View
238
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
Método dos Elementos Finitos2014/15
(www2.dec.fct.unl.pt/seccoes/S_Estruturas/Elementos_finitos)
Corneliu Cismaşiu
Departamento de Engenharia CivilFaculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade Nova de Lisboa
cornel@fct.unl.pt
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 1 / 183
Método dos Elementos Finitos 2014/15
Programa
Apresentação
Introdução: Mecânica computacional; Métodos dediscretização; MEF; Problemas físicos/Modelos Matemáticos
Introdução ao MEF: Modelos matemáticos discretos;Modelos matemáticos contínuos: Formulação diferencial,Formulação em resíduos ponderados, Diferenças finitas
Método dos Elementos Finitos: Sistema governativo;Método dos deslocamentos; Tipos de elementos finitos:elemento de barra, elemento plano; Uso de programas deelementos finitos (GiD + Calsef); Erros na análise;Convergência da solução
Aplicações: Barras, estado plano de tensão, lajes
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 2 / 183
Método dos Elementos Finitos 2014/15
Bibliografia
[1] K. J. Bathe. Finite element procedures. Prentice-Hall, 1996.(COTA: TA347.BAT)
[2] O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor and J. Z. Zhu. The finite element method. Volume 1: ItsBasis and Fundamentals. Butterworth-Heinemann, 2005.(COTA: TA640.2.ZIE)
[3] J. N. Reddy. An Introduction to the Finite Element Method. McGraw Hill, 1993.(COTA: TA347.RED)
[4] A. F. M. Azevedo. Método dos elementos finitos. FEUP, 2003.(http://www.alvaroazevedo.com/publications/books/Livro_MEF_AA_1ed)
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 3 / 183
Método dos Elementos Finitos 2014/15
Avaliação de Conhecimentos - contínua sem exame ou trabalho final
Haverão ao longo do período lectivo trabalhos de grupo (2 elementos) aos quais será atribuídaclassificação. Ao fim do semestre, os alunos serão convocados para realizar uma prova oral emque terão de defender estes trabalhos, ao fim de obter a sua classificação final.
É ainda exigido que o número de faltas não justificadas às aulas não exceda um terço do númerototal de aulas leccionadas à respectiva turma. O não cumprimento desta condição implica areprovação na disciplina.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 4 / 183
Método dos Elementos Finitos 2014/15
Estrutura dos trabalhosDeve seguir a estrutura de uma artigo científico: Título; Autor(es); Resumo; Palavras-chave;Conteúdo (introdução, desenvolvimento e conclusão); Referências bibliográficas.
Assim NÃO!
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 5 / 183
Método dos Elementos Finitos 2014/15
Programa de cálculo automático
CompassFEM-8.0.2R1
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 6 / 183
Introdução – Áreas da Mecânica
Mecânica teórica - Estuda as Leis Fundamentais e os Princípios daMecânica
Mecânica aplicada - Transfere o conhecimento teórico à construção demodelos matemáticos de fenómenos físicos da área de ciênciae da engenharia
Mecânica computacional - Resolve problemas específicos através dasimulação utilizando métodos numéricos implementados emcomputadores digitais
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 7 / 183
Introdução – Áreas da Mecânica
Mecânica computacional - procura soluções a dados problemas
Mecânica aplicada - procura os problemas que admitem dadas soluções
Mecânica teórica - prova a existência de problemas e soluções
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 8 / 183
Áreas da Mecânica – Mecânica computacional
Nano-mecânica e Micro-mecânica - Fenómenos a escala molecular eatómica - concepção de novos materiais e demicro-dispositivos
Mecânica dos meios contínuos - Estudo de corpos a escala macroscópicautilizando modelos contínuos em que a micro-estrutura estáhomogeneizada
Mecânica dos sólidos e das estruturasMecânica dos fluidosMecânica dos sistemas multi-fásicos
Sistemas funcionais - Estudo de mecanismos estruturais, mecânicos,bio-mecânicos, etc.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 9 / 183
Mecânica computacional – Métodos dediscretização
Converter um modelo matemático contínuo num modelo discreto com umnúmero limitado de graus de liberdade.
Método dos Elementos Finitos (Finite Element Method)
Método dos Elementos de Fronteira (Boundary Element Method)
Método das Diferenças Finitas (Finite Difference Method)
Método dos Volumes Finitos (Finite Volume Method)
Método Espectral (Spectral Method)
Método sem Malha (Mesh-Free Method)
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 10 / 183
Métodos de discretização – Método dosElementos Finitos
Formulação do MEF
DeslocamentosEsforços
Mista - u e σ no domínio, σ ou u na fronteiraHíbrida - u ou σ no domínio, σ ou u na fronteira
Solução do MEF
RigidezFlexibilidade
Mista
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 11 / 183
Métodos de discretização – Método dosElementos Finitos
Obter a solução de um problema de engenharia utilizando o MEF significaessencialmente construir e resolver um sistema governativo de equaçõesalgébricas.
Desenvolvimento dos computadores digitais
⇓
MEF eficiente e confiável
⇓
Grande desenvolvimento do MEF para aplicações práticas de engenharia
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 12 / 183
Método dos Elementos Finitos – História
Origem do MEF - três grupos de investigação nas áreas de:
Matemática Aplicada - R. Courant (1952, 1953)
Física - J. L. Synge (1957)
Engenharia - J. H. Argyris e S. Kelsey (1954, 1955)
Contribuições muito significativas na área de engenharia - J. H. Argyris, S. Kelsey, M. J. Turner,R. W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp, O. C. Zienkiewicz, Y. K. Cheung.
Clough, R. W. “The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”, Proceedings, Second ASCEConference on Electronic Computation, Pittsburg, PA, pp. 345-378, Sept. 1960.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 13 / 183
Análise por Elementos Finitos
Interpretaçao dos resultadosProblema físico
Modelo matemáticoGovernado por equações diferenciais
geometriacinemática
lei do materialcarregamento
condições de fronteiraetc.
Premissas sobre:
Refinamento da malha,parâmetros da solução, etc.
Solução em Elementos FinitosEscolha:
tipo de elementos finitosdensidade da malha
parâmetros da solução
Representação:carregamento
condiçães de fronteira
Avaliação da precisaoda solução em
elementos finitos domodelo matemático
Aperfeiçoamento da concepçãoOptimização estrutural
Refinamento da análise
Aperfeiçoamentodo modelo matemático
Alteração do problemafísico
Solução em Elementos Finitos do Modelo Matemático
A análise por elementos finitos resolve o modelo matemático.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 14 / 183
Modelos matemáticos
Propriedades do modelo matemático:
Eficácia - permite a obtenção da solução com a precisão desejada aum custo mínimo
Confiabilidade - produz uma solução que se sabe ser contida dentro deuma margem de erro escolhida a priori
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 15 / 183
Problemas físicos/Modelos matemáticos
Problema físico
pinos 2 cmΦ
1000 N
10 cm 28 cm
6 cm 2 cm
4 cm
4 cm
8 cm
2 cm
2 cm
E = 2 × 107 N/cm2 ν = 0.3 t = 0.4 cm
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 16 / 183
Problemas físicos/Modelos matemáticos
Modelo matemático - Teoria de viga
F
L
h
F = 1000 N
L = 28 cm A∗ =5
6A
h = 6 cm t = 0.4 cm
Mmáx = F × L = 28000 Ncm
δmáx =FL3
3EI+
FL
GA∗ ≃ 0.053 cm
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 17 / 183
Problemas físicos/Modelos matemáticos
Modelo matemático - Estado plano de tensão
Mmáx = 29448 Ncm δmáx = 0.070 cm
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 18 / 183
Problemas físicos/Modelos matemáticos
∣
∣
∣
∣
Mestado plano tensão − Mviga
Mestado plano tensão
∣
∣
∣
∣
× 100 ≃ 5%
∣
∣
∣
∣
δestado plano tensão − δvigaδestado plano tensão
∣
∣
∣
∣
× 100 ≃ 24%
O modelo matemático viga é confiável para uma predição do momento flectormáximo com um erro não superior a 5% e do deslocamento máximo comuma precisão de apenas 25% quando comparados com a solução obtida numaanálise elástica linear em estado plano de tensão. Também é eficiente, tendoem conta o esforço computacional necessário.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 19 / 183
Problemas físicos/Modelos matemáticos
Modelo matemático - Estado plano de tensão
Deformada e o campo das tensões tangencias
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 20 / 183
Análise por Elementos Finitos
- A escolha do modelo matemático deve ser em concordância com a solução queserá prevista.
- O modelo matemático mais eficiente é o que fornece uma resposta confiável como mínimo esforço computacional.
- Uma solução em elementos finitos pode resolver com a precisão desejada apenaso modelo matemático escolhido, podendo prever apenas os fenómeno contidos nomodelo.
- A confiabilidade do modelo matemático tem a ver com a avaliação da precisãoda solução quando comparada com a solução obtida com um modelo matemáticomuito mais complexo.
Na prática → refinamento (p ou/e h) e experiência em engenharia
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 21 / 183
Desastres de Engenharia provocados por erroscomputacionais
Atenção! Os erros computacionais em situações da vida real podem sairmuito caro. . .
“On February 25, 1991, during the Gulf War, an AmericanPatriot Missile battery in Dharan, Saudi Arabia, failed totrack and intercept an incoming Iraqi Scud missile. The Scudstruck an American Army barracks, killing 28 soldiers andinjuring around 100 other people.The Patriot Missile failure,is ultimately attributable to poor handling of rounding errors.”
Excerpted from the report of the General Accounting office GAO/IMTEC-92-26
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 22 / 183
Desastres de Engenharia provocados por erroscomputacionais
“The explosion of the Ariane 5 rocket just after lift-off on its maiden voyage off French Guiana,on June 4, 1996, was ultimately the consequence of simple overflow.”
Excerpted from the report of the Inquiry Board ARIANE 5. Flight 501 Failure
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 23 / 183
Desastres de Engenharia provocados por erroscomputacionais
“The sinking of the Sleipner A offshore platform in Grandsfjorden near Stavanger, Norway, onAugust 23, 1991, resulted in a loss of about 700 million dollars. The post accident investigationtraced the error to inacurrate finite element approximation using the popular finite elementprogram NASTRAN.”
Excerpted from SINTEF, Civil and Environmental Engineering
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 24 / 183
Introdução ao MEF
Análise de um problema de engenharia:
Idealização do problema
Formulação do modelo matemático
Modelos discretos com massa concentradaModelos contínuos
Resolução do modelo matemático
Interpretação dos resultados
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 25 / 183
Introdução ao MEF – Modelos matemáticosdiscretos
O problema pode ser descrito com a precisão desejada por intermédio de umnúmero finito (pequeno) de variáveis.
Idealização do problema
Equilíbrio dos elementos
Assemblagem dos elementos
Cálculo da resposta
Tipo de problemas: estacionários, de propagação, valores e vectores próprios.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 26 / 183
Modelos matemáticos discretos – Problemasestacionários
Sistema de molas elásticas - solicitação estática
k1
k4
k5
R2
R3R1
u1 u2 u3
k2
k3
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 27 / 183
Modelos matemáticos discretos – Problemasestacionários
Equações de equilíbrio dos elementos
u1
k1 F1(1)
k1 0 00 0 00 0 0
u1
u2
u3
=
F(1)100
u2
F1(2)
F2(2)k2
u1
k2 −k2 0−k2 k2 00 0 0
u1
u2
u3
=
F(2)1
F(2)20
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 28 / 183
Modelos matemáticos discretos – Problemasestacionários
Equações de equilíbrio dos elementos
u2
F1(3)
F2(3)k3
u1
k3 −k3 0−k3 k3 00 0 0
u1
u2
u3
=
F(3)1
F(3)20
u3
F1(4)
F3(4)k4
u1
k4 0 −k4
0 0 0−k4 0 k4
u1
u2
u3
=
F(4)10
F(4)3
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 29 / 183
Modelos matemáticos discretos – Problemasestacionários
Equações de equilíbrio dos elementos
u3
F2(5)
F(5)k5
u2
3
0 0 00 k5 −k5
0 −k5 k5
u1
u2
u3
=
0
F(5)2
F(5)3
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 30 / 183
Modelos matemáticos discretos – Problemasestacionários
Assemblagem dos elementos
F(1)1 + F
(2)1 + F
(3)1 + F
(4)1 = R1
F(2)2 + F
(3)2 + F
(5)2 = R2
F(4)3 + F
(5)3 = R3
k1 + k2 + k3 + k4 −(k2 + k3) −k4
−(k2 + k4) k2 + k3 + k5 −k5
−k4 −k5 k4 + k5
u1
u2
u3
=
R1
R2
R3
K u = R
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 31 / 183
Modelos matemáticos discretos – Problemas depropagação
Sistema de molas elásticas - solicitação dinâmica
k1
k4
k5
u1 u2 u3
R (t)2
R (t)3R (t)1
k2
m3m2m1
k3
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 32 / 183
Modelos matemáticos discretos – Problemas depropagação
Assemblagem dos elementos
F(1)1 + F
(2)1 + F
(3)1 + F
(4)1 = R1(t)− m1u1
F(2)2 + F
(3)2 + F
(5)2 = R2(t)− m2u2
F(4)3 + F
(5)3 = R3(t)− m3u3
Mu + K u = R(t) onde M =
m1 0 00 m2 00 0 m3
Condições iniciais:u(t = 0) = u0 u(t = 0) = u0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 33 / 183
Modelos matemáticos discretos – Problemas devalores e vectores próprios
Sistema de molas elásticas - vibrações livres
k1
k4
k5
u1 u2 u3
k2
m3m2m1
k3
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 34 / 183
Modelos matemáticos discretos – Problemas devalores e vectores próprios
u = Φ sin(ωt − ψ)
M u + K u = 0
−ω2MΦ sin(ωt − ψ) + KΦ sin(ωt − ψ) = 0
K Φ = ω2M Φ
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 35 / 183
Modelos matemáticos discretos
Exemplos de análises utilizando o “método dos elementos aplicados” (AppliedElement Method)
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 36 / 183
Natureza das soluções
Sistema discreto e condições de carregamento
r2k = kL
2r1
k = kL2
L L
P
F
2F
m/2m
kbarra rígida barra rígidaA B
C
Td
πt
Td
F = sin
t t
F P
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 37 / 183
Natureza das soluções
ku 2
mu1kL
2β
kL2α
kL2β β
α
P
F
2u
2F
1u
2
mu2
cosα ≃ cosβ ≃ 1 sinα ≃ α ≃ u1
Lsinβ ≃ β ≃ u2 − u1
L
∑
Mdt.B = P(u2 − u1) + ku2L +
mu2
2L − FL + kL2 u2 − u1
L= 0
∑
MA = Pu2 + ku22L +mu2
22L − F2L − 2FL + mu1L + kL2 u1
L= 0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 38 / 183
Natureza das soluções
m 0
0m
2
u1
u2
+
(
5k +2P
L
)
−(
2k +P
L
)
−(
2k +P
L
) (
2k +2P
L
)
u1
u2
=
2F
F
Mu + Ku = F
Frequência próprias do sistema
(K − ω2M)u = 0 ⇒
ω1,2 =
√k
m
√√√√9
2+ 2
P
kL∓
√
33
4+ 8
P
kL+ 2
P2
k2L2T1,2 =
2π
ω1,2
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 39 / 183
Natureza das soluções
Frequências próprias do sistema
ω1
(k/m)1/2
ω2
(k/m)1/2
P/(kL) 0
1
2
3
4
5
6
7
−2 0 2 4 6 8 10
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 40 / 183
Natureza das soluções
Análise estática vs. Análise dinâmica
u2, análise dinâmica
u1, análise dinâmica
u1, análise estática
u2, análise estática
t/Td
m = 1k = 1L = 1P = 1
T = 4 Td 1
−0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 41 / 183
Natureza das soluções
Análise estática vs. Análise dinâmica
m = 1k = 1L = 1P = 1
u1, análise estática
u1, análise dinâmica
u2, análise estática
u2, análise dinâmica
T = (T + T )/2d 1 2 t/Td 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 42 / 183
Natureza das soluções
Análise estática vs. Análise dinâmica
m = 1k = 1L = 1P = 1
t/Td
u2, análise estática
u1, análise estática
u2, análise dinâmicau1, análise dinâmica
T = T /4d 2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 43 / 183
Natureza das soluções
Analisando as frequências próprias do sistema,
ω1,2 =
√k
m
√√√√9
2+ 2
P
kL∓
√
33
4+ 8
P
kL+ 2
P2
k2L2
observa-se que
ω1 = 0 ⇒ Pcr = −2kL o sistema torna-se instável
É importante:
Verificar se o sistema pode tornar-se instável
Decidir se a análise deverá ser estática ou dinâmica, linear ou não-linear
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 44 / 183
Introdução ao MEFModelos matemáticos contínuos
O problema pode ser descrito por intermédio de um conjunto de equaçõesdiferenciais que são válidas no domínio dos elementos.
Juntam-se as condições de fronteira e as condições iniciais (para análisedinâmica).
Formulação diferencial
Formulação variacional
Formulações em resíduos ponderados
Diferenças finitas
MEF
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 45 / 183
Modelos matemáticos contínuosFormulação diferencial
Procura-se a solução analítica de uma equação diferencial de tipo:
A(x , y)∂2u
∂x2+ 2B(x , y)
∂2u
∂x∂y+ C(x , y)
∂2u
∂y2= φ
(
x , y , u,∂u
∂x,∂u
∂y
)
sujeita a determinadas condições de fronteira e condições iniciais.
B2 − AC
< 0 . . . eq. diferencial elíptica (Eq. Laplace)= 0 . . . eq. diferencial parabólica (Eq. do calor)> 0 . . . eq. diferencial hiperbólica (Eq. das ondas)
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 46 / 183
Modelos matemáticos contínuosFormulação diferencial
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
d
dx
(
EAdu
dx
)
= 0 u|x=0 = 0 EAdu
dx
∣
∣
∣
∣
x=L
= R
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 47 / 183
Modelos matemáticos contínuosFormulação diferencial
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
Para 0 ≤ x ≤ 100 :
Ed
2u
dx2= 0 ⇒ u(x) =
C0 + C1x
E
u(0) =C0
E= 0 ⇒ C0 = 0
u(x) =C1x
E
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 48 / 183
Modelos matemáticos contínuosFormulação diferencial
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
Para 100 ≤ x ≤ 180 :
Ed
dx
[(
1 +x − 100
40
)2du
dx
]
= 0 ⇒ u(x) = − C2
E(x − 60)+
C3
E
E
(
1 +x − 100
40
)2du
dx
∣∣∣∣∣x=180
=C2
1600= 100 ⇒ C2 = 160000
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 49 / 183
Modelos matemáticos contínuosFormulação diferencial
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
O deslocamento e a extensão devem ser contínuos no x = 100 :
u|x=100 ⇒ 100C1
E= −4000
E+
C3
E
du
dx
∣∣∣∣x=100
⇒ C1
E=
100
E
⇒
C1 = 100C3 = 14000
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 50 / 183
Modelos matemáticos contínuosFormulação diferencial
u(x) =
100x
E. . . 0 ≤ x ≤ 100
14000
E− 160000
E(x − 60). . . 100 ≤ x ≤ 180
σ(x) = Edu
dx=
100 . . . 0 ≤ x ≤ 100
160000
(x − 60)2. . . 100 ≤ x ≤ 180
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 51 / 183
Formulação diferencial
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
25 50 75 100 125 150 175
20
40
60
80
100
120
100E
Factor de escala:
u(x)
x
25
E
50 75 100 125 150 175
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
du(x)
dx
x
Factor de escala: 100
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 52 / 183
Modelos matemáticos contínuosFormulação em resíduos ponderados
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
d
dx
(
EAdu
dx
)
= 0 u|x=0 = 0 EAdu
dx
∣∣∣∣x=L
= R
u =n∑
i=1
ai fi
fi - funções de forma linearmente independentes
ai - pesos a ser determinados
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 53 / 183
Modelos matemáticos contínuosFormulação em resíduos ponderadosDefine-se o resíduo
Ξ =d
dx
[
EAd
dx
(n∑
i=1
ai fi
)]
Solução exacta ⇒ Ξ = 0
Resíduos ponderados - determinar ai de tal modo que Ξ → 0
Método Galerkin∫
D
fiΞ dD = 0; i = 1, 2, . . . , n
Método dos mínimos quadrados
∂
∂ai
∫
D
Ξ2dD = 0; i = 1, 2, . . . , n
Método da colocação
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 54 / 183
Modelos matemáticos contínuosFormulação em resíduos ponderados
Sejau(x) = a1x + a2x
2 ⇒ f1 = x e f2 = x2
Utilizando o método do Galerkin,
∫ L
0fi
d
dx
(
EAdu
dx
)
dx = 0
Integrando por partes (Teorema da Divergência),
F (x) = u(x) · v(x) dF = (u′v + uv ′)dx
∫ b
a(u′v + uv ′)dx = [uv ]ba ⇒
∫ b
au′v dx = −
∫ b
auv ′
dx + [uv ]ba
−∫ L
0
(
EAdu
dx
)dfi
dxdx +
[
EAdu
dxfi
]L
0
= 0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 55 / 183
Modelos matemáticos contínuosFormulação em resíduos ponderados
∫ L
0
(
EAdu
dx
)dfi
dxdx = Rfi |x=L i = 1, 2
∫ 100
0(a1+2a2x) dx+
∫ 180
100
[
1+x−100
40
]2
(a1+2a2x) dx =100 × 180
E
∫ 100
0(a1+2a2x)2x dx+
∫ 180
100
[
1+x−100
40
]2
(a1+2a2x)2x dx =100 × 1802
E
1340
3115600
115600102227200
3
a1
a2
=
18000
E
3240000
E
⇒
a1 =128.596
E
a2 =−0.341171
E
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 56 / 183
Formulação em resíduos ponderados
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
25 50 75 100 125 150 175
20
40
60
80
100
120
100E
Factor de escala:
u(x)
x
Galerkin
solução analítica
25 50 75 100 125 150 175
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2 du(x)
dx
Factor de escala: 100
x
Galerkin
solução analítica E
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 57 / 183
Modelos matemáticos contínuosDiferenças finitas
dw
dx
∣∣∣∣i
wi+1 − wi−1
2h−1 1
d2w
dx2
∣∣∣∣i
wi+1 − 2wi + wi−1
h21 1−2
d3w
dx3
∣∣∣∣i
wi+2 − 2wi+1 + 2wi−1 − wi−2
2h32 −2−1 1
d4w
dx4
∣∣∣∣i
wi+2 − 4wi+1 + 6wi − 4wi−1 + wi−2
h4
−4 −41 16
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 58 / 183
Modelos matemáticos contínuosDiferenças finitas
Operador de Laplace ou Laplaciano
∇2w =∂2w
∂x2+
∂2w
∂y2
∇2w∣∣i,i
−4wi,j + wi+1,j + wi,j+1 + wi−1,j + wi,j−1
h2
−41
1
1
1
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 59 / 183
Modelos matemáticos contínuosDiferenças finitas
Operador biharmónico
∇4w = ∇2(∇2)w =∂4w
∂x4+
∂4w
∂y4+ 2
∂4w
∂x2∂y2
∇4w∣∣i,i
[20wi,j − 8(wi+1,j + wi−1,j + wi,j+1 + wi,j−1)
+2(wi+1,j+1 + wi−1,j+1 + wi−1,j−1 + wi+1,j−1)
+wi+2,j + wi−2,j + wi,j+2 + wi,j−2]/h4
20−8
−8
−8
−8 11
1
1
22
2 2
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 60 / 183
Modelos matemáticos contínuosDiferenças finitas
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
h h
n−1 n+1
u, x
n0 i−1 i i+1
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 61 / 183
Modelos matemáticos contínuosDiferenças finitas
d
dx
(
EAdu
dx
)
= 0 ⇒ E
(dA
dx
du
dx+ A
d2u
dx2
)
= 0
u(0) = 0 EAdu
dx
∣∣∣∣x=L
= R
E
[(Ai+1 − Ai−1
2h
)(ui+1 − ui−1
2h
)
+ Aiui+1 − 2ui + ui−1
h2
]
= 0
u0 = 0 EAnun+1 − un−1
2h= R
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 62 / 183
Modelos matemáticos contínuosDiferenças finitas
h = 20 cm ⇒ n = 9 ⇒
A0 . . .A5 = 1
A6 . . .A10 =(
1 +(i−5)∗h
40
)2
Para i = 1 . . . 9
(Ai+1 + 4Ai − Ai−1)ui+1 − 8Aiui + (−Ai+1 + 4Ai + Ai−1)ui−1 = 0
Condições de fronteira
u0 = 0 u10 − u8 =2Rh
EA9
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 63 / 183
Modelos matemáticos contínuosDiferenças finitas
−8 44 −8 4
4 −8 44 −8 4
2.75 −8 5.256 −18 12
12 −32 2020 −50 30
72 −72
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
u9
=
00000000F9
F9 = −56000
3E
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 64 / 183
Modelos matemáticos contínuosDiferenças finitas
u =
24.747549.494974.242498.9899123.737136.7
143.182147.071149.663
100
E
du
dx=
1.237371.237371.237371.237370.9427610.4861110.2592590.1620370.111111
100
E
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 65 / 183
Diferenças finitas
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
25 50 75 100 125 150 175
20
40
60
80
100
120
140
100E
Factor de escala:
u(x)
x
solução analítica
diferenças finitas
25 50 75 100 125 150 175
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2 du(x)
dx
Factor de escala: 100
solução analítica
diferenças finitas
E
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 66 / 183
Modelos matemáticos contínuos
Diferenças finitas
/* Exemplo de programação em Maxima (1/3) */
R:100; /* Força aplicada */
E: 1; /* Módulo de elasticidade */
h:20; /* Dimensão da malha */
Np:round(180/h); /* Número de pontos */
/* Inicialização da área da secção nos pontos da malha */
for i:0 thru Np+1 step 1 do
if i*h <= 100 then a[i]:1 else a[i]:(1+(i*h-100)/40)^2;
/* Inicialização da matriz */
for i:1 thru Np step 1 do for j:1 thru Np step 1 do mat[i,j]:=0;
for i:1 thru Np step 1 do mat[i,i]:-8*a[i];
for i:1 thru Np-1 step 1 do mat[i,i+1]:a[i+1]+4*a[i]-a[i-1];
for i:2 thru Np-1 step 1 do mat[i,i-1]:-a[i+1]+4*a[i]+a[i-1];
mat[Np, Np-1]:8*a[Np];
MAT: genmatrix(mat,Np,Np);
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 67 / 183
Modelos matemáticos contínuos
Diferenças finitas
/* Exemplo de programação em Maxima (2/3) */
/* Inicialização do rhs */
for i:1 thru Np-1 step 1 do rhs[i]:0;
rhs[Np]:-2*R*h/E/a[Np]*(a[Np+1]+4*a[Np]-a[Np-1]);
RHS: makelist(rhs[i],i,1,Np);
/* Solução em deslocamentos */
load ("lapack"); /* Solução alternativa sem LAPACK */
U:dgesv(MAT,RHS); /* U:first(linsolve_by_lu(MAT,RHS,’floatfield) */
sol[Np+1,1]: 2*100*h/E/a[Np]+U[Np-1][1];
sol[0,1]: 0;
for i:1 thru Np step 1 do sol[i,1] : U[i][1];
/* Solução em extensão */
for i:1 thru Np step 1 do sol[i,2] : (sol[i+1,1]-sol[i-1,1])/2/h;
/* Solução em deslocamentos e extensão */
SOL: genmatrix(sol,Np,2);
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 68 / 183
Modelos matemáticos contínuos
Diferenças finitas
/* Exemplo de programação em Maxima (3/3) */
/* Plotar deslocamentos */
xvals: makelist(i, i, 0, Np);
uvals: makelist(sol[i,1], i, 0, Np);
plot2d([discrete, xvals, uvals], [style, points]);
/* Plotar extensão */
x1vals: makelist(i, i, 1, Np);
duvals: makelist(sol[i,2], i, 1, Np);
plot2d([discrete, x1vals, duvals], [style, points]);
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 69 / 183
Método dos elementos finitos
Γu
Γσ
f Γ
f b
uk
uk+1
uk+2
F
elemento finito m
ponto nodal j
j
Conhecendo a geometria do corpo, as cargas aplicadas, as condições de apoio e a lei domaterial,
Detemine os deslocamentos e as respectivas extensões e tensões.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 70 / 183
Método dos elementos finitos
MEF formulação em deslocamentos – obtida pelo PTV∫
VεTσ dV =
∫
VuT f b
dV +
∫
Γσ
uT f ΓdΓσ +
∑
i
u iTF i
Tensões em equilíbrio com as cargas aplicadasDeformações virtuais correspondentes aos deslocamentos virtuais u
As tensões σ que equilibram as cargas aplicadas assumam-se conhecidas
As deformações virtuais ε são obtidas derivando o vector dos deslocamentos virtuais u
Os deslocamentos virtuais u devem representar um campo continuo, diferenciável.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 71 / 183
Método dos elementos finitos
Quando a equação do PTV está satisfeita para qualquer deslocamento virtual u, com as tensões σobtidas a partir de um campo de deslocamentos continuo u que satisfaz as condições de fronteiracinemáticas, ficam automaticamente satisfeitas as equações:
Equilíbrio - a equação do PTV é uma equação de equilíbrio
Compatibilidade - o campo de deslocamentos u é continuo e satisfaz as condições de fronteira
Constitutivas - as tensões σ foram calculadas utilizando as relações constitutivas a partir dasdeformações ε que foram obtidas a partir dos deslocamentos u
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 72 / 183
Método dos elementos finitosSistema governativo
Γu
Γσ
f Γ
f b
uk
uk+1
uk+2
F
elemento finito m
ponto nodal j
j
Deslocamentos
u(m)(x , y , z) = H(m)(x , y , z)U
UT = u1 u2 . . . un
H(m) - matriz de interpolação dosdeslocamentos
Deformaçõesε(m)(x , y , z) = E (m)(x , y , z)U
E (m) - matriz de ligação entre as deformações e os deslocamentos
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 73 / 183
Método dos elementos finitosSistema governativo
E (m) = DH(m)
Para o caso 3D, em coordenadas Cartesianas:
D =
∂/∂x 0 00 ∂/∂y 00 0 ∂/∂z
∂/∂y ∂/∂x 00 ∂/∂z ∂/∂y
∂/∂z 0 ∂/∂x
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 74 / 183
Método dos elementos finitosSistema governativo
Tensõesσ
(m)(x , y , z) = k(m)ε(m)(x , y , z)
k(m) - matriz de elasticidadePara o caso 3D, em coordenadas Cartesianas:
k(m) =E
(1 + ν)(1 − 2ν)
1 − ν ν ν 0 0 0ν 1 − ν ν 0 0 0ν ν 1 − ν 0 0 00 0 0 1 − 2ν 0 00 0 0 0 1 − 2ν 00 0 0 0 0 1 − 2ν
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 75 / 183
Método dos elementos finitosSistema governativo
∫
VεTσ dV =
∫
VuT f b
dV +
∫
Γσ
uT f ΓdΓσ +
∑
i
u iTF i
⇓∑
m
∫
V (m)ε(m)T
σ(m)
dV (m) =∑
m
∫
V (m)u(m)T f b(m)
dV (m)+
∑
m
∫
Γ(m)σ
u(m)T f Γ(m)dΓ
(m)σ +
∑
i
u iTF i
Para eficiência podem ser utilizados sistemas de coordenadas diferentes para cada elemento finito.
Admitindo u(m)(x , y , z) = H(m)(x , y , z) U ε(m)(x , y , z) = E (m)(x , y , z) U
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 76 / 183
Método dos elementos finitosSistema governativo
Resulta
UT∑
m
∫
V (m)E (m)TkE (m)
dV (m)U = UT∑
m
∫
V (m)H(m)T f b(m)
dV (m)+
UT∑
m
∫
Γ(m)σ
H(m)T f Γ(m)dΓ
(m)σ + U
TF
K ≡∑
m
∫
V (m)E (m)TkE (m)
dV (m)
︸ ︷︷ ︸
K (m)
- matriz de rigidez global
FB ≡∑
m
∫
V (m)H(m)T f b(m)
dV (m)
︸ ︷︷ ︸
F(m)B
- vector das forças de massa
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 77 / 183
Método dos elementos finitosSistema governativo
F Γ ≡∑
m
∫
Γ(m)σ
H(m)T f Γ(m)dΓ
(m)σ
︸ ︷︷ ︸
F(m)Γ
– vector das forças distribuídas
F - vector das forças concentradas aplicadas nos nós dos elementos
P ≡ FB + F Γ + F – vector das cargas aplicadas
K U = P – equação de equilíbrio
O sistema governativo obtêm-se juntando à equação de equilíbrio as condições de fronteira:[K −e i
−eTi 0
]U
λ
=
P
−uΓ
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 78 / 183
Método dos elementos finitosExemplo - Método dos deslocamentos
u1
u2u3 u4
u5u6 u7
u8u9
P
L L
p
EI, EA2EI, 4EA
1 2
Dados numéricos:
EI = 103 kNm2 EA = 0.1EI L = 1 m p = 0.01 kN/m P = 1 kN
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 79 / 183
Método dos elementos finitosExemplo - Método dos deslocamentos
u1
u2
u3
u4
u5
u6
Análise de Estruturas I – a matriz de rigidez de uma barra bi-encastrada é dada por:
Ke=
EAL
0 0 −EAL
0 0
0 12EI
L3
6EI
L20 −
12EI
L3
6EI
L2
0 6EI
L2
4EIL
0 −6EI
L2
2EIL
−EAL
0 0 EAL
0 0
0 −12EI
L3−
6EI
L20 12EI
L3−
6EI
L2
0 6EI
L2
2EIL
0 −6EI
L2
4EIL
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 80 / 183
Método dos elementos finitosExemplo - Método dos deslocamentos
Elemento 1 u1
u2u3 u4
u5u6
1
K (1) =
EAL
0 0 −EAL
0 0 0 0 00 12EI
L3
6EIL2
0 − 12EIL3
6EIL2
0 0 00 6EI
L2
4EIL
0 − 6EIL2
2EIL
0 0 0−EA
L0 0 EA
L0 0 0 0 0
0 − 12EIL3
− 6EIL2
0 12EIL3
− 6EIL2
0 0 00 6EI
L2
2EIL
0 − 6EIL2
4EIL
0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 81 / 183
Método dos elementos finitosExemplo - Método dos deslocamentos
Elemento 2 u4
u5u6 u7
u8u9
2
K (2) =
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 4EA
L0 0 − 4EA
L0 0
0 0 0 0 24EIL3
12EIL2
0 − 24EIL3
12EIL2
0 0 0 0 12EIL2
8EIL
0 − 12EIL2
4EIL
0 0 0 − 4EAL
0 0 4EAL
0 00 0 0 0 − 24EI
L3− 12EI
L20 24EI
L3− 12EI
L2
0 0 0 0 12EIL2
4EIL
0 − 12EIL2
8EIL
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 82 / 183
Método dos elementos finitosExemplo - Método dos deslocamentos
A matriz de rigidez global é dada por
K =2∑
i=1
K (i)
K=
EAL
0 0 −EAL
0 0 0 0 0
0 12EI
L3
6EI
L20 −
12EI
L3
6EI
L20 0 0
0 6EI
L2
4EIL
0 −6EI
L2
2EIL
0 0 0
−EAL
0 0 5EAL
0 0 −4EAL
0 0
0 −12EI
L3−
6EI
L20 36EI
L3
6EI
L20 −
24EI
L3
12EI
L2
0 6EI
L2
2EIL
0 6EI
L2
12EIL
0 −12EI
L2
4EIL
0 0 0 −4EAL
0 0 4EAL
0 0
0 0 0 0 −24EI
L3−
12EI
L20 24EI
L3−
12EI
L2
0 0 0 0 12EI
L2
4EIL
0 −12EI
L2
8EIL
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 83 / 183
Método dos elementos finitosExemplo - Método dos deslocamentos
O vector das forças aplicadas
PT =
0 −P 0 0 −pL/2 −pL2/12 0 −pL/2 pL2/12
u1
u2u3 u4
u5u6
1
P
u4
u5u6 u7
u8u9
2pL /12 pL /122
2
pL/2 pL/2p
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 84 / 183
Método dos elementos finitosExemplo - Método dos deslocamentos
As condições de fronteira uΓ (u7 = u8 = u9 = 0) são impostas utilizando a
matriz e1
eT1 =
0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 1
uΓT =
0 0 0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 85 / 183
Método dos elementos finitosExemplo - Método dos deslocamentos
Sistema governativo
EAL
0 0 - EAL
0 0 0 0 0 0 0 0
0 12EI
L3
6EI
L20 - 12EI
L3
6EI
L20 0 0 0 0 0
0 6EI
L2
4EIL
0 - 6EI
L2
2EIL
0 0 0 0 0 0
- EAL
0 0 5EAL
0 0 - 4EAL
0 0 0 0 0
0 - 12EI
L3- 6EI
L20 36EI
L3
6EI
L20 - 24EI
L3
12EI
L20 0 0
0 6EI
L2
2EIL
0 6EI
L2
12EIL
0 - 12EI
L2
4EIL
0 0 0
0 0 0 - 4EAL
0 0 4EAL
0 0 -1 0 0
0 0 0 0 - 24EI
L3- 12EI
L20 24EI
L3- 12EI
L20 -1 0
0 0 0 0 12EI
L2
4EIL
0 - 12EI
L2
8EIL
0 0 -1
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
u1
u2
u2
u4
u5
u6
u7
u8
u9
λ7
λ8
λ9
=
0-P00
- pL2
- pL2
12
0
- pL2
pL2
12
000
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 86 / 183
Método dos elementos finitosExemplo - Método dos deslocamentos
U =
0
−7pL4
48EI−
3PL3
2EIpL3
12EI+ 5PL2
4EI0
−pL4
16EI−
5PL3
12EIpL3
12EI+ 3PL2
4EI000
⇒ U =
0.00000−0.00150
0.001250.00000
−0.000420.000750.000000.000000.00000
[m]
λ =
0pL + P
−pL2
2− 2PL
⇒ λ =
0.0001.010
−2.005
[kN][kN]
[kNm]
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 87 / 183
Método dos elementos finitosExemplo - Método dos deslocamentos
1 kN0.01kN/m
1.010 kN
2.005 kNm
1 m 1 m
0.42 mm
1.5 mm0.00075 rad
0.00125 rad
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 88 / 183
Método dos elementos finitosTipos de elementos finitos
Barras e vigas
Estado plano de tensão/deformação
Estado axissimétrico
Cascas e lajes
Elementos tri-dimensionais
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 89 / 183
Elemento de barra com 2 nós
2 2
22
3
100 cm 80 cm
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
R = 100 N
y
uu1 u2
UT = u1 u2 u3
u1 u2
1 cm2
1 cm2
x100
u2
1 cm2
u3
x80
9 cm2
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 90 / 183
Método dos elementos finitosElemento de barra com 2 nós
Elemento finito 1
u1 u2
1 cm2
1 cm2
x100
k(1) = E
A(1) = 1 cm2
u(1)(x) = H(1)U u(1)(0) = u1 u(1)(100) = u2 ⇒
H(1) =(
1 − x
100
) x
1000
E (1) = DH(1) =
(
− 1
100
)1
1000
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 91 / 183
Método dos elementos finitosElemento de barra com 2 nós
K (1) =
∫
V (1)E (1)Tk(1)E (1)
dV (1)
K (1) = E
∫ 100
0
− 1
100
1
100
0
− 1
100
1
1000
dx
K (1) =E
100
1 −1 0−1 1 00 0 0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 92 / 183
Método dos elementos finitosElemento de barra com 2 nós
Elemento finito 2
u2
1 cm2
u3
x80
9 cm2
k(2) = E
A(2) =(
1 +x
40
)2cm2
u(2)(x) = H(2)U
u(2)(0) = u2
u(2)(80) = u3
H(2) =
0(
1 − x
80
) x
80
E (2) = DH(2) =
0
(
− 1
80
)1
80
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 93 / 183
Método dos elementos finitosElemento de barra com 2 nós
K (2) =
∫
V (2)E (2)Tk(2)E (2)
dV (2)
K (2) = E
∫ 80
0
0
− 1
80
1
80
0 − 1
80
1
80
(
1 +x
40
)2dx
K (2) =13E
240
0 0 00 1 −10 −1 1
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 94 / 183
Método dos elementos finitosElemento de barra com 2 nós
A matriz de rigidez global
K =2∑
i=1
K (i) =E
240
2.4 −2.4 0−2.4 15.4 −13
0 −13 13
O vector das forças aplicadas
P =
00
100
Condições de fronteirau1 = eT
1 U = 0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 95 / 183
Método dos elementos finitosElemento de barra com 2 nós
Sistema governativo[
K −e1
−eT1 0
]U
λ
=
P
−uΓ
E/100 −E/100 0 −1−E/100 77E/1200 −13E/240 0
0 −13E/240 13E/240 0−1 0 0 0
u1
u2
u3
λ
=
00
1000
Resulta
u1 = 0 u2 =10000
Eu3 =
154000
13E
λ = −100 . . . a reacção no apoio
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 96 / 183
Método dos elementos finitosElemento de barra com 2 nós
σ(m) = k(m)
ε(m) = k(m)E (m)U
σ(1) = E
−1/100 1/100 0
010000/E
154000/(13E)
= 100
σ(2) = E
0 −1/80 1/80
010000/E
154000/(13E)
= 23.07
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 97 / 183
Elemento de barra com 2 nós
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
25 50 75 100 125 150 175
20
40
60
80
100
120
100E
Factor de escala:
u(x)
x
solução analítica
MEF
25 50 75 100 125 150 175
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0du(x)
dx
Factor de escala: 100
solução analítica
x
MEF
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 98 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
u1
u2
u3
1
2
3
x
yu4
u6
u5
u =
u(x , y)v(x , y)
= H U
UT = u1 u2 u3 u4 u5 u6
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 99 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
u(x , y) = α1 + α2x + α3y
v(x , y) = β1 + β2x + β3y⇒ u =
u(x , y)v(x , y)
= Φα
Φ =
[
1 x y 0 0 00 0 0 1 x y
]
αT = α1 α2 α3 β1 β2 β3
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 100 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
Explicitando para todos os pontos nodais,
1 x1 y1 0 0 01 x2 y2 0 0 01 x3 y3 0 0 00 0 0 1 x1 y1
0 0 0 1 x2 y2
0 0 0 1 x3 y3
α1
α2
α3
β1
β2
β3
=
u1
u2
u3
u4
u5
u6
Aα = U ⇒ α = A−1 U
Masu = Φα = ΦA−1 U = H U ⇒ H = ΦA−1
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 101 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
1
2
3
4
1
2
3
4
5
4 cm
4 cm
P P
t = 0.1 cm
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 102 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
Elemento 1
u1
u2
u3
u6
u7
u8
1 3
1
2
y
x
A(1) =
1 0 0 0 0 01 2 2 0 0 01 0 4 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 1 2 20 0 0 1 0 4
. . . u1
. . . u3
. . . u2
. . . u6
. . . u8
. . . u7
Φ(1) =
[1 x y 0 0 00 0 0 1 x y
]
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 103 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
H(1) = Φ(1)[
A(1)]−1
H(1) =
4 − x − y
4
x
2
−x + y
40 0 0
0 0 04 − x − y
4
x
2
−x + y
4
D =
∂
∂x0
0∂
∂y
∂
∂y
∂
∂x
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 104 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
E (1) = DH(1) =
−1/4 1/2 −1/4 0 0 00 0 0 −1/4 0 1/4
−1/4 0 1/4 −1/4 1/2 −1/4
K (1) =
∫
A(1)E (1)TkE (1) tdA(1)
Admitindo estado plano de tensão,
k =E
1 − ν2
1 ν 0ν 1 00 0 (1 − ν)/2
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 105 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
K (1) = E (1)TkE (1)t
∫
A(1)dA(1)
Dados os pontos (xi , yi ), i = 0, . . . ,N, com x0 = xN e y0 = yN , a área do polígono plano definidopor estes pontos pode ser calculada (teorema de Green) pela seguinte fórmula:
A =1
2
N−1∑
i=0
(xiyi+1 − xi+1yi )
No caso particular de um triângulo de vertices (a, b), (c, d) e (e, f ), a área é dada por:
A =1
2
∣∣∣∣∣∣
1 1 1a c eb d f
∣∣∣∣∣∣
=1
2[(cf − ed) + (eb − af ) + (ad − cb)]
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 106 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
Resultando, para ν = 0.25,
K (1) = E
11/300 −4/75 1/60 1/60 −1/50 1/300−4/75 8/75 −4/75 −1/75 0 1/751/60 −4/75 11/300 −1/300 1/50 −1/601/60 −1/75 −1/300 11/300 −1/50 −1/60−1/50 0 1/50 −1/50 1/25 −1/501/300 1/75 −1/60 −1/60 −1/50 11/300
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 107 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
Elemento 2
u3
u7
u8
u2
2
u10
u5
3
2 5
x
y
A(2) =
1 0 4 0 0 01 2 2 0 0 01 4 4 0 0 00 0 0 1 0 40 0 0 1 2 20 0 0 1 4 4
. . . u2
. . . u3
. . . u5
. . . u7
. . . u8
. . . u10
Φ(2) =
[1 x y 0 0 00 0 0 1 x y
]
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 108 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
H(2) = Φ(2)[
A(2)]−1
H(2) =
−x + y
4
4 − y
2
−4 + x + y
40 0 0
0 0 0−x + y
4
4 − y
2
−4 + x + y
4
E (2) = DH(2) =
−1/4 0 1/4 0 0 00 0 0 1/4 −1/2 1/4
1/4 −1/2 1/4 −1/4 0 1/4
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 109 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
K (2) =
∫
A(2)E (2)TkE (2) tdA(2)
K (2) = E
11/300 −1/50 −1/60 −1/60 1/75 1/300−1/50 1/25 −1/50 1/50 0 −1/50−1/60 −1/50 11/300 −1/300 −1/75 1/60−1/60 1/50 −1/300 11/300 −4/75 1/601/75 0 −1/75 −4/75 8/75 −4/751/300 −1/50 1/60 1/60 −4/75 11/300
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 110 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
Elemento 3
u3
u8
u10
u5
u9
u4
3
x
y
5
4
3
A(3) =
1 2 2 0 0 01 4 0 0 0 01 4 4 0 0 00 0 0 1 2 20 0 0 1 4 00 0 0 1 4 4
. . . u3
. . . u4
. . . u5
. . . u8
. . . u9
. . . u10
Φ(3) =
[1 x y 0 0 00 0 0 1 x y
]
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 111 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
H(3) = Φ(3)[
A(3)]−1
H(3) =
4 − x
2
x − y
4
−4 + x + y
40 0 0
0 0 04 − x
2
x − y
4
−4 + x + y
4
E (3) = DH(3) =
−1/2 1/4 1/4 0 0 00 0 0 0 −1/4 1/40 −1/4 1/4 −1/2 1/4 1/4
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 112 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
K (3) =
∫
A(3)E (3)TkE (3) tdA(3)
K (3) = E
8/75 −4/75 −4/75 0 1/75 −1/75−4/75 11/300 1/60 1/50 −1/60 −1/300−4/75 1/60 11/300 −1/50 1/300 1/60
0 1/50 −1/50 1/25 −1/50 −1/501/75 −1/60 1/300 −1/50 11/300 −1/60−1/75 −1/300 1/60 −1/50 −1/60 11/300
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 113 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
Elemento 4
u3
u8
u9
u4
u1
u6 4
3
4
y
x1
A(4) =
1 0 0 0 0 01 4 0 0 0 01 2 2 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 1 4 00 0 0 1 2 2
. . . u1
. . . u4
. . . u3
. . . u6
. . . u9
. . . u8
Φ(4) =
[1 x y 0 0 00 0 0 1 x y
]
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 114 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
H(4) = Φ(4)[
A(4)]−1
H(4) =
4 − x − y
4
x − y
4
y
20 0 0
0 0 04 − x − y
4
x − y
4
y
2
E (4) = DH(4) =
−1/4 1/4 0 0 0 00 0 0 −1/4 −1/4 1/2
−1/4 −1/4 1/2 −1/4 1/4 0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 115 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
K (4) =
∫
A(4)E (4)TkE (4) tdA(4)
K (4) = E
11/300 −1/60 −1/50 1/60 −1/300 −1/75−1/60 11/300 −1/50 1/300 −1/60 1/75−1/50 −1/50 1/25 −1/50 1/50 01/60 1/300 −1/50 11/300 1/60 −4/75
−1/300 −1/60 1/50 1/60 11/300 −4/75−1/75 1/75 0 −4/75 −4/75 8/75
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 116 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
A matriz de rigidez global
K =4∑
i=1
K (i) =
E
11150
160
- 11150
- 160
0 130
1300
- 130
- 1300
0160
11150
- 11150
0 - 160
- 1300
- 130
130
0 1300
- 11150
- 11150
2275
- 11150
- 11150
- 130
130
0 130
- 130
- 160
0 - 11150
11150
160
1300
0 130
- 130
- 1300
0 - 160
- 11150
160
11150
0 - 1300
- 130
1300
130
130
- 1300
- 130
1300
0 11150
- 160
- 11150
160
01
300- 130
130
0 - 1300
- 160
11150
- 11150
0 160
- 130
130
0 130
- 130
- 11150
- 11150
2275
- 11150
- 11150
− 1300
0 130
− 130
1300
160
0 − 11150
11150
− 160
0 1300
− 130
− 1300
130
0 160
− 11150
− 160
11150
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 117 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
O vector das forças aplicadas
PT =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 −P
As condições de fronteira uΓ (u1 = u2 = u6 = u7 = 0) são impostas utilizando a matriz e1
eT1 =
1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0
uΓT =
0 0 0 0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 118 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
O sistema governativo é dado por
[K −e1
−eT1 0
]U
λ
=
P
−uΓ
resultando
UT =
0 0 - 75116
- 217251392
261251392
0 0 - 27516
- 499251392
- 675251392
P
E
λT =
1 −1 55
873287
P
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 119 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
P
0.63P
0.37PP
P
48.51P/E
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 120 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
O campo das tensões é dado porσ
(m) = k(m)E (m)U
σ(1)=
- 10P29
- 5P58
- 55P16
σ(2)=
65P16
- 3505P1392
- 165P58
σ(3)=
10P29
- 535P174
- 25P16
σ(4)=
- 65P16
- 895P1392
- 125P58
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 121 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 3 nós
−4P −3P −2P −1P 0 1P 2P 3P 4P
σxyσyσx
4.063P
0.345P−0.345P
−4.063P
−2.518P −2.845P
−0.643P −2.155P
−0.086P 3.075P −1.563P−3.438P
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 122 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
u1
u2
u3
u61
2
4
x
yu5 3
8u
4u u7
u =
u(x , y)v(x , y)
= H U
UT = u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 123 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
u(x , y) = α1 + α2x + α3y + α4xy
v(x , y) = β1 + β2x + β3y + β4xy⇒ u =
u(x , y)v(x , y)
= Φα
Φ =
[
1 x y xy 0 0 0 00 0 0 0 1 x y xy
]
αT = α1 α2 α3 α4 β1 β2 β3 β4
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 124 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
Explicitando para todos os pontos nodais,
1 x1 y1 x1y1 0 0 0 01 x2 y2 x2y2 0 0 0 01 x3 y3 x3y3 0 0 0 01 x4 y4 x4y4 0 0 0 00 0 0 0 1 x1 y1 x1y1
0 0 0 0 1 x2 y2 x2y2
0 0 0 0 1 x3 y3 x3y3
0 0 0 0 1 x4 y4 x4y4
α1
α2
α3
α4
β1
β2
β3
β4
=
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
Aα = U ⇒ α = A−1 UMas
u = Φα = ΦA−1 U = H U ⇒ H = ΦA−1
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 125 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
1
4
2
3
4 cm
4 cm
P P
t = 0.1 cm
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 126 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
Elemento 1
u1u2
u4 u3
u5u6
1
u7u8
1 2
34
x
y
A =
1 0 0 0 0 0 0 01 4 0 0 0 0 0 01 4 4 16 0 0 0 01 0 4 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 4 0 00 0 0 0 1 4 4 160 0 0 0 1 0 4 0
. . . u1
. . . u2
. . . u3
. . . u4
. . . u5
. . . u6
. . . u7
. . . u8
Φ =
[1 x y xy 0 0 0 00 0 0 0 1 x y xy
]
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 127 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
H = Φ [A]−1
H =
[
1- x+y4
+ xy16
x4- xy16
xy16
y4- xy16
0 0 0 0
0 0 0 0 1- x+y4
+ xy16
x4- xy16
xy16
y4- xy16
]
D =
∂
∂x0
0∂
∂y
∂
∂y
∂
∂x
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 128 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
E = DH =
y−416
4−y16
y16
− y16
0 0 0 00 0 0 0 x−4
16− x
16x16
4−x16
x−416
− x16
x16
4−x16
y−416
4−y16
y16
− y16
K =
∫
AETkE tdA
Admitindo estado plano de tensão,
k =E
1 − ν2
1 ν 0ν 1 00 0 (1 − ν)/2
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 129 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
Admitindo ν = 0.25, resulta, por exemplo, para o elemento K11 da matriz de rigidez,
K11 =E
10
∫
A
176 − 24x − 64y + 3x2 + 8y2
1920dA
Como neste caso particular o domínio do elemento é rectangular,
K11 =E
10
∫ 4
0
∫ 4
0
176 − 24x − 64y + 3x2 + 8y2
1920dx dy =
11E
225
Nos programas de elementos finitos, a integração analítica costuma ser substituída por umaintegração numérica, utilizando o Método de Gauss-Legendre.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 130 / 183
Elemento plano com 4 nósMétodo de Gauss-Legendre
Método de Gauss-Legendre para a integração numérica consiste em aproximar o integral atravésde um somatório.
Para o caso uni-dimensional,∫ 1
−1f (x) dx ≃
n∑
i=1
wi f (xi )
onde xi são as coordenadas dos pontos de integração e wi os pesos associados. A regra deintegração de Gauss de n pontos permite integrar exactamente polinómios de grau inferior ouigual a 2n − 1.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 131 / 183
Elemento plano com 4 nósMétodo de Gauss-Legendre
Pontos de integração e pesos no intervalo [−1, 1]n xi wi
1 0.00000 00000 00000 2.00000 00000 000002 ±0.57735 02691 89626 1.00000 00000 000003 ±0.77459 66692 41483 0.55555 55555 55555
0.00000 00000 00000 0.88888 88888 88888
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 132 / 183
Elemento plano com 4 nósMétodo de Gauss-Legendre
Para o caso bi-dimensional,
∫ 1
−1
∫ 1
−1f (x , y) dx dy ≃
n∑
i=1
wi
∫ 1
−1f (xi , y) dy ≃
n∑
i=1
m∑
j=1
wiwj f (xi , yj )
x=0.577...
y=−0.577...
y=0.577...
x=−0.577...
y
x
Integração no domínio quadrilateral (x , y ∈[−1, 1]) com 2 × 2 pontos, exacta para umpolinómio de grau 3:
1x y
x2 xy y2
x3 x2y xy2 y3
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 133 / 183
Elemento plano com 4 nósMapeamento isoparamétrico
Quando o domínio de integração não é definido entre -1 e 1 (ou, para o caso 2D, não é rectangular),é habitual proceder a um mapeamento isoparamétrico.
1D, x ∈ Ω → s ∈ [−1, 1]∫
Ωf (x) dx =
∫ 1
−1f [x(s)]J ds
2D, x , y ∈ Ω → s, t ∈ [−1, 1]
∫
Ωf (x , y) dx dy =
∫ 1
−1
∫ 1
−1f [x(s, t), y(s, t)]J ds dt
onde J (Jacobiano) é o determinanto da matriz da transformação (matriz Jacobiano)
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 134 / 183
Método de Gauss-LegendreMapeamento isoparamétrico
x
y
s
t
2
34
1
3 (1,1)4 (−1,1)
2 (1,−1)1 (−1,−1)
Ω
Funções de forma:N1 = (1 − s)(1 − t)/4 N2 = (1 + s)(1 − t)/4
N3 = (1 + s)(1 + t)/4 N4 = (1 − s)(1 + t)/4
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 135 / 183
Método de Gauss-LegendreMapeamento isoparamétrico
As coordenadas x e y podem exprimir-se em função ao s e t,
x =
4∑
i=1
Nixi y =
4∑
i=1
Niyi
A matriz da transformação (matriz Jacobiano) define-se como
J =
∂x
∂s
∂y
∂s
∂x
∂t
∂y
∂t
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 136 / 183
Mapeamento isoparamétricoExemplo 1D
x1 x2
Ω x s
−1 1Funções de forma:
N1 = (1 − s)/2 N2 = (1 + s)/2
Mapeamento isoparamétrico:
x =2∑
i=1
Nixi =x1 + x2 + s(x2 − x1)
2
Jacobiano
J = det(J) =∂x
∂s=
x2 − x1
2Por exemplo,
∫ 7
3x3
dx =
∫ 1
−1
[3 + 7 + s(7 − 3)
2
]3 7 − 3
2ds = 580
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 137 / 183
Mapeamento isoparamétricoExemplo 2D
1 2
3
4Ω
x
y
s
t
(−1,−1) (1,−1)
(1,1)(−1,1)
Coordenadas dos nós:
x1 = 0, y1 = 0 x2 = 1, y2 = 0 x3 = 2, y3 = 2 x4 = 0, y4 = 1
Funções de forma:N1 = (1 − s)(1 − t)/4 N2 = (1 + s)(1 − t)/4
N3 = (1 + s)(1 + t)/4 N4 = (1 − s)(1 + t)/4
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 138 / 183
Mapeamento isoparamétricoExemplo 2D
Mapeamento isoparamétrico:
x =4∑
i=1
Nixi = (1 + s)(3 + t)/4 y =4∑
i=1
Niyi = (3 + s)(1 + t)/4
Matriz Jacobiano:
J = det(J) = det
[(3 + t)/4 (1 + t)/4(1 + s)/4 (3 + s)/4
]
=4 + s + t
8
Por exemplo,
∫
Ωx3
dx dy =
∫ 1
−1
∫ 1
−1
[(1 + s)(3 + t)
4
]3 4 + s + t
8ds dt =
23
10
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 139 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
Regressando,
K11 =E
10
∫ 4
0
∫ 4
0
176 − 24x − 64y + 3x2 + 8y2
1920dx dy
Sendo o as coordenadas do domínio de integração,
(0, 0) (4, 0) (4, 4) (0, 4)
do mapeamento isoparamétrico resulta:
x =4∑
i=1
Nixi = 2(1 + s) y =4∑
i=1
Niyi = 2(1 + t)
J = det
[2 00 2
]
= 4
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 140 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
Com,f (x , y) = (176 − 24x − 64y + 3x2 + 8y2)/1920∫ 4
0
∫ 4
0f (x , y)dx dy =
∫ 1
−1
∫ 1
−1g(s, t)ds dt
ondeg(s, t) = f [x(s, t), y(s, t)]J
Utilizando a regra de integração de Gauss com 2 × 2 pontos,
I =
∫ 1
−1
∫ 1
−1g(s, t)ds dt ≃
2∑
i=1
2∑
j=1
wiwjg(si , ti )
coms1,2 = t1,2 = ±1/
√3 e w1,2 = 1
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 141 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
Resulta
I = g
(−1√3,−1√
3
)
+ g
(−1√3,
1√3
)
+ g
(1√3,−1√
3
)
+ g
(1√3,
1√3
)
=22
45
E o termo da matriz de rigidez,
K11 =E
10
22
45=
11E
225
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 142 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
A matriz de rigidez global
K = E
11225
−13450
−11450
1225
160
−1300
−160
1300
−13450
11225
1225
−11450
1300
−160
−1300
160
−11450
1225
11225
−13450
−160
1300
160
−1300
1225
−11450
−13450
11225
−1300
160
1300
−160
160
1300
−160
−1300
11225
1225
−11450
−13450
−1300
−160
1300
160
1225
11225
−13450
−11450
−160
−1300
160
1300
−11450
−13450
11225
1225
1300
160
−1300
−160
−13450
−11450
1225
11225
O vector das forças aplicadas
PT =
0 0 0 0 0 0 −P 0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 143 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
As condições de fronteira uΓ (u1 = u4 = u5 = u8 = 0) são impostas utilizando a matriz e1
eT1 =
1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1
uΓT =
0 0 0 0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 144 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
O sistema governativo é dado por
[K −e1
−eT1 0
]U
λ
=
P
−uΓ
resultando
UT =
0 - 276751474
326251474
0 0 - 28550737
- 38450737
0 P
E
λT =
1 −1 45
672267
P
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 145 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
P
P
0.67P
0.33P
P
52.17P/E
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 146 / 183
Método dos elementos finitosElemento plano com 4 nós
O campo das tensões é dado porσ = kEU
σT =
−15(246+11x−134y)
737−15(123+88x−67y)
14745(−2284+603x−198y)
2948
σx σy σxy
0 1 2 3 40
1
2
3
4
0 1 2 3 40
1
2
3
4
0 1 2 3 40
1
2
3
4
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 147 / 183
Método dos elementos finitosProgramas de elementos finitos
IFER - Internet Finite Element Resources
Domínio público
Código incluído (Freeware): mais de 70 programas: ADVENTURE(ADVanced ENgineering analysis Tool for Ultra large REalworld), FELT, OpenSees (Open System for EarthquakeEngineering Simulation), . . .
Código não incluído (Shareware): mais de 30 programas: CADRE, IMAGINE(Integrated Modelling and Analysis in Geotechnics),PlastFEM, . . .
Programas comerciais : mais de 120 programas: ABAQUS, Adina, Algor, ANSYS, COSMOS,DIANA, PLAXIS, SAP2000, . . .
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 148 / 183
Método dos elementos finitosGiD + Calsef
GiD - pré/pós-processador gráfico, incluindo um gerador de malha, que pode serutilizado em conjunto com uma grande variedade de programas de análisenumérica.
AnáliseComputacional
(CALSEF)
Definição da geometriaDefinição das cargas e das condições de fronteira
Definição dos materiaisGeração da malha
(GiD)
Visualização dosresultados
(GiD)
Calsef - código (elementos finitos) para a análise de sólidos (2D e 3D), lajes e cascas.
International Center for Numerical Methods in Engineering
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 149 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicação
4 cm
4 cm
P
t = 0.1 cm
ν = 0.25
E = 1
P = 1
Definir o tipo do problema: Estado plano
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 150 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicaçãoEscolher um título para o problema, escolher o estado plano de tensão, não considerar o pesopróprio, etc.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 151 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicação
Verificar as propriedades dos materiais e as unidades do problema.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 152 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicação
A janela das coordenadas facilita a introdução dos nós.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 153 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicação
Definir a geometria da estrutura: pontos e linhas.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 154 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicação
Definir a geometria da estrutura : superfícies.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 155 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicação
Definir as condições de fronteira: deslocamentos impostos, apoios elásticos e cargas aplicadas.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 156 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicação
Definir os deslocamentos impostos.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 157 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicação
Definir as cargas aplicadas.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 158 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicaçãoDefinir um novo material com as propriedades desejadas.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 159 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicação
Atribuir o material aos elementos geométricos.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 160 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicação
Definir o tipo de elementos finitos a utilizar.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 161 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicação
Gerar a malha de elementos finitos.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 162 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicaçãoComeçar a análise.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 163 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicaçãoEntrar na fase de pós-processamento.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 164 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicação
Campo de deslocamentos
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 165 / 183
GiD + CalsefExemplo de aplicação
Campo de tensõesσx σy σxy
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 166 / 183
Método dos elementos finitosFontes de erros na análise
Discretização - Funções de interpolação da geometria e da solução
Integração numérica - Cálculo dos elementos das matrizes utilizando métodos numéricosde integração
Relações constitutivas - Uso de modelos de material com comportamento não-linear
Solução das eq. de equilíbrio dinâmico - Integração numérica em tempo e/ousobreposição modal
Solução do sistema governativo por métodos iterativos - Gauss-Seidel, método dosgradientes conjugados, Newton-Raphson, . . .
Arredondamentos - Precisão da máquina
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 167 / 183
Fontes de erros na análiseDistorção da malha
a
L L
pδ
L
a/L [m] 0.00 0.25 0.5 0.75 1.00δ/δ0 1.000 0.897 0.749 0.644 0.551
Na prática, sendo usadas malhas com número relativamente reduzido de elementos e sendo poucohabitual fazer estudos extensos sobre a convergência da solução, recomenda-se o uso de malhasnão-distorcidas e/ou de elementos poucos sensíveis a distorção.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 168 / 183
Método dos elementos finitosConvergência da solução
A convergência da solução numérica implica que, com o refinamento da malha, todas as condiçõescinemáticas, estáticas e constitutivas contidas no modelo matemático utilizado ficam satisfeitas.
Quando os elementos finitos são completos (as funções de aproximação dos deslocamentos podemrepresentar deslocamentos de corpo rígido) e tanto os elementos como a malha são compatíveis(deslocamentos contínuos) a convergência fica monotónica.
Quando possível, recomenda-se o uso da energia de deformação como grandeza para o estudo daconvergência da solução.
U =1
2
∫
Vσ
Tε dV = · · · = 1
2UTKU
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 169 / 183
Método dos elementos finitosConvergência da solução
6L
L p
A
Elem.(g.d.l.) 12 (28) 46 (76) 188 (246) 836 (950) 352∗ (1550)
δAv 0.288 0.631 0.874 0.970 1.000
σAx 0.000 1.802 1.366 1.025 1.000
σAy -0.859 0.248 0.657 0.977 1.000
σAxy 2.066 1.802 1.366 1.025 1.000
∗ elementos triangulares com 6 nós
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 170 / 183
Trabalhos práticos
Trabalho No1: Barras
Trabalho No2: Estado plano de tensão
Trabalho No3: Singularidades
Trabalho No4: Lajes
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 171 / 183
Trabalho No1: Barras
Considere a bara de homogénea de secção variável representada, sujeita às condições de fronteirae ao carregamento indicado. Determine os deslocamentos axiais e o esforço normal ao longo dabarra utilizando uma formulação:
diferencial (solução analítica);
em resíduos ponderados (o método de Galerkin);
diferenças finitas;
elementos finitos (elementos de barra com 2 nós).
Compare e comente as soluções obtidas.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 172 / 183
Trabalho No1: Barras
22A = (3−y/40) cm22A = (1+x/50) cm
R = 100 N
A B C
yx
80 cm100 cm
u
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 173 / 183
Trabalho No2: Estado plano de tensão
Estime os deslocamentos e o estado de tensão dos pontos A, B, C , D, E e F da consolacurta representada sujeita a uma carga concentrada P na extremidade. Considere uma espessuraconstante t = 0.1 m, um módulo de elasticidade constante e um coeficiente de Poisson ν = 0.3.Admite o estado plano de tensão e utilize:
uma malha de elementos finitos triangulares com 3 nós;
uma malha de elementos finitos rectangulares com 4 nós;
Apresente a deformada da estrutura para os dois casos considerados. Compare e comente assoluções obtidas.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 174 / 183
Trabalho No2: Estado plano de tensão
3 m5 m
A B
F
E
D
C
1 m
3 m
2 m
P
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 175 / 183
Trabalho No3: Singularidades
Considere as seguintes placas planas homogéneas, de espessura e módulo de elasticidadeconstantes, unitários e coeficiente de Poisson ν = 0.1, sujeitas ao carregamento indicado.Admitindo o estado plano de tensão, utilize os programas Gid + Calsef para estudar, em cada umdos casos, a convergência da solução. Apresente as malhas de elementos finitos utilizadas. Emseguida, analise cada uma das placas utilizando a melhor malha para deteminar:
o estado de tensão no ponto P;
a distribuição de tensões normais e tangenciais ao longo da fronteira estática e cinemáticada placa;
o campo de deslocamentos.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 176 / 183
Trabalho No3: Singularidades
P0.1
0.1
q=1
1
1
1
1
Q=1
1P 0.3
1.51.5
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 177 / 183
Trabalho No4: Lajes
O comportamento estrutural das lajes depende dos seguintes factores:
- tipo de apoios e cargas (condições de fronteira)
- relação entre os vãos (condiciona a direcção de flexão dominante)
- comportamento mecânico do material
- relação da espessura com o menor dos vãos (condiciona o tipo do modelo de análise)
lajes finas (Kirchhoff) - espessura/vão ≤ 1/5 (1/10), deslocamentotransversal máximo/espessura ≤ 1/5 (1/10)lajes espessas (Reissner-Mindlin)
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 178 / 183
Trabalho No4: Lajes
Hipóteses simplificativas:
- linearidade física - material com comportamento elástico linear
- linearidade geométrica - pequenos deslocamentos e pequenas deformações
- homogeneidade e isotropia do material
Admita-se ainda que:
- fibras rectas normais ao plano médio da laje permanecem rectas após a deformação
- fibras rectas normais ao plano médio da laje são inextensíveis
- fibras rectas normais ao plano médio da laje permanecem rectas após a deformação eperpendiculares ao plano médio - Kirchhoff
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 179 / 183
Trabalho No4: Lajes
Laje de Kirchhoff
∇4w(x , y) =q(x , y)
Df
Df =Eh3
12(1 − ν2)
Df - rigidez à flexão do elemento de laje
θ (x,y)x
θ (x,y)y
x
y
z
w(x,y)
Campos de deslocamentos
vy
vx
vx
vy
mx
mx
mxy
mxy
mxy
my
mxy
my
x
y
Campos de esforços
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 180 / 183
Trabalho No4: Lajes
Considere a seguinte laje em betão armado, simplesmente apoiada nos pilares e nas paredesresistentes representadas. Admitindo que o único carregamento é o peso próprio, apresente:
- o campo dos deslocamentos;
- os campos dos esforços (Mx , My , Mxy , Vx , Vy );
- os diagramas de momentos segundo as linhas de corte AA, BB e EE .
Repita a análise admitindo na análise que a secção transversal dos pilares e das paredes édesprezável. Compare e comente os resultados obtidos nas duas análises.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 181 / 183
Trabalho No4: Lajes
1.00 6.00 6.00 6.00 1.00
P2(.40 x .40)
P3(.60 x .40)
P5(.60 x .40)
P7(.60 x .40)
P10(.60 x .40)
P9(.40 x .60)
P8(.40 x .60)
P6(.40 x .60)
P4(.40 x .60)
P1(.40 x .40)
.40.40 3.80
2.60
.40
.40
1.00
3.00
6.00
0.60
3.60
.405.
00.2
0
5.00
.20
e=0.22 m
A
B
D E F G
C C
B
A
D E F G
Betão Armado (Unidades: N,m,rad)
Carga = peso específico = 25000Poisson = 0.2Módulo de elasticidade = 3.00E10
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 182 / 183
Anexo: FAQ - Maxima
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 183 / 183
Recommended