View
222
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
7/23/2019 Kako Izvoditi Pripreme Za Takmienje
1/5
195
Postoje razne mogunosti s kojima kreativan na-stavnik matematike moe razvijati stvaralako mi-ljenje i matematike sposobnosti svojih uenika.Posebno su vana matematika natjecanja, jer sena njima uenicima ispunjava prirodna elja daprovjere svoje matematike sposobnosti.
Za svako natjecanje potrebne su odgovarajuepripreme.
U lanku [16] bilo je govora i o pripremama na-stavnika i uenika za matematika natjecanja. Uovom lanku ukazujemo na vanije korake tih pri-prema, nadopunjene kratkom metodikom obra-dom nekoliko matematikih podruja iz kojih seesto zadaju natjecateljski zadaci.
Slabosti, pogreke i mjereRazgovori s nastavnicima-mentorima, raspravena seminarima, u metodikim radionicama i naokruglim stolovima ukazuju na to da ve u fazi pri-prema u naim kolama postoji velika arolikost.Jedni nastavnici redovito pripremaju svoje najbo-lje uenike za natjecanja, drugi ne. esto, kad pri-preme i postoje, ne vre se na najbolji nain, a naj-ee su one pripreme koje se vre nekoliko danapred samo natjecanje. Uenici, koji su tako pripre-
mani, nemaju stabilna matematika znanja, pa ni-je udo da na natjecanjima rade pogreke i ondjegdje se to najmanje oekuje. Evo estih pogrea-ka uenika pri rjeavanju zadataka:
nepotpuna analiza zadatka, nepravilno zakljui-
vanje, zapostavljanje preciznog logikog slijedaizvoenja, brzopletost pri pismenom izraavanju,neurednost i nepreglednost koraka u radu, manj-kavi i netoni crtei, zapostavljanje teksta i obja-njavanja postupka rjeavanja, uenik ne moeprocijeniti teinu zadatka i dr.
to mogu uiniti nastavnici matematike u cilju po-boljanja stanja na podruju priprema uenika zamatematika natjecanja?
Neke mjere mogu poduzeti ve u redovitoj nasta-vitijekom cijele kolske godine. U te mjere ubraja-ju se: dodatni zadaci za naprednije uenike, ana-liza zadataka s natjecanja, smanjivanje velikoga
broja standardnih zadataka i poveanje broja pro-
blemskih zadataka, prilagoavanje zadataka pri-
mjeni i razvijanju nekih matematikih postupaka
koji slue za uvoenje uenika u stvaralaki rad,
posveivanje vee pozornosti metodikoj strani
procesa rjeavanja zadataka, njegovanje kreativ-
nosti uenika i dr.
Priprema nastavnikai uenika za matematika natjecanja
Zdravko Kurnik, Zagreb
Redovita nastava ne moe u potpunosti zadovoljiti potrebe i interese odreenoga broja uenika sposebnim sklonostima i sposobnostima za dublje razumijevanje matematike, koji uz odgovarajuirad mogu kasnije dati natprosjene rezultate. Zato se namee potreba da se razvijaju i njegujuposebne aktivnosti koje omoguuju to ranije otkrivanje takvih uenika i usmjeravanje i praenjenjihova rada.
7/23/2019 Kako Izvoditi Pripreme Za Takmienje
2/5
196196
iz rjenika metodike
broj 50 / godina 10. / 2009.
Mjere za intenzivnije pripreme uenika za natjeca-nja izvan redovite nastavejesu rad u matemati-
kim grupama, rad u matematikim radionicama,obrada strune literature, razmjena ideja i postu-paka putem e-maila i dr.
Struktura obrade nekogpodrujaNavedene mjere koje se odnose na pobolja-nje priprema uenika za natjecanja putem dubljestrune i metodike obrade nekog podruja ma-tematike mogu se preciznije razraditi u nekolikoodjeljaka:
1) Zadaci s naih natjecanja.Upoznavanje ue-nika sa zadacima koji su iz odreenog podru-ja matematike posljednjih nekoliko godina zada-vani na natjecanjima igra vanu ulogu u pripremi.Kao prvo, uenici uviaju potrebu rjeavanja ta-kve vrste zadataka, jer se slini zadaci mogu po-javiti na iduim natjecanjima. Kao drugo, proua-vajui rjeenja takvih zadataka spoznaju kakva jeteina natjecateljskih zadataka. Kao tree, otkriva-ju kod sebe mogui nedostatak znanja za rjea-vanje takve vrste zadataka. Uzevi sve to zajedno,
ovaj korak moemo nazvati psiholokom pripre-mom uenika.
2) Teorijska osnova.Za uspjeno rjeavanje za-
dataka iz nekog podruja matematike potrebna je
prije svega primjerena teorijska osnova i njezina
dobra metodika razrada. Teorijsku osnovu ine
odgovarajue injenice, svojstva, tvrdnje, pouci,
metode iz kolske matematike. Te injenice istie-
mo tek pri rjeavanju konkretnih zadataka.
Za natjecateljske zadatke, koji su u pravilu pro-blemski zadaci, potrebna je bogatija teorijska
osnova i dodatne injenice. To su pouci, postup-ci i metode rjeavanja koji nisu izravno iz kolskematematike, ali je poeljno da ih napredniji ueni-ci znaju. Upoznavanje naprednijih uenika s timinjenicama moemo smatrati primjerenim radomna razvoju njihovih matematikih sposobnosti, aposebno na boljoj pripremljenosti za matematikanatjecanja. Povoljna je okolnost da mnogi natje-catelji imaju vea znanja o zadacima od onih kojadobivaju u redovitoj nastavi. Ta znanja oni su stekli
samostalno iz nekih drugih izvora. Meutim, jouvijek postoji nesklad izmeu redovitih i dodatnih
znanja. S tim je u uskoj vezi nedoumica koju na-kon natjecanja izaziva pitanje famoznih 0 bodo-va nekih uenika na rang-listama natjecanja. Ka-ko je to mogue?
Jedan od moguih odgovora jest: nepoznavanjemetoda rjeavanja. Metode rjeavanja matema-tikih problema su posebna znanja o kojima vr-lo esto ovisi uspjeh ili neuspjeh uenika na na-tjecanjima. Zbog nepoznavanja metoda mnogise natjecateljski zadaci njima ine teima negoto to oni stvarno jesu. Rjeenje toga problema
treba traiti u okviru proirenja teorijske osnove.Kako u svakom podruju matematike postoji nizrazraenih i uinkovitih metoda rjeavanja razno-vrsnih problema, potrebno je samo da nastavniknapravi kratku metodiku razradu pojedine meto-de i upozna svoje uenike-natjecatelje s njezinomprimjenom i djelotvornou. Poznavanje dovoljno-ga broja uinkovitih metoda rjeavanja matemati-kih problema omoguuje lake svladavanje no-vih problema i pozitivno utjee na matematikesposobnosti i trajnost znanja uenika. To pozna-vanje ujedno osnauje psiholoku pripremu ue-
nika za natjecanja.
Poeljno je da u okviru priprema za natjecanja na-stavnik matematike upozna svoje uenike s nekimod sljedeih metoda: metodom analogije, meto-dom supstitucije, metodom neodreenih koefici-
jenata, metodom rekurzije, metodom matematike
indukcije, metodom razlikovanja sluajeva, meto-
dom superpozicije, metodom uzastopnih priblia-
vanja, Descartesovom ili algebarskom metodom i
dr.
U ovom koraku priprema nastavnik matematiketreba jo provjeriti koja dodatna znanja imaju nje-govi natjecatelji, upoznati ih s dodatnim injenica-ma iz obraivanog podruja, poticati ih da pri rje-avanju odabranih zadataka i sami pronau nekinovi nain rjeavanja primjenom nekog novog po-stupka, ukazati im na vrijednosti meusobne ko-munikacije, grupnog rada i rada u matematikojradionici i dr. Ovaj korak moemo nazvati aktivi-
ranjem znanja.
7/23/2019 Kako Izvoditi Pripreme Za Takmienje
3/5
197
3) Problemi u matematikoj radionici. Za raduenika u matematikoj radionici nastavnik ma-
tematike treba pripremiti primjeren izbor zadata-ka iz odabranoga podruja. Primjerenost u ovomkoraku priprema znai: optimalan broj zadatakakojim se pokriva podruje, raznovrsnost po sadr-aju, raznovrsnost po teini. Ovaj korak moemonazvati upoznavanjem podruja obrade.
4) Analiza, rjeavanje i kreativnost.Ovo je sre-dinji dio priprema. Tu se treba zbiti sve ono to euenicima pomoi u uspjenom sudjelovanju nanatjecanjima: analiza svakog zadatka i ustanov-ljavanje njegove teine, aktiviranje i povezivanje
predznanja, iznoenje osobnog miljenja, razmje-na ideja, otkrivanje i osmiljavanje naina rjea-vanja, odabir teorijske osnove, djelotvorna raspra-va o rezultatima samostalnog i zajednikog rada.Nastavnik matematike posebnu pozornost trebaposvetiti iznoenju novih ideja uenika, otkrivanjunovih metoda rjeavanja, uoavanju originalnihrjeenja. Na temelju toga moe se zakljuiti da jeteite rada u radionici na pristupu, idejama, me-todama rjeavanja i njegovanju kreativnosti ueni-ka. Ovaj korak priprema moemo nazvati ovla-davanjem podruja obrade.
5) Dodatni problemi.Da bi znanje uenika bilotrajnije i uenici sigurniji pri rjeavanju zadataka izobraenoga podruja, nastavnik matematike tre-ba pripremiti i izbor dodatnih zadataka. Ti zadaciobino se predviaju za novu matematiku radio-nicu, a uenici ih mogu koristiti za samostalni radna pripremanju za natjecanja. Ovaj korak moe-mo nazvati utvrivanjem.
Izbor podruja
U programima po kojima se uenici natjeu pieda za vie razine natjecanja oni trebaju poznava-ti i sljedea dodatna podruja: kombinatorne za-datke, logike zadatke, diofantske jednadbe, Di-
richletov princip (O), matematiku indukciju,elementarnu teoriju brojeva, osnovne nejednako-
sti o sredinama (S).
Evo kratkih i saetih prikaza obrade nekih podru-ja koja trebaju poznavati natjecatelji iz osnovnih
kola i nekih podruja koja trebaju poznavati na-tjecatelji iz srednjih kola.
DIOFANTSKE JEDNADBE
Diofantske jednadbe su linearne ili nelinearne al-gebarske jednadbe s dvije ili vie nepoznanica scjelobrojnim koeficijentima za koje se trae cjelo-brojna (ili racionalna) rjeenja. Pritom se uzima daje broj nepoznanica vei od broja jednadbi.
Metodika rjeavanja diofantskih jednadbi zasni-va se na sljedeoj strukturi:
Pojam diofantske jednadbe, zadaci s matema-tikih natjecanja, osnovna svojstva brojeva, line-arna diofantska jednadba, Pitagorina jednad-ba i Pitagorini brojevi, metode rjeavanja (metodaumnoka, metoda kvocijenta, metoda parnosti,metoda posljednje znamenke, metoda nejedna-kosti), diofantske jednadbe u matematikoj radi-onici, dodatni zadaci.
Osnovna literatura: [13], [15], [22], [25], [14].
DIRICHLETOVO NAELO
U rjeavanju raznovrsnih problema, posebno pridokazivanju postojanja objekata koji imaju neko
odreeno svojstvo, esto je vrlo uspjena primje-na jednog od najpoznatijih kombinatornih princi-pa, koji je poznat pod raznim popularnim nazi-vima kao to su princip kutija, princip pretinaca,
princip golubinjaka, problem zeeva i kavezai dr.Njemaki matematiar Dirichlet ga je prvi jasnoformulirao i dao mu precizan matematiki smisao.Zato taj princip nosi njegovo ime. Mi emo ga udaljnjemu tekstu u duhu naeg jezika nazivati Di-richletovim naelom.
Dirichletovo naelo moe se formulirati na razlii-te naine. Navodimo najeu, popularnu formu-
laciju:
Ako n+ 1zeeva rasporedimo bilo kako u nkave-
za, onda su u barem jednom kavezu smjetena ba-
rem 2zeca.
Metodika obrade Dirichletova naela zasniva sena sljedeoj strukturi:
Razliite formulacije Dirichletova naela, zadaci s
matematikih natjecanja, odabrani zadaci za ma-
7/23/2019 Kako Izvoditi Pripreme Za Takmienje
4/5
7/23/2019 Kako Izvoditi Pripreme Za Takmienje
5/5
199
metoda nego za rjeavanje na samo jedan nain.Time se za samo jedan zadatak aktivira, analizira
i primjenjuje vea koliina steenog znanja ueni-ka, a njihovo miljenje postaje pokretljivije. Osimtoga, znanja uenika se produbljuju i proiruju no-vim znanjima, a najvanije je da zadaci s vie na-ina rjeavanja poveavaju aktivnost uenika i nji-hov interes prema matematici.
Metodika rjeavanja takvih zadataka zasniva sena sljedeoj strukturi:
Matematiki zadatak (sastav zadatka, vrste za-dataka, zadaci s vie naina rjeavanja), meto-de (metoda razlikovanja sluajeva, metoda sup-
stitucije, metoda neodreenih koeficijenata i dr.),pomoni teoremi, pomone jednakosti, pomonenejednakosti, zadaci u matematikoj radionici (izraznih podruja matematike), dodatni zadaci.
Osnovna literatura: [8].
ZakljuakUspjeh uenika na matematikim natjecanjimaovisi u velikoj mjeri o kvaliteti priprema. Iako je bilo
kakav oblik priprema koristan i dobrodoao, ipaktreba iz godine u godinu poboljavati i usavrava-
ti rad s naprednijim uenicima, a pripreme za na-tjecanja uiniti jo djelotvornijima. Materijala za tajrad ima dovoljno, samo ga treba razvrstati, meto-diki srediti i oblikovati za primjerene pripreme.
U ovom lanku opisana je u saetom obliku me-todika obrada nekoliko podruja matematike zakoja postoje prilino dobro metodiki oblikovanimaterijali po kojima se moe neposredno raditi.Poeljno je da se i za druga podruja matematike,iz kojih na natjecanja esto stiu sve noviji i novi-ji zadaci, takoer izrade takvi materijali. Tu jo ima
posla za sve nas!Dobre pripreme ine znanja uenika stabilnijim, auenici postaju i struno i psiholoki spremniji nanove izazove.
Kada trebaju poeti pripreme za novi ciklus na-tjecanja? Odgovor je jasan: pripreme nastavni-ka i uenika za matematika natjecanja trebaju,u ovom ili onom obliku, poeti kad i nova kolskagodina!
LITERATURA
[1] A. Dujella, M. Bombardelli, S. Slijepevi, Matematika natjecanjauenika srednjih kola, HMD i Element, Zagreb, 1996.
[2] Elezovi N., Odabrani zadaci elementarne matematike, Element,Zagreb, 1992.
[3] Hanj ., Meunarodne matematike olimpijade, Element, Zagreb,2006.
[4] M. Krni, Dirichletovo pravilo, HMD, Matkina biblioteka, Zagreb,2001.
[5] Z. Kurnik, Dirichletov princip, Bilten seminara iz matematike zanastavnike-mentore 2 (1993.), 9-16.
[6] Z. Kurnik, Geometrijske konstrukcije, Pouak 9 (2002), 34-41.
[7] Z. Kurnik, P. Mladini, R. Svedrec, Osnovne konstrukcije, Biltenseminara iz matematike za nastavnike-mentore 13 (2004), 65-86.
[8] Z. Kurnik,Zadatci s v ie na ina rjeavanja , HMD, Matkina biblio-teka, Zagreb, 2004.
[9] Z. Kurnik, Nejednakosti, HMD, Matkina biblioteka, Zagreb, 2004.
[10] Z. Kurnik, Osnovne konstrukcije i osnovna primjena, Matematika ikola 29 (2005), 148-152.
[11] Z . Kurnik, Konstruktivne metode, Matematika i kola 30 (2005),195-201.
[12] Z. Kurnik, Dirichlet i njegov princip, Matematika i kola 28 (2005.),107-111.
[13] Z . Kurnik, Diofantske jednadbe, HMD, Matkina biblioteka,Zagreb, 2007.
[14] Z. Kurnik, Diofantske jednadbe, Bilten seminara iz matematikeza nastavnike-mentore 16 (2007.), 56-70.
[15] Z . Kurnik, 13 matodikih radionica, HMD, Matkina biblioteka,Zagreb, 2007.
[16] Z. Kurnik, Metodika strana matematikih natjecanja, Matematika ikola 44 (2008.), 148-151.
[17] N. Luka, P. Mladini, R. Svedrec, S. Varoanec, Z. Varoanec,Matematiko natjecanjeKlokan bez granica 1999.2004., HMD,Zagreb, 2005.
[18] Matematika natjecanja (knjiice za godinje cikluse natjecanja),Element i HMD, Zagreb.
[19] Matematika natjecanja u Republici Hrvatskoj za 7. i 8. razredosnovne i 1. razred srednje kole 1992.-2006., HMD, Matkinabiblioteka, Zagreb, 20 07.
[20] Matematiko-fiziki list, HMD i HFD, Zagreb.
[21] Matka, asopis za mlade matematiare, HMD, Zagreb.
[22] B. Pavkovi, B. Daki, P. Mladini , Elementarna teorija brojeva,HMD i Element, Zagreb, 1994.
[23] B. Pavkovi, B. Daki, P. Mladini, . Hanj, Male teme iz mate-matike, HMD i Element, Zagreb, 1994.
[24] G. Polya, Kako u rijeiti matematiki zadatak(prijevod s engle-skog), kolska knjiga, Zagreb, 1956.
[25] V. Stoi, Natjecanja uenika osnovnih kola, HMD, Zagreb, 2000.
Recommended