View
39
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
Matematika
Skripta za prvi kolokvijum Lekcije i rešeni zadaci sa detaljnim objašnjenjima
skripteekof.com
SKRIPTE EKOF 2019/20
I kolokvijum
Skripta Baze
II kolokvijum
Skripta Baze
III kolokvijum
Skripta Baze
Skripte za ispit
MATERIJAL ZA MATEMATIKU 2019/20
Pismeni Usmeni
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
37
Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
(jednačine i nejednačine)
Pregled lekcije
U okviru ovel lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:
linearne jednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo;
kvadratne jednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo;
linearne nejednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo;
kvadratne nejednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo.
Uvod
Imamo divnu vest za vas. Sigurni smo da već znate da rešavate linearne jednačine, jer ste
ovo radili još kod učiteljice, kvadratne jednačine takođe, a i većina vas verovatno je dosta
dobro izvežbana u oblasti linearnih i kvadratnih nejednačina. Svakako ćemo ponoviti kako
se to radi i preći nekoliko primera, a i pre svega uputićemo vas na ono što velika većina
studenata zaboravi da uradi.
Zlatno pravilo
Čim vidite u zadatku jednačinu ili nejednačinu, odredite ograničenja za x u pogledu
domena (ona tri pravila koja smo naučili u prethodnoj lekciji). Ovo je ključno da
zapamtite, jer čak ukoliko šablonskim postupkom i dođete do pravih rešenja jednačine ili
nejednačine, može se desiti da ta rešenja ne pripadaju domenu. Tada rešenja zapravo nisu
rešenja, i ukoliko to ne naznačite, neće vam biti priznat zadatak na kolokvijumu i ispitu!
Mala pomoć
- Linearno znači da nigde ne možete da vidite x2, x3 itd. Najveći stepen koji se javlja kod x je
jedan.
- Kvadratno znači da nigde ne možete da vidite x3, x4 itd. Najveći stepen koji se javlja kod x je
dva, tj. x2.
- Jednačina znači da tražimo određenu nepoznatu x (postoji znak jednakosti =).
- Nejednačina znači da tražimo određenu oblast rešenja za x (postoji znak nejednakosti).
Znakovi nejednakosti mogu biti:
< manje
> veće
≤ manje ili jednako
≥ veće ili jednako
≠ različito
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
38
1. Linearne jednačine
Ovo je najjednostavniji oblik jednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x jedan.
Postupak za rešavanje je sledeći:
1) obavezno proveravamo koji je domen za x
2) x prebacujemo na jednu stranu, dok sve ostalo prebacujemo na drugu stranu jednakosti
Primer.
Reši jednačinu 3𝑥– 1 = −6𝑥 + 2.
3𝑥 − 1 = −6𝑥 + 2
9𝑥 = 3 (prebacujemo x na levu stranu)
𝒙 =𝟏
𝟑
U jednačini nema ni razlomaka, ni logaritama ni parnih korena, tako da nema ograničenja
za domen i time 𝑥 =1
3 jeste rešenje ove jednačine.
Primer.
Reši jednačinu 6𝑥+1
2𝑥+1= 0.
6𝑥+1
2𝑥+1= 0 (množimo sa 2𝑥 + 1)
6𝑥 + 1 = 0
6𝑥 = −1
𝒙 = −𝟏
𝟔
U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen.
2𝑥 + 1 ≠ 0
2𝑥 ≠ −1
𝒙 ≠ −𝟏
𝟐
𝑥 = −1
6 spada u domen i pored ovog ograničenja, tako da 𝑥 = −
1
6 jeste rešenje ove
jednačine.
2. Kvadratne jednačine
Ovo je vrlo jednostavan oblik jednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x dva.
Postupak za rešavanje je sledeći:
1) obavezno proveravamo koji je domen za x
2) sredimo jednakost ako je potrebno i rešimo kvadratnu jednačinu putem formule
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
39
Primer.
Reši jednačinu 𝑥2 + 𝑥 − 12 = −6.
Kada prebacimo šesticu na levu stranu, naša jednačina svodi se na 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0.
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =−1 ± √12 − 4 ∗ 1 ∗ (−6)
2 ∗ 1
𝑥1,2 =−1 ± √25
2
𝑥1,2 =−1 ± 5
2
𝒙𝟏 = −𝟑
𝒙𝟐 = 𝟐
U jednačini nema ni razlomaka, ni logaritama ni parnih korena, tako da nema ograničenja
za domen i time -3 i 2 zaista jesu rešenja ove kvadratne jednačine.
3. Linearne nejednačine
Ovo je najjednostavniji oblik nejednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x jedan.
Postupak za rešavanje je sledeći:
1) obavezno proveravamo koji je domen za x
2) x prebacujemo na jednu stranu, dok sve ostalo prebacujemo na drugu stranu jednakosti
*) kod razlomaka, na desnoj strani ne ostavljamo ništa tj. ostavljamo nulu (vidi drugi
primer)
3) u slučaju razlomaka, analiziramo kada funkcija zadovoljava nejednakost, putem tabele
BITNA NAPOMENA
Kod nejednačina je ključno da pazite na MINUSE. Ukoliko množite ili delite čitavu
nejednakost sa negativnim brojem, znak nejednakosti se obrće.
Primer.
Reši nejednačinu 3𝑥– 1 > −6𝑥 + 2.
3𝑥 − 1 > −6𝑥 + 2
9𝑥 > 3 (prebacujemo x na levu stranu)
𝒙 >𝟏
𝟑
U jednačini nema ni razlomaka, ni logaritama ni parnih korena, tako da nema ograničenja
za domen i time skup rešenja ove nejednačine jeste 𝑥 >1
3.
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
40
Primer.
Reši nejednačinu 6𝑥+1
2𝑥+1> 1.
6𝑥+1
2𝑥+1> 1 (prebacujemo 1 na levu stranu)
6𝑥+1
2𝑥+1− 1 > 0 (sređujemo razlomak)
6𝑥+1
2𝑥+1−
2𝑥+1
2𝑥+1> 0
4𝑥
2𝑥+1> 0
-∞ −1
2 0 +∞
4𝑥 ─ ─ +
2𝑥 + 1 ─ + +
𝒇(𝒙) + ─ +
Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim
negativna. Svaki činilac gledamo zasebno.
4𝑥 je nula u 𝑥 = 0. Ako je 𝑥 manji od 0, i 4𝑥 će biti negativan. Ako je 𝑥 veći od nule, i
4𝑥 će biti pozitivan.
2𝑥 + 1 je nula u 𝑥 = −1
2. Ako je 𝑥 manji od −
1
2, 2𝑥 + 1 će biti negativno. Ako je 𝑥
veći od −1
2, 2𝑥 + 1 će biti pozitivno.
𝑓(𝑥) predstavlja celu našu funkciju 4𝑥
2𝑥+1. Minus i minus daju plus, minus i plus daju
minus, a plus i plus daju plus.
Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća od 0. Iz tabele vidimo da je funkcija veća
od nule ukoliko je 𝑥 ∈ (−∞, −1
2) ∪ (0, +∞).
U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen.
2𝑥 + 1 ≠ 0
2𝑥 ≠ −1
𝒙 ≠ −𝟏
𝟐
Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x izuzimamo ovu vrednost i naše konačno rešenje
je sledeće:
𝑥 ∈ (−∞, −1
2) ∪ (0, +∞).
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
41
BITNA NAPOMENA
- Kod < i >, svakako ne uračunavamo u rešenje granične vrednosti (npr. ovde −1
2)
- Kod ≤ i ≥ se može desiti da uračunamo u rešenje granične vrednosti, ukoliko i ona
pripadaju domenu
4. Kvadratne nejednačine
Ovo je relativno jednostavan oblik nejednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x
dva. Postupak za rešavanje je sledeći:
1) obavezno proveravamo koji je domen za x
2) sve prebacujemo na jednu (levu) stranu, dok na desnoj strani ostavljamo nulu
3) analiziramo kada je nejednakost zadovoljena, preko skice i/ili tabele
Primer.
Reši nejednačinu −𝑥2−3𝑥+4
𝑥≥ 0.
Prvo rešavamo kvadratnu jednačinu iz brojioca, jer će nam to biti potrebno da bismo
analizirali znak funkcije:
−𝑥2 − 3𝑥 + 4 = 0
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =+3 ± √(−3)2 − 4 ∗ (−1) ∗ 4
2 ∗ (−1)
𝑥1,2 =3 ± √9 + 16
−2
𝑥1,2 =3 ± √25
−2
𝑥1,2 =3 ± 5
−2
𝒙𝟏 = −𝟒
𝒙𝟐 = 𝟏
Pravimo tabelu da bismo analizirali znak funkcije. Popunjavamo informacije za svaki činilac.
-∞ -4 0 1 +∞
-x2-3x+4 ─ + + ─
x ─ ─ + +
f(x) + ─ + ─
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
42
Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim
negativna. Svaki činilac gledamo zasebno.
𝑥 je nula u 𝑥 = 0. Ako je 𝑥 manji od 0, i 𝑥 će biti negativan. Ako je 𝑥 veći od nule, i 𝑥
će biti pozitivan.
−𝑥2 − 3𝑥 + 4 je nula u 𝑥 = −4 i 𝑥 = 1. S obzirom da je 𝑎 < 0, funkcija „plače“ (vidi
skicu ispod tabele). Samo u oblasti između -4 i 1 vrednost funkcije je pozitivna.
f(x) predstavlja celu našu funkciju −𝑥2−3𝑥+4
𝑥. Minus i minus daju plus, plus i minus
daju minus, plus i plus daju plus, i minus i plus daju minus.
Nejednakost zahteva da naša funkcija veća ili jednaka nuli. Iz tabele vidimo da je funkcija
veća ili jednaka od nule ukoliko je 𝑥 ∈ (−∞, −4] ∪ [0,1]
U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen.
𝑥 ≠ 0
Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x izuzimamo ovu vrednost i naše konačno rešenje
je sledeće:
𝑥 ∈ (−∞, −4] ∪ (0, 1]
Rešeni kolokvijumski zadaci
1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
1
𝑥 − 2≤ −2
Rešenje sa postupkom:
Čim imamo razlomak u nejednačini, pravićemo tabelu. Da bismo to učinili, potrebno je da
sve prebacimo sa leve strane, tako da na desnoj strani samo ostane nula:
1
𝑥 − 2+ 2 ≤ 0
Sredimo sada izraz sa leve strane. Zajednički imenilac je (𝑥 − 2), prvi razlomak ostaje isti,
dok drugi množimo sa (𝑥 − 2):
1
𝑥 − 2+
2(𝑥 − 2)
𝑥 − 2≤ 0
1
𝑥 − 2+
2𝑥 − 4
𝑥 − 2≤ 0
-4 1 ─ ─
+ −𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
43
2𝑥 − 3
𝑥 − 2≤ 0
Sada možemo da napravimo tabelu:
−∞ 3
2 2 +∞
2𝑥 − 3 ─ + +
𝑥 − 2 ─ ─ +
𝒇(𝒙) + ─ +
Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim
negativna. Svaki činilac gledamo zasebno.
2𝑥 − 3 je nula u 𝑥 =3
2. Ako je 𝑥 manji od
3
2, 2𝑥 − 3 će biti negativno. Ako je 𝑥 veći od
3
2, 2𝑥 − 3 će biti pozitivno.
𝑥 − 2 je nula u 𝑥 = 2. Ako je 𝑥 manji od 2, 𝑥 − 2 će biti negativno. Ako je 𝑥 veći od
2, 𝑥 − 2 će biti pozitivno.
𝑓(𝑥) predstavlja celu našu funkciju 2𝑥−3
𝑥−2. Minus i minus daju plus, minus i plus daju
minus, a plus i plus daju plus.
Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja ili jednaka od 0. Iz tabele vidimo da je
funkcija manja ili jednaka od nule ukoliko je 𝑥 ∈ [3
2, 2].
U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen.
𝑥 − 2 ≠ 0
𝑥 ≠ 2
Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x izuzimamo ovu vrednost i naše konačno rešenje
je sledeće:
𝑥 ∈ [3
2, 2)
2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
17 − 8𝑥 ≤ 2 − 𝑥2
Rešenje sa postupkom:
Prvo ćemo srediti izraz kako bismo došli do uobičajenog oblika kvadratne nejednačine:
𝑥2 − 8𝑥 + 15 ≤ 0
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =8 ± √(−8)2 − 4 ∙ 1 ∙ 15
2
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
44
𝑥1,2 =8 ± √64 + 60
2
𝑥1,2 =8 ± 2
2
𝒙𝟏 = 𝟓
𝒙𝟐 = 𝟑
Skiciramo kvadratnu funkciju kako bismo videli gde je pozitivna, a gde negativna. U našoj
funkciji 𝑎 > 0, tako da se naša funkcija smeje, i seče x-osu u 3 i 5:
Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja ili jednaka od 0. Sa skice grafika
vidimo da je funkcija manja ili jednaka od nule ukoliko je 𝑥 ∈ [3, 5].
U jednačini nemamo razlomak, tako da nema ograničenja za domen.
𝑥 ∈ ℝ
Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x ne izuzimamo nijednu vrednost i naše konačno
rešenje je sledeće:
𝑥 ∈ [3, 5].
3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
1
𝑥 + 2≥ −1
Rešenje sa postupkom:
Čim imamo razlomak u nejednačini, pravićemo tabelu. Da bismo to učinili, potrebno je da
sve prebacimo sa leve strane, tako da na desnoj strani samo ostane nula:
1
𝑥 + 2+ 1 ≥ 0
Sredimo sada izraz sa leve strane. Zajednički imenilac je (𝑥 + 2), prvi razlomak ostaje isti,
dok drugi množimo sa (𝑥 + 2):
1
𝑥 + 2+
1(𝑥 + 2)
𝑥 + 2≥ 0
1
𝑥 + 2+
𝑥 + 2
𝑥 + 2≥ 0
𝑥 + 3
𝑥 + 2≥ 0
3 5 ─
+
𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟓 +
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
45
Sada možemo da napravimo tabelu:
−∞ −3 −2 +∞
𝑥 + 3 ─ + +
𝑥 + 2 ─ ─ +
𝒇(𝒙) + ─ +
Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim
negativna. Svaki činilac gledamo zasebno.
𝑥 + 3 je nula u 𝑥 = −3. Ako je 𝑥 manji od −3, 𝑥 + 3 će biti negativno. Ako je 𝑥 veći
od −3, 𝑥 + 3 će biti pozitivno.
𝑥 + 2 je nula u 𝑥 = −2. Ako je 𝑥 manji od −2, 𝑥 + 2 će biti negativno. Ako je 𝑥 veći
od −2, 𝑥 + 2 će biti pozitivno.
𝑓(𝑥) predstavlja celu našu funkciju 𝑥+3
𝑥+2. Minus i minus daju plus, minus i plus daju
minus, a plus i plus daju plus.
Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća ili jednaka od 0. Iz tabele vidimo da je
funkcija veća ili jednaka od nule ukoliko je 𝑥 ∈ (−∞, −3] ∪ [−2, +∞).
U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen.
𝑥 + 2 ≠ 0
𝑥 ≠ −2
Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x izuzimamo ovu vrednost i naše konačno rešenje
je sledeće:
𝑥 ∈ (−∞, −3] ∪ (−2, +∞).
4. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
𝑥2 − 4𝑥 + 6 > 2𝑥 + 1
Rešenje sa postupkom:
Prvo ćemo srediti izraz kako bismo došli do uobičajenog oblika kvadratne nejednačine:
𝑥2 − 6𝑥 + 5 > 0
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =6 ± √(−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 5
2
𝑥1,2 =6 ± √36 − 20
2
𝑥1,2 =6 ± 4
2
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
46
𝒙𝟏 = 𝟓
𝒙𝟐 = 𝟏
Skiciramo kvadratnu funkciju kako bismo videli gde je pozitivna, a gde negativna. U našoj
funkciji 𝑎 > 0, tako da se naša funkcija smeje, i seče x-osu u 1 i 5:
Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća od 0. Sa skice grafika vidimo da je
funkcija veća od nule ukoliko je 𝑥 ∈ (−∞, 1) ∪ (5, +∞).
U jednačini nemamo razlomak, tako da nema ograničenja za domen.
𝑥 ∈ ℝ
Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x ne izuzimamo nijednu vrednost i naše konačno
rešenje je sledeće:
𝑥 ∈ (−∞, 1) ∪ (5, +∞)
5. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
𝑥2 − 4𝑥 + 2 < 2𝑥 − 3
Rešenje sa postupkom:
Prvo ćemo srediti izraz kako bismo došli do uobičajenog oblika kvadratne nejednačine:
𝑥2 − 6𝑥 + 5 < 0
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =6 ± √(−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 5
2
𝑥1,2 =6 ± √36 − 20
2
𝑥1,2 =6 ± 4
2
𝒙𝟏 = 𝟓
𝒙𝟐 = 𝟏
1 5 ─
+
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓
+
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
47
Skiciramo kvadratnu funkciju kako bismo videli gde je pozitivna, a gde negativna. U našoj
funkciji 𝑎 > 0, tako da se naša funkcija smeje, i seče x-osu u 1 i 5:
Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja od 0. Sa skice grafika vidimo da je
funkcija manja od nule ukoliko je 𝑥 ∈ (1, 5).
U jednačini nemamo razlomak, tako da nema ograničenja za domen.
𝑥 ∈ ℝ
Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x ne izuzimamo nijednu vrednost i naše konačno
rešenje je sledeće:
𝑥 ∈ (1, 5)
6. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
2𝑥 + 4
𝑥 − 3= 1
Rešenje sa postupkom:
Prvo sređujemo izraz, tako što sve prebacujemo sa leve strane, kako bi na desnoj strani
ostala samo nula:
2𝑥 + 4
𝑥 − 3− 1 = 0
2𝑥 + 4
𝑥 − 3−
𝑥 − 3
𝑥 − 3= 0
2𝑥 + 4 − 𝑥 + 3
𝑥 − 3= 0
𝑥 + 7
𝑥 − 3= 0
Razlomak će da bude nula onda kada mu je brojilac nula. Tako da iz ovoga sledi:
𝑥 + 7 = 0
𝑥 = −7
Uslov za oblast definisanosti koji ne smemo da zaboravimo jeste da 𝑥 − 3 ≠ 0, odnosno
𝑥 ≠ 3. Naše rešenje zaista ispunjava ovaj uslov, tako da konačno rešenje zadatka je:
𝑥 = −7
Dodatni sadržaji na našem sajtu
Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika
1 5 ─
+
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓
+
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 5: Apsolutna vrednost
48
Lekcija 5: Apsolutna vrednost
Pregled lekcije
U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:
apsolutna vrednost broja - šta predstavlja i koja je njena suština;
skiciranje grafika funkcije sa apsolutnom vrednošću;
primena apsolutne vrednosti na jednačine i nejednačine.
Uvod
Apsolutna vrednost je jedan vrlo jednostavan koncept za razumeti, što ćemo videti kada
budemo definisali šta on predstavlja. Međutim, ono na šta bismo da vam skrenemo pažnju
jeste da nikako ne preskočite primenu apsolutne vednosti na jednačine i nejednačine
i skiciranje grafika funkcije sa apsolutnom vrednošću. Ovo se često previdi jer nema
tu mnogo gradiva i dosta liči na ono što smo već naučili u lekcijama 3 i 4, ali je zapravo
veoma bitno da uradite dosta primera i dobro izvežbate baratanje sa apsolutnim
vrednostima.
1. Apsolutna vrednost broja
Najjednostavnije rečeno, apsolutna vrednost broja je njegova numerička vrednost, ukoliko
ignorišemo predznak minus ili plus.
Primer.
- Apsolutna vrednost broja -3 je 3. Matematički zapisano: |−3| = 3.
- Apsolutna vrednost broja 5 je 5. Matematički zapisano: |5| = 5
Koja bi bila apsolutna vrednost broja x? Imamo dva slučaja, koja je ključno da zapamtite.
|𝑥| = {𝑥, 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑥 < 0
Šta znači ovaj matematički zapis?
- Apsolutna vrednost broja 𝑥 iznosi 𝑥, ukoliko je 𝑥 veće ili jednako od nule (npr. ukoliko je
𝑥 = 5, to znači da je 𝑥 veće ili jednako od nule, tako da je apsolutna vrednost 5).
- Apsolutna vrednost broja 𝑥 iznosi – 𝑥, ukoliko je 𝑥 manje od nule (npr. ukoliko je
𝑥 = −3, to znači da je 𝑥 manje od nule, tako da je apsolutna vrednost – (– 3) = 3).
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 5: Apsolutna vrednost
49
BITNA NAPOMENA
Upravo zbog toga, jednačine i nejednačine sa apsolutnim vrednostima rešavamo na isti
način kao i one bez apsolutnih vrednosti, uz jednu razliku – raščlanjavamo ih na 2 dela.
2. Skiciranje grafika
U lekciji 3 smo naučili da skiciramo grafike linearnih i kvadratnih funkcija. Koja bi razlika
bila kod skiciranja funkcije sa apsolutnom vrednošću?
Zapravo, grafik se skicira identično. Prvo zanemarite da postoji apsolutna zagrada i
normalno nacrtajte funkciju, a zatim učinite nešto vrlo bitno – izbacite sve negativne
vrednosti sa vašeg grafika, preslikavajući ih na pozitivne. Pokazaćemo ovo na primeru
kako bi bilo jasno na šta se misli.
Primer.
Skiciraj grafik funkcije 𝑦 = |𝑥|.
Prvo zanemarimo da postoje apsolutne zagrade. Skicirajmo grafik funkcije 𝑦 = 𝑥.
Šta treba da promenimo na grafiku kako bismo došli do grafika funkcije 𝑦 = |𝑥|? Levo od
nule, imamo negativne vrednosti funkcije, što kod apsolutne vrednosti nije moguće jer je
ona uvek veća ili jednaka od nule. Potrebno je samo da preslikamo ove negativne vrednosti
na pozitivne, kao da je x-osa ogledalo. To bi izgledalo ovako:
𝒚 = 𝒙
𝒚 = |𝒙|
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 5: Apsolutna vrednost
50
3. Primena na jednačine i nejednačine
Jednačine i nejednačine sa apsolutnim vrednostima rešavamo gotovo identično kao
jednačine i nejednačine bez apsolutnih vrednosti. Jedino što treba da uradimo zbog
apsolutnih vrednosti jeste da raščlanimo jednačinu ili nejednačinu na dva slučaja:
1) Ukoliko je izraz pod apsolutnom vrednošću veći ili jednak 0, izraz ima predznak +
2) Ukoliko je izraz pod apsolutnom vrednošću manji od 0, izraz ima predznak –
Konačno rešenje je unija rešenja koje nađemo u svakom od ovih slučajeva pojedinačno.
Primer.
Reši jednačinu |2𝑥 + 1| = 1.
Prvi slučaj: 2𝑥 + 1 ≥ 0, izraz ima predznak +
2𝑥 + 1 = 1
2𝑥 = 0
𝒙 = 𝟎
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
2𝑥 + 1 ≥ 0
2𝑥 ≥ −1
𝒙 ≥ −𝟏
𝟐
Naše rešenje jeste veće ili jednako od −1
2, te zadovoljava ovaj uslov i uračunavamo ga u
konačni skup rešenja.
Drugi slučaj: 2𝑥 + 1 < 0, izraz ima predznak –
−(2𝑥 + 1) = 1
−2𝑥 − 1 = 1
−2𝑥 = 2
𝒙 = −𝟏
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
2𝑥 + 1 < 0
2𝑥 < −1
𝒙 < −𝟏
𝟐
Naše rešenje jeste manje od -1
2, te zadovoljava ovaj uslov i uračunavamo ga u konačni skup
rešenja.
Dakle, konačno rešenje ove jednačine je 𝑥 ∈ {−1, 0}.
BITNA NAPOMENA
Isti postupak bismo radili i kod nejednačina, samo za skup rešenja. Kada razdvojimo
nejednačinu na pojedinačne slučajeve, skup rešenja za svaki slučaj pojedinačno dobijamo
kao presek uslova za taj slučaj i dobijenog rešenja. Konačno rešenje je unija rešenja
svih pojedinačnih slučajeva.
Primer možete pogledati na sledećem linku: rebrand.ly/apsolutno
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 5: Apsolutna vrednost
51
Rešeni kolokvijumski zadaci
1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
|𝑥 − 1| < 2 − 𝑥
Rešenje sa postupkom:
Prvi slučaj: x − 1 ≥ 0, izraz ima predznak +
𝑥 − 1 < 2 − 𝑥
2𝑥 < 3
𝒙 <𝟑
𝟐
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
𝑥 − 1 ≥ 0
𝒙 ≥ 𝟏
Presek ova dva skupa jeste rešenje za prvi slučaj. Šta tačno obuhvata rešenje lakše
možemo da vidimo preko brojevne prave:
Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i
>), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova ≤ i
≥. Dakle, rešenje za prvi slučaj jeste:
𝒙 ∈ [𝟏,𝟑
𝟐)
Drugi slučaj: x − 1 < 0, izraz ima predznak −
−(𝑥 − 1) < 2 − 𝑥
−𝑥 + 1 < 2 − 𝑥
1 < 2
Dobili smo tačan iskaz, koji važi za svako x iz realnih brojeva. Znači naše rešenje je:
𝒙 ∈ ℝ
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
𝑥 − 1 < 0
𝒙 < 𝟏
1 3
2
−∞ +∞
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 5: Apsolutna vrednost
52
Presek ova dva skupa jeste rešenje za drugi slučaj. Jasno je da je presek skupa svih
brojeva i 𝑥 < 1 prosto ceo uslov 𝑥 < 1. Dakle rešenje za drugi slučaj je:
𝒙 < 𝟏
Konačno, finalno rešenje zadate nejednačine jeste UNIJA rešenja za prvi i drugi slučaj.
Možemo to prikazati i na brojevnoj pravoj:
Dakle, konačno rešenje i unija rešenja za prvi slučaj i rešenja za drugi slučaj je:
𝑥 ∈ (−∞, 1) ∪ [1,3
2)
𝑥 ∈ (−∞,3
2)
2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
|2𝑥 − 2| ≤ 4𝑥
Rešenje sa postupkom:
Prvi slučaj: 2x − 2 ≥ 0, izraz ima predznak +
2𝑥 − 2 ≤ 4𝑥
−2𝑥 ≤ 2
𝒙 ≥ −𝟏
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
2𝑥 − 2 ≥ 0
2𝑥 ≥ 2
𝒙 ≥ 𝟏
Presek ova dva skupa jeste rešenje za prvi slučaj. Šta tačno obuhvata rešenje lakše
možemo da vidimo preko brojevne prave:
Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i
>), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova ≤ i
≥. Dakle, rešenje za prvi slučaj jeste:
𝒙 ∈ [𝟏, +∞)
1 3
2
−∞ +∞
−1 1 −∞ +∞
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 5: Apsolutna vrednost
53
Drugi slučaj: 2x − 2 < 0, izraz ima predznak −
−(2𝑥 − 2) ≤ 4𝑥
−2𝑥 + 2 ≤ 4𝑥
−6𝑥 ≤ −2
3𝑥 ≥ 1
𝒙 ≥𝟏
𝟑
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
2𝑥 − 2 < 0
2𝑥 < 2
𝒙 < 𝟏
Presek ova dva skupa jeste rešenje za drugi slučaj. Šta presek obuhvata možemo lakše da
vidimo na brojevnoj pravoj:
Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i
>), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova ≤ i
≥. Dakle, rešenje za drugi slučaj jeste:
𝒙 ∈ [𝟏
𝟑, 𝟏)
Konačno, finalno rešenje zadate nejednačine jeste UNIJA rešenja za prvi i drugi slučaj.
Možemo to prikazati i na brojevnoj pravoj:
Dakle, konačno rešenje i unija rešenja za prvi slučaj i rešenja za drugi slučaj je:
𝑥 ∈ [1
3, 1) ∪ [1, +∞)
𝑥 ∈ [1
3, +∞)
1
3
1 −∞ +∞
1
3
1 −∞ +∞
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 5: Apsolutna vrednost
54
3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
𝑥 − 1 = |2𝑥|
Rešenje sa postupkom:
Prvi slučaj: 2𝑥 ≥ 0, izraz ima predznak +
𝑥 − 1 = 2𝑥
−𝑥 = 1
𝒙 = −𝟏
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
2𝑥 ≥ 0
𝒙 ≥ 𝟎
Naše rešenje nije veće ili jednako od 0, te ne zadovoljava ovaj uslov i ne uračunavamo ga
u konačni skup rešenja.
Drugi slučaj: 2𝑥 < 0, izraz ima predznak −
𝑥 − 1 = −2𝑥
3𝑥 = 1
𝒙 =𝟏
𝟑
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
2𝑥 < 0
𝒙 < 𝟎
Naše rešenje nije manje od 0, te ne zadovoljava ovaj uslov i ne uračunavamo ga u konačni
skup rešenja.
Konačni skup rešenja je 𝑥 ∈ ∅. Alternativni zapis praznog skupa je 𝑥 ∈ { }.
Dodatni sadržaji na našem sajtu
Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika
Recommended