View
44
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
סמינר בגיאומטריה חישובית פרק 5 – חלק II. Milestone 2:. על מה נדבר היום:. 1. 2. 3. פאות של פאונים קמורים:. Milestone 2:. נגדיר פאה של פאון קמור P להיות P עצמו או תת קבוצה של P מהצורה באשר h הינו על-מישור אשר P מוכל כולו באחד מחצאי המרחב הסגור הנגזר מ h. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
1
Milestone 2:על מה נדבר היום:
.פאות של פאונים קמורים
.(The cyclic Polytopeהפאון המחזורי (
.תיאוריית החסם העליון
1
2
3
סמינר בגיאומטריה חישוביתII – חלק 5פרק
2
Milestone 2::פאות של פאונים קמורים
מהצורה P עצמו או תת קבוצה של P להיות P של פאון קמור פאהנגדיר1.
מוכל כולו באחד מחצאי המרחב הסגור הנגזר מ P הינו על-מישור אשר hבאשר
h.
hP
אםנקודה קיצונית לקבוצה עבור קבוצה נקרא לנקודה 2.dRX Xx
xXCONVx \
נקודה קיצונית
לא נקודה קיצונית
3
Milestone 2::פאות של פאונים קמורים
יהי פאון קמור חסום.: 1משפט
הוא הקמור של קודקודיו.P הם קודקודיו, וPאזי הנקודות הקיצוניות של
הינו קמור של מספר סופי של נקודות.Pנשים לב כי •
.Pנסמן ב את קבוצת הנקודות המינימאלית שהקמור שלה הוא •
נסמן ב את קבוצת הקודקודים המייצגים את הקמור.•
.Pנסמן ב את קבוצת הנקודות הקיצוניות של •
על מנת להוכיח את המשפט נראה שמתקיים:
נשתכנע כי בדוגמא שלנו השוויון הנ"ל •
אכן מתקיים כאשר:
dRP
v
1v 2v
3v
4v
5v
6v7v
9v
8v
mV
vV
eV
:P
evm VVV
54321 ,,,,, vvvvvvVVV evm
4
Milestone 2::פאות של פאונים קמורים
נראה .הוכחה: •
מתקיים: .Pנשים לב כי מהגדרת נקודה קיצונית לקבוצה 1.
כך ש h, אזי קיים על-מישור Pנראה : יהי קודקוד של 2.
, לכן hו נמצא באחד מחצאי המרחבים הפתוחים המוגדרים על ידי
נקודה קיצונית ולכן vהוא קמור. סה"כ אך ולפיכך
ונקבל .
לבסוף נראה ונקבל כי:3.
אם כך יהי נראה .
P קודקוד של vעל מנת להראות ש
נראה כי קיים על-מישור אשר מכיל את
P. בצד אחד ו
vh
v
1v 2v
3v
4v
5v
6v7v
9v
8v
:P
evm VVV
me VV
ev VV vVv vhP
vP \ vP \
Pv )\( vPconvveVv
ev VV
vm VV
evme VVVV 231
mVvvVv
vhP v vh
5
נסמן את הקמור ממינימאליות נאמר , ולכן 4.
h ו זרות זו לזו וניתן להעביר ביניהם על-מישור Cהקבוצות הקמורות
המפריד ביניהם.
נשים לב כי הקבוצה הינה קמורה מכיוון שהיא מהווה 5.
חיתוך של קבוצה קמורה עם חצי המרחב פתוח מ . כמו כן כל קטע
עם על-מישור .v חולק אך ורק את הנקודה
ראינו קבוצה קמורה וכן קבוצה קמורה לכן גם 6.
קבוצה קמורה.
קמורה ומכילה את היאTמכיוון ש7.
בהכרח מכילה גם את
ולכן כנדרש.
Milestone 2::פאות של פאונים קמורים
vh h
1v 2v
3v
4v
5v
6v7v
9v
8v
v
:P
C
)\( vVconvC mmVCv
vvmv hVconvhP \)(\
vhvhPxvx \|
vh
vhP \ v vhPT v )\(
mV
)( mVconvP
vhP v
6
:פאות של פאונים קמורים
.P פאה שלFיהי פאון קמור חסום ותהי : 2משפט
F ובנוסף הפאות של F הנמצאים בP הם בדיוק הקודקודים של Fאזי הקודקודים של
.F אשר מוכלות בPהם בדיוק הפאות של
dRP
P
F
h
0v 1v
3v 2v
P
F
h
G
7
:פאות של פאונים קמורים
.F הנמצאים בP הם בדיוק הקודקודים של Fתחילה נראה כי הקודקודים של •
P, ו- את קודקודי P את קבוצת הקודקודים עבור הפאון הקמור Vנסמן ב
.Fאשר ב
נשים לב כי , כמו כן בשביל לקבל נקודות על חייבים להשתמש
הנמצאים על ולכן משיקולים דומים לאלו שראינו במשפט Vרק בקודקודי
הקודם מתקיים: ולכן ממשפט קודם כל
הנקודות
.F הנמצאים בP ואלו הם בדיוק קודקודי F הם בדיוק הקודקודים של Fהקיצוניות של
P
F
h
0v 1v
3v 2v
)()( hVconvhVconvF
nvv ...0
hVconvF )(h
h
8
:פאות של פאונים קמורים
נראה כי "פאה של פאה היא פאה" ולהיפך.•
:P שהיא עצמה פאה של F, היא גם פאה של F המוכלת בP) של G פאה )נסמנה
וכן פאה של F היא פאה של Gנשתמש באותו על-מישור )ראה ) על מנת להראות ש
P .
:P , היא פאה של P) שלF) של פאה )G פאה )
F פאה של G כך ש , וכמו כן h לכן קיים על-מישור P פאה של Fמהנחה
כך ש וסה"כ נקבל .gלכן קיים על-מישור
היא גם פאה G’ ב ) נוכל לומר כי h )ראה G סביב hמצד שני אם נסובב מעט את
באשר . בסעיף הקודם ראינו כי מדובר באותם הקודקודים ולכן Pשל
הפאות שוות.
P
F
h
G
h
P
F
h g
G
hPF
gFG ghPG
I II
II
hPG
9
:הפאון המחזורי
נגדיר את העקום ב עקומת מומנט: •
כעקומת מומנט. דוגמאות:
Rtttt d :),,,( 2 dR
Rttt :),( 2 Rtttt :),,( 32
הקמור של מספר נקודות סופי (: cyclic polytope)פאון מחזורי נגדיר •
על עקומת המומנט.
10
:הפאון המחזורי
נסמן עקומת מומנט כ ב .•
חותך את עקומת המומנט ב נקודות לכל היותר.כל על-מישור : 1למה •
כמו כן אם יש נקודות חיתוך אזי לא יתכן ש משיק ל ולכן בכל נקודת חיתוך
עובר מצד אחד של לצידו השני.
נבטא את על-מישור בעזרת המשוואה , כאשר מתקייםהוכחה: •
. נשים לב כי נקודה ב היא מהצורה
הוא tואם נקודה זו נמצאת על אזי מתקיים ולכן
שורש של פולינום )שונה מאפס) מדרגה ולפי משפט קיימים לו לכל היותר
שורשים.
כמו כן אם ישנם שורשים שונים אזי כולם חייבים להיות שורשים פשוטים מהצורה:
ליד כל אחד מהשורשים הפשוטים הפולינום
מחליף סימן ולכן נוכל להסיק כי עובר מצד אחד של לצידו השני.
hd
Rtttt d :),,,( 2 dR
dh
h
hbxa ,
bxaxaxa dd 2211),,,( 2 dttt
h0221 btatata d
d
dd
d
)())(()( 21 dh ztztzttP h
11
:הפאון המחזורי
של הפאון.d-1 הינה פאה ממימד facetניזכר כי •
בלתי תלויים קודקודיםd) של tuple נקבעת בעזרת קבוצה )facetנשים לב כי כל •
אפינית.
)קשת) 1 הינה הפאה ממימד facetלמשל בדוגמה עבור ריבוע לכן ה
קודקודים.2 בעזרת קבוצה של facetוניתן לייצג כל
בפאון מחזורי. לשם כך נעזר בקריטריון facets אנו מעוניינים לעמוד את מספר ה•
.facet קודקודים מהוות dהזוגיות של גייל על מנת לקבוע אילו קבוצות של
2d
a b
d c
bafacet ,1#
dcfacet ,3#
cbfacet ,2# adfacet ,4#
12
:הפאון המחזורי
עם סידור P קבוצת קודקודים של פאון מחזורי V תהי קריטריון הזוגיות של גייל: •
ליניארי
.tלאורך עקומת המומנט כך שקודקוד גדול יותר מייצג ערך גדול יותר של הפרמטר
כך ש .P קודקודים השייכים לdתהי קבוצה של
אם ורק אם לכל שני קודקודים מספר P של facet מהווה Fאזי
המקיימים הינו זוגי.הקודקודים
VvvvF d 110 ,, 110 dvvv
FVvu \,
Fvi vvu i
u v
1v 2v0v 3v 4v
13
:הפאון המחזורי
הוכחה: •
אם ורק אם כל הנקודות facet מהווה F, אזי Fיהי על-מישור הנפרש על ידי 1.
נמצאות באותו צד של .V\Fבקבוצה
נקודות )הנקודות המייצגות את dמכיוון שעקומת המומנט חותכת את בדיוק ב2.
Fנחלקה ל (d+1. חלקים אשר כל אחד נמצא לחלוטין בצד אחד של
מוכלים כולם בקטעים האי זוגיים כגון V\Fלכן אם הקודקודים בקבוצה 3.
Fכמו בתמונה או לחילופין אם הם כולם מוכלים בקטעים הזוגיים אזי
.facetמהווה
יש מספר זוגי של V\F קודקודים ב 2הנ"ל שקול לקריטריון גייל מכיוון שבין כל 4.
. Fקודקודי
,, 31
0
1
2
3
4
5
,, 20
fh
fh
fh
d ,,0 fh
14
:הפאון המחזורי
קודקודים כאשר n עם dבפאון מחזורי ממימד facets מספר ה משפט: •
הינו:
(i( עבור d.זוגי
(ii( עבור d.אי זוגי
1dn
(iii( עבור מספר קבועd . מתקיים סדר גודל של 2/dn
15
:הפאון המחזורי
הוכחה:•
מעגלים dשווה למספר הדרכים לשבץ facetsמקריטריון גייל נסיק כי מספר ה 1.
מעגלים לבנים כך שישנו מספר זוגי של מעגלים שחורים בין כל שני n-dשחורים ו
מעגלים לבנים.
אנו נאמר כי סידור של מעגלים שחורים ולבנים הוא סידור סידור מזווג: נגדיר 2.
מזווג אם לכל קטע רציף של מעגלים שחורים יש אורך זוגי.
0
1
2
3
4
5
16
:הפאון המחזורי
הוכחה:•
n-2k מעגלים שחורים ו k2נשים לב כי מספר האפשרויות לסידורים המזווגים של 3.
מעגלים לבנים הוא .
מכיוון שעל ידי "מחיקת" כל מעגל שחור שני אנו מקבלים התאמה של "אחד על אחד"
מקומות.n-k מעגלים שחורים ב kבבחירת המיקומים של
כדורים לבנים.2 כדורים שחורים ו4. במקרה זה ישנם n=6 ו k=2נראה דוגמה עבור
בחר 4מכיוון שהסידור מזווג, מעגלים שחורים יגיעו באורך זוגי. ולכן הנ"ל יכול להיות )
2=(6 1
2
3
4
5
6
17
:הפאון המחזורי
הוכחה:•
אי זוגי מהצורה dעתה נחזור לבעיה המקורית, ונביט תחילה במקרה בו 4.
.
בסידור תקין של מעגלים אנו מחויבים לסידור מספר מעגלים שחורים אי זוגי בהתחלה
או בסוף )אך לא בשניהם).
במקרה בו מספר המעגלים השחורים הוא אי זוגי בהתחלה נמחק את המעגל •
מעגלים לבנים כמו n-1-2k מעגלים שחורים ו2kהשחור הראשון ונסדר בזיווג
מקודם: .
במקרה בו מספר המעגלים השחורים הוא אי זוגי בסוף נמחק את המעגל השחור •
האחרון ונסדר בזיווג את המעגלים הנותרים: .
אי זוגי:dסך הכל הנ"ל מבסס את הנוסחה עבור מקרה של
12 kd
18
:הפאון המחזורי
הוכחה:•
זוגי מהצורה . מספר המופעים העוקבים של מעגלים שחורים dעבור 5.
בהתחלה יכול להיות זוגי או אי זוגי.
במקרה הזוגי מתקיים סידור מזווג קלאסי כהגדרתו אשר נסכם לכדי •
אפשרויות.
במקרה האי זוגי נשים לב כי מתחייב שיישארו גם מספר אי זוגי של מעגלים •
שחורים בסוף ולכן היות ובמקרה זה המעגל הראשון והאחרון נקבעו להיות
שחורים "נמחק" אותם )היות והם מקובעים במקומם לא נספור אותם בחישוב)
מעגלים n-2k) מעגלים שחורים ו k-1)2לבסוף נקבל במקרה זה סידור מזווג של
לבנים המוסיפים לנו
אפשרויות.
זוגי נקבל: dסך הכל מסכימת האפשרויות בשני האפשרויות עבור •
אפשרויות כנדרש.
kd 2
19
:תיאוריית החסם העליון
תיאוריית החסם העליון עוסקת בתכונה ייחודית של מספר הפאות בפאון המחזורי.•
מבין כל הפאונים הקמורים ממימד עם קודקודים, משפט החסם העליון: •
הפאון המחזורי ממקסם את מספר הפאות בכל מימד.
בפרק זה אנו נראה תוצאה משעורת על סדר הגודל למספר הפאות המקסימאלי.•
לפאון קמור ממימד עם קודקודים, משפט החסם העליון האסימפטוטי:•
ולכל היותר פאות סך הכל. facetsיש לכל היותר
מתקיים סדר גודל של עבור שני הגורמים. dעבור מספר קבוע
dn
dn
12 d
2/dn
20
:תיאוריית החסם העליון
simplicialראשית נראה נכונות משפט זה עבור פאונים סימפליציאלים )•
polytope בהם כל אחד מה (facets סימפלקס מהווה.
הוא קמור של קבוצת נקודות בלתי תלויות אפינית ב .סימפלקס•
נקודות כאשר המרחקים בין d+1 הוא קמור של dממימד סימפלקס משוכלל •
נקודות זהה.2כל
אזי:d פאון סימפליציאלי ממימד Pיהי •
.I מתקיים
.II וכן
הנ"ל יוכיח את הטענה אסימפטוטית עבור פאונים סימפליציאלים מכיוון שמספר •
הפאות ממימד בהכרח קטן מ - מספר כלל קבוצות
הקודקודים.
dR
21
:תיאוריית החסם העליון
•. סימפליציאלים פאונים עבור המשפט נכונות נראה
• : מתקיים כי ניזכר
הפשוט *• הדואלי הפאון אל מתקיים. Pנעבור כי להראות עלינו
וגם .
של *• פאה לכל כי לב , Pנשים פשוט פאון של קודקוד וכל אחד קודקוד לפחות יש
מ )dממימד חלק .incidentהוא . הראשון( שוויון האי את נקבל מכאן פאות
ממימד .• הפאות מספר במונחי הקודקודים מספר את נחסום עתה
הפאון * את משותפת .Pנסובב קורדינטה תהיה לא מהקודקודים אחד שלאף כך
) אופקית) קשת שאין כך
22)1
2(1
ddd
dd
22
:תיאוריית החסם העליון
עם • קודקוד על .dנביט ממנו היוצאות מכוונות קשתות
לפחות • או מטה כלפי ממנו היוצאות קשתות לפחות יש היונים שובח עקרון לפי
. מעלה כלפי קשתות
של • קבוצה כל מעלה כלפי יוצאות מהקשתות לפחות בו במקרה
. ביותר הנמוך הקודקוד הינו עבורה ממימד פאה מהוות עולות קשתות
קשתות • של קבוצה כל מטה כלפי יוצאות מהקשתות לפחות בו במקרה
. ביותר הגבוה הקודקוד הינו עבורה ממימד פאה מהוות יורדות
עבור • דוגמה ממימד 2כאשר d=3להלן המתאימה בפאה ואכן מ עולות 2קשתות
. ביותר התחתון הקודקוד הינו
v
v
vv
v
23
:תיאוריית החסם העליון
שהקודקוד • מתקיים ממימד אחת בפאה שלפחות עתה הנמוך הראנו הוא
. ביותר הגבוה או ביותר
• , הקודקודים מספר פאה בכל ייחודיים הינם ביותר והגבוה הנמוך שהקודקוד מכיוון
ממימד . הפאות מספר מפעמיים יותר לא הוא
•. : השני השוויון האי את נקבל הכל סך
v
v
24
:תיאוריית החסם העליון
•. סימפליציאלים אינם אשר פאונים עבור העליון החסם נכונות את להראות לנו נותר
קמור :1למה • פאון סימפליציאלי dממימד Pלכל פאון כך dממימד Qקיים
שמתקיים
עבור .k=1,2….,dוגם למה • :1הוכחת
של Vתהי 1. הקודקודים . Pקבוצת ונגדיר אחד אחד הקודקודים על נעבור ויהי
:pushingפעולת הבא באופן
- הנגזר , מישור על אף על אינה אשר מ היותר לכל במרחק קודקוד נבחר
הקבוצה הקבוצה. Vמקודקודי את להיות’ .Vונגדיר
בקבוצה קודקוד כל על נעבור חדשה pushingונבצע Vכך קודקודים קבוצת נקבל
. סימפליציאני פאון המהווה
Vv
Pv
v
'\ vvVV
v
25
:תיאוריית החסם העליון
למה • :1הוכחת
פאון 2. שלכל להראות קודקודים Pעלינו קבוצת שדחיפת , Vעם כך קיים ולכל
הנוצר הפשוט בפאון הפאות מספר את מפחיתה לא .Qשל
ממימד U⊂Vתהי 3. הפאה של הקודקודים ב, k≤d-1≥ 0עבור Pשל Kקבוצת את’ Vנסמן
מ שנוצרה הקודקודים הקודקוד .Vקבוצת של ה דחיפת לאחר
ב • קודקוד הזזנו לא אזי של Uובהכרח Uאם פאה גם כי, conv(V’)מהווה נניח לכן
.
אזי • של האפיני בקמור נמצא וגם ממימד אם פאה עבור Kמהווה
conv(V’).
Vv0
v
UvUv
v
Uvv vU \ vU \
1v
v
2v
v
21,vvU
1v
2v
26
:תיאוריית החסם העליון
למה • :1הוכחת
מהווה • כי נראה של האפיני בקמור נמצא אינו אך אם
ממימד .conv(V’)עבור Kפאה
של האפיני הקמור כי לב הקומפקטית Uנשים לקבוצה .conv(V\U)זר
של האפיני הקמור גם קטן במרחק את נזיז .Uאם קטן במרחק יזוז
של הקמור המקורי ממקומו במרחק את נזיז שאם כך קיים conv(V\U)ו Uלכן
ממימד פאה מהווה ולכן לזה זה זרים לאחר conv(V’)עבור Kיישארו
של . ה דחיפת
Uvv vU \ vvUU \
v
0v
vvUU \
v
1v
v
1v
v
vvU ,1 vvU ,1v
27
:תיאוריית החסם העליון
•h vector עבור פאון קמור :P ב נגדיר h vector מהצורה
באשר
קשתות היוצאות כלפי מעלה.iהוא מספר הקודקודים אשר לכל אחד מהם יש בדיוק
בפאון פשוט מתקיים עבור הקודקוד הגבוה והנמוך ביותר בהתאמה.•
מהצורה באשר מייצג את מספר f vectorניזכר בהגדרת •
.P בiהפאות ממימד
באופן הבא:f vectorוה h vector נבקש לקשור בין ה•
כל קודקוד שנספר ב הוא הקודקוד הנמוך ביותר עבור בדיוק פאות
יש בדיוק קודקוד אחד נמוך ביותר ולכן:k, ולכל פאה ממימד kממימד
מתקיים i<kכאשר עבור
dR dhhh ,...,, 10ih
10 dhh
dfff ,...,, 10if
v
28
:תיאוריית החסם העליון
נביט בדוגמה הבאה. אנו יודעים כי בקובייה מתקיים: מס' הקודקודים•
מס' הקשתות
facets מס' ה
הקובייה עצמה
:h vectorנחשב את ה
1
2
3
4
75
68
1
6
12
8
3
2
1
0
f
f
f
f
1|1
5,3,2|3
7,6,4|3
8|1
3
2
1
0
vertexh
verticesh
verticesh
vertexh
29
:תיאוריית החסם העליון
נשתכנע כי אכן מתקיים:•
1
2
3
4
75
6 8
1
6
12
8
3
2
1
0
f
f
f
f
1
3
3
1
3
2
1
0
h
h
h
h
30
:תיאוריית החסם העליון
:h vector על מנת לשחזר את הf vector באופן דומה נוכל להיעזר ב•
1
6
12
8
3
2
1
0
f
f
f
f
1
3
3
1
3
2
1
0
h
h
h
h
1
2
3
4
75
6 8נחזור ונציב לאחור:
31
:תיאוריית החסם העליון
:ראינו כי מתקיים•
1
6
12
8
3
2
1
0
f
f
f
f
1
3
3
1
3
2
1
0
h
h
h
h
1
2
3
4
75
6 8
קיבלנו את נוסחת אוילר.
32
:תיאוריית החסם העליון
:כמו כן ראינו כי מתקיים•
1
6
12
8
3
2
1
0
f
f
f
f
1
3
3
1
3
2
1
0
h
h
h
h
1
2
3
4
75
6 8
33
:תיאוריית החסם העליון
:h vector על מנת לשחזר את הf vector ראינו אם כן כי נוכל להיעזר ב•
בחרנו כיוון מסוים אליו השוונו את h vector נשים לב כי שכאשר הגדרנו את ה•
מספר הקשתות היוצאות כלפי מעלה מכל קודקוד, אולם עתה מהנוסחה הנ"ל
והנ"ל נכון ללא קשר לכיוון f vectorבעזרת ה h vector אנו יכולים להסיק את ה
שנבחר.
.i=0,1,…,d נוכל להסיק כי לכל Pעל ידי הפיכה של •
והם כוללות את Dehn-Sommerville relationsהשוויונות הנ"ל ידועות כ •
: . 3הנוסחה הסטנדרטית של אוילר עבור פאונים ממימד
2120 fff
34
:תיאוריית החסם העליון
h בעזרת הh vector נוכל להגדיר את הPסה"כ עבור פאון סימפליציאלי •
vector של הפאון הדואלי הפשוטP:כאשר *
.h vector במונחי ה תיאוריית החסם העליוןנוכל לנסח את•
0f קודקודים מתקיים:n עם dלכל פאון סימפליציאלי ממימד
Recommended