UKŁADY RÓWNAŃ - imio.polsl.pl · PDF file4 Układy równań liniowych Założenie: Układ równań jest oznaczony, (tzn. posiada jedno rozwiązanie) Macierz główna układu równań

UKADY RWNA LINIOWYCH
- Metody dokadne

2
Ukady rwna liniowych
Rozpatruje si ukad n rwna liniowych zawierajcych n
niewiadomych:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
.............................................
...
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
ktry mona zapisa w postaci macierzowej:
=A X B

3
gdzie:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...................
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
A
1
2
n
x
x
x
X
1
2
n
b
b
b
B
A macierz gwna ukadu
X wektor niewiadomych
B wektor wyrazw wolnych

4
Zaoenie:
Ukad rwna jest oznaczony, (tzn. posiada jedno rozwizanie)
Macierz gwna ukadu rwna A nie jest osobliwa (wyznacznik
tej macierzy jest rny od zera)

Zastosowanie macierzy odwrotnej

6
Zastosowanie macierzy odwrotnej
Ukad rwna:
A X B
Mona rozwiza obliczajc macierz odwrotn do macierzy gwnej ukadu:
1 X A B

Ukad rwna, w ktrym tylko
gwna przektna macierzy A
ma elementy niezerowe

8
Ukad rwna z niezerow gwn przektn macierzy A
11 1 1
22 2 2
nn n n
a x b
a x b
a x b
Algorytm:
, 0, 1,2,...,ii iiii
bx a i n
a

Trjktny ukad rwna

10
Trjktny ukad rwna
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
...
...
...
n n
n n
nn n n
a x a x a x b
a x a x b
a x b

11
Trjktny ukad rwna
Algorytm:
nn
nn
bx
a
1 , 1, 2,...,1
n
i is s
s ii
ii
b a x
x i n na
Przy spenionym warunku:
0, 1,2,...,iia i n

12
Trjktny ukad rwna
Przykad
Rozwiza trjktny ukad rwna:
1
2
3
4 1 3 2
15 1 10
4 4 2
1 80 0
3 3
x
x
x

13
Trjktny ukad rwna
33
33
bx
a
8
31
3
8
2 23 32
22
b a xx
a
1 18
2 415
4
2
5
1 12 2 13 31
11
b a x a xx
a
22 1 3 8
5
4
27
5

Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa)

15
Ukad rwna liniowych zapisujemy w postaci macierzowej.
Przez W oznaczamy macierz gwn ukadu rwna, czyli:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...................
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
W
Obliczamy wyznacznik tej macierzy: W

16
Jeeli |W| 0 to obliczamy wyznaczniki macierzy pomocniczych:
1 12 1
2 22 2
2
...
...
...................
...
n
n
n n nn
b a a
b a a
b a a
W1
11 1 1
21 2 2
1
...
...
...................
...
n
n
n n nn
a b a
a b a
a b a
W2 itd..

17
Nastpnie obliczamy elementy wektora niewiadomych X:
itd.. 1x
W1
W2x
W2
W3x
W3
W

18
Przykad
Rozwiza ukad rwna metod wyznacznikow:
1
2
3
2 3 2 22
4 8 4 48
5 1 3 32
x
x
x
8 W

19
22 3 2
48 8 4
32 1 3
W1
2 22 2
4 48 4
5 32 3
W2
2 3 22
4 8 48
5 1 32
W3
24 W1
16 W2
40 W3

20
1x W1
W
24
8
3
2x W2
W
16
8
2
3x W3
W
40
8
5

Metoda Thomasa dla ukadw trjprzektniowych

22
Trjprzektniowy ukad rwna:
1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 2 3 3
1 1 1 1 1
. . .
n n n n n
n n n n
b c x d
a b c x d
a b c x d
a b c x d
a b x d
1 0a
0nc

23
Ukad mona zapisa w nastpujcy sposb:
1 1
1
, 1, 2, ... ,
0, 0
i i i i i i i
n
a x b x c x d i n
a c
(1)
Rozwizania tego ukadu rwna poszukuje si w postaci:
1i i i ix x (2)
lub inaczej zapisujc:
1 1 1i i i ix x (3)
i, i nieznane wspczynniki

24
Po podstawieniu (3) do (1) i obliczeniu xi:
11
1 1
i i i ii i
i i i i i i
c d ax x
a b a b
(4)
Z porwnania prawych stron (2) i (4):
1
ii
i i i
c
a b
1
1
i i ii
i i i
d a
a b
(5)

25
Na podstawie rwnania (1) mona wyznaczy wartoci
pocztkowe (dla i = 1):
1 1 1 2 1b x c x d 1 1
1 2
1 1
c dx x
b b (6)
Poniewa z (2) dla i = 1 wynika, e:
1 1 2 1x x (7)
wic:
1 11 1
1 1
,c d
b b (8)

26
Do ostatniego rwnania ukadu (1), czyli:
1n n n n na x b x d (9)
wstawiamy zaleno (3) (dla i = n):
1 1n n n n n n na x b x d (10)
skd otrzymujemy:
1
1
n n nn n
n n n
d ax
a b
(11)

27
Po wyznaczeniu wartoci xn kolejne niewiadome obliczamy z
rwnania (3) dla i = n1, n2, ...,1

28
Algorytm:
11
1
c
b 11
1
d
b
1
ii
i i i
c
a b
1
1
i i ii
i i i
d a
a b
2,3,...,i n
n nx
1i i i ix x 1, 2,...,1i n n

29
Przykad
Rozwiza ukad rwna metod Thomasa:
1
2
3
4
5
2 2 0 0 0 2
3 1 1 0 0 6
0 1 2 4 0 4
0 0 1 1 1 1
0 0 0 2 2 4
x
x
x
x
x

30
11
1
c
b
21
2
22
2 1 2
c
a b
1 1
3 ( 1) 1 2
33
3 2 3
c
a b
4 8
1 (1/ 2) 2 5
44
4 3 4
c
a b
1 5
1 ( 8/5) 1 3
55
5 4 5
c
a b
00
2 (5/3) 2

31
11
1
d
b
21
2
2 2 12
2 1 2
d a
a b
6 3 1 3
3 ( 1) 1 2
3 3 23
3 2 3
d a
a b
4 1 ( 3/ 2) 11
1 (1/ 2) 2 5
4 4 34
4 3 4
d a
a b
1 1 (11/5)2
1 ( 8/5) 1
5 5 45
5 4 5
d a
a b
4 2 20
2 (5/3) 2

32
5 5x 0
4 4 5 4x x 5
0 2 23
3 3 4 3x x 8 11
2 15 5
2 2 3x x 1 3
1 22 2
1 1 2 1x x 1 ( 2) 1 3

Metoda eliminacji Gaussa

34
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...................
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
A
1
2
n
b
b
b
B
Macierz gwn ukadu rwna i wektor wyrazw wolnych:
Zapisujemy w postaci macierzy C:
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
... ... ... ... ...
...
n
n
n n nn n
a a a b
a a a b
a a a b
C
11 12 1 1, 1
21 22 2 2, 1
1 2 , 1
...
...
... ... ... ... ...
...
n n
n n
n n nn n n
c c c c
c c c c
c c c c

35
Podstawowy wariant metody:
1. etap:
Przeksztacenie macierzy C w taki sposb, aby n pierwszych
kolumn tworzyo macierz trjktn.
2. etap:
Rozwizanie trjktnego ukadu rwna.

36
Jeeli c11 0
Pierwsze rwnanie mnoymy przez: 1
11
ic
c
Odejmujemy to rwnanie od kadego kolejnego, i tego
rwnania (i = 2, 3, ..., n)
Obliczone wspczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich.

37
Otrzymujemy nastpujcy ukad rwna:
11 1 12 2 13 3 1 1, 1
(1) (1) (1) (1)
22 2 23 3 2 2, 1
(1) (1) (1) (1)
32 2 33 3 3 3, 1
(1) (1) (1) (1)
2 2 3 3 , 1
...
...
...
...
...
n n n
n n n
n n n
n n nn n n n
c x c x c x c x c
c x c x c x c
c x c x c x c
c x c x c x c

38
Ukad ten odpowiada sprowadzeniu macie

Documents

UKŁADY RÓWNAŃ - imio.polsl.pl · PDF file4 Układy równań liniowych Założenie: Układ równań jest oznaczony, (tzn. posiada jedno rozwiązanie) Macierz główna układu równań