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la capacità di un elemento di opporsi alle deformazioni generate da un carico
la rigidezza è costante fintanto che l'elemento presenta comportamento lineare
RIGIDEZZARIGIDEZZA
Fk
accorciamento del pilastro:
F
Esempio: pilastro soggetto ad un carico centrato
tensioni: σ = F/A
deformazioni: ε = F/EA
hEAFdhhh
0
h
EA
hEA
FF
h
Fk
rigidezza:
RIGIDEZZA ASSIALERIGIDEZZA ASSIALE
RIGIDEZZA FLESSIONALERIGIDEZZA FLESSIONALE
348
l
EJk
F
F
F
33
h
EJk
3
12
h
EJk
La distribuzione delle forze fra più elementi resistenti
avviene proporzionalmente alle rigidezze degli
elementi nell'ipotesi di movimento rigido
dell'elemento che li collega.
F
FFF 21
2
222
1
111
h
AEk
h
AEk
2211 kFkF
2121 kkkkF
21 kk
F
21
22
21
11
kk
kFF
kk
kFF
F
F1
F2
Pilastro in cemento armato soggetto a sforzo normale
Ac, Ec
Aa, Ea
ac NNN
aaacccaacc AEAEAA
acaacc AEAE
N
aca
c
ac
aacc
ccc nAA
N
AE
EA
N
AEAE
ENE
ac
c
aacc
cc
aacc
ccccc kk
kN
hAE
hAE
hAE
NAEAE
AENAEN
F
Struttura costituita da un solaio sostenuto da 4 pilastri, che costituiscono 2 telai nella direzione della forza F
Ipotesi di solaio infinitamente rigido nel proprio piano
Distribuzione della forza orizzontale Distribuzione della forza orizzontale fra le strutture verticalifra le strutture verticali
Problema: come si ripartisce la forza fra i due telai
F
F2
F1
R
R R'
21
22
21
11
kk
kFF
kk
kFF
Forza centrataForza centrata
MF
F2
F1
R FRe
F
F*e e
ii d
Forza eccentricaForza eccentrica
F
la rigidezza è direttamente proporzionale al modulo elastico E
se il materiale ha comportamento elastico lineare, la rigidezza è costante
tgFk
F
s
oltre il campo elastico, la rigidezza si abbatte
è proporzionale al modulo elastico secante
ANALISI DINAMICA DI IMPALCATO SOSTENUTO DA PIEDRITTI VERTICALI
Ipotesi:
1. impalcato infinitamente rigido nel proprio piano; ovvero, la rigidezza del solaio nel suo piano è molto
grande rispetto alla rigidezza laterale del pilastri
2. deformabilità assiale dei pilastri trascurabile
3. telai dotati di rigidezza solo nel proprio piano
4. massa concentrata a livello dell'impalcato, piedritti privi di massa
Dalle prime due ipotesi discende che il solaio può solo traslare e ruotare rigidamente nel proprio piano.
Pertanto sono sufficienti tre parametri per definire univocamente la configurazione del sistema: il sistema è
perciò a tre gradi di libertà.
coordinate del sistema: x, y traslazioni orizzontali, rotazione, del baricentro G dell'impalcato
m = densità di massa
(costante)
M = massa totale
G = baricentro delle masse
x
x
x
y
y..
G(t)
G
d y d yd y
1
2
3
Il sistema strutturale spaziale può pensarsi costituito dall'insieme di telai piani orditi secondo x e secondo y;
in generale si avranno s telai orditi in direzione x di rigidezza laterale Kx e t telai orditi in direzione y di
rigidezza laterale Ky. In genere, è lecito trascurare la rigidezza dei telai fuori del loro piano e la rigidezza
torsionale dei pilastri, in quanto molto piccole rispetto al contributo fornito dalla rigidezza laterale dei telai
piani.
Per risolvere il problema si devono scrivere tre equazioni di equilibrio dinamico: equilibrio alla traslazione in
direzione x, in direzione y e equilibrio alla rotazione intorno all'asse verticale per G.
Se si trascura lo smorzamento, per la massa elementare, dM = mdA, le forze in gioco sono: le forze
d'inerzia - provocate dalle tre componenti di accelerazione - e le forze elastiche.
l
G
m dA (x+ x )..
G
..
m dA y..
m dA l..
Fx
yF
lx
ly
Nell'equilibrio alla traslazione in direzione x, figurano:
le forze d'inerzia legate all'accelerazione assoluta in direzione x:
G
A
G
A
G xxMdAxxmdAxxm x è la stessa per tutte le masse
elementari, per l'ipotesi di piano rigido
le componenti in direzione x delle forze d'inerzia legate all'accelerazione angolare:
0cos A
y
A
dAlmlmdA 0A
ydAl momento statico rispetto all'asse x
le forze elastiche in direzione x, somma delle forze di richiamo elastiche esercitate da ciascun telaio
ordito secondo x; la forza esercitata da ciascun telaio è proporzionale alla rigidezza traslazionale Kxi ed allo
spostamento in direzione x del telaio stesso:
iii yxx dxKF
y
d y d yd y
1
2
3
x
y
x- d y3
y +d x 2
Fy = ---- -yF
yK
L ' e q u a z i o n e d i e q u i l i b r i o d i n a m i c o è :
01
ii y
s
ixG dxKxxM
I n a n a l o g i a a l l a p r e c e d e n t e , s i s c r i v e l ' e q u a z i o n e d i e q u i l i b r i o a l l a t r a s l a z i o n e i n d i r e z i o n e y :
01
ii x
t
iy dyKyM
N e l l ' e q u a z i o n e d i e q u i l i b r i o a l l a r o t a z i o n e i n t o r n o a G i l m o m e n t o d e l l e f o r z e d ' i n e r z i a p u ò
s c r i v e r s i :
222 MJlmdAlmdAlymdAlxxmdA G
AAA
x
A
yG
L ' e q u a z i o n e r i s u l t a :
011
2
iiiiii xx
t
iyyy
s
ix ddyKddxKM
R ia ssu m e n d o :
0
0
1
2
1
2
11
2
11
11
t
ixy
s
iyx
t
ixy
s
iyx
t
ixy
t
iy
G
s
iyx
s
ix
iiiiiiii
iii
iii
dKdKdKydKxM
dKKyyM
xMdKKxxM
è u n s is te m a d i e q u a z io n i d i f fe re n z ia l i d e l o rd in e n e l le in c o g n ite x , y , .
T ra m ite l 'a n a l is i m o d a le è p o s s ib i le d is a c c o p p ia re le e q u a z io n i e r is o lv e r le s e p a ra ta m e n te u t i l iz z a n d o i
r is u l ta t i n o t i p e r l 'o s c i l la to re s e m p l ic e .
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