KONSEP DASAR PROBABILITAS · Inspirasi Teori Probabilitas Pada tahun 1654, seorang bandar judi...

1

KONSEP DASAR PROBABILITAS

Probabilitas

Probabilitas Diskret

Konsep Dasar

Probabilitas Normal

Teori Keputusan

3

SEJARAH TEORI PROBABILITAS

Inspirasi Teori Probabilitas

Teori probabilitas berawal dari meja judi.

Matematikawan dan fisikawan Italia yang bernamaGirolamo Cardano (1501-1576) senang bermain judi.

Judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya,namun memacunya untuk mempelajari teoriprobabilitas.

Dari judi tersebut, Cardano membuat buku Liber deLudo Aleae (Book on Games of Changes) yangbanyak membahas konsep dasar dari probabilitasdan berisi tentang masalah perjudian.

Inspirasi Teori Probabilitas

Pada tahun 1654, seorang bandar judi bernama Chevalier deMere kalah dalam berjudi. Dia meminta temannya Blaise Pascal(1623-1662) untuk menganalisis sistem perjudiannya.

Pascal menemukan sistem yang dipunyai oleh Chevalier akanmengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudianmenjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajarimasalah perjudian.

Pascal mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yanglain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665) dan membentuk asalkejadian dari konsep peluang.

Blaisé Pascal bekerjasama dengan Fermat menyelesaikan soal-soal yang diberikan oleh Chevalier de Mere, diantaranya: Berapa kali kita harus melemparkan dua buah dadu, sehingga minimal

separuh mata dadu yang muncul keduanya angka 6.

Ketika dadu dilempar sebanyak 8 kali, berapa peluang seseorang gagalmendapat mata dadu 1 sebanyak tiga kali.

Inspirasi Teori Peluang

Pada tahun 1709 Jaques Bernoulli menulis

buku Ars Conjectandi yang terdiri 4 bagian,

yaitu:

Menulis lagi Liber de Ludo Aleae (Book on

Games of Chance) karya Cardano

Menjelaskan permutasi dan kombinasi

Menjelaskan distribusi binomial dan multinomial

Teori peluang

7

TEORI PROBABILITAS

8

Definisi:Probabilitas adalah peluang suatu kejadian

Manfaat:Manfaat mengetahui probabilitas adalah membantu pengambilan

keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastiandan informasi yang tidak sempurna.

Contoh:• Berapa peluang harga saham akan turun atau akan naik.• Berapa peluang kesuksesan produk yang diluncurkan perusahaan.• Negara mana yang akan menjuarai Piala Dunia.

PENDAHULUAN

9

Probabilitas:Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akanterjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1atau dalam persentase (misal: 0 – 100%).

Percobaan:Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang

memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpamemperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

Hasil (outcome):Suatu hasil dari sebuah percobaan.

Peristiwa (event):Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah

percobaan atau kegiatan.

PENDAHULUAN

10

PENGERTIAN PROBABILITAS

Contoh:

Percobaan/

Kegiatan

Pertandingan final Piala Dunia sepak bola

Jerman vs Argentina.

Hasil Jerman menang

Argentina menang

Peristiwa Jerman menang

PENDEKATAN PROBABILITAS

Pendekatan Klasik• Setiap peristiwa mempunyai kesempatan yang sama

untuk terjadi.

Pendekatan Relatif

• Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama,tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi.

Pendekatan Subjektif

• Probabilitas suatu kejadian didasarkan pada penilaianpribadi yang dinyatakan dalam suatu derajatkepercayaan.

CONTOH PENDEKATAN KLASIK

Probabilitas = Jumlah kemungkinan hasil

suatu peristiwa Jumlah total kemungkinan hasil

Percobaan Hasil Probabilitas

Kegiatan melempar

uang

1. Muncul gambar

2. Muncul angka

2 ½

Kegiatan

perdagangan saham

1. Saham turun

2. Saham naik

2 ½

Mahasiswa belajar 1. Lulus memuaskan

2. Lulus sangat memuaskan

3. Lulus cum laude

3 1/3

13

CONTOH PENDEKATAN RELATIF

Probabilitas = Jumlah peristiwa yang terjadi

suatu peristiwa Jumlah total percobaan

Contoh: Dalam 12 bulan, 10 bulan terjadi inflasi dan 2 bulan deflasi. Maka probabilitas inflasi = 10/12=0,83 dan probabilitas deflasi = 2/12=0,17

14

CONTOH PENDEKATAN SUBJEKTIF

Contoh:• Menurut pakar ekonomi, Indonesia akan mengalami

pertumbuhan ekonomi yang tinggi• Menurut pakar perbankan syariah, jumlah nasabah

bank syariah akan meningkat

Semua contoh tersebut hanya berdasarkan penilaianpribadi dan mungkin tidak banyak informasi sebagaidasar pertimbangan

15

DISTRIBUSI NORMAL

PELEMPARAN DUA DADU: 6 KALI PELEMPARAN

PELEMPARAN DUA DADU: 60 KALI PELEMPARAN

PELEMPARAN DUA DADU: 6000 KALI PELEMPARAN

19

Complement of an Event(Kejadian Saling Melengkapi)

Hukum Dasar:

P(A) + P(Ac) = 1

Contoh: Hidup dan mati. Naik dan turun

P(A)P(Ac)

20

Hukum Penjumlahan(Kejadian Saling Beririsan)

Rumus:

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(AB)

P(A) P(B)

21

Hukum Penjumlahan(Kejadian Saling Lepas)

Rumus:

P(A atau B) = P(A) + P(B)

P(A) P(B)

22

Probabilitas Bersyarat

Simbol probabilitas bersyarat: P(A│B)

Cara baca:

Probabilitas munculnya kejadian A jika terjadi

kejadian B

23

Contoh Kasus Probabilitas Bersyarat (Calon Pegawai Bank Syariah Madani)

P(P dan L) = 288/1200 = Probabilitas Pria dan Lulus

P(L│P) = 288/960 = Probabilitas Pria yang Lulus

P(W dan L) = 36/1200 = Probabilitas Wanita dan Lulus

P(L│W) = 36/240 = Probabilitas Wanita yang Lulus

Pria (P) Wanita (W) Total

Lulus (L) 288 36 324

Tidak Lulus (T) 672 204 876

Total 960 240 1200

24

Contoh Kasus Probabilitas Bersyarat

P(P dan L) = 288/1200 = Probabilitas Pria dan Lulus

P(L│P) = 288/960 = Probabilitas Pria yang Lulus

P(W dan L) = 36/1200 = Probabilitas Wanita dan Lulus

P(L│W) = 36/240 = Probabilitas Wanita yang Lulus

Pria (P) Wanita (W) Total

Lulus (L) 0.24 0.09 0.27

Tidak Lulus (T) 0.56 0.17 0.73

Total 0.80 0.20 1.0

25

Diagram Pohon

Pria

Wanita

P(W) = 240/1200

= 0.20

P(P) = 960/1200

= 0.80

Lulus

Tidak Lulus

Lulus

Tidak Lulus

Calon

Pegawai

P(L │ P) = 288/960

= 0.30

P(T│P) = 672/960

= 0.70

P(PL) = P(L│P)x P(P)

= 0.24

P(PT) = P(T│P)x P(P)

= 0.56

P(L │ W) = 36/240

= 0.15

P(T│W) = 204/240

= 0.85

P(WL) = P(L│W)x P(W)

= 0.03

P(WT) = P(T│W)x P(W)

= 0.17

TEOREMA BAYES

Merupakan probabilitas bersyarat-suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada.

Rumus:

)YA(P).Y(P)XA(P).X(P

)XA(P).X(P)AX(P

TEOREMA BAYES

Supermarket PALU GADA memasok barang dari PT

X sebanyak 65%, sisanya oleh PT Y. Setiap

pengiriman selalu ada yang jelek. Untuk PT X,

barang jelek yang dikirim sekitar 2%. Sedangkan PT

Y persentase barang jeleknya adalah 5%. Jika tim

QC melakukan inspeksi barang jelek, berapa

kemungkinan barang jelek tersebut:

Dihasilkan oleh PT X

Dihasilkan oleh PT Y

TEOREMA BAYES

X

Y

P(Y) = 0.35

P(X) = 0.65

Baik

Jelek

Baik

Jelek

Pemasok

P(B Ι X) = 0.98

P(J Ι X) = 0.02

P(XB) = P(B Ι X)x P(X)

= 0.6370

P(XJ) = P(J Ι X)x P(X)

= 0.0130

P(B Ι Y) = 0.95

P(J Ι Y) = 0.05

P(YB) = P(B Ι Y)x P(Y)

= 0.3325

P(YJ) = P(J Ι Y)x P(Y)

= 0.0175

TEOREMA BAYES

Jika Anda adalah tim Quality Control (QC). Berapa probabilitas barang dari pemasok X jika barang tersebut jelek?

Yang ditanya adalah P(X Ι J) = ?

Penyelesaian:

4262,0)05,0)(35,0()02,0)(65,0(

)02,0)(65,0()JX(P

)YJ(P).Y(P)XJ(P).X(P

)XJ(P).X(P)JX(P

Penyelesaian Tabel

1 2 3 4 5

Pemasok Probabilitas Barang

Rusak

Perkalian

X 0.65 0.02 0.0130 0.42622

Y 0.35 0.05 0.0175

Total 1 0.0305

0.013/0.0305

FAKTORIAL, PERMUTASI, KOMBINASI

Faktorial = n!

Permutasi nPr = n!/ (n-r)!

Kombinasi nCr = n!/r! (n-r)!

• Faktorial (berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam kelompok).

• Permutasi (sejumlah kemungkinan susunan jika terdapat satu kelompok objek).

• Kombinasi (berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya.

Aplikasi Faktorial

Berapa cara yang mungkin apabila kita

mengurutkan 3 bank

Jawab: 3! = 3 x 2 x 1

Berapa cara yang mungkin apabila kita

menyusun 5 perusahaan

Jawab: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Aplikasi Permutasi

Ada berapa kemungkinan pasangan capres-cawapres

jika terdiri dari 3 tokoh sebagai berikut: Jokowi, JK,

Prabowo.

n = 3 dan r = 2

nPr = n!/(n-r)! = 3!/(3-2)! = 6

Permutasi memperhatikan urutan.

Misal: Jokowi – JK dengan JK – Jokowi adalah

pasangan yang berbeda.

N : banyaknya objek

R : jumlah yang harus dipilih

Kombinasi

Berikut ini ada 8 tim di Piala Dunia 2014 yang

berhasil masuk perempat final: Jerman,

Argentina, Brazil, Belanda, Belgia, Prancis,

Kolombia, dan Costarica. Berapa kombinasi

final yang akan terjadi:

n = 8 dan r = 2

nCr = n!/r!(n-r)! = 8!/2!(8-2)! = 28

Catatan: dalam kombinasi Jerman – Argentina

dan Argentina – Jerman dianggap sama

EXPECTED VALUE

Expected Value

Jumlah Kerusakan Peluang Kerusakan

P(x)

0 0,10

1 0,20

2 0,30

3 0,25

4 0,15

1,00

E(x) = (0)(0,10) + (1)(0,20) + (2)(0,30) + (3)(0,25)+ (4)(0,15)

= 2,15

Kerusakan rata-rata adalah 2,15

Ragam dan Simpangan Baku

xi P(xi) xi - E(x) [xi - E(x)]2 [xi - E(x)]2 x P(xi)

0 0.1-2.15 4.6225 0.46225

1 0.2-1.15 1.3225 0.2645

2 0.3-0.15 0.0225 0.00675

3 0.250.85 0.7225 0.180625

4 0.151.85 3.4225 0.513375

σ2=1.4275

LATIHAN

Mesin produksi terkadang dijalankan denganbenar P(B) dan dijalankan dengan salah P(S). Peluangnya adalah seimbang. Pengoperasianmesin produksi berpeluang menghasilkankerusakan dimana jika mesin dijalankan denganbenar maka kerusakan barang 10% sedangkanjika dijalankan dengan salah maka kerusakanbarang 40%. Pertanyaan: Berapa peluangmesin tersebut dijalankan dengan salah ketikatim QC menemukan barang yang rusak?