25
¿fi¿‰‹»fi•ƒ¿‰•-² „»–‡7‹fi•‰¿ ‚–fi¿ “¿‡–› ¿ ‰»²‹fi¿fi ²«»›‹fi¿ ¿‹»²‰•-² »² ·¿ »·•» …•·¿‹¿…¿ »² «²– …» ›«› »¶»› ¿ »·•›» ‰–‡– ·«„¿fi „»–‡7‹fi•‰– ² »· ›•„«•»²‹» »¶»‡·– ›» …»…«‰» ·¿ »‰«¿‰•-² …» ·¿ »·•›» »² ›« fi•‡»fi¿ ”–fi‡¿ –fi…•²¿fi•¿ ¶»‡·– ¸² «²‹– l¤ § ›» ‡«»“» …» ‹¿· ”–fi‡¿ fl«» ·¿ ›«‡¿ …» ›« …•›‹¿²‰•¿ ¿ ·–› «²‹–› l § l ›•»‡fi» »› ‰–²›‹¿²‹» › …»‰•fi ª ı ²‰«»²‹fi¿ ·¿ »‰«¿‰•-² fl«» fi»fi»›»²‹¿ ¿ »›‹» ·«„¿fi „»–‡7‹fi•‰– ¤ § l l l¤ § ¿ ¿ § ¿ fi•‡»fi¿ “¿ …»›…» »· «²‹– l ‚¿›‹¿ ·¿ •²‹»fi›»‰‰•-² …» ·¿ »·•›» ‰–² »· »¶» “»fi‹•‰¿· ›‹¿ ‡•›‡¿ …•›‹¿²‰•¿ »› ·¿ fl«» ‡•…» …»›…» »· ‰»²‹fi– …» ·¿ »·•›» ‚¿›‹¿ ›« •²‹»fi›»‰‰•-² ‰–² »· »¶» ‚–fi•ƒ–²‹¿· l¿ »›‹» «²‹– ·– ··¿‡¿fi»‡–› ˚ —¿fi¿ “»fi fl«» »›‹– »› ¿›3 ‰–²›•…»fi¿ ·– ›•„«•»²‹» ˝»¿ ·¿ …•›‹¿²‰•¿ …»›…» »· –fi•„»² ‚¿›‹¿ ˚ »›…» »· «²‹– l ‚¿›‹¿ »· –fi•„»² …»›«7› ‚¿›‹¿ ˚ ‡•…» ı » ›«‡¿‡–› ·¿ …•›‹¿²‰•¿ …»›…» ˚ ‚¿›‹¿ »· «²‹– l fl«» »› •„«¿· ¿ ‹»²»‡–› lı ılª —»fi– »›‹¿ …•›‹¿²‰•¿ »› •„«¿· ¿ ı ª ¿ «»„– ª ¿ fl«» ²–› •²…•‰¿ ª ¿

ecuacion elipse

Embed Size (px)

DESCRIPTION

teoría de la elipse

Citation preview

Page 1: ecuacion elipse

Ý¿®¿½¬»®·¦¿½·-² ¹»±³7¬®·½¿

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½»²¬®¿® ²«»­¬®¿ ¿¬»²½·-² »² ´¿ »´·°»ò

¼·´¿¬¿¼¿ »² «²±¼» ­«­ »¶»­ò

Ô¿ »´·°­» ½±³± ´«¹¿® ¹»±³7¬®·½±

Û² »´ ­·¹«·»²¬» »¶»³°´± ­» ¼»¼«½» ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» »² ­« °®·³»®¿ º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ò

Û¶»³°´± ï˲ °«²¬± Ðø¨ô §÷ ­» ³«»ª» ¼» ¬¿´ º±®³¿ ¯«» ´¿ ­«³¿ ¼» ­« ¼·­¬¿²½·¿ ¿ ´±­ °«²¬±­ Úøðô ½÷ §

Úðøðô ½÷ ­·»³°®» »­ ½±²­¬¿²¬»ò Û­ ¼»½·®æ ¼ ã ¶Úжõ ¶ÐÚð¶ò Û²½«»²¬®¿ ´¿ »½«¿½·-² ¯«» ®»°®»­»²¬¿¿ »­¬» ´«¹¿® ¹»±³7¬®·½±ò

¨

§

Úøðô ½÷Úðøðô ½÷

Ðø¨ô §÷

¿

¾

¿ § ¾ò

Ô¿ °®·³»®¿ ª¿ ¼»­¼» »´ °«²¬± Úø½ô ð÷ ¸¿­¬¿ ´¿ ·²¬»®­»½½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ½±² »´ »¶» ª»®¬·½¿´ò

Û­¬¿ ³·­³¿ ¼·­¬¿²½·¿ »­ ´¿ ¯«» ³·¼» ¼»­¼» »´ ½»²¬®± ¼» ´¿ »´·°­» ¸¿­¬¿ ­« ·²¬»®­»½½·-² ½±² »´»¶» ¸±®·¦±²¬¿´ ø¿ »­¬» °«²¬± ´± ´´¿³¿®»³±­ Ê÷ò

п®¿ ª»® ¯«» »­¬± »­ ¿­3 ½±²­·¼»®¿ ´± ­·¹«·»²¬»æ

í Í»¿ ® ´¿ ¼·­¬¿²½·¿ ¼»­¼» »´ ±®·¹»² ¸¿­¬¿ Êò

í Ü»­¼» »´ °«²¬± Úðø ½ô ð÷ ¸¿­¬¿ »´ ±®·¹»²ô ¼»­°«7­ ¸¿­¬¿ Êô ³·¼» ® õ ½ò

í Ô» ­«³¿³±­ ´¿ ¼·­¬¿²½·¿ ¼»­¼» Ê ¸¿­¬¿ »´ °«²¬± Úø½ô ð÷ô ¯«» »­ ·¹«¿´ ¿ ® ½ò

í Ѿ¬»²»³±­æ ø® õ ½÷ õ ø® ½÷ ã î ®ò

í л®± »­¬¿ ¼·­¬¿²½·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ¶Úжõ ¶ÐÚð¶ ã î ¿ò

í Ô«»¹±ô î ® ã î ¿ô ¯«» ²±­ ·²¼·½¿æ ® ã ¿ò

Page 2: ecuacion elipse

ß´ °«²¬± ¼±²¼» ´¿ »´·°­» ­» ·²¬»®­»½¬¿ ½±² »´ »¶» ª»®¬·½¿´ ´± ´´¿³¿®»³±­ Þò

¾ »­ ´¿ ¼·­¬¿²½·¿ ¯«» ª¿ ¼»­¼» »´ ½»²¬®± ¼» ´¿ »´·°­» ¸¿­¬¿ Þò

Ü¿¼± ¯«» ´±­ »¶»­ ½±±®¼»²¿¼±­ ­±² °»®°»²¼·½«´¿®»­ ¬»²»³±­ô °±® »´ ¬»±®»³¿ ¼» з¬?¹±®¿­æ

¿î ã ¾î õ ½î

ø¿ »­ ´¿ ¼·­¬¿²½·¿ ¯«» ª¿ ¼»­¼» »´ °«²¬± Úø½ô ð÷ ¸¿­¬¿ »´ °«²¬± Þøðô ¾÷÷

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ¿ »­ ³¿§±® ¿´ ²&³»®± ¾ô ¿­3 ½±³± ¼» ½ò

Ì¿³¾·7² »­ ·³°±®¬¿²¬» ²±¬¿® ¯«»æ ¶Úж õ ¶ÐÚð¶ ã î ¿ò

¼ ã ¶Úж õ ¶ÐÚð¶

î ¿ ã¯

ø¨ õ ½÷î õ §î õ¯

ø¨ ½÷î õ §î

ì ½¨ ì ¿î ã ì ¿¯

ø¨ ½÷î õ §î

½¨ ¿î ã ¿¯ø¨ ½÷î õ §î

߸±®¿ »´»ª¿³±­ ¼» ²«»ª± ¿´ ½«¿¼®¿¼± °¿®¿ ¼»­¿°¿®»½»® »´ ®¿¼·½¿´æ

½î¨î î ¿î½¨ õ ¿ì ã ¿î¨î î ¿î½¨ õ ¿î½î õ ¿î§î

λ¼«½·»²¼± ¬7®³·²±­ ´´»¹¿³±­ ¿æ

ø¿î ½î÷ ¨î õ ¿î§î ã ¿ì ¿î½î ã ¿î ¿î ½î

Ç ®»½±®¼¿²¼± ¯«» ¿î ã ¾î õ ½îô ­» ¬·»²» ¯«»æ ¿î ½î ã ¾îô ´«»¹±æ

¾î¨î õ ¿î§î ã ¿î¾î

ß´ ¼·ª·¼·® ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿ &´¬·³¿ ·¹«¿´¼¿¼ »²¬®» ¿î¾î ±¾¬»²»³±­æ

¨î

¿îõ

§î

¾îã ï

Û­¬¿ »­ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» »² ­« °®·³»®¿ º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ò

ï

Û´·°­»

Úð ´´¿³¿¼±­ º±½±­ô »­ ·¹«¿´ ¿ «²¿ ½±²­¬¿²¬» î ¿ò

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ¯«» ¸»³±­ ½¿´½«´¿¼± ¬·»²» ­« ½»²¬®± »² »´ ±®·¹»²ò

Û­¬¿ »­ ´¿ °®·³»®¿ º±®³¿ ¯«» ª¿³±­ ¿ »­¬«¼·¿® »² »­¬» ½«®­±ò

Page 3: ecuacion elipse

Û´»³»²¬±­ ¿­±½·¿¼±­ ¿ ´¿ »´·°­»

³»²¬±­ò

¨

§

Úø½ô ð÷Úðø ½ô ð÷

Ðø¨ô §÷

Êø¿ô ð÷Ê ðø ¿ô ð÷

Þøðô ¾÷

Þðøðô ¾÷

Ñ

î

ο¼·± º±½¿´Û­ »´ ­»¹³»²¬± ¼» ®»½¬¿ ¼·®·¹·¼± ¢® ¯«» ª¿ ¼»­¼» «² º±½± Ú ¼» ´¿ »´·°­» ¸¿­¬¿ «² °«²¬± Ðø¨ô §÷ ¯«» »­¬7­±¾®» »´´¿ò

í

Ê7®¬·½»Ý¿¼¿ «²± ¼» ´±­ °«²¬±­ ¼» ·²¬»®­»½½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ½±² ´¿ ®»½¬¿ ­±¾®» ´¿ ½«¿´ »­¬?² ´±­ º±½±­ ­» ´´¿³¿ª7®¬·½» ¼» ´¿ »´·°­»ò

Û² ´¿ ¼·­½«­·-² ¼»´ °®±¾´»³¿ ¿²¬»®·±®ô ´±­ ª7®¬·½»­ ¬»²3¿² ½±±®¼»²¿¼¿­ Êø¿ô ð÷ § Êðø ¿ô ð÷ò

ì

Û¶» ³¿§±®

Û­ »´ ­»¹³»²¬± ¼» ®»½¬¿ ¯«» ª¿ ¼»­¼» «² ª7®¬·½» ¸¿­¬¿ »´ ±¬®±æ ÊÊ ðò

Û¶» ³¿§±®

ë

Ý»²¬®±Û­ »´ °«²¬± ³»¼·± ¼»´ »¶» ³¿§±® ¼» «²¿ »´·°­»ò

ê

Û¶» ³»²±®Û­ »´ ­»¹³»²¬± ¼» ®»½¬¿ ¯«» »­ °»®°»²¼·½«´¿® ¿´ »¶» ³¿§±®ô ¯«» °¿­¿ °±® »´ ½»²¬®± ¼» ´¿ »´·°­»ô § ½«§±­»¨¬®»³±­ ­±² ´¿­ ·²¬»®­»½½·±²»­ ¼» »­¬» ­»¹³»²¬± ½±² ´¿ »´·°­»ò

Page 4: ecuacion elipse

Û­ ·³°±®¬¿²¬» ³»²½·±²¿® ¯«» »´ »¶» ³¿§±® ¼» «²¿ »´·°­» ²± ­·»³°®» ­»®? ¸±®·¦±²¬¿´ò Ü» ³¿²»®¿­»³»¶¿²¬»ô »´ »¶» ³»²±® ¼» ´¿ »´·°­» ²± ­·»³°®» ­»®? ª»®¬·½¿´ò

é

Ô¿¼± ®»½¬±Û´ ´¿¼± ®»½¬± øÔÎ÷ ¼» «²¿ »´·°­» »­ »´ ­»¹³»²¬± ¼» ®»½¬¿ ¯«» °¿­¿ °±® «²± ¼» ­«­ º±½±­ô »­ °»®°»²¼·½«´¿® ¿´»¶» ³¿§±® § ½«§±­ »¨¬®»³±­ »­¬?² ­±¾®» ´¿ »´·°­»ò

Ì»±®»³¿ ï

Ô¿ ´±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³¿§±® ¼» «²¿ »´·°­» »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´¿­ ¼·­¬¿²½·¿­ ¼» «² °«²¬±½«¿´¯«·»®¿ Ðø¨ô §÷ ¯«» »­¬7 ­±¾®» ´¿ »´·°­» ¿ ´±­ º±½±­ò Û­ ¼»½·®ô ´¿ ´±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³¿§±® »­æ

î ¿ ã ¶Úж õ ¶ÐÚð¶

Û­¬» ¬»±®»³¿ ­» ¼»³±­¬®- ¿´ ·²·½·± ¼» ´¿ ¼»¼«½½·-² ¼» ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» »² »´ °®·³»® »¶»³°´±¼» »­¬¿ ­»½½·-²ò

Page 5: ecuacion elipse

Û½«¿½·±²»­ ±®¼·²¿®·¿­ ¼» ´¿ »´·°­»

Û² ´¿ ­»½½·-² ¿²¬»®·±® ­» ¼»¼«¶± ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ½±² ½»²¬®± »² »´ ±®·¹»²ò

Û­¬¿ »­ ´¿ »½«¿½·-² ¯«» ­» ½±²±½» ½±³± ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» »² ­« °®·³»®¿ º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ §¯«» »­¬«¼·¿®»³±­ »² »­¬¿ ­»½½·-²ò

Ý»²¬®± »² »´ ±®·¹»²

Û¶»³°´± ïÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ¸±®·¦±²¬¿´ ½«§±­ »¶»­ ³¿§±® § ³»²±® ³·¼»² ïð § è «²·¼¿¼»­®»­°»½¬·ª¿³»²¬»ò

Ü¿¼± ¯«» ½±²±½»³±­ ´¿­ ³»¼·¼¿­ ¼» ´±­ »¶»­ ¼» ´¿ »´·°­»ô °±¼»³±­ º?½·´³»²¬» ½¿´½«´¿® ´±­ª¿´±®»­ ¼» ¿ § ¾ò

Ü¿¼± ¯«» î ¿ ã ïðô ­» ­·¹«» ¯«» ¿ ã ëò

Ü» ³¿²»®¿ ­»³»¶¿²¬»ô ¼¿¼± ¯«»æ î ¾ ã èô ­» ­·¹«» ¯«»æ ¾ ã ìò

Ô¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» »­æ

¨î

îëõ

§î

ïêã ï

Ô¿­ ½±±®¼»²¼¿­ ¼» ´±­ º±½±­ Úø½ô ð÷ § Úðø ½ô ð÷ °«»¼»² ½¿´½«´¿®­» «­¿²¼± ´¿ ®»´¿½·-²æ

¿î ã ¾î õ ½î ÷ ½ ã°

¿î ¾î ã°

îë ïê ã í

Û²¬±²½»­ ´±­ º±½±­ ¼» ´¿ »´·°­» »­¬?² »² ´±­ °«²¬±­æ Úøíô ð÷ § Úø íô ð÷ò

¨ë ì í î ï ï î í ì ë

§

ì

í

î

ï

ï

î

í

ì

Úð Ú

Û¶»³°´± îÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ½±² ½»²¬®± »² »´ ±®·¹»²ô § «²± ¼» ­«­ º±½±­ »­ »´ °«²¬± Úøîô ð÷ §«² ª7®¬·½» »­¬? »² Êøêô ð÷ò

Í¿¾·»²¼± ¯«» ´¿ »´·°­» ¬·»²» ­« ½»²¬®± »² »´ ±®·¹»²ô ­» ¼»¼«½» ¯«» ½ ã îô °±®¯«» »­¿ »­ ´¿¿¾­½·­¿ ¼» «²± ¼» ­«­ º±½±­ò

Page 6: ecuacion elipse

Ì¿³¾·7² ¼¿¼± ¯«» «² ª7®¬·½» »­¬? »² Êøêô ð÷ô ­» ­·¹«» ¯«» ¿ ã êò

Ë­¿²¼± ´¿ ®»´¿½·-²æ¿î ã ¾î õ ½î

°±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» ¾æ

¾ ã°

¿î ½î

ã°

íê ì

ã°

íî ã ì°

î

Û²¬±²½»­ô ´¿ ´±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³»²±® »­æ î ¾ ã è°

îò

Ç ´¿ ´±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ¿§±® »­æ î ¿ ã ïî

Ô¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» »­æ

¨î

íêõ

§î

íîã ï

¨ê ì î î ì ê

§

í

î

ï

ï

î

í

Úð ÚÊ ð Ê

Ѿ­»®ª¿ ¯«» °¿®¿ ½¿´½«´¿® ¬±¼±­ ´±­ »´»³»²¬±­ ¼» ´¿ »´·°­» ­» ®»¯«·»®» ½±²±½»® ¼±­ ¼» ´±­ ¬®»­ª¿´±®»­ ¼» ¿ô ¾ § ½ò ß °¿®¬·® ¼» »­¬±­ ª¿´±®»­ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ¬»®½»®± § ½¿´½«´¿® ¬±¼±­ ´±­»´»³»²¬±­ ¼» ´¿ ½-²·½¿ò

뽫»®¼¿ ­·»³°®» ¯«»æ

í ¿ »­ ´¿ ³·¬¿¼ ¼» ´¿ ´±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³¿§±®ô

í ¾ »­ ´¿ ³·¬¿¼ ¼» ´¿ ´±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³»²±®ô §

í ½ »­ ´¿ ¼·­¬¿²½·¿ ¼»´ ½»²¬®± ¼» ´¿ »´·°­» ¿´ º±½± ¼» ´¿ ³·­³¿ò

Û¶»³°´± íÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ½±² ½»²¬®± »² »´ ±®·¹»² ¯«» °¿­¿ °±® »´ °«²¬± Þøðô í÷ § «²± ¼»

­«­ ª7®¬·½»­ »­ »´ °«²¬± Êøëô ð÷ò Ý¿´½«´¿ ¬¿³¾·7² ­«­ ¼»³?­ »´»³»²¬±­ § ¹®¿º3½¿´¿ò

Ü»´ ¬»¨¬± ¼»´ °®±¾´»³¿ ­¿¾»³±­ ¯«» ¿ ã ëò

Ì¿³¾·7² ²±­ ¼·»®±² ´¿ ·²¬»®­»½½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ½±² »´ »¶» §æ Þøðô í÷ò

Page 7: ecuacion elipse

Û²¬±²½»­ô ¾ ã íò

ß­3ô ½±²±½»³±­ ´¿­ ´±²¹·¬«¼»­ ¼» ´±­ »¶»­ ³¿§±® § ³»²±®ô ¯«» ­±²æ ïð § êô ®»­°»½¬·ª¿³»²¬»ò

Ô¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» »­æ

¨î

îëõ

§î

çã ï

¨ë ì í î ï ï î í ì ë

§

í

î

ï

ï

î

í

Úð Ú

п®¿ ½¿´½«´¿® ´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼» ´±­ º±½±­ ²»½»­·¬¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» ½æ

½ ã°

¿î ¾î ã°

îë ç ã ì

Ô±­ º±½±­ »­¬?² »² ´±­ °«²¬±­æ Úøìô ð÷ § Úðø ìô ð÷ò

˲ ²&³»®± ¯«» ³·¼» ´¿ º±®³¿ ¼» ´¿ »´·°­» ­» ´´¿³¿ »¨½»²¬®·½·¼¿¼ò

ï

Û¨½»²¬®·½·¼¿¼Ô¿ »¨½»²¬®·½·¼¿¼´±²¹·¬«¼ ¼» ­« »¶» ³¿§±®òÍ· ¼»²±¬¿³±­ ´¿ »¨½»²¬®·½·¼¿¼ °±® ´¿ ´»¬®¿ »ô ¬»²»³±­ò

» ã½

¿

Û¶»³°´± ìÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ½±² ½»²¬®± »² »´ ±®·¹»² ¯«» ¬·»²» «²± ¼» ­«­ º±½±­ »² »´ °«²¬±Úøêô ð÷ § »¨½»²¬®·½·¼¿¼ » ã ðòêò

Ç¿ ­¿¾»³±­ ¯«» ½ ã êò

» ã ½ñ¿ ã ðòêò

Ü» ¿¯«3 °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» ¿æ

ðòê ãê

¿÷ ¿ ã

ê

ðòêã ïð

Page 8: ecuacion elipse

Û²¬±²½»­ô ´¿ ´±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³¿§±® »­ îðò

Ç ´±­ ª7®¬·½»­ ¼» »­¬¿ »´·°­» »­¬?² »²æ Êøïðô ð÷ § Ê ðø ïðô ð÷ò

ß °¿®¬·® ¼» ´±­ ª¿´±»­ ¼» ¿ § ½ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» ¾æ

¾ ã°

¿î ½î ã°

ïðð íê ã°

êì ã è

Û²¬±²½»­ô ´¿ ´±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³»²±® »­ ïêò

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ´¿ »¨½»²¬®·½·¼¿¼ ¼» ´¿ »´·°­» ø»÷ ³·¼» ´¿ °®±°±®½·-² »²¬®» ´¿ ¼·­¬¿²½·¿ ¼»´ ½»²¬®± ¿´º±½± § ´¿ ¼·­¬¿²½·¿ ¼»´ ½»²¬®± ¿ «²± ¼» ­«­ ª7®¬·½»­ò

Û­¬± ·³°´·½¿ ¯«» ð ä » ä ïô ¼¿¼± ¯«» ´±­ º±½±­ ¼» ´¿ »´·°­» ²± °«»¼»² »­¬¿® °±® º«»®¿ ¼» ´±­ª7®¬·½»­ ¼» ´¿ ³·­³¿ò

Ý«¿²¼± » ­» ¿½»®½¿ ³«½¸± ¿ ïô ´±­ º±½±­ ¬·»²¼»² ¿ ¿½»®½¿®­» ¿ ´±­ ª7®¬·½»­ ¼» ´¿ »´·°­»ò б® ±¬®¿°¿®¬»ô ½«¿²¼± » ¬·»²¼» ¿ ½»®±ô ´±­ º±½±­ ¬·»²¼»² ¿´ ½»²¬®± ¼» ´¿ »´·°­»ò

п®¿ »´ ½¿­± °¿®¬·½«´¿® » ã ðô ´±­ ¼±­ º±½±­ »­¬¿®?² »² »´ ½»²¬®± ¼» ´¿ »´·°­» § »² »­¬» ½¿­±ô ´¿­»½«¿½·±²»­ » ã ½ñ¿ § ¿î ã ¾î õ ½î ²±­ ·²¼·½¿² ¯«» ½ ã ð ·³°´·½¿ ¯«» » ã ð § ¯«» ¿ ã ¾ò

Û² °¿´¿¾®¿­ô ´¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ »­ «² ½¿­± °¿®¬·½«´¿® ¼» ´¿ »´·°­»ò Ô¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ô ½±²­·¼»®¿¼¿½±³± »´·°­»ô ¬·»²» ­«­ ¼±­ º±½±­ »² »´ ½»²¬®± ¼» ´¿ ³·­³¿ò

Û² ±¬®¿­ °¿´¿¾®¿­ô »´ ½»²¬®± ¼» ´¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ »­ô ¿¼»³?­ ¼»´ ½»²¬®± ¼» ´¿ »´·°­»ô ´±­ ¼±­ º±½±­¼» ´¿ ³·­³¿ò

º-®³«´¿æ

» ã½

¿

¼±²¼» ½ § ¿

б® »¶»³°´±ô °¿®¿ ´¿ °¿®?¾±´¿ô ´¿ »¨½»²¬®·½·¼¿¼ »­ ïô °±®¯«» ½ »­ ´¿ ¼·­¬¿²½·¿ ¼»­¼» »´ º±½± ¸¿­¬¿ »´ª7®¬·½» ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ § ¿ »­ ´¿ ¼·­¬¿²½·¿ ¼»­¼» »´ ª7®¬·½» ¿ ´¿ ¼·®»½¬®·¦ò

Û¶»³°´± ëÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ¯«» °¿­¿ °±® »´ °«²¬± Ð íô î

°í § ½«§±­ ª7®¬·½»­ »­¬?² »² ´±­

°«²¬±­ Êøêô ð÷ § Êðø êô ð÷ò

п®¿ »³°»¦¿®ô ­¿¾»³±­ ¯«» ¿ ã êò

Ì¿³¾·7² ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ »½«¿½·-²æ¨î

¿îõ

§î

¾îã ï

°±¼»³±­ ¼»­°»¶¿® § °¿®¿ ±¾¬»²»®æ

§ ã¾

¿

°¿î ¨î

Page 9: ecuacion elipse

Ü¿¼± ¯«» ­¿¾»³±­ ¯«» ½«¿²¼± ¨ ã íô ±¾¬»²»³±­æ § ã í°

íñìô ­«­¬·¬«§»²¼± »² »´ ¼»­°»¶»¼» ´¿ »½«¿½·-² ±¾¬»²»³±­æ

î°

í ã¾

ê

°íê ç ÷

¾ ãïî

°í

°îé

ã ì

߸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» ½æ

½ ã°

¿î ¾î ã°

íê ïê ã°

îð ã î°

ë

Û²¬±²½»­ô ´±­ º±½±­ »­¬?² »² ´±­ °«²¬±­ Úøî°

ëô ð÷ § Úðø î°

ëô ð÷ò

Ç ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» »­æ

¨î

íêõ

§î

ïêã ï

Û¶»³°´± êÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ½«§±­ º±½±­ ­±² ´±­ °«²¬±­ Úøðô í÷ô § Úðøðô í÷ § «² ª7®¬·½» »­¬?»² »´ °«²¬± Êøðô ë÷ò

ß °¿®¬·® ¼» ´±­ º±½±­ °±¼»³±­ ¼¿®²±­ ½«»²¬¿ ¯«» »´ ½»²¬®± ¼» ´¿ »´·°­» »­¬? »² »´ ±®·¹»² ¼»½±±®¼»²¿¼¿­ò

×¹«¿´³»²¬»ô ¼¿¼± ¯«» ´±­ º±½±­ »­¬?² ­±¾®» »´ »¶» ³¿§±®ô ´¿ »´·°­» »­ ª»®¬·½¿´ò

ݱ² ´¿ ·²º±®³¿½·-² ¼¿¼¿ »² »´ ¬»¨¬± ¼»´ °®±¾´»³¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿®æ ½ ã íô § ¿ ã ëò

ß °¿®¬·® ¼» »­¬±­ ¼±­ ª¿´±®»­ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» ¾æ

¾ ã°

¿î ½î ã°

îë ç ã°

ïê ã ì

Û²¬±²½»­ô ´¿ ´±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³»²±® »­æ î øì÷ ã èò

Ç ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» »­æ¨î

ïêõ

§î

îëã ï

Page 10: ecuacion elipse

¨ì î î ì

§

ë

í

ï

ï

í

ë

Úð

Ú

Ê ð

Ê

Û¶»³°´± éÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ½±² ½»²¬®± »² »´ ±®·¹»² ¯«» ¬·»²» «²± ¼» ­«­ º±½±­ »² »´ °«²¬±Úøðô ê÷ § »¨½»²¬®·½·¼¿¼ » ã ðòêò

Ü¿¼± ¯«» ´¿ »´·°­» ¬·»²» ­« ½»²¬®± »² »´ ±®·¹»²ô »´ º±½± ²±­ ·²¼·½¿ »´ ª¿´±® ¼» ½æ ½ ã êò

ݱ² ´¿ ¿§«¼¿ ¼» ´¿»¨½»²¬®·½·¼¿¼ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» ¿æ

» ã½

¿÷ ðòê ã

ê

¿÷ ¿ ã ïð

ß °¿®¬·® ¼» »­¬±­ ª¿´±®»­ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» ¾æ

¾ ã°

¿î ½î ã°

ïðð íê ã°

êì ã è

Ç ´¿ »½«¿½·-² ¼» »­¬¿ »´·°­» »­æ

¨î

êìõ

§î

ïððã ï

Page 11: ecuacion elipse

¨è ì ì è

§

ïð

ê

î

î

ê

ïð

Úð

Ú

Ê ð

Ê

п®¿ »²½±²¬®¿® ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­»ô ­±´¿³»²¬» ¼»¾»­ ½¿´½«´¿® ­·»³°®» ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ¿ô ¾ § ½ò

ß °¿®¬·® ¼» »­¬±­ ª¿´±®»­ §¿ °±¼®?­ ½¿´½«´¿® ´±­ ¼»³?­ °¿®?³»¬®±­ ¼» ´¿ »´·°­»ò

Ì¿³¾·7² »­ ·³°±®¬¿²¬» ¯«» ¼»¼«¦½¿­ ¿ °¿®¬·® ¼»´ ¬»¨¬± ¼»´ °®±¾´»³¿ ­· ´¿ »´·°­» »­ ¸±®·¦±²¬¿´ ±ª»®¬·½¿´ò

뽫»®¼¿ ­·»³°®» ¯«» »² ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ¸±®·¦±²¬¿´ ¿î ¿°¿®»½» »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ¼» ´¿º®¿½½·-² ¯«» ½±²¬·»²» »² »´ ²«³»®¿¼±® ¿ ¨îæ

¨î

¿îõ

§î

¾îã ï ø Û´·°­» ¸±®·¦±²¬¿´÷

п®¿ ´¿ »´·°­» ª»®¬·½¿´ ¿î ¿°¿®»½» »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ¼» ´¿ º®¿½½·-² ¯«» ¬·»²» »² »´ ²«³»®¿¼±® ¿ §îæ

¨î

¾îõ

§î

¿îã ï ø Û´·°­» ª»®¬·½¿´÷

Page 12: ecuacion elipse

Ý»²¬®± º«»®¿ ¼»´ ±®·¹»²

Ô¿ ­·¹«·»²¬» »¨¬»²­·-² ¿´ ½¿­± ¼» ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» »² ­« °®·³»®¿ º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ »­ ½±²ó­·¼»®¿® ½±² ½»²¬®± º«»®¿ ¼»´ ±®·¹»²ô ´± ¯«» ²±­ ´´»ª¿ ¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ò

ï

Û½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» »² ­« ­»¹«²¼¿ º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿Ô¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·­» ½±² ½»²¬®± »² »´ °«²¬± Ýø¸ô µ÷ »­æ

ø¨ ¸÷î

¿îõ

ø§ µ÷î

¾îã ï

¼±²¼» ¿ »­ ´¿ ³·¬¿¼ ¼» ´¿ ´±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³¿§±® § ¾ »­ ´¿ ³·¬¿¼ ¼» ´¿ ´±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³»²±®ò

Ù»±³7¬®·½¿³»²¬» ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æ

¨

§

¸

µ

Ýø¸ô µ÷¿

¾

ݱ³± »®¿ ¼» »­°»®¿®­»ô ´¿­ º-®³«´¿­ °¿®¿ »´ ½?´½«´± ¼» ´±­ º±½±­ô ­«­ ª7®¬·½»­ô »¬½òô ½¿³¾·¿²ò

б® »¶»³°´±ô °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´±­ ª7®¬·½»­ ¼» ´¿ »´·°­» ¸±®·¦±²¬¿´ô ¿¸±®¿ «¬·´·¦¿®»³±­ ´¿­ º-®³«´¿­æ

Êø¸ õ ¿ô µ÷ § Ê ðø¸ ¿ô µ÷

Ç °¿®¿ »´ ½¿­± ¼» ´¿ »´·°­» ª»®¬·½¿´ ¬»²»³±­æ

Êø¸ô µ õ ¿÷ § Ê ðø¸ô µ ¿÷

б® ­« °¿®¬» ´±­ º±½±­ ¼» ´¿ »´·°­» ¸±®·¦±²¬¿´ ­» ½¿´½«´¿² ½±²æ

Úø¸ õ ½ô µ÷ § Úðø¸ ½ô µ÷

Ç °¿®¿ ´¿ »´·°­» ª»®¬·½¿´æ

Úø¸ô µ õ ½÷ § Úðø¸ô µ ½÷

Û¶»³°´± ïÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ¸±®·¦±²¬¿´ ¯«» ¬·»²» ­« ½»²¬®± »² »´ °«²¬± Ýøîô ï÷ § ½«§± »¶»³¿§±® ³·¼» ïð «²·¼¿¼»­ § »´ »¶» ³»²±® ³·¼» ê «²·¼¿¼»­ò

Page 13: ecuacion elipse

Ü»´ ¬»¨¬± ¼»´ °®±¾´»³¿ »­ º?½·´ ª»® ¯«» ¸ ã î § ¯«» µ ã ïò

Ì¿³¾·7² ¿ ã ë § ¾ ã íò

Ô«»¹±ô ´¿ »½«¿½·-² ¼» »­¬¿ »´·°­» »­æ

ø¨ î÷î

îëõ

ø§ õ ï÷î

çã ï

ß °¿®¬·® ¼» ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ¿ § ¾ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» ½æ

½ ã°

¿î ¾î ã°

îë ïê ã°

ç ã í

Ô±­ º±½±­ ¼» »­¬¿ »´·°­» »­¬?² »² ´±­ °«²¬±­æ

Úø¸ õ ½ô µ÷ ã Úøêô ï÷ § Úðø¸ ½ô µ÷ ã Úðø îô ï÷

Ô±­ ª7®¬·½»­ »­¬?² »²æ

Êø¸ õ ¿ô µ÷ ã Êøéô ï÷ § Êðø¸ ¿ô µ÷ ã Ê ðø íô ï÷

Ýøîô ï÷

¨í î ï ï î í ì ë ê é

§

ì

í

î

ï

ï

î

Úð Ú ÊÊð

Ô¿ »¨½»²¬®·½·¼¿¼ ¼» »­¬¿ »´·°­» »­æ

» ã½

¿ã

í

ëã ðòê

Û¶»³°´± îÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ¯«» ¬·»²» ­« ½»²¬®± »² »´ °«²¬± Ýø ëô î÷ô «²± ¼» ­«­ º±½±­ »­¬?

»² »´ °«²¬± Úøéô î÷ § «² ª7®¬·½» »² Êøèô î÷ò

ß °¿®¬·® ¼» ´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼»´ ½»²¬®± ½±²±½»³±­ ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ¸ § µæ ¸ ã ë § µ ã îò

Ë­¿²¼± ´¿­ º-®³«´¿­ °¿®¿ »´ º±½± § »´ ª7®¬·½» °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ¿ § ½ò

Page 14: ecuacion elipse

Û³°»¦¿³±­ ½¿´½«´¿²¼± »´ ª¿´±® ¼» ¿ ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±±®¼»²¿¼¿ ¼»´ ª7®¬·½» § »´ ª¿´±® ¼» ¸æ

è ã ë õ ¿ ÷ ¿ ã ïí

Ü» ³¿²»®¿ ­»³»¶¿²¬»ô ¿°´·½¿³±­ ´¿ º-®³«´¿ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ½±±®¼»²¿¼¿ ¼»´ º±½± § ¿­3 »²ó½±²¬®¿³±­ »´ ª¿´±® ¼» ½æ

é ã ë õ ½ ÷ ½ ã ïî

ß °¿®¬·® ¼» ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ¿ § ½ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» ¾æ

¾ ã°

¿î ½î ã°

ïêç ïìì ã°

îë ã ë

߸±®¿ °±¼»³±­ »­½®·¾·® ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­»æ

ø¨ õ ë÷î

ïêçõ

ø§ î÷î

îëã ï

Ô¿ »¨½»²¬®·½·¼¿¼ ¼» »­¬¿ »´·°­» »­æ

» ã½

¿ã

ïî

ïíðòçîíðéêçíîï

Ѿ­»®ª¿ ½-³± »­ ¯«» »² »­¬±­ °®±¾´»³¿­ »´ ¬®«½± ½±²­·­¬» »² ½±²±½»® ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ¿ô ¾ô ½ô ¸ § µò

˲¿ ª»¦ ¯«» ½±²±¦½¿³±­ ­«­ ª¿´±®»­ô °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­»ò

Ü» ¸»½¸±ô ½±²±½·»²¼± ¼±­ ¼» ´±­ ª¿´±®»­ ¿ô ¾ô ½ô °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ¬»®½»®± «¬·´·¦¿²¼± ´¿ ®»´¿½·-²æ

¿î ã ¾î õ ½î

Ô±­ ª¿´±®»­ ¼» ¸ § µ ¯«» ½±®®»­°±²¼»² ¿´ ½»²¬®± ¼» ´¿ »´·°­» ­»®ª·®?² °¿®¿ »­½®·¾·® ´¿ »½«¿½·-²¼» ´¿ »´·°­» »² ­« ­»¹«²¼¿ º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ô ¯«» ½±®®»­°±²¼» ¿ ´¿­ ¯«» ¬·»²»² ­« ½»²¬®± º«»®¿ ¼»´±®·¹»²ò

¿§«¼¿ ¿ ®»½±²±½»® ·²º±®³¿½·-² ¹»±³7¬®·½¿ § ½¿´½«´¿®ô ­·² »´ «­± ¼» ´¿­ º-®³«´¿­ô ¿´¹«²± ± ¿´¹«²±­¼» ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ¿ô ¾ §ñ± ½ò

ײ½´«­·ª»ô ¬¿³¾·7² »´ ¼» ´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼»´ ½»²¬®± »² ½·»®¬±­ ½¿­±­ò

Û¶»³°´± íÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ¯«» ¬·»²» ­«­ ª7®¬·½»­ »² Êðø êô î÷ § Êøìô î÷ô § ´±­ »¨¬®»³±­ ¼»´»¶» ³»²±® ­±² ´±­ °«²¬±­ Þø ïô ê÷ § Þðø ïô î÷ò

Û² »­¬» ½¿­±ô »­ ³?­ ½±²ª»²·»²¬» »³°»¦¿® ¼·¾«¶¿²¼± ´¿ »´·°­» °¿®¿ °±¼»® ¬»²»® «²¿ ³»¶±®·¼»¿ ¼»´ °®±¾´»³¿ ¯«» »­¬¿³±­ »²º®»²¬¿²¼±ò

Page 15: ecuacion elipse

¨ê ë ì í î ï ï î í ì

§

î

ï

ï

î

í

ì

ë

ê

ÊÊð

Ы»­ »­ »´ °«²¬± ¼±²¼» ­» ·²¬»®­»½¬¿² ´±­ »¶»­ ³¿§±® § ³»²±® ¼» ´¿ »´·°­»æ Ýø ïô î÷ò

ß­3 ¬¿³¾·7² °±¼»³±­ ½±²±½»® ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ¿ ã ë § ¾ ã ìò

Ê¿³±­ ¿ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» ½æ

½ ã°

¿î ¾î ã°

îë ïê ã°

ç ã í

ß­3 ¯«» ´±­ º±½±­ ¼» »­¬¿ »´·°­» »­¬?² »²æ

Úøîô î÷ § Úðø ìô î÷

Û²¬±²½»­ô ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» »­æ

ø¨ õ ï÷î

îëõ

ø§ î÷î

ïêã ï

Ô¿­ ´±²¹·¬«¼»­ ¼» ´±­ »¶»­ ³¿§±® § ³»²±® ­±²æ ïð § èô ®»­°»½¬·ª¿³»²¬»ò

Û¶»³°´± ìÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ¸±®·¦±²¬¿´ ¯«» ¬·»²» «²¿ »¨½»²¬®·½·¼¿¼ ¼» » ã ðòèô ½±² ½»²¬®±»² »´ °«²¬± Ýøëô ì÷ § ½«§¿ ¼·­¬¿²½·¿ ¼»´ ½»²¬®± ¿´ º±½± »­ ¼» ì «²·¼¿¼»­ò

Ô¿ ¼·­¬¿²½·¿ ¼»´ ½»²¬®± ¼» ´¿ »´·°­» ¿ «²± ¼» ­«­ º±½±­ »­ ½ò

Ô«»¹±ô ½ ã ìò

ß °¿®¬·® ¼» ´¿ »¨½»²¬®·½·¼¿¼ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» ¿æ

» ã½

¿÷ ðòè ã

ì

¿÷ ¿ ã ë

Page 16: ecuacion elipse

Ç ½±² ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ¿ § ½ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» ¾æ

¾ ã°

¿î ½î ã°

îë ïê ã°

ç ã í

Û²¬±²½»­ô §¿ ¬»²»³±­ ¬±¼±­ ´±­ ¼¿¬±­ ¯«» ­» ®»¯«·»®»² °¿®¿ ½±²±½»® ´¿ »½«¿½·-² § ¬±¼±­ ´±­»´»³»²¬±­ ¼» ´¿ »´·°­»æ

í Ô¿ »´·°­» »­ ¸±®·¦±²¬¿´ô

í ¿ ã ëô ¾ ã í § ½ ã ìô

í ¸ ã ë § µ ã ìò

Ô¿ »½«¿½·-² ¼» »­¬¿ »´·°­» »­æ

ø¨ ë÷î

îëõ

ø§ ì÷î

çã ï

ß °¿®¬·® ¼» ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ¸ô µô ¿ § ½ °±¼»³±­ º?½·´³»²¬» ½¿´½«´¿® ´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼» ´±­º±½±­ § ¼» ´±­ ª7®¬·½»­ ¼» ´¿ »´·°­»ò

Ýøëô ì÷

¨ï î í ì ë ê é è ç ïð

§

ï

î

í

ì

ë

ê

é

Ú Úð ÊÊð

Û¶»³°´± ëÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ¯«» ¬·»²» ´±­ »¨¬®»³±­ ¼» ­« »¶» ³»²±® »² ´±­ °«²¬±­ Þøëô ë÷§ Þðø ïô ë÷ § «²± ¼» ­«­ ª7®¬·½»­ »­ »´ °«²¬± Êøêô ë÷ò

ß °¿®¬·® ¼» ´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼» ´±­ »¨¬®»³±­ ¼»´ »¶» ³»²±® °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ­« ´±²¹·¬«¼ò

Ç ¾ »­ °®»½·­¿³»²¬» ´¿ ³·¬¿¼ ¼» »­» ª¿´±®æ ¾ ã íò

Û´ ½»²¬®± ¼» ´¿ »´·°­» »­¬? »² »´ °«²¬± ³»¼·± ¼» ´±­ »¨¬®»³±­ ¼»´ »¶» ³»²±®æ Ýøîô ë÷ò

Û´ ª¿´±® ¼» ¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ¼·­¬¿²½·¿ ¼»­¼» »´ ½»²¬®± ¸¿­¬¿ «²± ¼» ­«­ ª7®¬·½»­æ ¿ ã ìò

ß °¿®¬·® ¼» ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ¿ § ¾ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» ½æ

½ ã°

¿î ¾î ã°

ïê ç ã°

é

Page 17: ecuacion elipse

߸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼» ´±­ º±½±­ § ¼»´ ª7®¬·½» º¿´¬¿²¬»æ

Ê ðø¸ô µ ¿÷ ã Êðøîô ç÷

Úø¸ô µ õ ½÷ ã Úøîô ë õ°

é÷ Úðø¸ô µ ½÷ ã Úðøîô ë°

é÷

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »­¬¿ »´·°­» »­ ª»®¬·½¿´ò

¿ § ¾ ¯«»¼»² ½¿³¾·¿¼±­ »² ­« »½«¿½·-²æ

ø¨ î÷î

çõ

ø§ õ ë÷î

ïêã ï

Page 18: ecuacion elipse

Û½«¿½·-² ¹»²»®¿´ ¼» ´¿ »´·°­»

ݱ³± »² ´¿­ ½-²·½¿­ ¿²¬»®·±®»­ô °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ »½«¿½·-² ¹»²»®¿´ ¼» ´¿ »´·°­»ô ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿»½«¿½·-² »² ­« º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ô ª¿³±­ ¿ »¨°®»­¿®´¿ »² ´¿ º±®³¿æ

ß ¨î õ Þ §î õ Ü ¨ õ Û § õ Ú ã ð

Í· ´¿ »½«¿½·-² ½±®®»­°±²¼» ¿ «²¿ »´·°­»ô »²¬±²½»­ ´±­ ­·¹²±­ ¼» ß § Þ ¼»¾»² ­»® ·¹«¿´»­ò

ݱ²ª»®­·-² ¼» ºò ±®¼·²¿®·¿ ¿ ºò ¹»²»®¿´

Û¶»³°´± ï

Ý¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¹»²»®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» »´·°­»æ

¨î

îëõ

§î

ïêã ï

Û­¬¿ »½«¿½·-² »­ ´¿ ¯«» »²½±²¬®¿³±­ »² »´ »¶»³°´± ¯«» ­» ®»­±´ª·- »² ´¿ °?¹·²¿ ááò

߸±®¿ ­±´¿³»²¬» ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ °±® îë § ¼»­°«7­ °±® ïêæ

ïê ¨î õ îë §î ã ìðð

ïê ¨î õ îë §î ìðð ã ð

Û­¬¿ »­ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ ³·­³¿ »´·°­»ô °»®± »² ´¿ º±®³¿ ¹»²»®¿´ò

Û¶»³°´± îÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ø»² ­« º±®³¿ ¹»²»®¿´÷ ¼» ´¿ »´·°­» ½±² ½»²¬®± »² »´ ±®·¹»²ô § «²± ¼» ­«­º±½±­ »­ »´ °«²¬± Úøîô ð÷ § «² ª7®¬·½» »­¬? »² Êøêô ð÷ò

Û­¬¿ »½«¿½·-² »­ ´¿ ¯«» »²½±²¬®¿³±­ »² ´¿ °?¹·²¿ ááæ

¨î

íêõ

§î

íîã ï

߸±®¿ ­±´¿³»²¬» ª¿³±­ ¿ ¬®¿²­º±®³¿®´¿ ¿ ´¿ º±®³¿ ¹»²»®¿´æ

íî ¨î õ íê §î ã ïïëî

íî ¨î õ íê §î ïïëî ã ð

Û¶»³°´± íÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ¯«» ¬·»²» ­« ½»²¬®± »² »´ °«²¬± Ýø ëô î÷ô «²± ¼» ­«­ º±½±­ »­¬?»² »´ °«²¬± Úøéô î÷ § «² ª7®¬·½» »² Êøèô î÷ò

Ç¿ ½¿´½«´¿³±­ ´¿ »½«¿½·-² »² º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ ¼» »­¬¿ »´·°­» ø°¹ò áá÷ò

ø¨ õ ë÷î

ïêçõ

ø§ î÷î

ïììã ï

Page 19: ecuacion elipse

߸±®¿ ­±´¿³»²¬» ´¿ ª¿³±­ ¿ »­½®·¾·® »² ´¿ º±®³¿ ¹»²»®¿´ò

Û³°»¦¿³±­ ³«´¬·°´·½¿²¼± ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ °±® ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¼» ´¿­ º®¿½ó½·±²»­æ

ïìì ø¨ õ ë÷î õ ïêç ø§ î÷î ã îì ííê

ïìì ø¨ õ ë÷î õ ïêç ø§ î÷î îì ííê ã ð

߸±®¿ ¼»­¿®®±´´¿³±­ ´±­ ¾·²±³·±­ ¯«» »­¬?² »´»ª¿¼±­ ¿´ ½«¿¼®¿¼±æ

ïìì ¨î õ ïð ¨ õ îë õ ïêç §î î § õ ì îì ííê ã ð

ïìì ¨î õ ï ììð ¨ õ í êðð õ ïêç §î ííè § õ êéê îì ííê ã ð

ïìì ¨î õ ï ììð ¨ õ ïêç §î ííè § îî îîð ã ð

Ç ¸»³±­ ¬»®³·²¿¼±ò

Û¶»³°´± ìÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ¸±®·¦±²¬¿´ ¯«» ¬·»²» «²¿ »¨½»²¬®·½·¼¿¼ ¼» » ã ðòèô ½±² ½»²¬®±»² »´ °«²¬± Ýøëô ì÷ § ½«§¿ ¼·­¬¿²½·¿ ¼»´ ½»²¬®± ¿´ º±½± »­ ¼» ì «²·¼¿¼»­ò

Ç¿ ½¿´½«´¿³±­ ´¿ »½«¿½·-² »² º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ ¼» »­¬¿ »´·°­» ø°¹ò áá÷ò

ø¨ ë÷î

îëõ

ø§ ì÷î

çã ï

߸±®¿ ´¿ ¬®¿²­º±®³¿³±­ ¿ ´¿ º±®³¿ ¹»²»®¿´æ

ç ø¨ ë÷î õ îë ø§ ì÷î ã îîë

ç ø¨ ë÷î õ îë ø§ ì÷î îîë ã ð

߸±®¿ ¼»­¿®®±´´¿³±­ ´±­ ¾·²±³·±­ ¯«» »­¬?² »´»ª¿¼±­ ¿´ ½«¿¼®¿¼±æ

ç ¨î ïð ¨ õ îë õ îë §î è § õ ïê îîë ã ð

ç ¨î çð ¨ õ îîëõ îë §î îðð § õ ìðð îîë ã ð

ç ¨î çð ¨ õ îë §î îðð § õ ìðð ã ð

Ç ¸»³±­ ¬»®³·²¿¼±ò

Û¶»³°´± ëÝ¿´½«´¿ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» ¯«» ¬·»²» ´±­ »¨¬®»³±­ ¼» ­« »¶» ³»²±® »² ´±­ °«²¬±­ Þøëô ë÷§ Þðø ïô ë÷ § «²± ¼» ­«­ ª7®¬·½»­ »­ »´ °«²¬± Êøêô ë÷ò

Ô¿ »½«¿½·-² ¼» »­¬¿ »´·°­» »² º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ ­» ½¿´½«´- »² ´¿ °?¹·²¿ ááæ

ø¨ î÷î

çõ

ø§ õ ë÷î

ïêã ï

Page 20: ecuacion elipse

߸±®¿ ´¿ ¬®¿²­º±®³¿³±­ ¿ ´¿ º±®³¿ ¹»²»®¿´æ

ïê ø¨ î÷î õ ç ø§ õ ë÷î ã ïìì

ïê ø¨ î÷î õ ç ø§ õ ë÷î ïìì ã ð

ïê ¨î ì ¨ õ ì õ ç §î õ ïð § õ îë ïìì ã ð

ïê ¨î íî ¨ õ êì õ ç §î õ çð § õ îîë ïìì ã ð

ïê ¨î íî ¨ õ ç §î õ çð § õ ïìë ã ð

Ç ´·­¬±ò

Û² ®»­«³»²ô °¿®¿ ½±²ª»®¬·® ¼» ´¿ º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ ¿ ´¿ º±®³¿ ¹»²»®¿´ô ¾¿­¬¿ ½±² ³«´¬·°´·½¿® ¿³¾±­´¿¼±­ ¼» ´¿ »½«¿½·-² °±® ½¿¼¿ «²± ¼» ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¯«» ¿°¿®»½»² »² ´¿ »½«¿½·-²ô ¼»­°«7­

뽫»®¼¿ ¯«» ´¿ »½«¿½·-² ¼»¾» ¯«»¼¿® ·¹«¿´¿¼¿ ¿ ½»®±ò

ݱ³± ¸»³±­ ª·­¬± ½±² ´¿ °¿®?¾±´¿ § ´¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ô ´¿ °¿®¬» ³?­ ·²¬»®»­¿²¬» ´´»¹¿ ½«¿²¼±½±²ª»®¬·³±­ ´¿ »½«¿½·-² ¹»²»®¿´ ¿ ´¿ º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ô ¯«» »­ »´ ­·¹«·»²¬» ¬»³¿ ¯«» »­¬«¼·¿®»³±­ò

Page 21: ecuacion elipse

ݱ²ª»®­·-² ¼» ´¿ º±®³¿ ¹»²»®¿´ ¿ ´¿ º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿

ݱ³± »² ´±­ ½¿­±­ ¼» ´¿­ ±¬®¿­ ½-²·½¿­ô °¿®¿ ½±²ª»®¬·® «²¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ º±®³¿ ¹»²»®¿´ ¿ ´¿ º±®³¿±®¼·²¿®·¿ô «¬·´·¦¿®»³±­ »´ ³7¬±¼± ¼» º¿½¬±®·¦¿½·-² ½±²±½·¼± ½±³± ½±³°´»¬¿® ½«¿¼®¿¼±­ò

Û¶»³°´± ï

ݱ²ª·»®¬» ´¿ »½«¿½·-² ¹»²»®¿´ ¼» ´¿ »´·°­»æ

¨î õ ì §î ì ã ð

¿ ´¿ º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ò

Û² »­¬» ½¿­± ²± ­» ®»¯«·»®» ¼» ½±³°´»¬¿® ½«¿¼®¿¼±­ò

Þ¿­¬¿ ½±² ¼·ª·¼·® ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ »²¬®» ìæ

¨î

ìõ

§î

ïã ï

Ç »­¬¿ »­ ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­»ô °»®± »² º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ò

Û¶»³°´± î

ݱ²ª·»®¬» ´¿ »½«¿½·-² ¹»²»®¿´ ¼» ´¿ »´·°­»æ

ì ¨î õ ïê §î è ¨ õ íî § ìì ã ð

¿ ´¿ º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ò

߸±®¿ ­· ª¿³±­ ¿ ¿°´·½¿® »´ ³7¬±¼± ¼» ½±³°´»¬¿® ½«¿¼®¿¼±­ò

Û³°»¦¿³±­ ±®¼»²¿²¼± ´±­ ¬7®³·²±­æ °®·³»®± ´±­ ¯«» ·²½´«§»² ¿ ¨ § ¼»­°«7­ ´±­ ¯«» ·²ó½´«§»² ¿ §æ ¸

ì ¨î è ¨·õ

¸ïê §î õ íî §

·ã ìì

ì¸

¨î î ¨·õ ïê

¸§î õ î §

·ã ìì

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ­«³¿® »² ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ »´ ¬7®³·²± ·²¼»°»²¼·»²¬» ¯«» ½±²ª·»®¬»¿ ½¿¼¿ ¾·²±³·± »² «² ¬®·²±³·± ½«¿¼®¿¼± °»®º»½¬±æ

ì¸

¨î î ¨ õ ï·õ ïê

¸§î õ î § õ ï

·ã ìì õ ì õ ïê

ì ø¨ ï÷î õ ïê ø§ õ ï÷î ã êì

ß´ ¼·ª·¼·® ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ »²¬®» êì ±¾¬»²»³±­ ´¿ »½«¿½·-² »² ´¿ º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿æ

ø¨ ï÷î

ïêõ

ø§ õ ï÷î

ìã ï

Ç ¸»³±­ ¬»®³·²¿¼±ò

Page 22: ecuacion elipse

ß °¿®¬·® ¼» »­¬¿ »½«¿½·-² °±¼»³±­ ³«§ º?½·´³»²¬» ½¿´½«´¿® ¬±¼±­ ´±­ »´»³»²¬±­ ¼» ´¿ »´·°­»ò

Û¶»³°´± í

Ý¿´½«´¿ ¬±¼±­ ´±­ »´»³»²¬±­ ¼» ´¿ »´·°­» ½«§¿ »½«¿½·-² »­æ

ç ¨î õ îë §î õ ïè ¨ ïðð § ïïê ã ð

§ ¹®¿º3½¿´¿ò

Û³°»¦¿³±­ ½±²ª·®¬·»²¼± ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ »´·°­» »² ­« º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿æ

¸ç ¨î õ ïè ¨

·õ

¸îë §î ïðð §

·ã ïïê

ç¸

¨î õ î ¨·õ îë

¸§î ì §

·ã ïïê

ç¸

¨î õ î ¨ õ ï·õ îë

¸§î ì § õ ì

·ã ïïê õ ç õ ïðð

ç ø¨ õ ï÷î õ îë ø§ î÷î ã îîë

߸±®¿ ­±´¿³»²¬» ¼·ª·¼·³±­ ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ »²¬®» îîë § ±¾¬»²»³±­ ´¿ »½«¿½·-²¼» ´¿ »´·°­» »² ­« º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿æ

ø¨ õ ï÷î

îëõ

ø§ î÷î

çã ï

ß °¿®¬·® ¼» »­¬¿ »½«¿½·-² »­ ³«§ º?½·´ ¼¿®­» ½«»²¬¿ ¯«»æ

¿ ã ë ¾ ã í ½ ã°

¿î ½î ã°

îë ç ã ì

¸ ã ï µ ã î

ß¼»³?­ô ´¿ »´·°­» »­ ¸±®·¦±²¬¿´ô °±®¯«» ¿ »­¬? »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ¼» ´¿ º®¿½½·-² ¯«» ½±²¬·»²»¿ ¨ò

ݱ²±½·»²¼± »­¬±­ ª¿´±®»­ °±¼»³±­ »²´·­¬¿® ¬±¼±­ ´±­ »´»³»²¬±­ ¼» ´¿ »´·°­»æ

Ýø ïô î÷

Êøìô î÷ Ê ðø êô î÷ Úøíô î÷ Úðø ëô î÷

Ô±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³¿§±®æ ïð «²·¼¿¼»­

Ô±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³»²±®æ ê «²·¼¿¼»­

» ãì

ëã ðòè

Page 23: ecuacion elipse

Ýø ïô î÷

¨ê ë ì í î ï ï î í ì

§

ï

ï

î

í

ì

ë

ÚÚð ÊÊð

º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ò

×¹«¿´³»²¬»ô »­ ³«½¸± ³?­ ­»²½·´´± ½¿´½«´¿® ¬±¼±­ ­«­ »´»³»²¬±­ ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ º±®³¿ ±®¼·ó²¿®·¿ò

б® »­± »­ ³«§ ·³°±®¬¿²¬» ­¿¾»® ¬®¿²­º±®³¿® ´¿ »½«¿½·-² ¼» ´¿ º±®³¿ ¹»²»®¿´ ¿ ´¿ º±®³¿±®¼·²¿®·¿ò

Û¶»³°´± ì

Ý¿´½«´¿ ¬±¼±­ ´±­ »´»³»²¬±­ ¼» ´¿ »´·°­» ½«§¿ »½«¿½·-² »­æ

îë ¨î õ ïê §î îëð ¨ íî § õ îìï ã ð

§ ¹®¿º3½¿´¿ò

Û³°»¦¿³±­ ½±²ª·®¬·»²¼± ´¿ »½«¿½·-² ¿ ´¿ º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿æ

îë ¨î õ ïê §î îëð ¨ íî § ã îìï¸îë ¨î îëð ¨

·õ

¸ïê §î íî §

·ã îìï

îë¸

¨î ïð ¨·õ ïê

¸§î î §

·ã îìï

îë¸

¨î ïð ¨ õ îë·õ ïê

¸§î î § õ ï

·ã îìïõ êîëõ ïê

îë ø¨ ë÷î õ ïê ø§ ï÷î ã ìðð

Ü·ª·¼·»²¼± ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿ »½«¿½·-² »²¬®» ìðð ±¾¬»²»³±­æ

ø¨ ë÷î

ïêõ

ø§ ï÷î

îëã ï

Ü» »­¬¿ »½«¿½·-² »² ´¿ º±®³¿ ±®¼·²¿®·¿ ¼»¼«½·³±­ ®?°·¼¿³»²¬» ¯«»æ

¿ ã ë ¾ ã ì ½ ã°

¿î ½î ã°

îë ïê ã í

¸ ã ë µ ã ï

Page 24: ecuacion elipse

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ´¿ »´·°­» »­ ª»®¬·½¿´ò

Ç ¿ °¿®¬·® ¼» »­¬±­ ª¿´±®»­ô °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´±­ »´»³»²¬±­ ¼» ´¿ »´·°­»æ

Ýøëô ï÷

Êøëô ê÷ Ê ðøëô ì÷ Úøëô ì÷ Úðøëô î÷

Ô±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³¿§±®æ ïð «²·¼¿¼»­

Ô±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³»²±®æ è «²·¼¿¼»­

» ãí

ëã ðòê

Û² ¬±¼±­ ´±­ »¶»³°´±­ ¯«» ¸»³±­ ®»­«»´¬± »² »­¬¿ ­»½½·-²ô ´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼» ´±­ »´»³»²¬±­ ¼» ´¿»´·°­» ¸¿² ­·¼± ª¿´±®»­ »²¬»®±­ò

ݱ³± »­ ±¾ª·± ­«°±²»®ô »­± ²± ­·»³°®» ±½«®®·®? ¿­3ò

ß´¹«²¿­ ª»½»­ »²½±²¬®¿®»³±­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¯«» ·²½´«§»² ®¿3½»­ô ¿&² ½«¿²¼± ´¿ ³¿§±®3¿ ¬»²¹¿ª¿´±®»­ »²¬»®±­ò Û­¬± ­» ¼»¾» ¿ ´¿ ®»´¿½·-² ¯«» »¨·­¬» »²¬®» ¿ô ¾ § ½æ

¿î ã ¾î õ ½î

Ы»­ ¹»²»®¿´³»²¬» ½±²±½»®»³±­ ¼±­ ¼» »­¬±­ ¬®»­ ª¿´±®»­ § »´ ±¬®± ¬»²¼®? ¯«» ­»® ½¿´½«´¿¼± ¿°¿®¬·® ¼» ´¿ ®»´¿½·-² ¿²¬»®·±®ò

Û¶»³°´± ë

Ý¿´½«´¿ ¬±¼±­ ´±­ »´»³»²¬±­ ¼» ´¿ »´·°­» ½«§¿ »½«¿½·-² »­æ

ïê ¨î õ ì §î õ íî ¨ è § ìì ã ð

§ ¹®¿º3½¿´¿ò

Û³°»¦¿³±­ ½±³°´»¬¿²¼± ½«¿¼®¿¼±­æ

ïê ¨î õ íî ¨ õ ì §î è § ã ìì

ïê¸

¨î õ î ¨·õ ì

¸§î î §

·ã ìì

ïê¸

¨î õ î ¨ õ ï·õ ì

¸§î î § õ ï

·ã ìì õ ïê õ ì

ïê ø¨ õ ï÷î õ ì ø§ ï÷î ã êì

ø¨ õ ï÷î

ìõ

ø§ ï÷î

ïêã ï

Ü» ²«»ª±ô »­¬¿ »´·°­» »­ ª»®¬·½¿´ò

ß °¿®¬·® ¼» ´¿ »½«¿½·-² ­» ¼»¼«½»²æ

¿ ã ì ¾ ã î ½ ã°

¿î ½î ã°

ïê ì ã°

ïî ã î°

í

¸ ã ï µ ã ï

Page 25: ecuacion elipse

Ç ­«­ »´»³»²¬±­ ­±²æ

Ýø ïô ï÷

Êø ïô ë÷ Ê ðø ïô í÷ Úø ïô ï õ î°

í÷ Úðø ïô ï î°

í÷

Ô±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³¿§±®æ è «²·¼¿¼»­

Ô±²¹·¬«¼ ¼»´ »¶» ³»²±®æ ì «²·¼¿¼»­

» ãî°

í

ìã

°í

î