LP Simpleks

1

Metode Kuantitatif dalam Pengambilan KeputusanMetode Kuantitatif dalam Metode Kuantitatif dalam Pengambilan KeputusanPengambilan Keputusan

Sesi 2

Dr. A. Wahyudi Atmoko

LINIER PROGRAMMINGMETODE SIMPLEKS

2

PROSEDUR PERHITUNGAN METODE SIMPLEKS

LANGKAH 1 : Konversikan Soal ke dalam Bentuk StandarKarakteristik Bentuk Standar dalam Metode Simpleks adalah:

1. Semua pembatas mempunyai tanda “persamaan“ dengan Nilai Kanan (NK) “positif”

2. Semua variabel non-negatif (≥ 0)

3. Fungsi tujuan dapat berupa “maksimasi” atau “minimasi”.

3

PROSEDUR PERHITUNGAN METODE SIMPLEKS

LANGKAH 2 : Tentukan Solusi Basis AwalSolusi Basis Awal dalam Metode Simpleks mencakup dua hal:

1. Jika semua pembatas mempunyai tanda “pertidaksamaan“(≤), maka variabel “slack” (S) dipakai sebagai Solusi Basis Awal.

2. Jika ada pembatas mempunyai tanda “pertidaksamaan“(≥) dan “persamaan” (=), maka digunakan teknik “Artificial Variable”atau “teknik M” (M) sebagai Solusi Basis Awal.

4

SURPLUS VARIABLE & SLACK VARIABLE

Penyelesaian optimal tidak selalu menghabiskan semua jumlah batasan yang ada (menghabiskan semua NK).

Untuk solusi Metode Simpleks penambahan variabel dalam persamaan diberikan ciri:

Slack Variable ditandai dengan tanda PLUS (+) untuk tanda NK yaitu Lebih Kecil atau Sama Dengan (≤).

Surplus Variable ditandai dengan tanda MINUS (-) untuk tanda NK yaitu Lebih Besar atau Sama Dengan (≥).

5

PROSEDUR PERHITUNGAN METODE SIMPLEKS

LANGKAH 3 : Tentukan Basic Feasible Solution yang baru dengan menggunakan “Kondisi Optimalitas” & “Kondisi Fisibilitas”Sampai Solusi Optimal tercapai.

1. Kondisi OptimalitasDari persamaan Z yang digambarkan dalam kondisi variabel bukan basis (Non Basis), dipilih “Entering Variable” (EV) dalam maksimasi atau minimasi sebagai yang mempunyai koefisien negatif (positif) terbesar.

☺ Pada kondisi Maksimasi pilih koefisien Negatif Terbesar.☻Pada kondisi Minimasi pilih koefisien Positif Terbesar.

Bila koefisien variabel basis pada persamaan Z sudah tidak ada yang negatif (positif), maka kondisi maksimasi (minimasi) sudah tercapai.

☺Maksimasi: Z = Tidak Ada Nilai Negatif Lagi.☻Minimasi: Z = Tidak Ada Nilai Positif Lagi

6

LANGKAH 2 : Tentukan Basic Feasible Solution2. Kondisi Fisibilitas

Kondisi fisibilitas merupakan rasio antara nilai solusi (NK) dengan koefisien pada Entering Variable (EV). Kondisi fisibilitas akan menghasilkan Leaving Variable (LV) yang akan digantikan oleh Entering Variable (EV). Pada kondisi fisibilitas pilih rasio terkecil (termasuk nilai nol)

7

Variabel Basis Variabel Non BasisBasis Z X1 X2 . . . S1 S2 . . . Solusi Rasio

ZS1S2. . .

Tabel AwalTabel Awal

8

Contoh:

FT Maksimasi Z = 3X1 + 4X2

Terbatas pada:

2X1 + 3X2 ≤ 243X1 + X2 ≤ 21X1 + X1 ≤ 9

X1, X2 ≥ 0

FT Maksimasi Z = 3X1 + 4X2

Terbatas pada:

2X1 + 3X2 = 243X1 + X2 = 21X1 + X1 = 9

X1, X2 ≥ 0

Penyelesaian:1. Konversikan ke Bentuk Standar

9

Matriks Identitas

Terbatas pada:

2X1 + 3X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 243X1 + X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 21X1 + X1 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 9

X1, X2, S1, S2, S3 ≥ 0

FT Maksimasi Z = 3X1 + 4X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3

atau

Z - 3X1 - 4X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0

2. Solusi Basis Awal

Solusi Basis Awal

Karena semua pembatas memiliki tanda ≤, maka slack variable (S) digunakan sebagai solusi Basis Awal. Banyaknya slack variable yang digunakan tergantung pada jumlah pembatas.

10

LV

EV

Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi RasioZ

S1S2S3

Tabel AwalTabel Awal

Terbatas pada:

2X1 + 3X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 243X1 + X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 21X1 + X1 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 9

1 - 3 - 4 0 0 0

FT Maksimasi Z - 3X1 - 4X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3

0 2 3 1 0 0 240 3 1 0 1 0 210 1 1 0 0 1 9

8219

2. Tentukan EV (Pilih Nilai dalam baris Z dengan angka negatif terbesar)3. Tentukan LV → Rumus: Kolom Solusi / Kolom EV

dan pilih nilai terkecil dalam Kolom Rasio.

Langkah:1. Masukkan Nilai-nilai Fungsi Tujuan dan Batasan ke dalam Tabel Awal

11

LV

EV

Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi RasioZ

S1S2S3

1 - 3 - 4 0 0 00 2 3 1 0 0 240 3 1 0 1 0 210 1 1 0 0 1 9

8219

Langkah:4. Hitung Nilai LV Baru → Rumus: LV Baru = LV Lama / Sumbu EV & LV

Ganti posisi S2 (LV) menjadi X2 (EV)

Tabel AwalTabel Awal

X2 0/3 2/3 3/3 1/3 0/3 0/3 24/3

LV (Baru)X2 0 0.67 1 0.33 0 0 8

Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi

12

LV

EV

Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 SolusiZ

X2S2S3

1 - 3 - 4 0 0 00 0.67 1 0.33 0 0 80 3 1 0 1 0 210 1 1 0 0 1 9

Langkah:5. Hitung Nilai Baris Baru untuk Z, S2, dan S3

Rumus: Nilai Baris Baru = Nilai Baris Lama + (Nilai Sumbu EV x Nilai LV Baru)

Tabel AwalTabel Awal

Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 SolusiZ Lama 1 -3 -4 0 0 0 04 x X2 0 2.67 4 1.33 0 0 32Z Baru

+01 -0.33 1.33 0 0 32

13

LV

EV

Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 SolusiZ 1 -0.33 0 1.33 0 0 32

X2S2S3

0 0.67 1 0.33 0 0 80 3 1 0 1 0 210 1 1 0 0 1 9

Tabel AwalTabel Awal

Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 SolusiS2 Lama 0 3 1 0 1 0 21-1 x X2 0 -0.67 -1 -0.33 0 0 -8

S2 Baru 0 2.33 0 0.33 1 0 13+

Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 SolusiS3 Lama 0 1 1 0 0 1 9-1 x X2 0 -0.67 -1 -0.33 0 0 -8

S3 Baru 0 0.33 0 -0.33 0 1 1+

14

LV

EV

Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi RasioZ 1 -0.33 0 1.33 0 0 32

X2 0 0.67 1 0.33 0 0 8S2 0 2.33 0 0.33 1 0 13S3 0 0.33 0 -0.33 0 1 1

Tabel Iterasi 1Tabel Iterasi 1

11.945.583.03

Langkah:6. Lakukan Langkah 2 sd 5 sampai tidak menemukan lagi nilai Fungsi Tujuan (Z)

negatif.

2. Tentukan EV (Pilih Nilai dalam baris Z dengan angka negatif terbesar)3. Tentukan LV → Rumus: Kolom Solusi / Kolom EV

dan pilih nilai positif terkecil dalam Kolom Rasio.

☺☺☺

4. Hitung Nilai LV Baru → Rumus: LV Baru = LV Lama / Sumbu EV & LVGanti posisi S2 (LV) menjadi X1 (EV)

15

LV (Baru)X1 0 1 0 -1 0 3 3.03

5. Hitung Nilai Baris Baru untuk Z, X2, dan S2Rumus: Nilai Baris Baru = Nilai Baris Lama + (Nilai Sumbu EV x Nilai LV Baru)

Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi

Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi

+

Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi

+

Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi

+

Z Lama0.33 x X1Z Baru

1 -0.33 0 1.33 0 0 320 0.33 0 -0.33 0 1 1

1 0 0 1 0 1 33

X2 Lama-0.67 x X1X2 Baru

0 0.67 1 0.33 0 0 80 -0.67 0 0.67 0 -2 -2

0 0 1 1 0 -2 6

S2 Lama-2.33 x X1S2 Baru

0 2.33 0 -0.33 1 0 130 -2.33 0 2.33 0 -7 -7

0 0 0 2 1 -7 6

16

Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 SolusiZ

X2S2X1

Tabel Iterasi 2Tabel Iterasi 2

Variabel Basis sudah tidak ada yang negatif, maka persoalan tersebut sudah optimal, dimana:

X1 = 3X2 = 6Z = 33

1 0 0 1 0 1 330 0 1 1 0 -2 60 0 0 2 1 -7 60 1 0 -1 0 3 3

17

Latihan 1:

FT Maksimasi Z = 2X1 – 4X2 + 5X3 – 6X4

Terbatas pada:

X1 + 4X2 – 2X3 + 8X4 ≤ 2-X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 ≤ 1

X1, X2,X3,X4 ≥ 0

Tentukan Nilai X1, X2, X3, dan X4?

Latihan 2:

FT Maksimasi Z = 3X1 + 2X2 + 5X3

Terbatas pada:

X1 + 2X2 + X3 ≤ 4303X1 + 2X3 ≤ 460

X1 + 4X2 ≤ 420X1, X2,X3 ≥ 0

Tentukan Nilai X1, X2, dan X3?

18

Latihan 1:

FT Maksimasi Z = 2X1 – 4X2 + 5X3 – 6X4

Terbatas pada:

X1 + 4X2 – 2X3 + 8X4 ≤ 2-X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 ≤ 1

X1, X2,X3,X4 ≥ 0

Tentukan Nilai X1, X2, X3, dan X4?

LV

EV

X3Basis Z X1 X2 X4 S1 S2 Solusi RasioZ

S1S2

Tabel AwalTabel Awal

1 -2 4 -5 6 0 00 1 4 -2 8 1 0 20 -1 2 3 4 0 1 1

10.33

Basis Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 SolusiX3 0 -0.33 0.67 1 1.33 0 0.33 0.33

19

Perubahan ZBasis Z X1 X2 X3

-550

X4 S1 S2 SolusiZ Lama 1 -2 4 6 0 05 x X3 0 -1.67 3.33 6.67 0 1.67 1.67Z Baru 1 -3.67 7.33 12.67 0 1.67 1.67

1X3

0.330.3301.330.67-0.330X3SolusiS2S1X4X2X1ZBasis

+

02-2X3

Perubahan S1

2.670.67110.335.330.330S1 Baru0.670.6702.671.33-0.6702 x X3

2018410S1 LamaSolusiS2S1X4X2X1ZBasis

+

Ingat!

20

LV

EV

X3Basis Z X1 X2 X4 S1 S2 Solusi RasioZ

S1X3

1 -3.67 7.33 0 12.67 0 1.67 1.670 0.33 5.33 0 10.33 1 0.67 2.670 -0.33 0.67 1 1.33 0 0.33 0.33

-0.4581

Tabel Iterasi 1Tabel Iterasi 1

Basis Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 SolusiX1 0 1 16 0 32 3 2 8

21

Perubahan ZBasis Z X1 X2 X3

000

X4 S1 S2 SolusiZ Lama 1 -3.67 7.33 12.67 0 1.67 1.67

3.67 x X1 0 3.67 58.67 117.33 11 7.33 29.33Z Baru 1 0 66 130 11 9 31

+

101

X3Perubahan X3

31112600X3 Baru2.670.67110.675.330.3300.33 x X10.330.3301.330.67-0.330X3 Lama

SolusiS2S1X4X2X1ZBasis

+

0X3

823321610X1SolusiS2S1X4X2X1ZBasis

Ingat!

22

Tabel Iterasi 2Tabel Iterasi 2

X3001

Basis Z X1 X2 X4 S1 S2 SolusiZ 1 0 66 130 11 9 31

X1 0 1 16 32 3 2 8X3 0 0 6 12 1 1 3

Variabel Basis sudah tidak ada yang negatif, maka persoalan tersebut sudah optimal, dimana:

X1 = 8X2 = 0X3 = 3X4 = 0Z = 31

23

TEKNIK ARTIFICIAL VARIABLEARTIFICIAL VARIABLE: TEKNIK M

Teknik Artificial Variable digunakan jika beberapa pembatas atau kendala yang memiliki tanda pertidaksamaan (≥) dan persamaan (=).

Teknik solusi yang digunakan adalah perhitungan M, yaitu:

LANGKAH:

1. Konversikan persoalan kedalam bentuk persamaan.

2. Tambahkan variabel non negatif pada ruas kiri dari setiap pembatas yang memiliki tanda pertidaksamaan (≥) atau tanda persamaan (=). Variabel ini disevut Artificial Variable (R). Agar semua Artificial Variable (R) memiliki nilai nol pada solusi akhir, maka variabel artifisial pada fungsi tujuan dikalikan dengan suatu bilangan dengan nilai yang sangat besar, yaitu bilangan M, dimana M adalah (-M) pada persoalan Maksimasi dan (+M) pada persoalan minimasi.

3. Gunakan Artificial Variable sebagai Solusi Awal. Jika koefisien basis variabel tidak sama dengan nol pada tabel awal, maka dilakukan eliminasi sehingga diperoleh nilai nol.

Persamaan Z Baru = Persamaan Z Lama + (M x Persamaan R1) + (M x Persamaan R2)

4. Untuk mendapatkan nilai atau solusi yang optimal, maka proses yang dilakukan sama dengan proses pada metode simpleks dengan slack variable.

24

Contoh:

FT Maksimasi Z = 5X1 + 12X2 + 4X3

Terbatas pada:

X1 + 2X2 + X3 ≤ 52X1 - 2X2 + 3X3 = 2

X1, X2,X3 ≥ 0

Tentukan Nilai X1, X2, dan X3?

Bentuk Standar:• Pembatas 1: tanda pertidaksamaan (≤), sehingga perlu ditambahankan slack

variable (S).

• Pembatas 2: tanda persamaan (=), sehingga perlu ditambahkan artificial variable (R). Karena letaknya pada pembatas 2, maka artificial variabledilambangkan dengan R2.

• FT maksimasi, maka digunakan bilangan (-M)

SolusiSolusi

25

Penyelesaian:1. Konversikan ke Bentuk Standar

FT Maksimasi Z = 5X1 + 12X2 + 4X3 – MR2

Sehingga Z – 5X1 – 12 X2 – 4X3 + MR2 = 0

Terbatas pada:

X1 + 2X2 + X3 ≤ 52X1 - 2X2 + 3X3 = 2

X1, X2,X3 ≥ 0

Terbatas pada:

X1 + 2X2 + X3 + 1S1 = 52X1 - 2X2 + 3X3 + R2 = 2

X1, X2,X3, S1, R2 ≥ 0

Tabel StandarBasis Z X1 X2 X3 S1 R2 Solusi

Z 1 -5 -12 -4 0 MS1 0 1 2 1 1 0 5R2 0 2 -2 3 0 1 2

26

Menentukan Z BaruBasis Z X1 X2 X3 S1 R2 Solusi

Z Lama 1 -5 -12 -4 0 M-M x R2Z Baru

Koefisien pada R2 harus memiliki nilai nol (0), sehingga harus dicari persamaan Z Baru, yaitu:

2103-220R2SolusiR2S1X3X2X1ZBasis

-2M-M0-3M2M-2M0-2M00-4-3M-12+2M-5-2M1

+

Ingat!

27

EV

Tabel AwalTabel Awal

Basis Z X1 X2 X3 S1 R2 SolusiZ Lama

S1R2

-2M00-4-3M-12+2M-5-2M1

0.675

Rasio

50112102103-220

Catatan: FT adalah fungsi maksimasi sehingga EV ditentukan dari variabel yang memiliki M paling negatif.

LV Baru

2/31/30/31-2/32/30X3SolusiR2S1X3X2X1ZBasis

28

Ingat! LV BaruBasis Z X1 X2 X3 S1 R2 Solusi

X3 0 2/3 -2/3 1 0/3 1/3 2/3

Menentukan Z Baru

Z Baru4+3MxX3Z Lama

SolusiR2S1X3X2X1ZBasis-2M00-4-3M-12+2M-5-2M1

+

Tentukan Z dan S1?

8/3+2M4/3+M04+3M-8/3-2M8/3+2M02.674/3+M00-14.67-2.331

Menentukan S1 Baru

S1 Baru-1 x X3

S1 LamaSolusiR2S1X3X2X1ZBasis

+4.33-0.33102.670.330

5011210-0.67-0.330-10.67-0.670

29

EV

Tabel Iterasi 1Tabel Iterasi 1

Basis Z X1 X2 X3 S1 R2 SolusiZ

S1X3 -1

1.621

Rasio2.674/3+M00-14.67-2.3314.33-0.33102.670.3300.670.3301-0.670.670

LV Baru

1.6210.1240.375010.1240X2SolusiR2S1X3X2X1ZBasis

30

Ingat! LV BaruBasis Z X1 X2 X3 S1 R2 Solusi

X2 0 0.124 1 0 0.375 0.124 1.621

Menentukan Z Baru

Z Baru14.67xX2Z Lama

SolusiR2S1X3X2X1ZBasis

+

Tentukan Z dan X3?

23.781.825.50014.671.82026.453.15+M5.5000-0.511

Menentukan X3 Baru

X3 Baru0.67 x X2X3 Lama

SolusiR2S1X3X2X1ZBasis

+1.760.410.25100.7501.090.080.2500.670.080

2.674/3+M00-14.67-2.331

0.670.3301-0.670.670

31

EV

Tabel Iterasi 2Tabel Iterasi 2

Basis Z X1 X2 X3 S1 R2 SolusiZ

X2X3 2.35

13.07

Rasio26.453.15+M5.5000-0.5111.6210.1240.375010.12401.760.410.25100.750

LV Baru

2.350.550.331.33010X1SolusiR2S1X3X2X1ZBasis

32

Menentukan Z BaruBasis Z X1 X2 X3 S1 R2 Solusi

Z Lama0.51 x X1Z Baru

+

Tentukan Z dan X2?

1.200.280.170.6800.51027.653.43+M5.670.68011

Menentukan X2 Baru

X2 Baru-0.124xX1X2 Lama

SolusiR2S1X3X2X1ZBasis

+1.330.0560.335-0.165100-0.29-0.068-0.040-0.1650-0.1240

26.453.15+M5.5000-0.511

Ingat! LV Baru

2.350.550.331.33010X1SolusiR2S1X3X2X1ZBasis

1.6210.1240.375010.1240

33

Tabel Iterasi 3Tabel Iterasi 3

Basis Z X1 X2 X3 S1 R2 SolusiZ 1 0 0 0.68 5.67 3.43+M 27.65

X2 0 0 1 -0.165 0.335 0.056 1.33X1 0 1 0 1.33 0.33 0.55 2.35

Variabel Basis sudah tidak ada yang negatif, maka persoalan tersebut sudah optimal, dimana:

X1 = 2.35X2 = 1.33X3 = 0

Z = 27.65

34

Latihan 3:

FT Minimasi Z = 60X1 + 40X2 + 80X3

Terbatas pada:

3X1 + 2X2 + X3 ≥ 24X1 + X2 + 3x3 ≥ 42X1 + 2X2 + 2X3 ≥ 3

X1, X2, X3 ≥ 0

Penyelesaian:1. Konversikan ke Bentuk Standar

Bentuk Standar:• Pembatas 1, 2, dan 3 memiliki

pertidaksamaan (≥), maka perlu ditambahkan artificial variable (R) dan slack variable (S).

• FT minimasi, maka digunakan bilangan M.

FT Minimasi Z = 60X1 + 40X2 + 80X3 + MR1 + MR2 + MR3

Menjadi Z - 60X1 - 40X2 - 80X3 - MR1 - MR2 - MR3

Terbatas pada:

3X1 + 2X2 + X3 – S1 + R1 = 24X1 + X2 + 3x3 – S2 + R2 = 42X1 + 2X2 + 2X3 – S3 + R3 = 3X1, X2, X3, S1, S2, S3, R1, R2,R3 ≥ 0

35

FT Minimasi Z = 60X1 + 40X2 + 80X3 + MR1 + MR2 + MR3

Menjadi Z - 60X1 - 40X2 - 80X3 - MR1 - MR2 - MR3

Terbatas pada:

3X1 + 2X2 + X3 – S1 + R1 = 24X1 + X2 + 3x3 – S2 + R2 = 42X1 + 2X2 + 2X3 – S3 + R3 = 3X1, X2, X3, S1, S2, S3, R1, R2,R3 ≥ 0

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.Z 1 -60 -40 -80 0 0 0 -M -M -M

R1 0 3 2 1 -1 0 0 1 0 0 2

R2 0 4 1 3 0 -1 0 0 1 0 4

R3 0 2 2 2 0 0 -1 0 0 1 3

36

Koefisien pada R harus memiliki nilai nol (0), sehingga harus dicari persamaan Z Baru, yaitu:

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.Z Lama 1 -60 -40 -80 0 0 0 -M -M -M

R1xM 0 3M 2M M -M 0 0 M 0 0 2M

R2xM 0 4M M 3M 0 -M 0 0 M 0 4M

R3xM 0 2M 2M 2M 0 0 -M 0 0 M 3M

Z Baru 1 -60+9M -40+5M -80+6M -M -M -M 0 0 0 9M+

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.Z 1 -60 -40 -80 0 0 0 -M -M -M

R1 0 3 2 1 -1 0 0 1 0 0 2

R2 0 4 1 3 0 -1 0 0 1 0 4

R3 0 2 2 2 0 0 -1 0 0 1 3

37

EVBasis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.

Z Lama 1 -60+9M -40+5M -80+6M -M -M -M 0 0 0 9M

R1 0 3 2 1 -1 0 0 1 0 0 2

R2 0 4 1 3 0 -1 0 0 1 0 4

R3 0 2 2 2 0 0 -1 0 0 1 3

Tabel AwalTabel Awal

Catatan: FT adalah fungsi Minimasi sehingga EV ditentukan dari variabel yang memiliki koefisien M paling positif.

Rs

0.67

1

1.5

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.Z Lama 1 -60+9M -40+5M -80+6M -M -M -M 0 0 0 9M

X1 0 1 2/3 1/3 -1/3 0 0 1/3 0 0 2/3

R2 0 4 1 3 0 -1 0 0 1 0 4

R3 0 2 2 2 0 0 -1 0 0 1 3

Tentukan Nilai Z, R2, R3?

38

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.Z Lama 1 -60+9M -40+5M -80+6M -M -M -M 0 0 0 9M

60-9MxX1 0 60-9M 40-6M 20-3M -20+3M 0 0 20-3M 0 0 40-6M

Z Baru 1 0 -M -60+3M -20+2M -M -M 20-3M 0 0 40+3M

Perubahan Z

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.X1 0 1 2/3 1/3 -1/3 0 0 1/3 0 0 2/3

Ingat! X1 Baru.

+

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.R2 Lama 0 4 1 3 0 -1 0 0 1 0 4

-4xX1 0 -4 -8/3 -4/3 4/3 0 0 -4/3 0 0 -8/3R2 Baru 0 0 -5/3 5/3 4/3 -1 0 -4/3 1 0 4/3

Perubahan R2

+

39

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.R3 Lama 0 2 2 2 0 0 -1 0 0 1 3-2 x X1 0 -2 -4/3 -2/3 2/3 0 0 -2/3 0 0 -4/3

R3 Baru 0 0 2/3 4/3 2/3 0 -1 -2/3 0 1 5/3

Perubahan R3

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.X1 0 1 2/3 1/3 -1/3 0 0 1/3 0 0 2/3

Ingat! X1 Baru.

+

Tabel Iterasi 1Tabel Iterasi 1

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.Z 1 0 -M -60+3M -20+2M -M -M 20-3M 0 0 40+3M

X1 0 1 2/3 1/3 -1/3 0 0 1/3 0 0 2/3

R2 0 0 -5/3 5/3 4/3 -1 0 -4/3 1 1 4/3

R3 0 0 2/3 4/3 2/3 0 -1 -2/3 0 1 5/3

40

EVTabel Iterasi 1Tabel Iterasi 1

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.Z 1 0 -M -60+3M -20+2M -M -M 20-3M 0 0 40+3M

X1 0 1 2/3 1/3 -1/3 0 0 1/3 0 0 2/3

R2 0 0 -5/3 5/3 4/3 -1 0 -4/3 1 0 4/3

R3 0 0 2/3 4/3 2/3 0 -1 -2/3 0 1 5/3

Catatan: FT adalah fungsi Minimasi sehingga EV ditentukan dari variabel yang memiliki koefisien M paling positif.

Rs

2

4/5

5/3

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.Z 1 0 -M -60+3M -20+2M -M -M 20-3M 0 0 40+3M

X1 0 1 2/3 1/3 -1/3 0 0 1/3 0 0 2/3

X3 0 0 -1 1 4/5 -3/5 0 -4/5 3/5 0 4/5

R3 0 0 2/3 4/3 2/3 0 -1 -2/3 0 1 5/3

Tentukan Nilai Z, X1, R3?

41

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.X3 0 0 -1 1 4/5 -3/5 0 -4/5 3/5 0 4/5

Ingat! X3 Baru.

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.

Z Lama 1 0 -M -60+3M -20+2M -M -M 20-3M 0 0 40+3M

60-3MxX3 0 0 -60+3M 60-3M 48-12/5M -36+9/5M 0 -48+12/5M 36-9/5M 0 48-12/5M

Z Baru 1 0 -60+2M 0 28-2/5M -36+4/5M -M -28-3/5M 36-9/5M 0 88+3/5M

Perubahan Z

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.X1 Lama 0 1 2/3 1/3 -1/3 0 0 1/3 0 0 2/3-1/3xX3 0 0 1/3 -1/3 -4/15 3/15 0 4/15 -3/15 0 -4/15X1 Baru 0 1 1 0 -3/5 1/5 0 3/5 -1/5 0 2/5

Perubahan X1

+

42

EV

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.X3 0 0 -1 1 4/5 -3/5 0 -4/5 3/5 0 4/5

Ingat! X3 Baru.

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.R3 Lama 0 0 2/3 4/3 2/3 0 -1 -2/3 0 1 5/3-4/3xX3 0 0 4/3 -4/3 -16/15 12/15 0 16/5 -12/5 0 -16/15R3 Baru 0 0 2 0 -2/5 4/5 -1 2/5 -4/5 1 3/5

PerubahanR3

+

Tabel Iterasi 2Tabel Iterasi 2

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.Z 1 0 -60+2M 0 28-2/5M -36+4/5M -M -28-3/5M 36-9/5M 0 88+3/5M

X1 0 1 1 0 -3/5 -1/5 0 3/5 1/5 0 2/5

X3 0 0 -1 1 4/5 -3/5 0 -4/5 3/5 0 4/5

R3 0 0 2 0 -2/5 4/5 -1 2/5 -4/5 1 3/5

Rs

2/5

-4/5

3/10

Tentukan Nilai Z, X1, X3?

43

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.X2 0 0 1 0 -1/5 2/5 -1/2 1/5 -2/5 1/2 3/10

Ingat! X2 Baru.

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.

Z Lama 1 0 -60+2M 0 28-2/5M -36+4/5M -M -28-3/5M 36-9/5M 0 88+3/5M

60-2MxX2 0 0 +60-3M 0 -12+2/5M 24-1/5M -30+M -12+2/5M -24-1/5M 30-M 18-3/5M

Z Baru 1 0 0 0 16 -12+3/5M -30 -16-M 12-8/5M 30-M 70

Perubahan Z

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.X1 Lama 0 1 1 0 -3/5 1/5 0 3/5 -1/5 0 2/5-1 x X2 0 0 -1 0 1/5 -2/5 1/2 -1/5 2/5 -1/2 3/10

X1 Baru 0 1 0 0 -2/5 -1/5 1/2 2/5 1/5 -1/2 1/10

Perubahan X1

+

44

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.X2 0 0 1 0 -1/5 2/5 -1/2 1/5 -2/5 1/2 3/10

Ingat! X2 Baru.

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.X3 Lama 0 0 -1 1 4/5 -3/5 0 -4/5 3/5 0 4/5

1 x X2 0 0 1 0 -1/5 2/5 -1/2 1/5 -2/5 1/2 3/10X3 Baru 0 0 0 1 3/5 -1/5 -1/2 -3/5 1/5 1/2 11/10

Perubahan X3

+

45

Tabel Iterasi 3Tabel Iterasi 3

Basis z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Sol.Z 1 0 0 0 16 -12+3/5M -30 -16-M 12-8/5M 30-M 70

X1 0 1 0 0 -2/5 -1/5 1/2 2/5 1/5 -1/2 1/10

X3 0 0 0 1 3/5 -1/5 -1/2 -3/5 1/5 1/2 11/10

X2 0 0 1 0 -1/5 2/5 -1/2 1/5 -2/5 1/2 3/10

Variabel Basis sudah tidak ada yang negatif, maka persoalan tersebut sudah optimal, dimana:

X1 = 1/10X2 = 3/10X3 = 11/10

Z = 70

46