View
59
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Metody rozwi ązywania układów równań nie liniowych. Ogólne sformułowanie procesu iteracyjnego. Twierdzenie o punkcie stałym dla układów równań nieliniowych. Niech D Í D f będzie obszarem domkniętym i ograniczonym w R n i niech f ( x ) Î D dla wszystkich x Î D odzworowuje D na siebie. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Metody rozwiązywania układów równań nieliniowych
0,,,
0,,,
0,,,
21
212
211
nn
n
n
xxxf
xxxf
xxxf
0xf
Ogólne sformułowanie procesu iteracyjnego
)()1(
21
212
211
,,,
,,,
,,,
pp
nn
n
n
xxxx
xxxx
xxxx
xx
xx
Twierdzenie o punkcie stałym dla układów równań nieliniowych
Niech DD będzie obszarem domkniętym i ograniczonym w Rn i niech (x)D dla wszystkich xD odzworowuje D na siebie.
Jeżeli istnieje taka stała 0 L <1 i norma wektorowa |||| taka, że dla każdego x, x’D jest spełniony warunek Lipschitza ||(x)-(x’)|| L||x-x’||, wtedy:
1. Istnieje dokładnie jeden punkt stały x* w D.
2. Proces iteracyjny jest zbieżny do punktu x* dla każdego przybliżenia początkowego x(0).
3. Słuszne są następujące oszacowania błędów:
)1()()(
)0()1()(
1*
1*
ppp
pp
L
LL
L
xxxx
xxxx oszacowanie aprioryczne
oszacowanie aposterioryczne
Normy wektorów
nni
i
m
ii
m
ii
nm
i
n
in
x
x
x
xx
xx
x
xx
limmax1
1
1
2
2
1
1
n-norma
2-norma (norma euklidesowa)
1-norma
norma maksimum
n
nnn
n
n
nknik
i
xxx
xxx
xxx
x
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
,...,2,1,...,2,1
J
Macierz Jacobiego w szacowaniu zbieżności
1max
1max1max
1
2
2/1
1 1
2
,...,2,12
11
,...,2,111
,...,2,1
Lx
Lx
Lx
L
n
i
n
k k
i
Dxni
n
i k
i
Dxnk
n
k k
i
Dxni
xJ
xJ
xJ
J
Rząd zbieżności
Proces iteracyjny ma rząd zbieżności r jeżeli istnieje taka stała 0 M , że
M
xx
xxrp
p
p
*1
*
lim
Metoda Newtona - wyprowadzenie
0,,,,,,
0,,,,,,
0,,,,,,
0*02
*2
2
01
*1
1
002
01
**2
*1
0*202
*2
2
201
*1
1
2002
012
**2
*12
0*102
*2
2
101
*1
1
1002
011
**2
*11
nnn
nnnnnnn
nnn
nn
nnn
nn
xxx
fxx
x
fxx
x
fxxxfxxxf
xxx
fxx
x
fxx
x
fxxxfxxxf
xxx
fxx
x
fxx
x
fxxxfxxxf
)()1()(
)()(2
)(1
)()(2
2
)(1
1
)()(2
)(12
)(2)(2
2
2)(1
1
2
)()(2
)(11
)(1)(2
2
1)(1
1
1
,,,
,,,
,,,
pi
pi
pi
pn
ppn
pn
n
npnpn
pn
pppn
n
pp
pn
pppn
n
pp
xxx
xxxfxx
fx
x
fx
x
f
xxxfxx
fx
x
fx
x
f
xxxfxx
fx
x
fx
x
f
Formuła iteracyjna wielowymiarowej metody Newtona
Metoda Newtona
xfxJxx 1 f
1. Przyjąć przybliżenie początkowe x(0)
2. W p-tej iteracji obliczyć macierz Jacobiego Jf(x(p)).3. Rozwiązać układ równań na x(p).
Jf(x(p))x(p)=-f(x(p)).4. Obliczyć x(p+1)=x(p)+x(p).5. Jeżeli ||x(p+1)||< lub ||f(x(p+1))||< lub przekroczono największą
dopuszczalną liczbę iteracji proces iteracyjny kończy się, w przeciwnym wypadku zwiększyć licznik iteracji o 1 i przejść do punktu 2.
Rząd zbieżności metody Newtona wynosi 2 jeżeli macierz Jacobiego w punkcie odpowiadającym rozwiązaniu układu jest nieosobliwa:
||x(p+1)-x*||<M||x(p)-x*||2
Tłumiona metoda Newtona
W punkcie 4 podstawiamy
x(p+1)=x(p)+2-kx(p)
gdzie k jest najmniejszą liczbą całkowitą taką, że
||f(x(p+1)||<||f(x(p))||
Inne modyfikacje metody Newtona:
1. Dla oszczędności czasu można macierz Jacobiego liczyć nie w każdym kroku ale co parę kroków.
2. Pochodne można przybliżać symetrycznymi ilorazami różnicowymi
Metoda siecznych dla układów równań nieliniowych
Macierz Jacobiego przybliżamy macierzą ilorazów różnicowych liczonych pomiędzy iteracją p a p-1.
)()()1(
)()()1()(
)1()()1(2
)(2
)1(1
)(1
)1()(
)()1()(1
)()()(1)1()(
)1()(
,
,,,,,,,
,,,,,,,,1
,
ppp
pppp
pn
pn
pppppp
pn
pj
ppn
pj
ppj
pj
pj
pj
xxxxxx
xxxxxxxx
xx
xxx
xfxxxDf
fffxxDf
fff
Metoda największego spadku
xfxJ
x
x
x
xx
x
x
xfxJxfxJ
xfxx
x
xxx
xfxx
T
n
T
T
n
ii
Q
Q
Q
Q
Q
fQ
22
1
2
2
2
22
2
2
21
2
1. Wybieramy punkt startowy x0. Obliczamy d0=-g0=-JTf(0). Jeżeli g0=0 procedura jest zakończona.
2. W kroku k=0,1,…,n-1 obliczamy
kTk
kTk
Jdd
gdk
Wstawiamy xk+1=xk+kdk
Wstawiamy gk+1=gk+kJdk. Jeżeli ||gk+|||< kończymy proces, w przeciwnym wypadku wstawiamy
kTk
kT1k
Jdd
Jdg k
a następnie wstawiamy dk+1=-gk+1+kdk
Metoda sprzężonych gradientów
Zastosowanie metody Newtona do obliczania stężeń równowagowych w układach wieloskładnikowych
Przykład: równowagi ustalające się w amoniakalnym roztworze soli srebra
4
23343
233
43334
33233
3231233
NHH
NHAg2NHAgNHNH
NHAgNHAgAg
NHln-NHlnHlnlnHNHNH
NHlnAglnNHAglnlnNHAgNHAg
NHln2AglnNHAglnlnNHAgNH2Ag
3
H
NH
Ag
T
T
T
K
K
K
6 niewiadomych (stężeń równowagowych)
6 równań
TQC
0AQlnKAlnC
Q
A
T
)(
34323
34323
100100
001112
010011
HAgNHNHNHAgNHAg
101100
011010
012001
HAgNHNHNHAgNHAg
mnm
Algebraiczny zapis równowag chemicznych i bilansu masy.
Obliczanie macierzy Q na podstawie macierzy A.
komponenty
mnmn
kompleksy
TRL
komponenty
Rmnm
kompleksy
Lmm
)()(
1
)(
IAAQ
AAA
Sposób pierwszy: rozwiązujemy układ równań na stężenia(Alcock, R.M., Hartley, F.R. & Rogers, D.E. J. Chem. Soc. Dalton Trans. 115, 1978)
nmnmnmn
n
n
n
mnmm
n
n
n
n
n
kjjmnmn
n
kjj
n
kjj
n
kjmjm
n
kjj
n
kjj
qqq
qqq
qqqC
a
C
a
C
a
C
a
C
a
C
aC
a
C
a
C
a
CqT
CqT
CqT
CaK
CaK
CaK
,2,1,
22221
11211
2
2
1
1
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
1,
122
111
1
122
111
lnln
lnln
lnln
)(
fJ0Cf
n
p
p
p
(p)ppp
C
C
0
0
lnln
1
)(
)(1
)(
1)()()1(
C
CQCT
CAK
Q
ACC
jest dobierane tak aby nowe stężenia były dodatnie.
Sposób 2: wyrażamy zmiany stężeń w wyniku reakcji przez postęp reakcji.
TQCεQAQCεACQQC
εACC
A
0T0T0
T0
30
HH
210
AgAg
3210NHNH
30
NHNH
20
NHAgNHAg
10
NHAgNHAg
34323
2
101100
011010
012001
HAgNHNHNHAgNHAg
33
44
33
2323
CC
CC
CC
CC
CC
CC Zależności po lewej można uzyskać w czysto formalny sposób. Ponieważ macierz stechiometryczna A jest ortogonalna do macierzy bilansu Q, wartość wyrażenia QC nie zmieni się, jeżeli dodamy do stężeń niej dowolną liniową kombinację wierszy macierzy A.
n
k k
mkn
k k
kmkn
k k
kmk
n
k k
mkkn
k k
kn
k k
kk
n
k k
mkkn
k k
kkn
k k
k
n
i
m
jjjiimim
n
i
m
jjjiii
n
i
m
jjjiii
C
a
C
aa
C
aa
C
aa
C
a
C
aaC
aa
C
aa
C
a
aCaK
aCaK
aCaK
1
2
1
2
1
1
1
2
1
22
1
12
1
1
1
21
1
21
1 1
)0(
1 1
)0(22
1 1
)0(11
lnln
lnln
lnln
fJ
εf
)(1)()(
)()()1(
lnln ppp
ppp
CAKAAΔε
ΔεACCT1
T
C
jest dobierane tak aby nowe stężenia były dodatnie.
Przybliżeniem początkowym jest jakikolwiek zestaw dodatnich stężeń spełniających równania bilansu masy.
Przykład: równowagi w roztworze nad osadem siarczku żelaza (II).
log (stezenie)H+ OH- Fe2+ FeOH+
log(stezenie)S2- HS- H2S
Numer iteracji
Numer iteracji
Sposób 3: zmiany logarytmów stężeń wyrażamy poprzez parametry związane z równaniami bilansu masy
τQCC
0AQ
KCA
T*
T
lnln
lnln
Jeżeli macierz Q można podzielić na (n-m)x(n-m)-wymiarową część jednostkową odpowiadającą komponentom i pozostałą odpowiadającą kompleksom to parametry mają sens zmian potencjałów chemicznych komponentów podzielonych przez RT.
n
kkkmn
n
kkkkmn
n
kkkkmn
n
kkkmnk
n
kkk
n
kkkk
n
kkkmnk
n
kkkk
n
kkk
n
i
mn
jjjiiimnmn
n
i
mn
jjjiii
n
i
mn
jjjiii
CqCqqCqq
CqqCqCqq
CqqCqqCq
qCqT
qCqT
qCqT
1
2,
1,2,
1,1,
1,2
1
22
112
1,1
121
1
21
1 1
*,
1 1
*22
1 1
*11
lnexp
lnexp
lnexp
fJ
f
)(1)(
1
)()()()1( ,,2,1,exp
pT(p)p
mn
k
pkki
ppi
pi mniqCC
QCTQQ
C
jest dobierane tak aby zmiany stężeń nie były niefizycznie duże.
Przybliżeniem początkowym jest jakikolwiek zestaw stężeń spełniających równania na stałe równowag.
Recommended