Una superficie cuadrática (o cuádrica) es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z.

La forma general de la ecuación es:

0222 JIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx

Cuando una de las variables x, y ó z no aparece en la ecuación de la superficie, entonces la superficie es un cilindro.

Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se extenderá paralelo al eje z.

222 ayx

a

x

y

En el plano: En el espacio:

x

y

z

Cilindro circular recto paralelo al eje y :

222 azx

x

z

a

x

y

z En el plano: En el espacio:

Cilindro circular recto paralelo al eje x : 222 azy

y

z

a

x

y

z

En el plano: En el espacio:

Es la ecuación que corresponde a una parábola en el plano xy, al variar z se obtiene la siguiente superficie:

2 0x y

En el plano: En el espacio:

x y

z

Es la ecuación que corresponde a una elipse en el plano yz, al variar x se obtiene la siguiente superficie:

12

2

2

2

b

z

a

y

En el plano: En el espacio:

Es la ecuación que corresponde a una hipérbola centrada en el (0,0) en el plano xy, al recorrer z se obtiene la superficie:

122 zy

En el plano: En el espacio:

Tiene por ecuación: 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planos paralelos a los planos coordenados es una elipse.

Elipse 12

2

2

2 0 Si

b

y

a

xz

Elipse 12

2

2

2 0 Si

c

z

b

yx

Elipse 12

2

2

2 0 Si

c

z

a

xy

Para calcular donde corta el elipsoide a un eje dado, hacer igual a cero las variables correspondientes a los otros dos ejes.

Existen dos tipos de hiperboloides: Los de una hoja y los de dos hojas.

Tiene por ecuación: 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

La variable con signo negativo determina el eje de

simetría del hiperboloide

Las trazas del hiperboloide son hipérbolas en planos paralelos al plano xz y al yz, mientras que en planos paralelos al xy las trazas son elipses.

Hipérbola 12

2

2

2 0 Si

c

z

b

yx

Hipérbola 12

2

2

2 0 Si

c

z

a

xy

Elipse 12

2

2

2 0 Si

b

y

a

xz

Observación: La diferencia fundamental entre el hiperboloide de una hoja y el elipsoide es que tiene una variable con signo negativo.

La variable con signo positivo determina el eje de

simetría del hiperboloide

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

xTiene por ecuación:

Las trazas de esta superficie son: para planos paralelos a xz son hipérbolas al igual que para planos paralelos a yz.

Hipérbola 12

2

2

2 0 Si

b

y

c

zx

Hipérbola 12

2

2

2 0 Si

a

x

c

zy

gráficahay No Imposible!

12

2

2

2 0 Si

b

y

a

xz

Observación: Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas.

La variable a la primera potencia indica el eje del

paraboloide

Tiene por ecuación: c

z

b

y

a

x2

2

2

2

Las trazas del paraboloide son: Para planos paralelos a xy son elipses, para planos paralelos a xz o a yz son parábolas.

Parábola 2

2 2

2 0 Si

c

zby

c

z

b

yx

Parábola 2

2 2

2 0 Si

c

zax

c

z

a

xy

Círculo Si

Elipse 2

2

2

2 Si

ba

c

k

b

y

a

xkz

Observación: Su diferencia con las otras cuádricas es que tienen una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el mismo signo.

Tiene por ecuación:

c

z

b

y

a

x2

2

2

2

Las trazas del paraboloide son: para planos paralelos a xy son rectas, para planos paralelos a xz o a yz son parábolas.

Parábola 2

2 0 Si

c

z

b

yx

Parábola 2

2 0 Si

c

z

a

xy

rectas Dos 02

2

2

2 0 Si y

b

ax

b

y

a

xz

Observación: Su diferencia fundamental con las otras superficies es que ella tiene en su ecuación una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen signos contrarios.

Tiene por ecuación: 2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Las trazas del cono son: Para planos paralelos a xy son elipses, para planos paralelos a xz o a yz son rectas.

rectas Dos 2

2

2

2 0 Si z

c

by

c

z

b

yx

rectas Dos 2

2

2

2 0 Si z

c

ax

c

z

a

xy

Elipse 2

2

2

2

2

2 Si

b

k

b

y

a

xkz

x

y

z

Observación: Su diferencia fundamental con las otras superficies es que ella tiene en su ecuación una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen signos contrarios.