La elipse (2)

Se origina al cortar un cono con un plano que no pase por el vértice del cono y cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono es mayor que el de la generatriz del cono.

Puntos y segmentos notables

LA ELIPSE

En toda elipse se pueden distinguir los siguientes elementos:

F y F´: Son los puntos fijos llamados focos. Son equidistantes del equidistantes al centro2c: Se le llama distancia focal y es la distancia que hay entre los dos focos. P: Cualquier punto de la elipse.PF y PF´: Son los radio vectores de la elipse. 2a: Es la suma de los radio vectores.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.Eje secundario: Es la mediatriz del segmentoC: Es el centro de la Elipse. B y B’ A y A’ : Son los vértices de la elipse. AA’: Es el eje mayor de la elipse y su longitud es 2aBB’: Es el eje menor de la elipse y su longitud es 2b.

LA EXENTRICIDAD aEs la razón entre su semidistancia focal (centro de la elipse a uno de sus focos) c y su semieje mayor a. Su valor se encuentra entre cero y uno

LADO RECTO

LR = 2b² . a

Es la cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por el foco.

ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN

Ecuación de la Elipse con centro en el origen y ejes de coordenadas los ejes de la elipse.

TEOREMA 1. • La ecuación de una elipse

de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es:

• Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean (0,c) y (0, -c), la ecuación de la elipse es:

• PARA CADA ELIPSE , LA LONGITUD DE CADA LADO RECTO ES:

• La excentricidad e está dada por la fórmula:

Ecuación de la Elipse de centro (h,k) y ejes paralelos a los coordenados.

TEOREMA 2. • La ecuación de la elipse de

centro (h,k) y eje focal paralelo al eje X , está dada por la segunda forma ordinaria.

• Si el eje focal es paralelo al eje Y, su ecuación está dada por la segunda forma ordinaria:

TEOREMA 3. • Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación

Representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real.

PROPIEDADES DE LA ELIPSE

TEOREMA 4. • La tangente a la elipse en

cualquier punto de la curva, tiene por ecuación:

TEOREMA 5. • Las ecuaciones de las tangentes de pendiente m

a la elipse son:

TEOREMA 6. • La normal a una elipse en un

punto cualquiera de sus puntos es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

EJERCICIOS DE APLICACION

1. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos  F(, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0). Solución: Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que,    y por tanto    

De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por : 

2.Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por: 25x2 + 4y2 = 100 

Solución: La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes: x 2 + y 2= 1   4       25 

La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y. De otro lado,  , de donde   y en consecuencia, los focos se encuentran localizados en los puntos  y   

Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).  

3. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación: 4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0   Solución: La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes:      (completación de cuadrado) 

(factorización y simplificación)     (dividiendo por 4)     

Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes;a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2  Los vértices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1). Como  , se tiene que los focos están localizados en los putos    y    

EJERMPLOS DE APLICACIÓN EN

LA ARQUITECTURA ANTIGUA

ANFITEATRO ROMANO DE POMPEYA

Es el más antiguo anfiteatro romano que sobrevive.

Se encuentra ubicado en la antigua ciudad romana de Pompeya, y fue enterrado por la erupción del Vesubio en el año 79.

Construido alrededor del 70 AC, el anfiteatro actual fue el primer anfiteatro romano que se construyó en piedra

LA SALA CAPITULAR DE LA CATEDRAL DE SEVILLA

La Catedral de Santa María de la Sede de Sevilla es la catedral gótica cristiana con mayor superficie del mundo.

La Unesco la declaró en1987, junto al Real Alcázar y el Archivo de Indias, Patrimonio de la Humanidad  y, el 25 de julio de 2010, Bien de Valor Universal Excepcional.

 La construcción se inició en 1401, aunque no existe constancia documental del comienzo de los trabajos hasta 1433.

ANFITEATRO ROMANO DE LEÓN

El anfiteatro romano de León era más grande que la Plaza Mayor.

La investigación desvela que el circo habría tenido capacidad para cinco mil espectadores.

Su superficie alcanzaba los tres mil metros cuadrados y tenía quince niveles de graderío.

CÓNICAS EN EL PALATINO DE ROMA

La visión es un cono con vértice en nuestro ojo, la perspectiva va a cambiar la forma de los objetos: en nuestro caso invierte los ejes de la elipse

CORRAL DE COMEDIAS

La Abadía extiende su actividad a un edificio emblemático,.

En Madrid, desde 2005 la Fundación Teatro de La Abadía se ocupa de la gestión y programación del Corral de Comedias de Alcalá.

Construido en 1601, a la manera de los desaparecidos teatros madrileños del Príncipe y la Cruz -a cielo descubierto, con empedrado, pozo y desván de tramoyas-, más tarde este corral.

Fue techado mediante un entramado de vigas que mejoró su acústica, sobre todo para espectáculos musicales. 

ANFITEATRO DE POMPEYA 

El Anfiteatro romano de Pompeya es el más antiguo anfiteatro romano que sobrevive.

Se encuentra ubicado en la antigua ciudad romana de Pompeya, y fue enterrado por la erupción del Vesubio en el año 79, que también enterró Pompeya y la vecina Herculano.

Construido alrededor del 70 AC, el anfiteatro actual fue el primer anfiteatro romano que se construyó en piedra.

Con anterioridad, habían sido construidos en madera.

El siguiente anfiteatro romano que se construyó en piedra sería el Coliseo de Roma, que es posterior a este por más de un siglo.

PLAZA DE SAN PETERSBURGO

Fue fundada por el zar Pedro el Grande el 16 de mayo de 1703 con el propósito de deslocalizar la capital ubicada en Moscú, y de hecho fue capital de Rusia de 1712 a 1918. Por ello y por su ubicación geográfica le dio el sobrenombre de "La ventana a Europa".

EJERMPLOS DE APLICACIÓN EN

LA ARQUITECTURA MODERNA

TEMPLO DEL AGUA

TADAO ANDO

COMPLEJO ELIPSE

TORRE ELIPSE

PAELLA AND CHIPS