View
45
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
conceptos basicos
Citation preview
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
Universidad Autónoma de Chiapas.
Facultad de Ingeniería.
Campus I.
Materia:
Mecánica de Materiales I.
Catedrático:
Ing. Pedro Pérez Cruz.
Equipo: Mixto.
Integrantes:
Alegría Díaz Luis Alberto
Arizmendiz Avalos Kariana Ibeth
Cuanalo Baires Cinthia Gisella
Herrera Escandón José Carlos
López Calzada Gerlingh
Morales de la Cruz Hermas
Nieto López Gabriel Alejandro.
Orantes Villafuerte Jordán
Pascasio Hernández Francisco
Pérez Ramírez Félix Benjamín
Ríos Flores Rosa Alejandra
Román Espino Mariela Darani
Trujillo Moreno Josue Darinel
Vázquez Tovilla Alexis
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
Índice:
PRESENTACIÓN: ............................................................................................................... 3
UNIDAD I.- INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS. ......................................... 4
1.3.- ELASTICIDAD, PLASTICIDAD Y FLUJO PLÁSTICO. ......................................................... 4
Elasticidad: ..................................................................................................................... 4
Tensión ........................................................................................................................ 5
Deformación ................................................................................................................ 6
Problema elástico ......................................................................................................... 6
Elasticidad y diseño mecánico ..................................................................................... 8
Plasticidad: ..................................................................................................................... 8
Modelos De Plasticidad ............................................................................................... 9
Cálculo Plástico En Estructura Metálica ................................................................... 10
Cálculo Plástico En Hormigón Armado .................................................................... 11
Flujo Plástico: ............................................................................................................... 12
1.4.- ELASTICIDAD LINEAL, LEY DE HOOKE Y RELACIÓN DE POISSON. ............................. 14
Elasticidad Lineal. ........................................................................................................ 14
Ley de Hooke. ................................................................................................................ 15
Endurecimiento Por Deformación. ............................................................................ 17
Energía De Deformación ........................................................................................... 18
Módulo De Resiliencia .............................................................................................. 19
Módulo De Tenacidad ............................................................................................... 19
Relación de Poisson: ..................................................................................................... 20
BIBLIOGRAFÍA: ............................................................................................................... 22
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
Presentación:
En este primer trabajo en nuestra materia Mecánica de los Materiales I, se nos
presento una oportunidad de trabajar en conjunto con muchas personas, puesto que los
equipos son considerablemente grandes, muchos de nosotros no nos conocíamos, además
de que el trabajo se solicito en una fecha relativamente cercana a la formación del equipo;
estos factores fueron, de alguna manera, un obstáculo para la mejor realización del trabajo.
Sin embargo, gracias a las nuevas tecnologías, la gran cooperación y compromiso
de cada uno de nosotros, la organización pudo aparecer.
Este trabajo de investigación comprende de la Unidad 1, Introducción y Conceptos
Básicos, en especifico de los subtemas 1.3, Elasticidad, Plasticidad y Flujo Plástico; y
1.4, Elasticidad Lineal, Ley de Hooke y Relación de Poisson.
Presentaremos la definición de cada uno de los puntos que se mencionaron hace un
momento, al igual que plantear algunos ejemplos en la vida cotidiana o, inclusive, en la
vida profesionista del Ingeniero Civil, para su mejor entendimiento. Esto con la finalidad
de conocer cuales son las leyes y límites que rigen a los materiales, claro está que esto
dependerá íntimamente de su composición tanto química como molecular, esto de manera
interna, además de las condiciones físicas y ambientales a las que se someten, esto de
manera externa.
Comprendemos que para la vida profesionista del Ingeniero Civil, es netamente
importante tener el conocimiento de propiedades básicas que se presentan como fenómenos
físicos en los materiales de construcción que se utiliza, para poder optimizar las estructuras
de todo tipo, aprovechándose de las propiedades que presenta cada material.
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
Unidad I.- Introducción y Conceptos Básicos.
1.3.- Elasticidad, Plasticidad y Flujo Plástico.
Elasticidad:
Propiedad en virtud de la cual un cuerpo se deforma de manera proporcional a la
carga aplicada y recupera su forma original una vez ha cesado la acción de la carga. Un
cuerpo se denomina perfectamente elástico si no experimenta deformaciones permanentes,
es decir, siempre recupera su figura inicial; por el contrario, un cuerpo se dice que es
perfectamente plástico si sufre deformaciones permanentes, de modo que mantiene a lo
largo del tiempo la nueva configuración adquirida.
En la técnica se aprovechan tanto los materiales elásticos como los plásticos. Por
ejemplo, las chapas de la carrocería han de mantener la forma deseada después de la
estampación, por lo que deberán ser plásticas. En cambio, los muelles de las suspensiones
deben volver a su posición inicial, por lo que tienen que ser perfectamente elásticos.
En realidad, la elasticidad y la plasticidad coexisten, ya que todos los materiales se
caracterizan por un comportamiento elástico, hasta cierto punto, denominado límite elástico
(esfuerzo máximo, generalmente expresado en kg/mm2, al que puede someterse un material
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
sin que se produzcan deformaciones permanentes), y luego se comportan de forma plástica
durante un intervalo determinado hasta la rotura.
No se conocen materiales que sean perfectamente elásticos a través del rango de
esfuerzos completo hasta la ruptura, aunque algunos materiales como el acero, parecen ser
elásticos en un considerable rango de esfuerzos. Algunos materiales, como el hierro
fundido, el concreto, y ciertos metales no ferrosos, son imperfectamente elásticos aun bajo
esfuerzos relativamente reducidos, pero la magnitud de la deformación permanente bajo
carga de poca duración es pequeña, de tal forma que para efectos prácticos el material se
considera como elástico hasta magnitudes de esfuerzos razonables.
El límite elástico se define como el mayor esfuerzo que un material es capaz de
desarrollar sin que ocurra la deformación permanente al retirar el esfuerzo. El límite
proporcional se define como el mayor esfuerzo que un material es capaz de desarrollar sin
desviarse de la proporcionalidad rectilínea entre el esfuerzo y la deformación; se ha
observado que la mayoría de los materiales exhiben esta relación lineal entre el esfuerzo y
la deformación dentro del rango elástico.
Tensión
La tensión en un punto se define como el
límite de la fuerza aplicada sobre una pequeña región
sobre un plano π que contenga al punto dividida del
área de la región, es decir, la tensión es la fuerza
aplicada por unidad de superficie y depende del
punto elegido, del estado tensional de sólido y de la
orientación del plano escogido para calcular el límite.
Puede probarse que la normal al plano escogido nπ y
la tensión tπ en un punto están relacionadas por:
Donde T es el llamado tensor tensión, también llamado tensor de tensiones, que
fijada una base vectorial ortogonal viene representado por una matriz simétrica 3x3:
Donde la primera matriz es la forma común de escribir el tensor tensión en física y
la segunda forma usa las convenciones comunes en ingeniería. Dada una región en forma
de ortoedro con caras paralelas a los ejes coordenados situado en el interior un sólido
elástico tensionado las componentes σxx, σyy y σzz dan cuenta de cambios de longitud en las
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
tres direcciones, pero que no distorsionan los ángulos del ortoedro, mientras que las
componentes σxy, σyz y σzx están relacionadas con la distorsión angular que convertiría el
ortoedro en un paralelepípedo.
Deformación
En teoría lineal de la elasticidad dada la pequeñez de las deformaciones es una
condición necesaria para poder asegurar que existe una relación lineal entre los
desplazamientos y la deformación. Bajo esas condiciones la deformación puede
representarse adecuadamente mediante el tensor deformación infinitesimal o tensor de
pequeñas deformaciones (este tensor solo es válido para algunas situaciones, siendo este un
caso particular de los tensores de Cauchy-Almansy y Green-Saint-Venant) que viene dada
por:
Los componentes de la diagonal principal contienen los alargamientos
(dilataciones), mientras que el resto de los componentes del tensor son los medios
desplazamientos. Las componentes están linealmente relacionadas con los desplazamientos
mediante esta relación:
Problema elástico
Un problema elástico lineal queda definido por la geometría del sólido, las
propiedades de dicho material, unas fuerzas actuantes y unas condiciones de contorno que
imponen restricciones al movimiento de cuerpo. A partir de esos elementos es posible
encontrar un campo de tensiones internas sobre el sólido (que permitirá identificar los
puntos que soportan más tensión) y un campo de desplazamientos (que permitirá encontrar
si la rigidez del elemento resistente es la adecuada para su uso).
Para plantear el problema elástico son necesarias las nociones que han sido descritas
en las secciones anteriores, que describen las tensiones, las deformaciones y los
desplazamientos de un cuerpo. Todas estas magnitudes vienen descritas por 15 funciones
matemáticas:
• Las seis componentes del tensor de tensiones y .
• Las tres componentes del vector de desplazamientos: .
• Las seis componentes del tensor de deformaciones: y .
Para comprobar si se cumplen estas relaciones, formadas por 15 funciones, el
siguiente paso es comprobar si las relaciones descritas hasta ahora bastan para describir
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
completamente el estado de un cuerpo. Una condición necesaria para ello es que el número
de ecuaciones disponibles coincida con el número de incógnitas. Las ecuaciones
disponibles son:
Las tres ecuaciones de equilibrio de Cauchy.
Las seis ecuaciones de compatibilidad de Saint-Venant, que aseguran que se los
desplazamientos y deformaciones están adecuadamente relacionados.
Las seis ecuaciones constitutivas, para un material elástico lineal isótropo y
homogéneo estas ecuaciones vienen dadas por las ecuaciones de Lamé-Hooke.
Estas 15 ecuaciones igualan exactamente el número de incógnitas. Un método
común es sustituir las relaciones entre desplazamientos y deformaciones en las ecuaciones
constitutivas, lo cual hace que se cumplan las ecuaciones de compatibilidad trivialmente. A
su vez el resultado de esta sustitución se puede introducir en las ecuaciones de equilibrio de
Cauchy lo cual convierte el anterior sistema en un sistema de tres ecuaciones en derivadas
parciales y tres desplazamientos como incógnita.
De esta manera se llega a un sistema de 15 ecuaciones con 15 incógnitas. La
formulación más simple para resolver el problema elástico es la llamada formulación de
Navier, esta formulación reduce el sistema a un sistema de tres ecuaciones diferenciales
para los desplazamientos. Esto se logra insertando en las ecuaciones de equilibrio las
ecuaciones propias del material, las ecuaciones de los desplazamientos y las ecuaciones de
las deformaciones podemos expresar nuestro sistema de ecuaciones en un sistema de tres
ecuaciones diferenciales parciales. Si lo reducimos hacia las componentes del vector de
desplazamientos llegamos a las ecuaciones de Navier:
Que con el operador Nabla y el operador de Laplace se dejan escribir como:
Mediante consideraciones energéticas se puede demostrar que estas ecuaciones
presentan una única solución.
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
Elasticidad y diseño mecánico
En ingeniería mecánica es frecuente plantear problemas elásticos para decidir la
adecuación de un diseño. En ciertas situaciones de interés práctico no es necesario resolver
el problema elástico completo sino que basta con plantear un modelo simplificado y aplicar
los métodos de la resistencia de materiales para calcular aproximadamente tensiones y
desplazamientos. Cuando la geometría involucrada en el diseño mecánico es compleja la
resistencia de materiales suele ser insuficiente y la resolución exacta del problema elástico
inabordable desde el punto de vista práctico. En esos casos se usan habitualmente métodos
numéricos como el Método de los elementos finitos para resolver el problema elástico de
manera aproximada. Un buen diseño normalmente incorpora unos requisitos de:
• resistencia adecuada,
• rigidez adecuada,
• estabilidad global y elástica.
Plasticidad:
La plasticidad es la propiedad mecánica de un material inelástico, natural, artificial,
biológico o de otro tipo, de deformarse permanente e irreversiblemente cuando se encuentra
sometido a tensiones por encima de su rango elástico, es decir, por encima de su límite
elástico.
En los metales, la plasticidad se explica en términos de desplazamientos
irreversibles de dislocaciones.
El comportamiento perfectamente
plástico es algo menos frecuente, e
implica la aparición de deformaciones
irreversibles por pequeña que sea la
tensión, la arcilla de modelar y
la plastilina se aproximan mucho a un
comportamiento perfectamente plástico.
Otros materiales además presentan
plasticidad con endurecimiento y
necesitan esfuerzos progresivamente más
grandes para aumentar su deformación plástica total. E incluso los comportamientos
anteriores pueden ir acompañados de efectos viscosos, que hacen que las tensiones sean
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
mayores en casos de velocidades de deformación altas, dicho comportamiento se conoce
con el nombre de visco-plasticidad.
La plasticidad de los materiales está relacionada con cambios irreversibles en esos
materiales. A diferencia del comportamiento elástico que es termodinámicamente
reversible, un cuerpo que se deforma plásticamente experimenta cambios de entropía, como
desplazamientos de las dislocaciones. En el comportamiento plástico parte de la energía
mecánica se disipa internamente, en lugar de transformarse en energía potencial elástica.
Modelos De Plasticidad
En general un modelo de plasticidad requiere definir varios elementos:
En primer lugar, en el espacio de tensiones principales se requiere definir la
llamada región de tensiones admisibles, que será un conjunto cerrado (y posiblemente
compacto) de dicho espacio de tensiones. La frontera de dicho conjunto usualmente se
denomina superficie de fluencia.
Para puntos del sólido cuyas tensiones principales estén contenidas en el interior de la
región de tensiones admisibles el comportamiento es elástico. Sin embargo, para puntos
de la superficie de fluencia es necesario definir una "regla de flujo" que explicita cómo
aumentarán la deformación plástica en función de la tasa de aumento de la tensión y
otros parámetros internos si se aumenta la solicitación sobre un material que ha
alcanzado su límite de fluencia.
Los modelos de plasticidad imperfecta requerirán la definición de un conjunto de
variables internas que den cuenta del endurecimiento y del desplazamiento de la región
de
tensiones admisibles a lo largo del tiempo en función de las tasas de aumento de las
otras variables.
La existencia de variables internas ---como el grado de plastificación (deformación
plástica), el endurecimiento y otras--- hace que la relación entre tensiones y deformaciones
sea más compleja que en el caso elástico, en particular, dado un nivel de deformación
elástica las tensiones no pueden conocerse a menos que se conozca cómo han variado las
variables internas. El hecho de tener en cuenta cómo varían las variables internas hace que
un problema elastoplástico en general sólo pueda ser unívocamente resuelto como
problema dinámico resolviendo simultáneamente las ecuaciones del siguiente sistema:
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
Donde la primera relación expresa la ecuación constitutiva entre la tensión
mecánica ( ), la deformación ( ), las variables internas ( ), para cada punto del sólido. La
segunda relación es la ecuación en derivadas parciales que recoge el equilibrio de fuerzas
entre las tensiones internas y las fuerzas aplicadas ( ) y la última es la ecuación diferencial
ordinaria que da la regla de flujo que expresa cómo aumentan las variables internas (en
particular la deformación plástica) con el tiempo una vez el material alcanza un estado de
tensiones donde aparece fluencia.
Cálculo Plástico En Estructura Metálica
El cálculo plástico se refiere al cálculo de esfuerzos, tensiones y deformaciones
en ingeniería estructural de elementos que tienen un comportamiento plástico. A diferencia
de los mecanismos que deben operar de manera reversible, las estructuras estáticas pueden
ser proyectadas para trabajar por encima del dominio elástico, lográndose con ello un
aprovechamiento más completo de su capacidad resistente. Esto se debe a que, una vez
rebasado el dominio elástico de reversibilidad, algunos materiales de construcción siguen
teniendo capacidad para resistir esfuerzos mayores, por endurecimiento cinemático, aún a
costa de sufrir transformaciones internas irreversibles.
En estructura metálica el cálculo plástico consiste básicamente en identificar los
puntos de aparición de rótulas plásticas o regiones de plastificación que, una vez
completamente plastificadas, se convierten en articulaciones, llamadas "rótulas de
plastificación". Para encontrar para qué valor de la carga se forma una rótula plástica se
representa la estructura por una estructura elástica lineal donde todas las rótulas de
plastificación ya formadas se han sustituido por articulaciones. La aparición de rótulas de
plastificación reduce el grado de hiperestaticidad ampliando el número de grados de
libertad. Cuando aparece el suficiente número de rótulas plásticas la estructura se convierte
en un mecanismo, y la configuración del mismo da el mecanismo de colapso de la
estructura. El cálculo plástico es especialmente útil en estructuras hiperestáticas con
condiciones de enlaces redundantes. El cálculo plástico incluye la identificación de los
modos de colapso por formación de rótulas plásticas, y la carga necesaria para la
plastificación de todas las rótulas. La carga última plástica es el valor a partir del cual la
estructura queda convertida en mecanismo por plastificación de la última rótula.
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
En una estructura con una única carga aplicada cuasi estáticamente la primera rótula
de plastificación se habrá acabado de formar cuando el momento máximo iguale el
momento plástico. Para calcularlo se considera una carga arbitraria de ensayo aplicada en
el mismo punto que la carga original y se calculan los momentos flectores en todos los
puntos en función de dicha carga , entonces la carga de formación de la primera
rótula PR,1se calcula simplemente como:
Donde:
, son respectivamente el momento plástico, el momento resistente
plástico y la tensión de fluencia.
Una vez identificada la primera rótula, se prosigue calculando una estructura como la
original pero en la que el punto de formación de la rótula de plastificación se ha sustituido
por una articulación, se considera una nueva carga de ensayo, se ve en qué otro punto se da
ahora el momento máximo y se determina que carga se necesita para que el nuevo punto,
teniendo en cuenta el momento flector total que ya tenía en la fase anterior, para que el
momento iguale al momento plástico:
El procedimiento anterior es generalizable al caso de varias cargas P1, ...,Pn que se
incrementan cuasiestáticamente de manera uniparamétrica Pi = Pi(λ). En el caso más
general en que cada carga varía independientemente, el estado final dependerá de qué
cargas aumenten más rápidamente por lo que la resistencia última en régimen plástico sólo
puede determinarse si se especifica la variación de todas las cargas en el tiempo: Pi = Pi(t).
Cálculo Plástico En Hormigón Armado
También en el cálculo de estructuras de hormigón armado se admite que las barras
de acero sometidas a tracción adquieran deformaciones plásticas, ya que el acero tiene un
comportamiento plástico con endurecimiento, y al rebasar su límite elástico se endurece
pudiendo soportar mayores tensiones que antes de adquirir deformaciones plásticas. Este
endurecimiento o aumento de la capacidad resistente del acero en tracción permite
economizar, y construir estructuras con una menor cantidad de acero.
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
Flujo Plástico:
Cuando un material tiene que soportar una carga por un periodo muy largo, puede
continuar deformándose asta que ocurre una fractura súbita o su utilidad se ve amenazada.
Esta deformación permanente dependiente del tiempo se llama flujo plástico.
Normalmente el flujo plástico es tomado en cuenta cuando se usan metales o cerámicos
como miembros estructurales o partes mecanicas sometidos a temperaturas elevadas. Sin
embargo, en algunos materiales, como los polímeros y materiales compuestos, el flujo
puede presentarse para aplicaciones estrictamente a largo plazo de la carga.
Para efectos plásticos cuando el flujo plástico
resulta importante, el material se diseña por lo común para
diseñar una deformación unitaria por flujo plástico
especificado para un periodo determinado. A este respecto,
una propiedad mecánica importante que se considera en el
diseño de miembros sometidos a flujo plástico es la
resistencia por flujo plástico. Este valor representa el
esfuerzo inicial mas alto que el material puede soportar
durante un tiempo especificado sin causar una cantidad
determinada de deformación unitaria por flujo plástico. La resistencia por flujo plástico
varia con la temperatura y deberán especificarse la temperatura, la duración de la carga y la
deformación unitaria por flujo plástico permisibles.
Como un segundo ejemplo de flujo plástico, un alambre que se estira entre dos
apoyos fijos, de la forma que tiene un esfuerzo inicial de tensión σ inicial. Volveremos a
denotar con el tiempo durante el cual el alambre se carga inicialmente. Con el paso del
tiempo, el esfuerzo constante, aunque los apoyos en los extremos del alambre no se
desplacen. Este proceso, es una manifestación del flujo plástico, se denomina relajación del
material.
En general, el flujo plástico es más importante a altas temperatura que a
temperaturas ordinarias, lo que debe considerarse siempre en el diseño de motores, hornos
y otras estructuras que operan a elevadas temperaturas durante largos periodos. Ahora bien,
materiales como el acero, el concreto y la madera fluyen ligeramente a una temperatura
ambiente, por ejemplo, el flujo plástico del concreto a lo largo de grandes periodos puede
crear ondulaciones en las calzadas de puentes debido al colgamiento entre apoyos .un
remedio s construir la calzada con una curvatura hacia arriba, que es un desplazamiento
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
inicial sobre la horizontal, de madera que cuando el flujo plástico ocurra, los claros o
tramos desciendan a una posición nivelada.
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
1.4.- Elasticidad Lineal, Ley de Hooke y Relación de Poisson.
Elasticidad Lineal.
Un caso particular de sólido elástico se presenta cuando las tensiones y las
deformaciones están relacionadas linealmente, mediante la siguiente ecuación constitutiva:
Cuando eso sucede decimos que tenemos un sólido elástico lineal. La teoría de la
elasticidad lineal es el estudio de sólidos elásticos lineales sometidos a pequeñas
deformaciones de tal manera que además los desplazamientos y deformaciones sean
"lineales" (es decir, que las componentes del campo de desplazamientos u sean muy
aproximadamente una combinación lineal de las componentes del tensor deformación del
sólido. En general un sólido elástico lineal sometido a grandes desplazamientos no
cumplirá esta condición. Por tanto la teoría de la elasticidad lineal sólo es aplicable a:
Sólidos elásticos lineales, en los que tensiones y deformaciones estén relacionadas
linealmente (linealidad material).
Deformaciones pequeñas, en ese caso puede deformaciones y desplazamientos
estén relacionados linealmente. En ese caso puede usarse el tensor deformación lineal de
Green-Lagrange para representar el estado de deformación de un sólido (linealidad
geométrica).
Debido a los pequeños desplazamientos y deformaciones a los que son sometidos los
cuerpos, se usan las siguientes simplificaciones y aproximaciones para sistemas estables:
-Las tensiones se relacionan con las superficies no deformadas
- Las condiciones de equilibrio se presentan para el sistema no deformado
Para determinar la estabilidad de un sistema hay presentar las condiciones de equilibrio
para el sistema deformado.
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
Ley de Hooke.
En la Física no sólo hay que observar y describir los fenómenos naturales,
aplicaciones tecnológicas o propiedades de los cuerpos sino que hay explicarlos mediante
leyes Físicas. Esa ley indica la relación entre las magnitudes que intervienen en el
Fenómeno físico mediante un análisis cualitativo y cuantitativo. Con la valiosa ayuda de las
Matemáticas se realiza la formulación y se expresa mediante ecuaciones, entregando como
resultado una Ley. Por ejemplo, la Ley de Hooke establece que el límite de la tensión
elástica de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza. Mediante un análisis e
interpretación de la Ley de Hooke se estudia aspectos relacionados con la ley de fuerzas,
trabajo, fuerzas conservativas y energía de resortes. Los resortes son un modelo bastante
interesante en la interpretación de la teoría de la elasticidad.
Los diagramas de esfuerzo-deformación para la mayoría de materiales de ingeniería
presentan una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación dentro la región elástica. En
consecuencia, un incremento en el esfuerzo ocasiona un aumento proporcional en la
deformación. Este hecho fue descubierto por Robert Hooke en el 1676 mediante el uso de
resortes y se conoce como la ley de Hooke. Puede expresarse en forma matemática como:
σ = E⋅ ∊
Aquí E representa la constante de proporcionalidad que se denomina: módulo de
elasticidad o módulo de Young, llamado así por Thomas Young quien publicó un estudio
sobre él en 1807.
La ecuación anterior en realidad representa la ecuación de la porción recta inicial
del diagrama de esfuerzo-deformación hasta el límite de proporcionalidad. Por otra parte, el
módulo de elasticidad representa la pendiente de esta recta. Como la deformación es
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
adimensional, a partir de la ecuación anterior, E tendrá las mismas unidades que el
esfuerzo: psi, ksi o pascales. Como ejemplo de su cálculo, considere el diagrama de
esfuerzo-deformación para el acero que se muestra en la figura. Aquí σpl= 35 ksi y εpl=
0.0012 pulg/pulg, de modo que
σ
ε
Como se muestra en la siguiente figura, el límite de proporcionalidad para un tipo
particular de aleación de acero depende de su contenido de carbono; sin embargo, la mayor
parte de los grados de acero, desde el acero
Lastimando más blando hasta el acero más duro para herramientas tienen casi el
mismo módulo de elasticidad, en general aceptado como Eac = ksi o bien 200
GPa. Los valores de E para otros materiales de ingeniería comúnmente usados se tabulan
con frecuencia en los códigos de ingeniería y libros de referencia. Los valores
representativos también se presentan. Vale la pena destacar que el módulo de elasticidad es
una propiedad mecánica que indica la rigidez de un material. Los materiales que son muy
rígidos, como el acero, tienen grandes valores de E [Eac = ksi o bien 200 GPa],
mientras que los materiales esponjosos, como el caucho vulcanizado, pueden tener valores
bajos [Ec= 0.10 ksi o 0.70 MPa].
El módulo de elasticidad es una de las propiedades mecánicas más importantes que se
utilizan en el desarrollo de las ecuaciones. Sin embargo siempre se debe recordar que E
puede utilizarse solo si el material tiene un comportamiento elástico lineal. Además si la
tensión en el material es mayor que el límite de proporcionalidad, el diagrama de esfuerzo-
deformación deja de ser una línea recta y la ecuación anterior ya no es válida.
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
Endurecimiento Por Deformación.
Si una probeta de material dúctil como el acero se carga en la región plástica y
después se descarga, la deformación elástica se recupera a medida que el material regresa a
su estado de equilibrio. Sin embargo, la deformación plástica permanece y en consecuencia
el material presenta una deformación permanente. Por ejemplo, cuando un alambre se dobla
(plásticamente) rebotara un poco (elásticamente) cuando se retire la carga; sin embargo, no
regresara en su totalidad en su posición original. Este comportamiento se puede ilustrar en
el diagrama de esfuerzo-deformación de la siguiente figura. Aquí la probeta primero se
carga más allá de su punto de cedencia A hasta el punto A´, como las fuerzas interatómicas
deben superarse para alargar elásticamente la probeta, entonces estas mismas fuerzas jalan
de nuevo a los átomos hacia su posición original cuando se retira la carga que se muestra en
la siguiente figura. En consecuencia, el módulo de elasticidad E es el mismo, y por ende, la
pendiente de la línea O’A’ es igual al de la línea OA.
Si la carga se vuelve a aplicar, los átomos en el
material serán desplazados de nuevo hasta que se
produzca la cedencia en el esfuerzo A´, o cerca de él, y el
diagrama de esfuerzo-deformación continuara en la
misma trayectoria que antes, como se muestra en la
siguiente figura. Sin embargo, debe señalarse que este
nuevo diagrama de esfuerzo-deformación, definido por
O’A’B’, ahora tiene un punto de cedencia mayor (A’), a
consecuencia del endurecimiento por deformación. En
otras palabras ahora el material tiene ahora una región
elástica más grande aunque tiene menos ductilidad, una
región plástica más pequeña, que cuando estaba en su
estado original.
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
Energía De Deformación
A medida que un material se deforma a una carga externa, tiende a almacenar
energía internamente en todo su volumen. Como esta energía se relaciona con las
deformaciones del material, se denomina energía de deformación. Para obtener esta energía
de deformación considere un elemento de volumen de materia tomado de una probeta para
ensayos a tensión. Se somete a un esfuerzo uniaxial como en la siguiente figura, este
esfuerzo desarrolla una fuerza ∆F= σ ∆A= σ (∆x ∆y) en las caras superior e inferior del
elemento después de que el elemento de longitud ∆z experimenta un desplazamiento
vertical ∊ ∆z. Por definición, el trabajo se determina mediante el producto de la fuerza por
el desplazamiento en la dirección de dicha fuerza, como la fuerza se incrementa de manera
uniforme desde cero hasta su magnitud final ∆F cuando se ha alcanzado el desplazamiento
∊ ∆z. Este “trabajo externo” sobre el elemento es equivalente al “trabajo interno” o energía
de deformación almacenada en el elemento, suponiendo que no se pierde energía en forma
de calor.
En consecuencia la energía de deformación ∆U es ∆U = (
∆F) ∊ ∆z= (
σ ∆x ∆y) ∊
∆z. Como volumen el elemento es ∆V=∆x ∆y ∆z, entonces ∆U=
σ ∊ ∆V.
En ciertas aplicaciones, resulta convincente especificar la energía de deformación
por unidad de volumen del material. Esto se llama densidad de la energía de deformación
y puede expresarse como:
U =
=
σ ∊
Si el comportamiento del material es elástico lineal, entonces se aplica la ley de
Hooke, σ = E∊, y es posible expresar la densidad de la energía de deformación elástica
en términos del esfuerzo uniaxial como:
U =
σ
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
Módulo De Resiliencia
En particular, cuando el esfuerzo σ alcanza el
límite de proporcionalidad, la densidad de la energía de
deformación calculada mediante las dos ecuaciones
anteriores se conoce como el módulo de resiliencia, es
decir,
Ur =
σ pl ∊ pl =
σ
A partir de la region elastica del diagrama de
esfuerzo- deformación, de la siguiente figura, observe
que u, es equivalente al área triangular sombreada bajo
el diagrama. Físicamente, la resiliencia de un material representa su capacidad de absorber
la energia sin experimentar ningún tipo de daño permanente.
Módulo De Tenacidad
Otra propiedad importante de un material es el
módulo de tenacidad, Ut. Esta cantidad representa
toda el área bajo el diagrama de esfuerzo-
deformación, como se muestra en la siguiente figura,
y por lo tanto, indica la densidad de la energía de
deformación del material justo antes de fracturarse.
Esta propiedad se vuelve importante en el
diseño de elementos que se pueden sobrecargar de
manera accidental. La aleación de metales también
puede cambiar su resiliencia y tenacidad. Por
ejemplo, al modificar el porcentaje de carbono en el acero, los diagramas de esfuerzo-
deformación resultantes, como en la siguiente figura muestran cómo pueden cambiarse los
grados de resiliencia y tenacidad.
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
Relación de Poisson:
El coeficiente de Poisson es la relación de la (deformación perpendicular) a la
(axial)
Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza axial de tensión, no sólo
se alarga sino que también se contrae lateralmente. Igualmente, una fuerza de compresión
que actúa sobre un cuerpo ocasiona que éste se contraiga en la dirección de la fuerza y que
se expanda lateralmente.
Cuando la carga P se aplica a la barra, la longitud de la barra cambia una cantidad δ
y su radio una cantidad δ’. Las deformaciones unitarias en la dirección axial o longitudinal
y en la dirección lateral o radial son, respectivamente.
εlong =
y εlat =
A principios del siglo XIX, el científico francés Siméon Denis Poisson descubrió
que dentro del rango elástico, la razón de esas dos deformaciones unitarias es constante, ya
que las deformaciones δ y δ’ son proporcionales. A esta constante se le llama razón de
Poisson, v (nu), y tiene un valor numérico que es único para un material particular que sea
homogéneo e isotrópico. Expresado matemáticamente,
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
El - se usa aquí ya que un alargamiento longitudinal (deformación unitaria positiva)
ocasiona una contracción lateral (deformación unitaria negativa), y viceversa. Esta
deformación unitaria lateral es la misma en todas las direcciones laterales o radiales.
Además, esta deformación unitaria es causada sólo por la fuerza axial o longitudinal;
ninguna fuerza o esfuerzo actúa en una dirección lateral que deforme el material en esa
dirección.
La razón de Poisson es adimensional y para la mayoría de los sólidos no porosos
tiene un valor generalmente entre 1/4 y 1/3, habiendo excepciones, muy bajos como para
algunos concretos (µ=1/10), o muy altos como lo es para el hule (µ=1/2), el cual es el valor
más alto posible.
En particular, un material ideal sin movimiento lateral cuando se alargue o
contraiga, tendrá V = 0.
Los cuerpos homogéneos e isótropos tienen definidas sus características elásticas
con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson.
E= 2G(μ+1)
Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.
Bibliografía:
Elasticidad:
1. http://diccionario.motorgiga.com/diccionario/elasticidad-de-los-materiales-
definicion-significado/gmx-niv15-con193952.htm
2. http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/palmira/5000155/lecciones/lec2/2_
5.htm
Plasticidad:
1. http://www4.tecnun.es/asignaturas/estcompmec/documentos/plastintro.pdf
2. http://www.arqhys.com/construccion/plasticidad-mecanica-solidos.html
Flujo Plástico:
1. R. C. Hibbeler; (2006); Mecánica de Materiales; Pearson Educación; Pág. 112;
México; Sexta Edicion.
Elasticidad Lineal:
1. http://elasticidad-fisica.blogspot.mx/2009/07/teoria-de-la-elasticidad-lineal.html
Ley de Hooke:
1. R. C. Hibbeler; (2006); Mecánica de Materiales; Pearson Educacion; Pág. 94
Mexico; Sexta Edicion.
Relación de Poisson:
1. R. C. Hibbeler; (2006); Mecánica de Materiales; Pearson Educación; Pág. 107;
México; Sexta Edicion.
2. http://www.ual.es/~mnavarro/Tema%206%20%20Elasticidad.pdf
3. http://www.angelfire.com/pro2/resmat/U02/03modulopoisson/modp.htm
Recommended