Illeszkedési mátrix

Illeszkedési mátrixIlleszkedési mátrixVillamosságtani szempontból legfontosabb mátrixreprezentáció. Legyen G egy irányított gráf, n ponton e éllel. Az n x e –es B(G) mátrixot a G gráf illeszkedési mátrixának nevezzük, ha

b

j i -

j i

j i

ij

0

1

1

,

,

,

haa ik élnemilleszkedik az ik ponthoz

haa ik élkezdõpontjaaz ik pont

haa ik él végpontjaaz ik pontbij=1, ha a j-ik él az i-ik ponthoz illeszkedő hurokél. Irányítatlan esetben az él kezdő és végpontjánál is 1 a mátrix elem.

PéldaPélda

B A

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 1 1 0 0

0 0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 1 1

0 2 1 1 0

2 0 1 0 0

1 1 0 1 0

1 0 1 0 1

0 0 0 1 1

e1 e2 e3

e6e4

e5

e7

e8

v1

v2

v3

v4

v5

v1

v2

v3 v4

v5

e1

e2

e3e4

e5

e6e7

e8

B A

1 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 0

0 0 1 1 1 1 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 2 0

0 0 0 0 1

0 0 1 1 1

TételTétel

Az n pontú c összefüggő komponensből álló, hurokélmentes irányított gráf illeszkedési mátrixának rangja n-c.

Összefüggőség irányított gráfban: az éleket irányítás nélkül tekintjük, és akkor ugyanaz, mint irányítatlan esetben.BizonyításBizonyítás

Ha c > 1, akkor komponensenként sorolva fel a pontokat és éleket, B(G) blokkdiagonális szerkezetű lesz.

0

0C1

C2

Cc

Elég tehát egy p pontú összefüggő komponensre belátni, hogy a neki megfelelő blokk rangja p-1.

Egy ilyen blokk sorainak száma p, és a sorok összege (0,0,…,0), mert minden oszlopban pont egy +1 és egy -1 áll. (nincs hurokél, minden élnek pontosan egy kezdő és egy végpontja van, és ezek különbözőek): a rang tehát legfeljebb p-1Legyen F egy feszítőfa ebben a komponensben: p-1 élű.

Legyen v1 az F egy elsőfokú pontja, e1 a hozzá illeszkedő él. Ekkor (F - {v1}) is egy fa, legyen v2 egy elsőfokú pontja és e2 a hozzá illeszkedő él. Általában, vi+1 legyen az (F - {v1,v2,…,vi}) fa egy elsőfokú pontja, ei+1 a hozzá illeszkedő él. Ha a blokk sorait v1,v2,…,vp sorrendben soroljuk fel, az oszlopait pedig az e1,e2,…,ep-1 felsorolással kezdjük, akkor a mátrix megfelelő p x p-1-es része a következő alakú:

e e ev

v

v

1 2 p-1

1

2

p

1 0 0 0

1 0 0

1

Azaz p-1 lineárisan független oszlopot tláltunk.

TételTétel

Vegyünk a p pontú összefüggő hurokél mentes irányított G gráf illeszkedési mátrixában p-1 oszlopot. Ezek pontosan akkor lineárisn függetlenek, ha a megfelelő p-1 él G egy feszítőfáját alkotja.

Bizonyítás

Az előző tétel szerint, ha fa, akkor lineárisan független. Tegyük fel, hogy van egy kör, azaz az e1,e2,…,er élek kört alkotnak ebben a sorrendben.

e1

e2

e3e4

e5

v1

v2 v3

v4

v5

a 0 0 0 -e

-a b 0 0 0

0 -b c 0 0

0 0 -c d 0

0 0 0 -d e

a,b,c,d,e{-1,1}

Az e1,e2,…,er éleknek megfelelő oszlopokban a többi elem 0.

a 0 0 0 -e

-a b 0 0 0

0 -b c 0 0

0 0 -c d 0

0 0 0 -d e

Legyenek az oszlopok u1,u2,…,ur, a diagonálisban álló elemek a1,a2,…,ar. Ekkor a1u1+…+arur=0.

a2 -e2 = -a2+b2=…= -d2+e2=0

e e ev

v

v

1 2 p-1

1

2

p

1 0 0 0

1 0 0

1

A feszítőfához tartozó p x p-1-es részmátrix bármely sorát elhagyva a maradék determinánsa 1, ugyanis minden esetben pontosan egy nemnulla kifejtési tag van.

0

elhagyott sor

TételTétel

Hagyjunk el a G összefüggő p pontú gráf illeszkedési mátrixából egy tetszőleges sort. A keletkező B0 mátrixból képzett B0·B0

T mátrix determinánsa éppen a G feszítőfáinak száma.

A bizonyításhoz használjuk:

Tétel(Binet, Cauchy)Tétel(Binet, Cauchy)Ha M egy p x r-es, N egy r x p-es mátrix (ahol pr), akkor az M·N mátrix determinánsa ahol Mi az M valamely p oszlopából, Ni pedig N ugyanazon sorszámú soraiból áll, és a szummázás az összes lehetséges p elemű oszlophalmazra történik.

det detM Ni i

PéldaPélda

a b c

d e f

g h

i j

k l

a b

d e

g h

i j

a c

d f

g h

k l

b c

e f

i j

k l

B0-ból p-1 oszlopot kivéve, ponosan a feszítőfának megfelelők determinánsa lesz nem nulla, mégpedig ±1. B0

T megfelelő soraiból álló részmátrix pont ennek transzponáltja, azaz a determinánsa ugyanaz, azaz a kettő szorzata +1. Pontosan annyi +1-et adunk össze, ahány különböző feszítőfa van.

Ha B0·B0T =(dij), akkor dij meghatározható

d

i i j

i j

i j

ij

az ik pont foka ha

az és pontok közöttibármilyenirányban

haladó élek számának szerese ha

,

, .1

Ugyanis B0 i-ik sorát szorozzuk a j-ik sorával, hogy dij-t kapjuk.Ezt felhasználjuk Cayley tételének újabb bizonyításához.

Az n pontú teljes gráfra

B B0 0T

n

n

n

1 1 1

1 1 1

1 1 1

B B0 0T

n

n

n

n

n

n

n

nn

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

0 0

0 0

2

KörmátrixKörmátrix

Ha a G irányított gráf egy 2 pólusú alkatrészekből álló hálózat kapcsolási gráfja (irányítás: mérőirányok), akkor Kirchoff csomóponti törvényei (áram egyenletek) a B(G)·i=0 alakban irhatók, ahol az i vektor elemei az egyes alkatrészek áramai.Kirchoff feszültség egyenleteit a körmátrix segítségével lehet leírni: C·u=0

Írjuk elő minden egyes kör "körüljárási irányát" (tetszőlegesen, majd rögzítsük.) Ha G-nek k darab köre van, akkor C(G)=(cij) egy k x i-es mátrix, melyre cij=0, ha a j-ik él nem része az i-ik körnek, cij=1, ha j-ik él benne van az i-ik körben és annak körüljárási irányába mutat, cij=-1, ha j-ik él benne van az i-ik körben és annak körüljárási irányával ellenkező irányba mutat .

MegjegyzésMegjegyzés

A szomszédsági és az illeszkedési mátrixok izomorfia erejéig meghatározzák a gráfot. A körmátrix nem, például egy síkbarajzolható gráf két különböző (nem izomorf módon) lerajzolt duálisának ugyanaz a körmátrixa. Általában két gyengén izomorf gráfnak ugyanaz a körmátrixa, ha a körüljárási irányokat megfelelően jelöljük ki.TételTétel

Az n pontú, e élű, c komponensű irányított gráf körmátrixának rangja e - n + c.

TételTétel

Tekintsünk a p pontú, e élű összefüggő irányított gráf körmátrixában e - p + 1 oszlopot. Ezek pontosan akkor lineárisan függetlenek, ha a megfelelő e - p + 1 él a G egy feszítőfájának komplementere.

VágásmátrixVágásmátrix

A körmátrixhoz hasonlóan definiálható: Minden vágás egy komponenst vág szét X1 , X2 részhalmazokra. Egy (u,v) él irányítása megegyezik a vágással, ha u X1 és v X2, ellentétes vele, ha u X2 és v X1. TételTétel

Legyen B, C és Q rendre egy hurokélmentes irányított gráf illeszkedési, kör-, illetve vágásmátrixa. Tegyük fel, hogy oszlopaik ugyanabban a sorrendben felelnek meg G éleinek. Ekkor

B·CT=0 és Q·CT=0.

Vegyük észre, hogy B·CT=0 következik Q·CT=0-ból. B részmátrixa Q –nak, hiszen az egy pontra illeszkedő élek vágást alkotnak.

Q

CT

zijVi

Kj

e1 e2 ... em

e1

e2

em

A zij elem meghatározásánál nem 0 szorzat a Vi vágás és a Cj kör közös éleinél van.

Vi

1

1

11

-1-1

-1

-1

1

1

-1

Egy szorzat az +1, ha az él irányítása a vágásban és a körben is megegyezik a vágás, illetve a kör irányításásval, vagy mindkettőben ellentétetes.Egy szorzat az -1, ha az él a

vágás és a kör egyikével azonos, a másikkal ellentétes irányú.

Tehát +1, ha a kör és a vágás ugyanolyan irányban „halad át” az élen, -1, ha ellentétes irányban. Ezek száma egyenlő, mert a kör pont ugyanannyiszor halad a vágással szemben, mint vele egy irányban.