la elipse-

7/25/2019 la elipse-

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Tema: Elipse


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INDICE:1. Defnicin y elementos de la elipse

2. Valor de la constante

3. Excentricidad de la elipse4. Ecuacin de la elipse con centro en el origen

5. Ecuacin de la elipse con centro uera del origen

. Vertical

. Horiontal

!. "ongitud del lado recto. Vertical

. Horiontal

#. Ecuacin ordinaria

. Vertical

. Horiontal$. Ecuacin general

. Vertical

. Horiontal

%. &on'ersin de la orma general a la ordinaria


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1. DEFINICIN


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Defnicin

Una elipse es el lugar geomtrico de todoslos puntos de un plano tales !ue la sumade sus distancias a dos puntos f"osllamados #ocos siempre es constante.

$ esta longitud constante se le denominae"e ma%o !ue puede ser paralelo al e"e &'(paralelo al e"e &%( o )ien o)licuo.

E"e ma%or *Distancia entre

+rtices


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E,E-ENT/ DE ,$E,I0/E


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CENTRO: Como su nombre loindica, es el punto central de la

elipse y es donde se

intersecan los ejes mayor y menor.

FOCOS (F1 y F2): Son dos

puntos localizados sobre el Eje

mayor, no son arbitrarios y entre

ms parecida sea una elipse a

una circunferencia, la distancia

entre ellos se reduce

.

Eje Mayor ( AB = 2 a ):

Segmento de recta

localizado entre los

vrtices de la Elipse.

Eje Menor ( CD = 2b) :

Segmento de recta

perpendicular al eje mayor

cuyos etremos se

localizan sobre la elipse.

RADIO VECTOR : Son lossegmentos de recta

dirigidos !ue van desde un

punto "# u "$ %asta un

punto situado en la

elipse.

VERTICE ( A y B) :&untos etremos del eje

mayor.

DISTANCIA FOCAL : Esel segmento de recta

!ue va desde un foco "#

%asta el "$.

LADO RECTO : Segmento de

recta perpendicular al eje

mayor, contiene a un foco

'cual!uiera de los dos) y sus

etremos se localizan sobre la

elipse. (a longitud del lado recto

se denomina ancho focal.

E,E-ENT/ DE ,$ E,I0/E


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. 2$,3 DE

,$CN/T$NTE


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PF1+ PF2= 2a

Como establece la defnicin inicial de la elipse como lugargeomtrico, para todos los puntos Pde la elipse la suma delas longitudes de sus dos radio vectores es una una cantidadconstante igual a la longitud 2adel eje mayor:

2alor de la

constante


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3.

EXCENTR C DAD

DE LA

EL PSE


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E'centricidad de la Elipse

La ecentricidad (!psilon" de una elipse es la ra#n entre susemidistancia $ocal !segmento %ue va del centro de la elipse a unode sus $ocos", denominada por la letra c, y su semieje mayor& 'uvalor se encuentra entre cero y uno&

(ado %ue :

)ambin vale larelacin

* el sistema :La excentricidad indica la forma de unaelipse; una elipse ser ms redondeadacuanto ms se aproxime suexcentricidad al valor cero. Ladesignacin tradicional de laexcentricidad es la letra

griega

llamada psilon.


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4. ECU$CIN DE ,$E,I0/E CN CENT3

EN E, 3I5EN


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partir de la defnicin de la elipse y de la epresinpara calcular la distancia entre dos puntos, se puedededucir la ecuacin de una elipse en un sistema decoordenadas rectangulares&

Ecuacin de la elipse6ori7ontal con centro en el

origen

'i los vrtices se ubican en las coordenadas y

, los $ocos estn en y , el eje

mayor de la elipse es coincidente al eje -. y su centro

se ubica en el origen , tiene la siguiente $orma :


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'i el punto / est en cual%uierade los vrtices, la suma de

distancias d0 + d2da comoresultadoa 1 c + a + c , por lo %ue lasuma constante se establece en2a, a 3

4l punto /!, y" pertenecer a la elipse si y slo si: d0+ d2

=2a,por lo tanto:

5asta llegar a : ecuacin conocida

como ecuacinordinaria o cannicade la elipsehorizontal con centroen el origen, desemieje mayor a yde semieje menor b &


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4l procedimiento para obtener la ecuacin dela elipse vertical es muy similar al %ue se 6i#ocon la elipse 6ori#ontal&

Ecuacin de la elipse+ertical

con centro en el origen

4n este caso, los vrtices y $ocos estn sobre el eje -y 7en las coordenada

, respectivamente y aplican

epresin de distancia entre dos puntos, se tiene %ue :


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ecuacin conocida como ecuacin ordinaria o cannica de la elipsevertical con centro en el origen, de semieje mayor a y de semiejemenor b &

La elipse en este caso tendr8a la siguiente $orma:


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8. ECU$CIN DE ,$E,I0/E

CN CENT3 FUE3$

DE,3I5EN


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Ecuacin de la Elipse con centro

fuera del origen - Horizontal

) partir de la defnicin de la elipse y de la expresinpara calcular la distancia entre dos puntos* se puedededucir la ecuacin de una elipse en un sistema decoordenadas rectangulares

'ea la elipse del eje $ocal paralelo al eje 9 y cuyocentro es el punto C !6,"

'i trasladamos el sistema de coordenadas 9; alsistema 9


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plo I : 9ori7ontal; allar la ecuacin de la elipse cu%os +rtices son l=; % 29=8=; % pasa por el punto 09>;.

4n este sistema:9= 16

;


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Ecuacin de la Elipse con centro fuera

del origen Vertical

4l procedimiento para obtener la ecuacin de la elipse vertical es muy similar al %ue se 6i#o con la elipse 6ori#ontaConsideremos a6ora la elipse cuyo eje $ocal es paralelo al eje ; y cuyo centro es el punto C !6,"

Como en el caso anterior la ecuacin de la elipse con relacin al sistema 9


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@. ,N5ITUDDE, ,$D

3ECT DE UN$E,I0/E


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Longitud del lado recto de una elipse

horizontal

0ara cual!uier elipse los segmentosperpendiculares al e"e ma%or !ue pasan por sus#ocos de la elipsecon e'tremos so)re la cur+a se denominan lados

rectos +",-.5rAfcamentees:


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0ara encontrar lascoordenadas de lose'tremos del lado

recto !ue pasa porel #oco se

sustitu%e el+alor de ' por c en

la ecuacin

despe"ada para % :cual las coordenadas de los e'tremos 01 % p del lado recto asociado


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/imilarmente para encontrar lascoordenadas de los e'tremos del ladorecto !ue pasa por el #oco F elprocedimiento es idntico al tomar encuenta !ue los puntos p> % p4 sonsimtricos a los puntos p1% p con respecto al e"e ' con lo !ue setienen la mismas ordenadasrespecti+as por lo !ue las

coordenadas de los e'tremos p> % p4del lado recto asociado F a son:

,a longitud medida enunidades lineales 9u;de cadalado recto +iene dado por ladi#erencia de sus ordenadas.0or lo tanto:


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Longitud del lado recto de una elipse

vertical

0ara encontrar las coordenadas de los e'tremos del lado rectode una elipse +ertical !ue pasa por el #oco F1 se sustitu%e el +alor de % por c en

la ecuacin despe"ada para '

por lo cual las coordenadas de los e'tremos p0y p2del ladorecto asociado a $0son:


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/imilarmente para encontrar las coordenadasde los e'tremos del lado recto !ue pasa por el#oco F el procedimiento es idntico al tomaren cuenta !ue los puntos p> % p4 sonsimtricos a los puntos p1% pcon respecto al e"e ' con lo !ue se tienen lamismas ordenadas respecti+as por lo !ue lascoordenadas de los e'tremos p>% p4 del ladorecto asociado F a son:


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Ecuacin General de la Elipse

Como en los casos de las otras cnicas, para convertir una ecuacin de la$orma general a la $orma ordinaria, utili#aremos el mtodo de$actori#acin conocido como completar cuadrados&

i la ecuacin corresponde a una elipse, entonces los signos de y > deben ser iguales&

Conversin de f. ordinaria a f. general

Esta ecuacin es la que encontramos en el ejemplo que se resolvien la pgina?Ahora solamente vamos a multiplicar ambos lados de la igualdad por 25 y despus por16:


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Esta es la ecuacin de la misma elipse, pero en la forma general.

$6ora solamente +amos a trans#ormarla a la #orma general

Ba calculamos la ecuacin en #orma ordinaria deesta elipse 9pAg.;.


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6ora solamente la vamos a escribir en la $orma general&4mpe#amos multiplicando ambos lados de la igualdad por losdenominadores de las $racciones:

6ora desarrollamos los binomios %ue estn elevados alcuadrado

; 6emos terminado

Ba calculamos la ecuacin en #orma ordinaria de estaelipse 9pAg.;


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ECU$CIN 5ENE3$, DE ,$ E,I0/E 3INT$,

Que e !a ecuacin general de la elipse horizontal" $C# $ero %e!&'&o 'no"


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ECUACION GENERAL DE ELIPSE VERTICAL:


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?.CN2E3/IN

DE ,$F3-$

5ENE3$, $ ,$F3-$

3DIN$3I$


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Conversin de la forma general a la forma ordinaria

6ora si vamos a aplicar el mtodo de completar cuadrados&4mpe#amos ordenando los trminos: primero los %ue incluyen a y despus los %ue incluyen a y:

?actori#amos el coefciente del trmino principal de cada binomio:

Como en los casos de las otras cnicas para con+ertir una ecuacin

de la #orma general a la #orma ordinaria utili7aremos el mtodo de#actori7acin conocido como completar cuadrados.

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