKcxF ⋅+=→⎯⎯⎯⎯ →⎯ za TAB)(

KP – faktorfrekvencije

LogLog--Pirson III raspodelaPirson III raspodela

Log-Pirson III raspodelaako slučajna promenljiva Y = log X prati Pirson III raspodelu, tada X prati log-Pirson III raspodeluprimena Pirson III raspodele na logaritmovane podatke

30

LogLog--Pirson III raspodelaPirson III raspodela


Postupak proračuna

Csy > 0: F = GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csy < 0: F = 1 – GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

Csy > 0: F = GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csy < 0: F = 1 – GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

αβ−=γ⋅

=β=α ycS

csyy

sy

,2

,42

)()(log za TAB

xFyFc

SyyKxyx XY

sy

yP =⎯⎯⎯⎯ →⎯

−=→=→

yyPP

syX xSKyyK

cxF 10)(

za TAB=→⋅+=→⎯⎯⎯⎯ →⎯

TestiranjeTestiranje saglasnostisaglasnosti

Saglasnost empirijske i teorijske raspodeleempirijska raspodela Fe(x)teorijska raspodela Ft(x)

Test Kolmogorova-Smirnovakontrolna statistika Dmax = max |Ft(x) – Fe(x)|kriterijum:

Dmax < Dkr → raspodele su saglasneDmax > Dkr → raspodele nisu saglasne

Dkr zavisi od dužine uzorka N i praga značajnosti α, dato u tablicama

N α = 10% α = 5% α = 2% α = 1%

20 0.265 0.294 0.329 0.352

40 0.189 0.210 0.235 0.252nazad >

31

Izbor teorijske raspodeleIzbor teorijske raspodele

Izbor najbolje teorijske raspodelena osnovu primenljivosti teorijske raspodele

da li osobine teorijske raspodele odgovaraju osobinama uzorka (npr. asimetrija)

na osnovu testova saglasnosti emirijske i teorijske raspodelevizuelna provera na papiru verovatnoće

nazad >

Papiri verovatnoPapiri verovatnoććee

Verovatnoća u aritmetičkoj razmeri?

Kako “linearizovati” zavisnost F(x)?

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 200 400 600 800 1000

x

F(x

)

oblasti teškog očitavanja verovatnoće

32

Papiri verovatnoPapiri verovatnoććee

Standardizovane promenljive – jednoznačna veza između promenljive i verovatnoće

normalna raspodela: z – F(z)Gumbelova raspodela: y = –ln(–ln F)

Linearna veza između standardizovane i “originalne”promenljive

normalna raspodela: X = μ + σ ZGumbelova raspodela: X = u + α Y

Papir normalne verovatnoPapir normalne verovatnoććee

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

-3 -2 -1 0

0.5

0.5

2

0.3

0.7

0.1

0.9

0.01

0.99

0.001

0.999

0.7

0.3

0.9

0.1

10

0.99

0.01

100

0.999

0.001

1000

1 2 3

Standardizovana normalna promenljiva z

Sluč

ajna

pro

men

ljiva

x

Funkcija raspodele ( )F x

Verovatnoća prevazilaženja { > } = 1 ( ) = 1/P X x F x T-

Povratni period (godina)T

33

Papir Gumbelove verovatnoPapir Gumbelove verovatnoććee

Standardizovana Gumbelova promenljiva y

Sluč

ajna

pro

men

ljiva

x

Funkcija raspodele ( )F x

Verovatnoća prevazilaženja { > } = 1 ( ) = 1/P X x F x T-

Povratni period (godina)T

0

200

400

600

800

1000

1200

-2

0.001

-1

0.01

0.99

0

0.1

0.9

0.3

0.7

0.5

0.5

2

1

0.7

0.3

2

0.9

0.1

10

3 4 5

0.99

0.01

100

0.95

0.05

20

0.98

0.02

50

6 7

0.999

0.001

1000

0.998

0.002

500

0.995

0.005

200

Papir logPapir log--normalne verovatnonormalne verovatnoććee

10

100

1000

10000

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Standardna normalna promenljiva z

Prot

ok (m

3 /s)

osmotreni niz

LN raspodela

0.005 0.01 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.99 0.99

Funkcija raspodele F (x )

34

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1950 1960 1970 1980 1990 2000

Q (m

3 /s)

PrimerPrimerSava – Sremska Mitrovica

originalni niz X

logaritmovani niz Y = log X

broj podataka 51 51

srednja vrednost 4187 3.6147

standardna devijacija 781.3 0.07936

koeficijent varijacije 0.187 0.022

koeficijent asimetrije 0.623 0.196

PrimerPrimer

Proračun parametara raspodela

Normalna raspodela:

Log-normalna raspodela:

Gumbelova raspodela:

X Y = log X

broj podataka 51 51



koeficijent asimetrije 0.623 0.196/sm3.781

/sm41873

3

==σ

==μ

xS

x

07936.06147.3

==σ==μ

yY

Y

Sy

/sm4.6093.78178.078.0

/sm38353.78145.0418745.03

3

=⋅=⋅=α

=⋅−=⋅−=

x

x

S

Sxu

35

PrimerPrimer

Proračun parametara raspodela

Pirson III raspodela:

Log-Pirson III raspodela:

X Y = log X

broj podataka 51 51




/sm1678623.0

3.781241872

3.2432

623.03.7812

31.10623.044

3

22

=⋅

−=−=γ

=⋅

=⋅

=β

===α

sx

x

sxx

sx

cS

x

cSc

804.2196.007936.026147.3

2

007771.02

196.007936.02

31.104196.044

22

=⋅

−=−=γ

=⋅

=⋅

=β

===α

sy

y

syy

sy

cS

y

cS

c

PrimerPrimer

Proračun teorijskih raspodelaprotok za F(x) = 0.95

Normalna raspodela:

Log-normalna raspodela:

/sm54723.781645.14187

645.1)95.0(95.0)(3

XL TAB,

=⋅+=⋅+=

=⎯⎯⎯ →⎯=

x

X

Szxx

zxF

/sm556210

74524.307936.0645.16147.3645.1)95.0(95.0)(

3

XL TAB,

==

=⋅+=⋅+==⎯⎯⎯ →⎯=

y

y

X

x

SzyyzxF

36

PrimerPrimer


Gumbelova raspodela:

Pirson III raspodela:

/sm56454.609970.23835

970.2)95.0lnln()95.0(95.0)(3=⋅+=α⋅+=

=−−=→=

yux

yxFX

/sm55953.781802.14187

802.1)623.0,95.0(819.1)7.0,95.0(,797.1)6.0,95.0(95.0)(

3

TAB

=⋅+=⋅+=

=========⎯⎯ →⎯=

xP

sxP

sxPsxPX

Skxx

cFkcFkcFkxF

/sm55953.243098.161678

098.1695.0)(

3

XL

=⋅+=β⋅+γ=

===βγ−

⎯→⎯=

ux

uxxFX 1)10.311,.95,GAMMAINV(0

PrimerPrimer


Log-Pirson III raspodela:

/sm561710

74953.307936.0699.16147.3

699.1)196.0,95.0(

700.1)2.0,95.0(,673.1)1.0,95.0(95.0)(

3

TAB

==

=⋅+=⋅+=

===

======⎯⎯ →⎯=

y

yP

syP

syPsyPX

x

Skyy

cFk

cFkcFkxF

/sm561700777.066.1218041.2

66.12195.0)(

3

XL

=⋅+=β⋅+γ=

===βγ−

⎯→⎯=

uy

uyxFX 1)104.31,.95,GAMMAINV(0

37

PrimerPrimer

Sava – Sremska MitrovicaRezultati proračuna kvantila od 95%

Raspodela Protok sa F(x) = 0.95

(m3/s)

Normalna 5472

Log-normalna 5562

Gumbelova 5645

Pirson III 5595

Log-Pirson 3 5617

PrimerPrimer

Sava – Sremska MitrovicaSaglasnost empirijske i teorijske raspodele –test Kolmogorova-Smirnova

Dmax

N LN G P3 LP3

0.088 0.072 0.072 0.065 0.067

0.2280.2130.1900.17151

α = 1%α = 2%α = 5%α = 10%N

Dkr

38

PrimerPrimer

Sava – Sremska Mitrovicaizbor najbolje raspodele: kontrola osobina raspodela

originalni niz X

logaritmovani niz Y = log X

broj podataka 51 51



koeficijent varijacije 0.187 0.022


P3 LP3, možda LN

PrimerPrimer

Sava – Sremska Mitrovicaizbor najbolje raspodele: saglasnost empirijske i teorijskeraspodele

Dmax

N LN G P3 LP3

0.088 0.072 0.072 0.065 0.067

najbolje slaganje

39

PrimerPrimer

Sava – Sremska Mitrovicaizbor najbolje raspodele: vizuelna provera na papiru verovatnoće

0.9990.990.950.90.80.50.20.001 0.01 0.05 0.10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

F(x)

x =

Q (m

3/s)

N LN

G P3

LP3 emp

Documents

hidro bilanca