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Este trabalho está fundamentado no desenvolvimento de uma modelagem matemática referente a um projeto de controle PID e espaço de estado na forma de alocação de polos por variável de fase, aplicado a um sistema ball and beam ou simplesmente bola e barra para utilização das teorias de sistemas de controle e multivariável, sendo um dos exemplos mais empregados.
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MODELAGEM E CONTROLE DE UM SISTEMA “BALL AND BEAM”
Guilherme Américo Rosa*
Professor Feres Azevedo Salem**
Resumo: Este trabalho está fundamentado no desenvolvimento de uma modelagem matemática referente a um projeto de controle PID e espaço de estado na forma de alocação de polos por variável de fase, aplicado a um sistema ball and beam ou simplesmente bola e barra para utilização das teorias de sistemas de controle e multivariável, sendo um dos exemplos mais empregados. O processo consiste de uma barra com seu centro fixado a um motor de corrente contínua responsável por controlar o ângulo de inclinação. Uma esfera é posta sobre a barra podendo percorre-la, o problema é equilibra-la em uma posição determinada pelo sinal de entrada (Setpoint), pois em malha aberta esse processo é instável e não linear, por que a saída do sistema representada pela posição da esfera, tende ao infinito para qualquer sinal de saída diferente da entrada. Para viabilizar o controle e deixar a planta estável, foi necessário realizar uma realimentação deixando o sistema em malha fechada e projetar um controlador PID para torná-lo estável. Os gráficos foram gerados pelo software matemático Matlab®.
Palavras - chave: Sistema bola e barra, controle PID, Espaço de estado, modelagem matemática, estabilidade.
Abstract: This paper is based on the development of a mathematical approach which refers to a project of PID control and space state in the form of allocation of poles by phase variable applied to a “ball and beam” system for further use of the theories of control systems and multivariable, being one of the most used examples. The process is made up of a beam of which center is fixed to a motor of continuous current which controls the angle of inclination. A sphere is laid under the beam in such a way that it can run through the beam; the issue is to balance it in a position which is determined by the setpoint, since in an open loop this process is unstable and non-linear, as the exit of the system represented by the position of the sphere tends to infinite for any exiting signal different from the entrance. In order to make possible the control and make the plant stable, it was necessary to provide a feedback which turned the system into a closed loop, and to project a PID controller to make it stable. The graphics were generated by the mathematical software Matlab®.
Key Words: Ball and beam system, PID control, Space state, mathematical modeling, stability
*Discente do curso de Engenharia de Controle e Automação na Unicesumar – Centro Universitário de Maringá, Maringá – PR. E-mail: guilherme079@hotmailcom.
**Orientador: Docente dos cursos de Engenharia de Controle e automação, Automação Industrial e Engenharia Elétrica do Unicesumar – Centro Universitário de Maringá, Maringá – PR. E-mail: feres_salem@hotmail.com
1
1 INTRODUÇÃO
Atualmente os sistemas de
controle são utilizados em diversos
processos dentro da indústria, na
medição de vazão, temperatura e
pressão, podendo ser empregados nos
setores automobilísticos, aéreos, de
mineração, entre outros. “O sistema de
controle consiste em subsistemas e
processos (ou plantas), construídos
com o objetivo de se obter uma saída
desejada com um desempenho
adequado, dada uma entrada
especificada” (NISE, 2012).
Um bom exemplo para a
aplicação e ensino do sistema de
controle, é o projeto barra e bola (do
inglês ball and beam), pois é um
método relativamente simples de se
entender, por empregar as técnicas de
controle. “Ele tem uma propriedade
muito importante: em malha aberta é
instável, porque a saída do sistema
(posição da bola) aumenta sem limite
para uma entrada fixa (ângulo da
barra)” (ZAVALA, YU e LI, 2008).
O problema consiste em
controlar automaticamente uma
posição pré-determinada (Setpoint) da
bola (esfera) sobre uma barra
horizontal, onde seu centro será
acoplado a um servomotor, por meio do
movimento angular é possível equilibra-
la. Com isso, “o controle é uma tarefa
difícil, porque a bola não fica em um só
lugar quando a barra é inclinada”
(ZAVALA, YU e LI, 2008).
Existem diversas técnicas a
serem aplicadas e testadas nessa
planta, por exemplo: Lógica Fuzzy, PID,
Lógica Reconfigurável, Controle Neural
Fuzzy, entre outros. Contudo, para
esse sistema barra e bola, foi aplicado
o controlador Proporcional-Integral-
Derivativo (PID), que veio de encontro
com o tema abordado, pela
possibilidade de demostrar sua ação e
a sua aplicabilidade ser mais
abrangente, o qual possui todos os
elementos necessários de um sistema
de controle, tais como: atuador, sensor,
circuito condicionador de sinal,
comparador e método de controle
(PALLONE, 2013).
Para que a planta funcione
adequadamente, se faz necessário que
seja aplicado um sistema em malha
fechada (com retroação), que consiste
na utilização de uma medida adicional
da saída real para comparar essa com
a resposta desejada. “A medida da
saída é chamada de sinal de retroação”
(DORF e BISHOP, 1998).
2
1.1 OBJETIVO GERAL
Desenvolver um controlador
para tornar o sistema estável em malha
fechada, afim de equilibrar a esfera
sobre a barra em uma posição pré-
estabelecida pelo Setpoint.
1.2 OBJETIVO ESPECÍFICO
Este projeto foi dividido em
etapas, auxiliando na execução e no
detalhamento do que foi realizado no
trabalho, para se chegar ao resultado
esperado. A seguir, é descrito as
etapas que serão cumpridas para se
desenvolver o sistema bola e barra.
1ª ETAPA: Estudos
bibliográficos, referentes ao tema
proposto, para que seja possível obter
um entendimento geral de como o
sistema funciona, além dos métodos e
softwares que serão utilizados para o
seu desenvolvimento.
2ª ETAPA: Escolha dos
equipamentos e matérias a serem
utilizados. Nesse caso um servo motor
de corrente contínua (CC), o MG995,
que é o responsável por controlar o
sistema, logo, é obrigatório que sua
velocidade de operação para o projeto
seja rápida e precisa. Em seguida, foi
necessário definir um sensor que
atenda à demanda, sendo o
responsável em informar precisamente
a posição da esfera. Depois de
algumas pesquisas, definiu-se pelo
sensor ultrassônico, HCRS04.
3ª ETAPA: Com a definição dos
materiais que serão aplicados no
projeto, foi realizado a modelagem
matemática do sistema. Para isso, foi
utilizado o software Matlab®, a fim de
definir os parâmetros do PID. Com os
valores obtidos, foram gerados gráficos
para que se possa analisar a resposta
afim de melhora-la.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 PID O algoritmo de controle
Proporcional – Integral - Derivativo
(PID), é a combinação da ação de
controle proporcional, ação de controle
integral e ação de controle derivativo, a
junção desses parâmetros formam o
PID (OGATA, 1997), o que faz a sua
aplicabilidade em sistemas de controle
ter uma grande abrangência na
indústria é a sua vasta utilização ser
associada ao seu desempenho robusto
e uma enorme gama de operações.
Assim, ele se torna o elemento
de maior importância para o sistema
proposto, pois atuará de forma
consistente para a estabilização da
bola sobre a barra. “Portanto será
possível melhorar o erro de regime
3
estacionário, a resposta transiente e a
velocidade de resposta do sistema”
(PALLONE, 2013).
Na Figura 1, pode-se observar
que o sinal de erro e(t) é utilizado como
entrada para os blocos proporcional
(Kp), integral (Ki) e derivativo (Kd), a
soma dessas três variáveis, formam o
controlador PID. Como pode ser
observado, u(t) é usado como sinal de
referência (Setpoint), Planta/Proces é o
processo do sistema e y(t) é o sinal de
saída.
2.2 ESTABILIDADE
A estabilidade é o requisito mais
importante quando queremos controlar
um processo, pois se ele for instável,
sua resposta transiente e seus erros de
estado estacionário deixam de ter
significado. “Um sistema instável não
pode ser projetado para atender uma
resposta transiente específica ou um
requisito de erro de estado
estacionário” (NISE, 2012).
Com isso, existem inúmeras
definições para estabilidade
dependendo do tipo de projeto. Esse
tópico é importantíssimo para o método
bola e barra, por ser instável em malha
aberta, sua saída é representada pela
posição da esfera que tende a infinito,
caso o ângulo de inclinação do motor
seja diferente de zero.
Assim, fazemos a retroação do
sistema, para deixa-lo com os polos na
metade esquerda do plano s, e se
possuírem uma parte real negativa, ele
será estável, isto é, “Os sistemas
estáveis possuem funções de
transferência em malha fechada com
polos apenas no semiplano da
esquerda” (NISE, 2012).
2.3 SISTEMAS EM MALHA FECHADA
Técnicas de controle com
retroação ou realimentação,
normalmente são chamados se
sistemas de controle em malha
fechada. Nesse contexto, “o sinal
atuante de erro que é a diferença entre
o sinal de entrada e o sinal de
retroação, excita o controlador de modo
a reduzir o erro e trazer o valor do sinal
de saída para o valor desejado”
(OGATA, 1997).
Na Figura 2, podemos observar
e entender melhor um sistema em
Figura 1 - Diagrama de um controlador PID
[Fonte:http://commons.wikimedia.org/wiki/File:PID_en.svg]
4
malha fechada. Para que ele seja
eficiente e exato, deve-se comparar a
saída y(t) com a referência r(t) (ou
Setpoint), a diferença entre eles nos dá
o erro e(t). O controlador utiliza o valor
do erro para calcular o sinal de controle
u(t), que por sua vez é aplicado ao
processo. Com isso é possível
monitorar o desvio entre o sinal da
saída com o de referência, tornando o
sistema preciso.
2.4 SISTEMA BALL AND BEAM (BOLA E BARRA)
A bola (esfera) é colocada sobre
uma barra (viga) e pode deslizar
livremente sobre ela. Um motor de
corrente contínua (CC) é preso ao
centro da viga, da qual a inclinação é
controlada através do movimento
angular do motor. Assim “o problema
de controle é manter a esfera em uma
determinada posição da barra. A esfera
pode ser de qualquer material
dependendo das características do
sensor utilizado para medir a sua
posição na barra” (LOBATO, CALDAS
e NETO). Na Figura 3, podemos
observar o comportamento do sistema.
2.5 TÉCNICAS DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES
O lugar geométrico das raízes,
representa graficamente os polos de
um sistema em malha fechada, em
função da alteração de um parâmetro
da planta. Esse método, pode ser
utilizado com grande vantagem em
conjunto com o critério de Routh-
Hurwitz (DORF e BISHOP, 1998).
Com a representação gráfica é
possível se observar os valores de
estabilidade, as faixas de valores de
instabilidade e as condições
responsáveis por causarem a oscilação
no sistema (NISE, 2012).
Se a planta possuir um ganho de
malha variável, a localização dos polos
depende do valor de ganho escolhido,
assim o projetista deve saber como
esses polos em malha fechada se
movem no plano s (OGATA, 1997).
Figura 2 - Sistema em malha fechada
Figura 3 - Sistema bola e barra
5
Em alguns projetos é possível
mover os polos em malha fechada do
sistema para o local desejado, dando
um valor de ganho apropriado, mas se
esse ajuste não produz um resultado
esperado é necessário adicionar um
compensador a planta (OGATA, 1997).
3 DESENVOLVIMENTO
3.1 DESENVOLVIMENTO DO PROJETO
Para a realização deste projeto,
foi necessário aplicar alguns estudos
relacionados as áreas de eletrônica,
sistemas de controle e física. Em
relação a eletrônica foram estudados,
os equipamentos que irão ser utilizados
e como serão interligados. Na física, foi
preciso aprofundar a parte de sistemas
mecânicos, para entender o
comportamento da bola sobre a barra.
Já no que diz respeito a área de
sistemas de controle, o enfoque foi
sobre a estabilidade, pois o projeto bola
e barra, consiste em um sistema
instável, então precisou utilizar técnicas
para que ele pudesse se estabilizar e
funcionar como o esperado.
Ainda, foi preciso conhecer
sobre o controle PID, por ser o mais
utilizado em processos industrias e
controle por espaço de estado, com
isso suas aplicações e suas definições
possibilitaram o entendimento de como
seria o emprego desses conceitos ao
projeto.
3.2 MÉTODO
Os procedimentos apresentados
neste trabalho, propõe-se a controlar o
sistema proporcionando uma resposta
desejada, através da modelagem do
projeto. Para isso, foi desenvolvido um
controlador no espaço de estado por
variável de fase que regula a posição
da bola ao longo da barra, por meio de
uma realimentação, alterando assim a
posição do eixo do motor. Os softwares
utilizados auxiliam nos cálculos
matemáticos e simulações gráficas da
planta.
3.2.1 Desenvolvimento do Controlador
Para a execução desse trabalho,
foi proposto um controlador PID em
cascata, aplicando-se a técnica do
lugar geométrico das raízes, um
método poderoso de análise para
projeto com estabilidade em resposta
transitória (NISE, 2012). Com isso, foi
gerado representações gráficas da
estabilidade do sistema, a partir do
software matemático Matlab®.
A Figura 1.1 do apêndice 1 mostra a representação em diagrama
de blocos do projeto bola e barra
6
aplicando a forma em cascata. Ao
utilizar o controlador PD para o laço
interno, o modelo do servomotor
continua sendo um sistema de segunda
ordem.
O laço interno do controlador
PD, C1(s), deve ser elaborado de modo
que o ângulo da engrenagem (∅l) possa
deslocar-se juntamente com o sinal de
referência (∅ref) que vem do
potenciômetro, portanto é projetado
primeiro. O laço externo é o controlador
de espaço de estado por variável de
fase, C2(s), que monitora a posição da
bola e barra utilizando a realimentação
interna (RAHMAT, WAHID e WAHAB,
2010).
3.2.2 Sistema Bola e Barra
Para se calcular a equação do
sistema bola e barra, se faz necessário
desenvolver métodos para analisar
corpos que giram, dado que o sistema
tem o giro da esfera sobre a barra.
Segundo (YOUNG e FREEDMAN,
2003) todo movimento possível de um
corpo rígido pode ser representado
como uma combinação do movimento
de translação do centro de massa e de
uma rotação em torno de um eixo
passando pelo centro de massa, com
isso pode-se analisar o movimento
conjunto de rotação e translação do
ponto de vista da dinâmica.
A equação da aceleração, será
elaborada a partir do plano inclinado,
representado pela Figura 4.
A força devido ao movimento de
translação é dada aplicando-se a
segunda lei de Newton ao longo do eixo
x:
∑ 𝑓𝑓𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 (1)
A letra m representa a massa da
esfera e a é aceleração do centro da
bola. A aceleração de um corpo é a
derivada da velocidade, representada
pela Eq. (2), ou a derivada segunda da
posição, representada pela Eq. (3),
assim:
𝑚𝑚 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
(2)
Ou
Figura 4 - Diagrama de corpo livre
7
𝑚𝑚 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑑𝑑²𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑²
= 𝑑 (3)
Somando as forças que atuam
no eixo x, e substituindo a Eq. (3) na Eq.
(1), temos:
𝑚𝑚𝑚𝑚 sin𝜙𝜙 + (−𝑓𝑓𝑠𝑠) = 𝑚𝑚𝑑
𝑓𝑓𝑠𝑠 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 sin∅𝑙𝑙 − 𝑚𝑚𝑑
(4)
Nessa equação fs representa a
força de atrito agindo contra o
movimento, sin ϕ é o ângulo de
inclinação da barra e g aceleração da
gravidade. “Os torques são calculados
em relação a um sistema de referência
que se move com o centro de massa,
então a segunda lei de Newton para
rotação pode ser aplicada sempre que
o centro de massa sofrer aceleração”
(TIPLER e MOSCA, 2006):
∑ 𝜏𝜏 = 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼 (5)
Na Eq. (5) Icm representa o
momento de inércia em relação a um
eixo que passa pelo centro de massa e
∑ τ a soma de todos os torques
externos em relação a esse eixo.
Substituindo na Eq. (5) o momento de
inércia de uma esfera sólida por Icm =
2mR² 5⁄ e somando-se as forças que
passam pelo centro de massa obtemos:
𝑓𝑓𝑠𝑠𝑅𝑅 = 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼
𝑓𝑓𝑠𝑠𝑅𝑅 = 25𝑚𝑚𝑅𝑅²𝛼𝛼
(6)
Nessa equação, α representa a
aceleração angular e R o raio da esfera.
Considerando que a bola gira sem
escorregar se tem a correlação da
aceleração do centro de massa (a) com
aceleração angular (α):
𝑚𝑚 = 𝑅𝑅𝛼𝛼
𝛼𝛼 = 𝑚𝑚𝑅𝑅
(7)
Agora se substituir as Eq. (7) e
(4) na Eq. (6):
(𝑚𝑚𝑚𝑚 sin∅ −𝑚𝑚𝑑)𝑅𝑅 = 25𝑚𝑚𝑅𝑅²
𝑚𝑚𝑅𝑅
(8)
Trocando a aceleração da Eq.
(8), pela derivada segunda da posição,
dada pela Eq. (3) e isolando x:
(𝑚𝑚𝑚𝑚 sin∅ −𝑚𝑚𝑑)𝑅𝑅 = 25𝑚𝑚𝑅𝑅²
𝑑𝑅𝑅
𝑑 = 57
𝑚𝑚 sin𝛼𝛼
(9)
8
O ângulo alfa é próximo ao ponto
de estabilidade, assim sin∅ ≈ ∅ para
ângulos até 15° logo:
𝑑 = 57
𝑚𝑚∅ (10)
Com essa equação, observa-se
que o ângulo da barra está relacionado
com a aceleração e não com a posição,
a transformada de Laplace para Eq.
(10):
𝑑𝑑(𝑠𝑠)∅(𝑠𝑠)
=57𝑚𝑚𝑠𝑠²
(11)
3.2.3 Modelagem do Servo Motor CC
A figura 1.2 do apêndice 1
representa todos os elementos
utilizados para modelar o
servossistema. O potenciômetro é
utilizado para gerar uma tensão
proporcional à posição do eixo do
motor, este sinal é então subtraído pela
referência por meio de um amplificador
diferencial (subtrator) gerando um erro,
que por sua vez é aplicado na entrada
do circuito elétrico do motor acionando-
o no sentido de igualar o erro a zero,
deixando assim a esfera em equilíbrio
sobre a barra.
O motor CC produz um
deslocamento na saída para uma
tensão de entrada, ou seja, uma saída
mecânica proveniente de uma entrada
elétrica, esses sistemas são chamados
de eletromecânicos. Para determinar a
função de transferência, será utilizado
um motor CC controlado pela
armadura.
A tensão de saída do
amplificador é igual a tensão de entrada
Vin no circuito, a diferença da posição
angular do potenciômetro Vpot e o sinal
de referência Vref, forma o erro e(t), determinado pelo amplificador
diferencial com ganho Kamp, esse
ganho é dado por:
𝐾𝐾𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 = 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒
=𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑉𝑉𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝 − 𝑉𝑉𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 (12)
No projeto foi utilizado um
potenciômetro linear como sendo o
sensor para determinar a posição
angular do eixo do motor. A figura 5
mostra a relação entre resistência e
ângulo do sensor em questão.
Como é linear, podemos
encontrar o valor das resistências e dos
ângulos através de uma simples regra
Figura 5 - Potenciômetro Linear de 100k e curso de 250 graus. (Silva, 2010)
9
de três com os dados da figura 5. É
necessário descobrir a corrente
máxima (Imax) no potenciômetro para se
determinar o valor das tensões para os
ângulos desejados, para isso é
empregado a primeira lei Ohm, onde V
é a tensão de alimentação e R sua
resistência, assim:
𝐼𝐼𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥 =𝑉𝑉𝑅𝑅
(13)
Empregando a primeira lei de
Ohm novamente, pode-se encontrar as
tensões para os ângulos almejados:
𝑉𝑉125° = 𝑅𝑅125°𝐼𝐼𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥
𝑉𝑉140° = 𝑅𝑅140°𝐼𝐼𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥
𝑉𝑉110° = 𝑅𝑅110°𝐼𝐼𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥
(14.1)
(14.2)
(14.3)
Tendo:
• 𝑉𝑉125° = Tensão para o motor em
equilíbrio;
• 𝑉𝑉140° = Tensão para o motor a
140° ou + 15°;
• 𝑉𝑉110° = Tensão para o motor a
110° ou – 15°;
• 𝑅𝑅125° = Resistência para o
potenciômetro a 125°;
• 𝑅𝑅140° = Resistência para o
potenciômetro a 140°;
• 𝑅𝑅110° = Resistência para o
potenciômetro a 110°;
Agora é possível descobrir o
ganho do amplificador para a esfera em
equilíbrio e quando ela estiver se
movendo ao longo da barra. Isolando
Vin na Eq. (12), teremos:
𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑑𝑑) = 𝐾𝐾𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑉𝑉𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝 − 𝑉𝑉𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑑𝑑) = 𝐾𝐾𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑒𝑒(𝑑𝑑)
(15)
Uma vez que a armadura conduz
a corrente que está girando em um
campo magnético, sua tensão é
proporcional a velocidade (NISE,
2012), logo:
𝑑𝑑𝑐𝑐𝑟𝑟(𝑑𝑑) = 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑟𝑟𝑑𝑑∅𝑐𝑐(𝑑𝑑)𝑑𝑑𝑑𝑑
(16)
A variável vce(t) significa força
contraeletromotriz (fcem), Kce (V.s/rad)
é uma constante de força
contraeletromotriz, denominada de
constante da fcem e a velocidade
angular do motor pode ser descrita pela
derivada da posição, dado por d∅m(t)/
dt = ωm(t). Aplicando a transformada
de Laplace a Eq. (16):
𝑉𝑉𝑐𝑐𝑟𝑟(𝑠𝑠) = 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑟𝑟∅𝑐(𝑠𝑠) (17)
10
Empregando a lei de tensão de
Kirchhoff ao circuito elétrico da Figura
1.2 do apêndice 1, é possível relacionar
a corrente da armadura ia(t), tensão de
entrada vin(t) e a força
contraeletromotriz vce(t), utilizando a
transformada de Laplace para essa
relação, temos:
𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅𝑎𝑎𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑠𝑠) + 𝐿𝐿𝑎𝑎𝑠𝑠𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑠𝑠)
+ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑟𝑟 (18)
Fazendo a função de
transferência na Eq. (15) e
substituindo-a na Eq. (18), obtemos:
𝐾𝐾𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝐸𝐸(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅𝑎𝑎𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑠𝑠)
+ 𝐿𝐿𝑎𝑎𝑠𝑠𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑠𝑠) + 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑟𝑟 (19)
Quando existe um erro, o motor
desenvolve um torque para girar a
carga de saída reduzindo-o a zero.
Para corrente de campo constante, o
torque desenvolvido pelo motor é
proporcional a corrente da armadura
(OGATA, 1997), com isso:
𝑇𝑇𝑐𝑐(𝑠𝑠) = 𝐾𝐾𝑝𝑝𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑠𝑠) (20)
Assumimos que Tm(s) torque
gerado pelo motor, sendo Kt (N.m/A)
uma constante de proporcionalidade,
chamada de constante de torque do
motor.
O motor contém um trem de
engrenagens, que oferece vantagens
aos sistemas rotacionais. Em muitas
aplicações, as engrenagens
apresentam folgas, por girarem de um
pequeno ângulo antes de entrar em
contato umas com as outras (NISE,
2012). Nesse caso específico,
idealizou-se o comportamento das
engrenagens, admitindo que não haja
folgas e sejam sem perdas, ou seja,
não absorvem e nem armazenam
energia.
Podemos refletir Tm(s) em um
torque de saída Tl(s), multiplicando-o
pelo trem de engrenagens, assim:
𝑅𝑅2𝑅𝑅1𝑇𝑇𝑐𝑐(𝑠𝑠) = 𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠2 + 𝐷𝐷𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠∅𝑙𝑙 (𝑠𝑠)
𝑇𝑇𝑐𝑐(𝑠𝑠) = 𝑇𝑇𝑙𝑙(𝑠𝑠)
=(𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠2 + 𝐷𝐷𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠)∅𝑙𝑙 (𝑠𝑠)
𝑅𝑅2𝑅𝑅1
(21)
Na qual ∅l (s) representa a
velocidade angular da carga de saída,
Jeq é a inércia da combinação do motor,
carga e trem de engrenagens referente
ao eixo do motor e Deq o coeficiente de
atrito viscoso da combinação motor,
11
carga e trem de engrenagens referente
ao eixo do motor (OGATA, 1997).
Segundo (NISE, 2012), pode-se
afirmar que R1 é o raio da primeira
engrenagem e R2 o raio da segunda
engrenagem. Substituindo essa razão
por uma constante Keng, obteremos:
𝑇𝑇𝑙𝑙(𝑠𝑠) =𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠2 + 𝐷𝐷𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠∅𝑙𝑙 (𝑠𝑠)
𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒 (22)
Isolando Ia(s) na Eq. (20) e
substituindo a Eq. (22) nela, conclui:
𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑠𝑠) = 𝑇𝑇𝑐𝑐(𝑠𝑠)𝐾𝐾𝑝𝑝
𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑠𝑠) = 𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠2 + 𝐷𝐷𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠∅𝑙𝑙 (𝑠𝑠)
𝐾𝐾𝑝𝑝𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒
(23)
A relação entre o raio e o
deslocamento angular das
engrenagens, são inversamente
proporcionais:
∅𝑐∅𝑙𝑙
= 𝑅𝑅2𝑅𝑅1
∅𝑐(𝑠𝑠) = 𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒∅𝑙𝑙 (𝑠𝑠)
(24)
Substituindo a Eq. (24) na Eq.
(17), tem-se:
𝑉𝑉𝑐𝑐𝑟𝑟(𝑠𝑠) = 𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒𝐾𝐾𝑐𝑐𝑟𝑟𝑠𝑠∅𝑙𝑙(𝑠𝑠) (25)
Segundo (NISE, 2012), em um
conjunto consistente de unidade, o
valor de Kce= Kt, utilizando essa
relação e substituindo a Eq. (23) e a Eq.
(225) na Eq. (19), obtêm-se:
𝐾𝐾𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝐸𝐸(𝑠𝑠)
=(𝑅𝑅𝑎𝑎 + 𝐿𝐿𝑎𝑎𝑠𝑠)(𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠2 + 𝐷𝐷𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠)𝑠𝑠∅𝑙𝑙(𝑠𝑠)
𝐾𝐾𝑝𝑝𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒
+ 𝐾𝐾𝑝𝑝𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒𝑠𝑠∅𝑙𝑙(𝑠𝑠)
(26)
Para simplificar a Eq. (26),
admitimos que a indutância, La, é
pequena comparada a sua resistência,
Ra, o que é usual para motor CC (NISE,
2012), com isso a função de
transferência entre o deslocamento
angular do eixo do motor e o sinal de
erro, pode ser dado pela Eq. (27):
∅𝑙𝑙(𝑠𝑠)𝐸𝐸(𝑠𝑠)
= 𝐾𝐾𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝐾𝐾𝑝𝑝𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒
𝑠𝑠𝑅𝑅𝑎𝑎𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠 + 𝐷𝐷𝑟𝑟𝑒𝑒 + (𝐾𝐾𝑝𝑝𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒)²
∅𝑙𝑙(𝑠𝑠)𝐸𝐸(𝑠𝑠)
=
𝐾𝐾𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝐾𝐾𝑝𝑝𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒𝑅𝑅𝑎𝑎 𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒
𝑠𝑠2 + 𝑠𝑠 𝐷𝐷𝑟𝑟𝑒𝑒𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒
+ (𝐾𝐾𝑝𝑝𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒)²𝑅𝑅𝑎𝑎 𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒
∅𝑙𝑙(𝑠𝑠)𝐸𝐸(𝑠𝑠)
=𝐾𝐾
(𝑠𝑠2 + 𝐷𝐷𝑠𝑠)
(27)
12
Com a Eq. (27), obtemos novos
parâmetro, onde K= KampKtKeng RaJeq⁄
e D= Deq Jeq⁄ + KtKeng² RaJeq .
4 RESULTADOS
Para a elaboração dos gráficos e
desenvolvimento de algumas contas,
foi utilizado o software matemático
Matlab®.
Para calcular a modelagem da
bola sobre a barra, é considerado a
aceleração da gravidade como sendo
g=9.81 m s2⁄ , substituindo esse valor na
Eq. (11):
𝑑𝑑(𝑠𝑠)∅(𝑠𝑠)
=57𝑚𝑚
1𝑠𝑠²
𝑑𝑑(𝑠𝑠)∅(𝑠𝑠)
= 71𝑠𝑠²
(28)
O potenciômetro linear é de
100kΩ e cursor de 250°, em seu centro
ele tem uma resistência de 50kΩ para
um ângulo de 125° como mostrado na
figura 5, aplicando-se uma simples
regra de três encontrasse a resistência
de 56KΩ para 140° e 44KΩ para 110°.
Para determinar as tensões em seus
respectivos ângulos é necessário achar
a corrente que passa pelo
potenciômetro, adotando V = 5V,
R = 100x103Ω e substituindo esses
valores na Eq. (13) temos Imax = 50µA.
Substituindo os valores das
resistências e Imax nas Eq. (14.1), (14.2)
e (14.3) obtemos:
𝑉𝑉125° = 𝑅𝑅125°𝐼𝐼𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥 = 2.5𝑉𝑉
𝑉𝑉140° = 𝑅𝑅140°𝐼𝐼𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥 = 2.8𝑉𝑉
𝑉𝑉110° = 𝑅𝑅110°𝐼𝐼𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥10−6 = 2.2𝑉𝑉
(29.1)
(29.2)
(29.3)
Para o sistema elétrico do
motor, “foi utilizado um multímetro para
a medição dos seguintes parâmetros:
Vin = 4.98V, Ra = 2.89Ω e Ia = 0.258A”
(PALLONE, 2013).
Tomando Vref = 2.5V, trocando
Vin e os resultados das Eq. (29.1),
(29.2) e (29.3) na Eq. (12),
encontramos os ganhos do
amplificador como: Kamp = 0,
Kamp = 16.66 e Kamp = -16.66.
Adotamos o Kamp em módulo, e
ganho zero para o circuito em
equilíbrio. Substituindo os parâmetros
elétrico do motor na Eq. (18), obtemos
o valor de Vce = 4.23V.
O valor de Kce foi obtido através
da medição da rotação no eixo do motor
CC, medido por um tacômetro. Sendo
Kce=7.34x10-3 V.s rad⁄ (PALLONE,
2013).
13
Trocando seus respectivos
valores na Eq. (17), temos
∅m=576.29 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑠𝑠⁄ .
O torque do motor é descoberto
substituindo os valores de Kt e Ia na Eq.
(20), lembrando que para valores
consistentes de unidade, Kt=Kce, assim
Tm=1.894x10-3𝑁𝑁.𝑚𝑚.
Para determinar o valor de Keng
foi utilizado um paquímetro para obter a
relação de raio das nove engrenagens,
que compõe a caixa de redução do
servo motor MG995, com isso
determinou-se que Keng=0.019
(PALLONE, 2013).
Para o torque de saída, foi
considerado Jeq = 5x10-5Kg.m e Deq=0,
assim Tl = 0.1 N.m (PALLONE, 2013).
Substituindo os parâmetros na
Eq. (27), encontramos a função de
transferência do servo motor:
∅𝑙𝑙(𝑠𝑠)𝐸𝐸(𝑠𝑠)
=16.079
𝑠𝑠2 + 0.000135𝑠𝑠 (30)
Com a definição da função de
transferência do motor, pode-se
calcular os parâmetros do controlador,
alusivo ao laço interno da figura 1.1 do
apêndice 1.
As raízes dos polos da função de
transferência da Eq. (30) são: S1 = 0 e
S2 = 0.000135. A partir do lugar
geométrico das raízes (LGR) mostrado
na figura 2.1 do apêndice 2, podemos
observar que ele se encontra muito
próximo a origem e paralelo ao eixo
imaginário.
Como o sistema é de segunda
ordem, não é possível aplicar uma
compensação integral ideal (PI), a qual
utiliza um integrador puro, adicionando
um polo na origem aumentando o tipo
do sistema, o que não é interessante
para o este caso. Porém, para melhorar
esse projeto uma compensação
derivativa ideal (PD) será acrescentada
adicionando um zero do compensador
(Zc), que pode ser representado por
(s + Zc), afim de deslocar o lugar
geométrico das raízes para a esquerda
afastando ele do eixo imaginário (NISE,
2012).
Para calcular os polos
dominantes do sistema de segunda
ordem em malha fechada, adotaremos
um tempo de acomodação (Ts) igual a
1.5s e uma ultrapassagem percentual
(%UP) de 2%.
A Eq. (31) será utilizada para
calcular o polo no eixo real (σ), assim:
𝑇𝑇𝑠𝑠 =4𝜎𝜎 (31)
14
Substituindo os valores na Eq.
(31), encontramos um σ = 2.667 rad s⁄ .
Para encontrar a parte imaginária (Wd),
é necessário encontrar o fator de
amortecimento (ζ) a partir da Eq. (32):
𝜁𝜁 = ln %𝑈𝑈𝑎𝑎 100⁄ ²
𝜋𝜋2 + ln %𝑈𝑈𝑎𝑎 100⁄ ² (32)
Substituindo a ultrapassagem
percentual na Eq. (32), temos um
ζ=0.78.
Aplicando-se trigonometria a
figura 6 concluímos que o
Wd = 2.14 rad s⁄ , deste modo é
determinado os polos dominantes:
S1,2 = -2.667 ± 2.14j, como eles não
estão sobre o lugar geométrico das
raízes é necessário ajustar a Eq. (30)
para que essas novas raízes sejam
compensadas e passem pela posição
escolhida em malha fechada (NISE,
2012).
Observando a figura 7 é possível
projetar o zero do compensador a partir
da Eq. (33), onde ∑ϕ representa o
somatório de todos os zeros e ∑ θ é o
somatório de todos os polos
compensados.
𝜙𝜙−𝜃𝜃 = (2𝑘𝑘 + 1)180° (33)
Analisando a figura 7, obtemos:
θ1 = 38.74° e θ2 = 38.74°. Trocando
esses valores nos polos da Eq. (33),
temos: ϕ1 = 102.52°. Aplicando
Pitágoras na figura 7 para o triângulo
retângulo (σZcWd), encontramos
Zc = 2.192.
Utilizando o Matlab foi gerado o
ganho K = 0.732 para os polos
dominantes, multiplicando-o na Eq.
(30), realimentando o sistema e em
seguida acrescentando o ganho,
chegasse a Eq. (34) para o sistema
compensado.
Figura 6 - Relação do eixo imaginário com o real
Figura 7 - Lugar geométrico das raízes
15
∅𝑙𝑙(𝑠𝑠)𝐸𝐸(𝑠𝑠)
=11.77(𝑠𝑠 + 2.192)
𝑠𝑠2 + 0.000135𝑠𝑠 + 11.77 (34)
Com isso o resultado para o
sistema PD do laço interno é dado por:
(11.77s + 25.78), onde Kp = 11.77 e
Kd = 25.78. A figura 2.2 no apêndice 2
representa o lugar geométrico das
raízes da Eq. (34) compensada.
A figura 8, representa uma
resposta para entrada em impulso,
referente a Eq. (34).
Para calcular o PID, laço externo
da figura 1.1 do apêndice 1, é
necessário multiplicarmos a Eq. (34)
pela Eq. (28), gerando uma função de
transferência em malha aberta.
𝐹𝐹(𝑠𝑠) =82.39(𝑠𝑠 + 2.192)
𝑠𝑠4 + 0.000135𝑠𝑠3 + 11.77𝑠𝑠² (35)
A figura 9, representa o lugar
geométrico das raízes para a Eq. (35).
Observando a figura 9, é
possível analisar que o sistema tem
dois polos na origem que arrastam o
lugar geométrico das raízes para o
semiplano da direita (SPD), o que torna
ele instável, isso ocorre, devido a
multiplicação do denominador por s² da
Eq. (28). Para que o sistema se torne
estável é imprescindível adicionar
zeros ao sistema para compensa-lo,
mas isso se torna inviável por que o
denominador é um sistema de quarta
ordem, portanto é difícil obter um
controle PID.
Em um sistema de controle com
realimentação típica, a variável de
saída é enviada novamente para a
junção somadora. Para espaço de
estado isso muda, por que todas as
variáveis de estado são realimentadas
através de um ganho Ki, com isso
existirá vários ganhos que podem ser
acertados para produzir os polos
Figura 8 - Resposta ao impulso
Figura 9 - Lugar geométrico das raízes (PID)
16
desejados em malha fechada (NISE,
2012), como mostrado na figura 10.
Portanto, para que seja possível
realizar o controle de todos os polos e
tornar o sistema estável, foi aplicada as
equações de espaço de estado do
sistema em malha fechada mostradas
nas Eq. (36.1) e (36.2) utilizando
alocação de polos para plantas na
forma de variáveis de fase.
𝒙 = 𝑨𝑨𝒙𝒙 + 𝑩𝑩𝑢𝑢 = (𝑨𝑨 −𝑩𝑩𝑩𝑩)𝒙𝒙+ 𝑩𝑩𝑟𝑟
𝑦𝑦 = 𝑪𝑪𝒙𝒙
(36.1)
(36.2)
Deste modo, a função de
transferência da Eq. (35), foi
transformada em uma matriz de espaço
de estado na forma direta,
representada pela Eq. (3.1) e (3.2) do
apêndice 3.
Acrescentando os ganhos
K=[K1 K2 K3 K4] para a relação
(A - BK) do sistema em malha fechada,
encontramos a forma de variável de
fase, Eq. (3.3) contida no apêndice 3.
Agora é necessário obter a
equação característica do sistema em
malha fechada, representada no
apêndice 3 como Eq. (3.4).
Para encontrar os valores de K é
imprescindível descobrir seus valores
de polo em malha fechada. Adotando
um Ts = 3s e %UP = 4%, e aplicando as
Eq. (31) e (33), obtém-se
S1,2=-1.33 ± 1.299, porém é um
sistema de quarta ordem, então é
necessário determinar o terceiro e
quarto polo. Para esse método, é
possível escolher os outros dois polos
em malha fechada, então determinou-
se que o terceiro polo será 5xReS1,2,
obtendo s3=-6.665 e o quero polo
20xReS1,2, obtendo s4=-26.66.
Multiplicando os polos encontrados,
chegasse em uma equação
característica desejada:
s4 + 35.991s3 + 269.9977s2 +
589.1664s + 615.5677 (37)
Comparando a Eq. (37) com a
Eq. (3.4) do apêndice 3 é obtido os
valores de K, com isso: K1 = 615.568,
K2 = 589.166, K3 = 258.228 e
K4 = 35.991. Logo, a matriz de controle
em malha fechada é expressa pela Eq.
(3.5) e (3.6) do apêndice 3, através
dessa matriz de controle em malha
Figura 10 - processo com realimentação das variáveis de estado (NISE, 2012)
17
fechada, encontrasse a função de
transferência do sistema bola e barra
expressa pela Eq. (3.7) no apêndice 3.
Aplicando-se uma um impulso a
Eq. (3.7), temos uma resposta
mostrada pela figura 11.
Com isso podemos concluir que
o controle do sistema no espaço de
estado se encontra estável, com um
tempo de resposta aceitável para os
polos que foram definidos, além de
possuir uma resposta transiente rápida,
aproximadamente 4s.
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho foi elaborado por
meio de pesquisas bibliográficas
alicerçados em autores que deram
suporte teórico, para a elaboração da
modelagem matemática da planta.
Com base no que foi proposto,
concluiu-se que o controlador PID para
o sistema bola e barra não é viável,
demonstrado pelo lugar geométrico das
raízes da figura 9 referente a Equação
(35), no entanto o método de espaço de
estados por alocação de polos na forma
de variáveis de fase mostrou-se
apropriado para o sistema proposto
tornando-o estável, como pode-se
observar pela figura 11. O controlador
PD aplicado ao servomotor se adequou
perfeitamente e foi essencial para dar
continuidade ao projeto.
Infelizmente não foi possível
montar o sistema, mas futuramente
pretende-se desenvolver o protótipo
para compara-lo com um mesmo
modelo que será elaborado
virtualmente, mostrando se há
diferenças significativas entre eles.
6 REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS
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DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistema de Controle modernos. 8ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1998.
FAVARETTO, C. F. et al. Controle de um sistema Bola- Barra com realimentação através de imagem. National Instruments. Disponivel em: <http://sine.ni.com/cs/app/doc/p/id/cs-11222>. Acesso em: 20 Março 2014.
Figura 11 - Resposta da Eq. (48) ao impulso
18
LOBATO, F. G. D. S.; CALDAS, F. V.; NETO, M. C. Núcleo de Tecnologias Interativas de Aprendizagem. NUTEIA. Disponivel em: <http://www3.iesam-pa.edu.br/ojs/index.php/controle_auto/article/viewFile/941/628>. Acesso em: 18 Março 2014.
NATIONAL INSTRUMENTS. Explicando a Teoria PID. National Instruments, 13 dez. 2011. Disponivel em: <http://www.ni.com/white-paper/3782/pt/>. Acesso em: 23 abr. 2014.
NISE, N. S. ENGENHARIA DE SISTEMA DE CONTROLE. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
OGATA, K. ENGENHARIA DE CONTROLE MODERNO. 3ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997.
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 3ª. ed. [S.l.]: LTC, 1997.
PALLONE, M. F. MODELAGEM E CONTROLE PID DO SISTEMA "BALL AND BEAM". Maringá. 2013.
RAHMAT, M. F.; WAHID, H.; WAHAB, N. A. APPLICATION OF INTELLIGENT CONTROLLER INA BALL. [S.l.]: [s.n.], v. 3, 2010.
SCHVARCZ, A. F.; DINIZ, I. S. MODELAGEM, SIMULAÇÃO E CONTROLE DE UM SISTEMA BARRA E BOLA AUXILIADO POR COMPUTADOR: CAD E CAE. UFPR, Bonito, 16 Setembro 2010. Disponivel em:
<http://www.eletrica.ufpr.br/anais/cba/2010/Artigos/66818_1.pdf>. Acesso em: 25 abr. 2014.
TIPLER; MOSCA. Física 1 Mecânica, Oscilções e Ondas Termodinâmicas. 5ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, v. 1, 2006.
YOUNG; FREEDMAN. Física 1 Mecânica. 10ª. ed. São Paulo: Pearson, 2003.
ZAVALA, S. J.; YU, W.; LI, X. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. NTNU, Seul, 06 Julho 2008. Disponivel em: <http://www.nt.ntnu.no/users/skoge/prost/proceedings/ifac2008/data/papers/1624.pdf>. Acesso em: 28 Junho 2014.
19
APÊNDICE 1 – FIGURAS
Legenda para o diagrama do controlador PID em série:
• R(s)= Setpoint ou valor desejado para a posição da esfera sobre a barra;
• Y(s)= Posição real da esfera sobre a barra;
• epb= Sinal de erro da posição da esfera;
• e∅= Sinal de erro do ângulo da barra;
• ∅ref(s)= Ângulo de referência gerado pelo controlador da posição;
• ∅l(s)= Ângulo real da barra;
• Vin(s)= Tensão de entrada no motor;
Figura 1.1 - Diagrama de blocos do controlador PID em série
Figura 1.2 - Representação do servossistema
20
APÊNDICE 2 - GRÁFICOS
Figura 2.1 -Lugar geométrico das raízes para um sistema não compensado
Figura 2.2 - Lugar geométrico das raízes para o sistema compensado
21
APÊNDICE 3 – FÓRMULAS
𝑑 =
⎣⎢⎢⎢⎡
000135.077.1100100001000010
−− ⎦⎥⎥⎥⎤
𝐴𝐴
𝑑𝑑 +
⎣⎢⎢⎢⎡
1000
⎦⎥⎥⎥⎤
𝑟𝑟
𝐵𝐵
𝒀𝒀 = 0039.826.180 𝑪𝑪
𝒙𝒙
(3.1)
(3.2)
Equações 3.1 e 3.2 - Representação no espaço de estado para a equação 35
(𝑨𝑨 − 𝑩𝑩𝑩𝑩) =
000−𝐾𝐾1
100
−𝐾𝐾2
010
−11.77
001
−0.000135 − 𝐾𝐾4
(3.3)
Equação 3.3 - Matriz na forma de variável de fase
𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑𝑠𝑠𝑰𝑰 − (𝑨𝑨 − 𝑩𝑩𝑩𝑩) = 𝑠𝑠4 + 𝑠𝑠3(𝐾𝐾4 + 0.000135) + 𝑠𝑠2(𝐾𝐾3 + 11.77) + 𝑠𝑠𝐾𝐾2 + 𝐾𝐾1 (3.4)
Equação 3.4 - Equação característica do sistema em malha fechada
𝑑 =
⎣⎢⎢⎢⎡
991.35228.258166.589558.615100001000010
−−−− ⎦⎥⎥⎥⎤
𝑑𝑑 + 𝑦𝑦
𝒀𝒀 = 0039.826.180 𝒙𝒙
(3.5)
(3.6)
Equação 3.5 e 3.6 - Matriz de controle em malha fechada
𝑇𝑇(𝑠𝑠) =82.39𝑠𝑠 + 180.6
𝑠𝑠4 + 35.991𝑠𝑠3 + 258.228𝑠𝑠2 + 589.166𝑠𝑠 + 615.558 (3.7)
Equação 3.7 - Função de transferência para o sistema bola e barra
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