Metodos de integracion por partes

METODOS DE INTEGRACION:

*POR PARTES*

CALCULO INTEGRAL

𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢

ESTA EXPRESION SE LE DENOMINA FORMULA DE INTEGRACIO POR PARTES

CUANDO NO SE PUEDE INTEGRAR DIRECTAMENTE 𝑢 𝑑𝑣, LA FORMULA DE

INTEGRACION POR PARTES HACE QUE SU INTEGRACION DEPENDA DE 𝑑𝑣 Y 𝑢 𝑑𝑣,

QUE SUELEN SER FORMAS FACILES Y POSIBLES DE INTEGRACION.

PARA APLICAR ESTA FORMULA, ES NECESARIO DESCOMPONER LA DIFERENCIAL

DADA EN DOS FACTORES, ES DECIR, EN 𝑢 Y 𝑑𝑣. AUNQUE NO EXISTEN

INSTRUCCIONES GENERALES QUE FACILITEN LA ELECCION DE DICHOS

FACTORES, SE RECOMIENDA LOS SIGUIENTES PASOS PARA ESCOGER LOS

FACTORES 𝑢 𝑑𝑣.

1. dx ES SIEMPRE UNA PARTE DE dv

2. DEBE SER POSIBLE INTEGRAR dv

3. CUANDO LA EXPRESION PARA INTEGRAR ES EL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES, LO

MEJOR ES SELECCIONAR LA DE APARIENCIA MAS COMPLEJA, CON TAL QUE PUEDA

INTEGRARSE, COMO PARTE DE dv

PARA ELLO SE OBTENDRA LO SIGUIENTE:

I L A T E

𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

SOLUCION:

POR LA PALABRA ILATE VEMOS QUE “A” (ARITMETICA) VA ANTES DE LA “T”

(TRIGONOMETRICA), POR LO TANTO SE LE COSIDERARÁ A x COMO u Y A

cosxdx COMO dv:

𝑢 = 𝑥 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

DE ACUERDO CON LA FORMULA:

𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢

SUSTITUYENDO VALORES, SE OBTIENE LO SIGUIENTE:

𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

AHORA TENEMOS ESTA INTEGRAL:

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

EN DONDE SE TIENE QUE INTEGRAR, CUYO RESULTADO ES:

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥

Y VOLVIENDO CON EL DESARROLLO:

𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − − cos 𝑥 + 𝐶

= 𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶

Y POR LO TANTO EL RESULTADO FINAL ES:

𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶

𝑧𝑛 ln 𝑥 𝑑𝑥

SOLUCION:

POR ILATE VEMOS QUE “L” (LOGARITMICA) ES PRIMERO QUE “E”

(EXPONENCIAL) ASI QUE, DEBEMOS DE TENER EN CUENTA LOS SIGUIENTES

DATOS:

𝑢 = ln 𝑧 𝑑𝑣 = 𝑧𝑛 𝑑𝑧

𝑑𝑢 =𝑑𝑧

𝑧 𝑑𝑣 = 𝑧𝑛 𝑑𝑧

𝑣 =𝑧𝑛+1

𝑛 + 1

Y SUSTITUIMOS LOS SIGUIENTES DATOS:

𝑧𝑛 ln 𝑧 𝑑𝑧 = ln 𝑧𝑧𝑛+1

𝑛 + 1−

𝑧𝑛+1

𝑛 + 1

𝑑𝑧

𝑧= ln 𝑧

𝑧𝑛+1

𝑛 + 1−

1

𝑛 + 1 𝑧𝑛+1

𝑑𝑧

𝑧

= ln 𝑧𝑧𝑛+1

𝑛 + 1−

1

𝑛 + 1 𝑧𝑛+1 𝑧−1 𝑑𝑧 = ln 𝑧

𝑧𝑛+1

𝑛 + 1−

1

𝑛 + 1 𝑧𝑛+1−1 𝑑𝑧

= ln 𝑧𝑧𝑛+1

𝑛 + 1−

1

𝑛 + 1 𝑧𝑛 𝑑𝑧 = ln 𝑧

𝑧𝑛+1

𝑛 + 1−

1

𝑛 + 1

𝑧𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶

= ln 𝑧𝑧𝑛+1

𝑛 + 1−

𝑧𝑛+1

𝑛 + 1 2+ 𝐶

=𝑧𝑛+1

𝑛 + 1ln 𝑧 −

1

𝑛 + 1+ 𝐶

ASI QUE POR LO TANTO:

𝑧𝑛 ln 𝑧 𝑑𝑧 =𝑧𝑛+1

𝑛 + 1ln 𝑧 −

1

𝑛 + 1+ 𝐶

𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 𝑑𝑥

COMO NO HAY OTRO PRODUCTO MAS DE DOS FUNCIONES MAS QUE dx, POR

ILATE, TENDREMOS A “arctanx” COMO u Y “dx” COMO dv. OBTENGAMOS LOS

SIGUIENTES DATOS:

𝑢 = 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

𝑑𝑢 =𝑑𝑥

1 + 𝑥2 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

𝑣 = 𝑥

Y CONTINAMOS CON SUSTITUIR VALORES:

𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 𝑑𝑥 = arctan 𝑥 𝑥 − 𝑥𝑑𝑥

1 + 𝑥2= 𝑥 arctan 𝑥 − 𝑥

𝑑𝑥

1 + 𝑥2

PARA FINALIZAR SOLO RESOLVEREMOS LA INTEGRAL:

𝑥𝑑𝑥

1 + 𝑥2

𝑢 = 1 + 𝑥2

𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

𝑥𝑑𝑥

1 + 𝑥2=1

2 2𝑥𝑑𝑥

1 + 𝑥2=1

2ln 1 + 𝑥2 + 𝐶 = ln 1 + 𝑥2

VOLVIENDO AL DESARROLLO:

𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 arctan𝑥 − 𝑥𝑑𝑥

1 + 𝑥2= 𝑥 arctan 𝑥 − ln 1 + 𝑥2 + 𝐶

POR LO TANTO, EL RESULTADO FINAL ES:

𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 arctan𝑥 − ln 1 + 𝑥2 + 𝐶

𝑥2𝑎𝑏𝑥 𝑑𝑥

SOLUCION:

TENEMOS QUE HAY UNA ARITMETICA (𝑥2) Y UNA EXPONENCIAL (𝑎𝑥) Y POR

ILATE, “A” ES PRIMERO QUE “E”, ASI QUE,OBTENGAMOS LOS DATOS SIGUIENTES:

𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑣 = 𝑎𝑏𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑎𝑏𝑥 𝑑𝑥 =1

𝑏 𝑎𝑏𝑥 𝑏 𝑑𝑥

𝑣 =𝑎𝑏𝑥

𝑏 ln 𝑎

Y COMENZAMOS CON SUSTITUIR LOS VALORES:

𝑥2𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎−

𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎2𝑥 𝑑𝑥 =

𝑥2𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎−

𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎2𝑥 𝑑𝑥

PARA CONTINUAR, NECESITAMOS RESOLVER LA INTEGRAL:

𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎2𝑥 𝑑𝑥 =

1

𝑏

𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎2𝑏𝑥 𝑑𝑥 =

2

𝑏(ln 𝑎 𝑎𝑏𝑥 𝑥 𝑑𝑥

2

𝑏 ln 𝑎 𝑎𝑏𝑥 𝑥 𝑑𝑥

PERO DA EL CASO DE QUE NUEVAMENTE HAY QUE REALIZAR LA INTEGRACION

POR PARTES DEBIDO A QUE HAY UN PRODUCTO DE FUNCIONES. OBTENGAMOS

LOS SIGUIENTE DATOS:

𝑢 = 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑎𝑏𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑎𝑏𝑥 𝑑𝑥 =1

𝑏 𝑎𝑏𝑥 𝑏 𝑑𝑥

𝑣 =𝑎𝑏𝑥

𝑏 ln 𝑎

Y CONTINUAMOS CON NUEVAMENTE SUSTITUYENDO DATOS:

2

𝑏(ln 𝑎) 𝑎𝑏𝑥 𝑥 𝑑𝑥 =

2

𝑏(ln 𝑎)𝑥

𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎)−

𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎)𝑑𝑥

=2

𝑏(ln 𝑎)

𝑥𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑥)−

𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎)𝑑𝑥 =

2

𝑏(ln 𝑎)

𝑥𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎)−

1

𝑏(ln 𝑎) 𝑎𝑏𝑥𝑑𝑥

AHORA NOS ENCARGAMOS DE RESOLVER LA SIGUIENTE INTEGRAL:

𝑎𝑏𝑥𝑑𝑥

𝑢 = 𝑏𝑥𝑑𝑢 = 𝑏𝑑𝑥

𝑎𝑏𝑥𝑑𝑥 =1

𝑏 𝑎𝑏𝑥 𝑏𝑑𝑥 =

1

𝑏

𝑎𝑏𝑥

ln 𝑎=

𝑎𝑏𝑥

𝑏 ln 𝑎

Y VOLVEMOS:

2

𝑏(ln 𝑎)

𝑥𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎)−

1

𝑏(ln 𝑎) 𝑎𝑏𝑥𝑑𝑥 =

2

𝑏(ln 𝑎)

𝑥𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎)−

1

𝑏(ln 𝑎)

𝑎𝑏𝑥

𝑏 ln 𝑎

=2𝑥𝑎𝑏𝑥

𝑏2 ln 𝑎 2 −2

𝑏2 ln 𝑎 2

𝑎𝑏𝑥

𝑏2 ln 𝑎=

2𝑥𝑎𝑏𝑥

𝑏2 ln 𝑎 2 −2𝑎𝑏𝑥

𝑏3 ln 𝑎 3 =2𝑥𝑎𝑏𝑥

𝑏2 ln 𝑎 2 −2𝑎𝑏𝑥

𝑏3 ln 𝑎 3

Y REGRESANDO AL DESARROLLO:

𝑥2𝑎𝑥 𝑑𝑥 =𝑥2𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎)−

𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎)2𝑥 𝑑𝑥 =

𝑥2𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎)−

2𝑥𝑎𝑏𝑥

𝑏2 ln 𝑎 2 −2𝑎𝑏𝑥

𝑏3 ln 𝑎 3 + 𝐶

=𝑥2𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎)−2𝑥𝑎𝑏𝑥

𝑏2 ln 𝑎 2 +2𝑎𝑏𝑥

𝑏3 ln 𝑎 3 + 𝐶 =𝑎𝑏𝑥

𝑏 ln 𝑎𝑥2 −

2𝑥

𝑏 ln 𝑎+

2

𝑏2 ln 𝑎 2 + 𝐶

Y COMO RESULTADO FINAL OBTENEMOS:

𝑥2𝑎𝑏𝑥 𝑑𝑥 =𝑥2𝑎𝑏𝑥

𝑏(ln 𝑎)−2𝑥𝑎𝑏𝑥

𝑏2 ln 𝑎 2 +2𝑎𝑏𝑥

𝑏3 ln 𝑎 3 + 𝐶 =𝑎𝑏𝑥

𝑏 ln 𝑎𝑥2 −

2𝑥

𝑏 ln 𝑎+

2

𝑏2 ln 𝑎 2 + 𝐶

𝑒𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥

POR ILATE, TENEMOS UNA TRIGONOMETRICA Y UN EXPONENCIAL, ASI QUE, “T”

ES PRIMERO QUE “E”, POR LO TANTO, SE OBTIENE LOS DATOS SIGUIENTES:

𝑢 = cos 5𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑢 = −5 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = 𝑒𝑥

AHORA EMPEZAMOS CON SUSTITUIR LOS VALORES A LA FORMULA DE

INTEGRACION POR PARTES:

𝑒𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥 = cos 5𝑥 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 −5 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥cos 5𝑥 + 5 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥

PARA AVANZA NECESITAMOS RESOLVER LA INTEGRAL SIGUIENTE Y PARA ELLO

SE RESOLVERA NUEVAMENTE CON INTEGRACION POR PARTES

5 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = sen 5𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 5 𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = 𝑒𝑥

5 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥 = 5 sen 5𝑥 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 5 𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑑𝑥 = 5 𝑒𝑥 sen 5𝑥 − 5 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑑𝑥

= 5𝑒𝑥 sen 5𝑥 − 25 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑑𝑥

DEBIDO A QUE ESTA INTEGRAL NO TIENE FIN, SE REALIZARA LO SIGUIENTE:

𝑒𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥cos 5𝑥 + 5 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥cos 5𝑥 + 5𝑒𝑥 sen 5𝑥 − 25 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑑𝑥

𝑒𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥cos 5𝑥 + 5𝑒𝑥 sen 5𝑥 − 25 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑑𝑥

𝑒𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥 + 25 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥cos 5𝑥 + 5𝑒𝑥 sen 5𝑥

26 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥cos 5𝑥 + 5𝑒𝑥 sen 5𝑥

𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑑𝑥 =1

26𝑒𝑥cos 5𝑥 + 5𝑒𝑥 sen 5𝑥 + 𝐶 =

𝑒𝑥

26cos 5𝑥 + 5 sen 5𝑥 + 𝐶

ASI QUE EL RESULTADO FINAL DEFINITIVO ES:

𝑒𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥 =1

26𝑒𝑥cos 5𝑥 + 5𝑒𝑥 sen 5𝑥 + 𝐶 =

𝑒𝑥

26cos 5𝑥 + 5 sen 5𝑥 + 𝐶

BIBLIOGRAFIAS

https://sites.google.com/site/12c2a13salazarcahmed/2-integrales-1/2-2-

integrales-por-partes

Garza Olvera, Benjamín, Cálculo Integral, Matemáticas V, DGETI, 1ra

Edición, págs. 388

W. SWOKOWSKI, Earl, Cálculo con Geometría Analítica, 2da. Edición,

Panamericana, Colombia, 1989, 1097 págs