Inventory Models

Inventory Models

Prinsip Dasar (1)

Penyebab timbulnya masalah inventory:

Kebutuhan untuk mengadakan persediaan barang/bahan untuk memenuhi permintaanselama suatu horizon waktu tertentu.

Prinsip Dasar (2)

Dua situasi ekstrim:

• overstocking (terhadap satu unit waktu):memenuhi permintaan dengan melakukan pemesanan (mengadakan persediaan) sekali untuk seluruh horizon waktu.

• understocking (terhadap keseluruhan horizon waktu):memenuhi permintaan dengan melakukan pemesanan (mengadakan persediaan) secara terpisah untuk setiap waktu dalam horizon.

kedua situasi ekstrim di atas membutuhkan biaya yang mahal.

Prinsip Dasar (3)

Inventory model yang umum:

Objektif setiap inventory model adalah menjawabdua pertanyaan:

• Berapa banyak barang yang harus dipesan?• Bilamana harus dilakukan pemesanan?

Banyaknya barang yang harus dipesan = order quantity

• Order quantity adalah jumlah optimum yang harus dipesan setiap kali pemesanan dilakukan.

• Jumlah ini dapat berubah dengan waktu, tergantung situasi.

Prinsip Dasar (4)

Tipe inventory system:

• Periodic review pada interval waktu yang sama.Waktu pemesanan kembali biasanya bersamaan dengan awal setiap interval waktu.

• Continuous review:Waktu pemesanan kembali (reorder point) biasanya ditentukan oleh tingkat inventory (inventory level) pada mana harus dilakukan pemesanan kembali.

Prinsip Dasar (5)

Order quantity dan reorder point biasanya

ditentukan dengan meminimumkan biaya

inventory total (total inventory cost):

Total inventory cost =

purchasing cost + set up cost + holding cost +

shortage cost

Prinsip Dasar (6)

• Purchasing cost:penting bila harga satuan barang/bahan tergantung kepada besar pesanan (ada quantity discount atau price break).

• Setup cost:biaya yang harus dikeluarkan setiap kali pemesanan dilakukan.

• Holding cost:biaya yang timbul akibat penyimpanan barang/bahan (misalnya bunga modal yang diinvestasikan, biaya penyimpanan, perawatan, depresiasi, dsb.)

• Shortage cost:penalty yang harus dibayar bila terdapat kekurangan barang/bahan yang dibutuhkan.

Prinsip Dasar (7)

Prinsip Dasar (8)

Tipe inventory models:

Demand Deterministic

Probabilistic

Static

Dynamic

Stationary

Nonstationary

(SimplestModels)

(Most complex models)

Increasing level of math. difficulty

Prinsip Dasar (9)

Faktor-faktor (selain permintaan) yang juga dapat mempengaruhi formulasi model:

• Delivery lags atau lead times:selang waktu antara saat pemesanan dan saat diterimanya barang. Besaran ini mungkin deterministik atau probabilistik.

• Stock replenishment (pemenuhan persediaan):- segera (instantaneous) - secara uniform

• Horizon waktu:periode dimana inventory level akan dikontrol:- terhingga- tak terhingga

• Jumlah item

Prinsip Dasar (10)

Model-model deterministik ditentukan oleh:

• Permintaan:

- statik

- deterministik

• Tipe fungsi biaya

Single-Item Static Model (1)

Karakteristik:

• permintaan konstan sepanjang waktu• pemenuhan kebutuhan segera

(instantaneous replenishment)• tidak ada kekurangan (shortage)

Asumsi:

• Permintaan terjadi dengan rate (per satuan waktu)• Level of inventory yang tertinggi terjadi ketika order

quantity y diterima.• Inventory level mencapai nol, y/ satuan waktu

setelah order quantity y diterima.

Single-Item Static Model (2)

Inventory level vs. time

Inventorylevel

Points at time at which orders are received

Average inventory=y/2

Timet0= y/β

y

Single-Item Static Model (3)

Inventory level

Time

Low ordering frequency

High ordering frequency

Ordering frequency

Single-Item Static Model (4)

Misal K = set up cost yang harus dikeluarkan setiap kali pemesanan dilakukan

h = holding cost per unit inventory per satuan waktu

Biaya total per satuan waktu (TCU) sebagai fungsi y:

TCU(y) = set up cost/satuan waktu + holding cost/satuan waktu

= K/(y/) + h(y/2)

Single-Item Static Model (5)

Dengan asumsi bahwa y adalah variabel yang kontinu, harga y optimum diperoleh dengan:

dTCU(y)/dy = -K/y2 + h/2 =0 y* = 2 K/h (Wilson’s economic lot size)

Jadi, strategi optimum:memesan y* unit setiap t0* = y*/ unit waktu

Biaya optimum TCU(y*), diperoleh dengan melakukan substitusi langsung, besarnya adalah 2Kh. Biasanya terdapat lead time (atau time lag) L antara saatpemesanan dan saat penerimaan pesanan.

reorder point harus ditentukan (continuous review model).

Single-Item Static Model (6)

Inventorylevel

Time

y*

L L

Reorder points

Single-Item Static Model (7)

Buffer Stock

Di dalam situasi yang nyata, permintaan biasanya bersifat probabilistik.

Cara kasar yang biasa digunakan oleh para praktisi untuk tidak mengabaikan sama sekali efek permintaan yang probabilistik adalah sebagai berikut:

• Diberikan buffer stock (konstan) pada inventory level untuk seluruh horizon perencanaan.

• Besar buffer ditentukan sedemikian rupa sehingga kemungkinan untuk kehabisan stock selama lead time L tidak lebih dari suatu harga yang dapat diterima.

Single-Item Static Model (8)

Misalnya f(x) adalah density function permintaan selama lead time dan kemungkinan (probability) kehabisan stock selama L tidak boleh melampaui , maka jumlah buffer (B) ditentukan dari:

P{x > B + L} < dimana L menyatakan penggunaan selama L.

Single-Item Static Model (9)

Buffer

L

Reorder point

Inventorylevel

Time

B

B+βL

B+y*

P{xL ≥ μL + B} ≤ α

P{(xL – μL)/σL ≥ B/σL} ≤ α

P{(xL – μL)/σL ≥ B/14.4} ≤ 0.05

B/14.4 ≥ 1.64

B ≥ 23.2

Contoh:

Permintaan per hari untuk suatu komoditas adalah kira2 100 unit. Setiap kali dilakukan pemesanan, harus dibayarkan suatu fixed cost sebesar $100. Holding cost perhari per unit inventory adalah $ .02. Bila lead time adalah 12 hari, tentukan economic lot size dan reorder point.

Misalkan permintaan per hari terhadap komoditas di atas dapat diasumsikan terdistribusi normal dengan rata-rata 100 unit dan variance 30. Setiap kali pemesanan dilakukan harus dikeluarkan biaya $100. Holding cost per hari per unit inventory adalah $0.02. Lead time adalah 15 hari. Tentukan jumlah buffer stock sehingga probabilitas kekuranganpersediaan selama lead time maksimum adalah 0.05. Gambarkan siklus inventory dengan grafik, tunjukkan dimana reorder pointnya.Bagaimana keadaannya bila lead time adalah 8 hari?

Single Item Static Model dengan Price Breaks (1)

• Sering terjadi bahwa purchasing price per unit tergantung kepada jumlah yang dibeli.

• Keadaan ini ditandai dengan adanya price-breaks atau quantity discounts yang discrete.

• Dalam kasus seperti ini, purchasing price harus diperhitungkan dalam inventory model.

Single Item Static Model dengan Price Breaks (2)

• Misalkan inventory model dengan instantaneous stock replenishment dan no shortage.

• Asumsikan bahwa biaya per unit adalah c1 untuk y<q dan c2 untuk y > q.

• Total cost per cycle akan meliputi purchasing cost, set up cost dan holding cost.

Single Item Static Model dengan Price Breaks (3)

Total cost per unit time untuk y<q:

TCU1(y) = c1 + K/y + (h/2)y

untuk y>q:

TCU2(y) = c2 + K/y + (h/2)y

Tanpa melihat price break untuk sementara, ym adalah kuantitas pada mana nilai minimum untuk TCU1 dan TCU2 terjadi.

Maka: ym = 2K/h

Single Item Static Model dengan Price Breaks (4)

• Penentuan optimum order quantity y* tergantung dari letak q, yaitu price break point, terhadap tiga zona: I, II, dan III.

• Ketiga zona ini diperoleh dengan menentukan q1 (>ym) dari persamaan: TCU1(ym) = TCU2(q1)

• Karena ym diketahui (=2K/h), solusi persamaan di atas akan memberikan nilai q1.

• Dalam kasus ini ketiga zona didefinisikan sebagai berikut:

Zona I: 0 < q <ym

Zona II: ym < q <q1

Zona III: q > q1

Single Item Static Model dengan Price Breaks (5)

Optimum order quantity, y*, adalah sebagai

berikut:

y* = ym bila 0<q<ym (zona I)

q bila ym<q<q1 (zona II)

ym bila q>q1 (zona III)

Single Item Static Model dengan Price Breaks (6)

Prosedur untuk menentukan y*:

• Tentukan ym = 2K/h. Bila q<ym (zona I), maka y* = ym, dan prosedurnya selesai.

• Kalau tidak,

• Tentukan q1 dari persamaan TCU1(ym) = TCU(q1) dan tentukan apakah q jatuh di zona II atau zona III:

- bila ym<q<q1 (zona II), maka y* = q- bila q>q1 (zona III), maka y* = ym.

Multiple-Item Static Model with Storage Limitation (1)

• Model ini mengenai sistem inventory yang meliputi n (>1) items yang bersaing untuk memperoleh tempat penyimpanan yang terbatas.

• Keterbatasan ini dimasukkan ke dalam model sebagai kendala.

Multiple-Item Static Model with Storage Limitation (2)

• Misalkan A adalah tempat penyimpanan maksimum yang tersedia untuk n items dan diasumsikan area penyimpanan yang dibutuhkan per unit item ke-i adalah ai.

• Bila yi adalah jumlah yang dipesan untuk item ke-i, kendala kebutuhan tempat penyimpanan menjadi:

aiyi < A

• Asumsi:

- instantaneous stock replenishment untuk n items- tidak ada quantity discount

Multiple-Item Static Model with Storage Limitation (3)

• Untuk item ke-i:- rate permintaan per unit waktu: i

- setup cost: Ki

- holding cost per unit per unit waktu: hi

• Inventory cost untuk setiap item adalah sama seperti untuk single-item model.

• Problem menjadi:

Minimumkan TCU(y1, ……, yn) = (Kii/yi + hiyi/2)dengan kendala: aiyi < A

yi > 0 untuk semua i

Multiple-Item Static Model with Storage Limitation (4)

• Solusi umum problem ini diperoleh dengan metoda Lagrange multipliers.

• Sebelumnya, perlu diperiksa apakah kendala bersifat aktif dengan memeriksa apakah nilai tak berkendala:yi* = 2Kii/hi memenuhi kendala tempat penyimpanan.

• Bila ya, berarti kendala bersifat tidak aktif atau redundant dan dapat diabaikan.

• Bila kendala tidak dipenuhi oleh nilai-nilai yi*, berarti kendala tersebut aktif. Dalam keadaan ini, harus ditentukan nilai-nilai optimal yang baru dari yi yang memenuhi kendala tempat penyimpanan dalam bentuk persamaan.

Multiple-Item Static Model with Storage Limitation (5)

Ini diperoleh dengan pertama-tama memformulasikan Lagrangian function sebagai:

L(, y1, y2, ……, yn) =

TCU(y1, …., yn) - (aiyi – A) =

(Kii/yi + hiyi/2) - (aiyi – A)

dimana (<0) adalah Lagrange multiplier.

Multiple-Item Static Model with Storage Limitation (6)

• Nilai optimum yi dan dapat diperoleh dengan membuat turunan parsial pertama yang bersangkutan = 0.

Maka: L/yi = -Kii/yi2 + hi/2 - ai = 0

L/ = - aiyi + A = 0

• Persamaan kedua menyebabkan keadaan dimana yi* harus memenuhi kendala tempat penyimpanan dalam bentuk persamaan.

• Dari persamaan pertama:

y* = 2Kii/(hi - 2*ai)

• yi* tergantung dari *, yang merupakan nilai optimal dari .

Multiple-Item Static Model with Storage Limitation (7)

• Untuk * = 0, yi* merupakan solusi kasus yang tidak berkendala.

• Nilai * dapat ditemukan dengan trial and error yang sistematik.

• Karena menurut definisi <0 untuk kasus minimisasi di atas, dengan mencobakan nilai-nilai negatif secara suksesif, nilai * akan sekaligus juga memberikan nilai-nilai yi* yang memenuhi kendala dalam bentuk persamaan.

• Jadi, penentuan * secara otomatis memberikan yi*.