Modelo de Ramsey-Kass-Koopmans (I) - CARLOS ROJAS …Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans lidia con ello:...

Facultad de Economía, UPC

Modelo de Ramsey-Kass-Koopmans(I)

Carlos Rojas Quirozwww.carlos-rojas-quiroz.weebly.com

Setiembre del 2017

• Debilidad del modelo de Solow: tasa de ahorro exógena yconstante.

• Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans lidia con ello:1 Proceso de optimización del individuo. Ahorro es

endógeno.2 Bienestar del consumidor.

• Pero modelo de Ramsey sigue considerando tasas decrecimiento exógenas para el trabajo y la tecnología.

Modelo de Ramsey-Kass-Koopmans

2/39 Facultad de Economía, UPC Modelo de Ramsey-Kass-Koopmans (I)

1 Estructura básica del modelo

2 Comportamiento de mercado descentralizado

3 Comportamiento de un planificador social

4 Bienestar social

5 Análisis del estado estacionario

6 Diagrama de fases del modelo6.1 Comportamiento del consumo6.2 Comportamiento del capital6.3 Comportamiento del consumo y del capital

Índice

Preferencias, tecnología y demografía• Número elevado de empresas idénticas, con función de

producción:Y (t) = F(K (t),L(t)) (1)

• F satisface supuestos 1 y 2 del modelo de Solow.• Contratan trabajadores y alquilan capital en mercados

perfectamente competitivos y venden su producción en unmercado de bienes también competitivo.

• Maximizan beneficios que son distribuidos entre suspropietarios.

Estructura básica del modelo

Supuesto 1

La función de producción F : R2+ → R+ es dos veces

diferenciable en K y en L, y satisface:

FK (K ,L)≡∂F(K ,L)

∂K >0 FL(K ,L)≡∂F(K ,L)

∂L >0

FKK (K ,L)≡∂2F(K ,L)

∂K 2 <0 FLL(K ,L)≡∂2F(K ,L)

∂L2 <0

Además, F exhibe retornos constantes a escala en K y en L.

La estructura básica del modelo

Supuesto 2

F satisface las condiciones de Inada:

limK→0FK (K ,L) =∞ y limK→∞FK (K ,L) = 0 ∀ L > 0

limL→0FL(K ,L) =∞ y limL→∞FL(K ,L) = 0 ∀ K > 0

Además, F(0,L) = 0 ∀ L.

En términos per cápita:

y(t) ≡ Y (t)L(t)

K (t)L(t)

,1)≡ f (k(t))

Lo mismo con el capital per cápita:

k(t) =≡ K (t)L(t)

Supuesto 3

La función de utilidad instantánea u(c), está definida sobre R+

o R+\{0}. Es estrictamente creciente, cóncava y dos vecesdiferenciable, con derivadas u′(c) > 0 y u′′(c) < 0 para todo cen el interior de su dominio.

• La población en esta economía crece exponencialmente auna tasa n:

L(t) = L(0)expnt (2)

Donde se asume que L(0) = 1.• La función de utilidad objetivo de cada consumidor en el

tiempo t = 0 es: ∫ ∞0

exp−(ρ−n)t u(c(t))dt (3)

Donde ρ es la tasa de descuento subjetiva.

Supuesto 4

ρ > n

Restricción presupuestaria del hogar:

A(t) = d(A(t))dt

= r(t)×A(t) + w(t)L(t)− C(t) (4)

Donde A son los activos del consumidor. En términos percápita:

d(A(t)/L(t))dt

=A(t)L(t)

− A(t)L(t)

L(t)L(t)

a(t) =r(t)×A(t) + w(t)L(t)− C(t)

L(t)− a(t)n (6)

a(t) = (r(t)− n)a(t) + w(t)− c(t) (7)

Donde a(t) = A(t)L(t) .

Mercado de capital en equilibrio:

a(t) = k(t) (8)

Además:r(t) = R(t)− δ (9)

Asimismo, se asume la condición de No-Ponzi:

l«ımt→∞

{a(t)× exp

[−∫ t

0[r(ν)− n]dν

]}≥ 0 (10)

En el largo plazo, la deuda del hogar por persona (el negativode a(t)) no puede crecer más rápido que r(t)− n. El nivel dedeuda no puede crecer más que r(t).

4 Bienestar social

Índice

Maximización del productor:

m«axK (t)≥0,L(t)≥0

π(t) = F(K (t),L(t))− R(t)K (t)− w(t)L(t)

Que puede reescribirse así:

m«axK (t)≥0,L(t)≥0

π(t) = [f (k(t))− R(t)k(t)− w(t)]L(t)

Obteniendo las Condiciones de Primer Orden (CPO):

∂k: R(t) = f ′(k(t)) (11)

∂L: w(t) =

[f (k(t))− f ′(k(t))k(t)

Comportamiento de mercado descentralizado

Maximización del hogar:

H = u[c(t)] + µ(t) [(r(t)− n)a(t) + w(t)− c(t)] (13)

Siendo µ(t) = exp[(ρ− n)t ]× λ(t). Además, las CPO’s son:

∂H∂c

= 0 ⇒ µ(t) = u′(c(t)) (14)

∂H∂a

= −(µ(t)−(ρ−n)µ(t)) ⇒ (r(t)−n)µ(t) = −(µ(t)−(ρ−n)µ(t))(15)

∂H∂µ

= a(t) ⇒ a(t) = (r(t)− n)a(t) + w(t)− c(t) (16)

La condición de transversalidad:

l«ımt→∞{exp[−(ρ− n)t ]× µ(t)× a(t)} = 0 (17)

Derivando respecto al tiempo la ecuación 14:

µ(t) = u′′(c(t))c(t) (18)

Reemplazando la ecuación 14 y 18 en la ecuación 15 se llegaa la Ecuación de Euler:

c(t)c(t)

εu(c(t))(r(t)− ρ) (19)

Donde εu(t) = −u′′(c(t))c(t)u′(c(t)) .

Manipulando la ecuación 15:

µ=∂lnµ∂t

= −(r(t)− ρ) (20)

Integrando la ecuación se tiene:

µ(t) = µ(0)exp[−∫ t

0(r(ν)− ρ)dν

De la ecuación 14 podemos inferir:

µ(0) = u′(c(0)) (22)

Luego, se tiene:

µ(t) = u′(c(0))exp[−∫ t

0(r(ν)− ρ)dν

Incorporando la ecuación 23 en la condición de transversalidad(ecuación 17) se tiene:

l«ımt→∞

{u′(c(0))exp [−(ρ− n)t ]exp

[−∫ t

0(r(ν)− ρ)dν

]× a(t)

Operando se llega a:

l«ımt→∞

[−∫ t

0(r(ν)− n)dν

]× a(t)

}= 0 (24)

De la ecuación 11 y considerando la ecuación 8 se llega a:

l«ımt→∞

[−∫ t

0(r(ν)− n)dν

]× k(t)

}= 0 (25)

Con las ecuaciones 9 y 11, la condición de transversalidad es:

l«ımt→∞

[−∫ t

0(f ′(k(ν))− δ − n)dν

]× k(t)

}= 0 (26)

Mientras que la ecuación de Euler para el consumo per cápitaes:

c(t)c(t)

εu(c(t))(f ′(k(t))− δ − ρ) (27)

Y usando la ecuación 8 en la restricción del hogar, junto con elTeorema de Euler, se tiene:

k(t) = (f ′(k(t)− δ − n)k(t) + w(t)− c(t)

k(t) = f (k(t))− c(t)− (δ + n)k(t) (28)

Definición 1Un equilibrio competitivo del modelo neoclásico de crecimientoconsiste de sendas de consumo per cápita, ratio capital-trabajo,salarios y tasas de alquiler de capital, [c(t), k(t),w(t),R(t)]∞t=0,tal que los precios de los factores, [w(t),R(t)]∞t=0 son dadospor las ecuaciones 11 y 12, y el hogar representativo maximizala ecuación 3 sujeto a las ecuaciones 7 y 10, dada unadotación inicial de capital per cápita (ratio capital-trabajo)k(0) > 0 y precios de factores [w(t),R(t)]∞t=0 (con la tasa deretorno sobre los activos, r(t), dada por la ecuación 9).

4 Bienestar social

Índice

m«axk(t),c(t)≥0

∫ ∞0

exp[−(ρ− n)t ]u(c(t))dt (29)

Sujeto a:k(t) = f (k(t))− c(t)− (δ + n)k(t) (30)

Comportamiento de un planificador social

Maximización del planificador central:

H = ×u[c(t)] + µ(t) [f (k(t))− c(t)− (δ + n)k(t)] (31)

Siendo µ(t) = exp[(ρ− n)t ]× λ(t). Además, las CPO’s son:

∂H∂c

= 0 ⇒ µ(t) = u′(c(t)) (32)

∂H∂k

= −(µ(t)−(ρ−n)µ(t)) ⇒ (f ′(k(t))−δ−n)µ(t) = −(µ(t)−(ρ−n)µ(t))(33)

∂H∂µ

= k(t) ⇒ k(t) = f (k(t))− c(t)− (δ + n)k(t) (34)

La condición de transversalidad:

l«ımt→∞{exp[−(ρ− n)t ]× µ(t)× k(t)} = 0 (35)

Derivando respecto al tiempo la ecuación 32:

µ(t) = u′′(c(t))c(t) (36)

Combinando las ecuaciones 32 y 36 en la ecuación 33 se llegaa la ecuación de Euler para el consumo per cápita:

c(t)c(t)

εu(c(t))(f ′(k(t))− δ − ρ) (37)

Donde se mantiene la definición de εu(c(t)). Luego, de la CPOderivada en la ecuación 34, se tiene la evolución del capital percápita:

k(t) = f (k(t))− c(t)− (δ + n)k(t) (38)

4 Bienestar social

Índice

Note que las condiciones obtenidas a partir del proceso deoptimización en el contexto de mercados competitivos(ecuaciones 26, 27, 28) son las mismas que las que seobtuvieron mediante la solución de planificador central(ecuaciones 35, 37, 38).

Solución competitiva y centralizada

El equilirio competitivo es óptimo de Pareto, garantizando queel bienestar social es el máximo.

Teoremas del BienestarSi no existen distorsiones tales como impuestos(distorsionadores) o externalidades:• Primer Teorema del Bienestar: Todo equilibrio competitivo

es un óptimo de Pareto.• Segundo Teorema del Bienestar: Para cada óptimo de

Pareto existe un sistema de precios que lo hace unEquilibrio Competitivo.

Óptimo social y equilibrio competitivo

Proposición 1

En el modelo neoclásico de crecimiento con mercadoscompetitivos, si se cumplen los supuestos 1, 2, 3 y 4, elequilibrio es óptimo de Pareto y coincide con la senda decrecimiento óptima que maximiza la utilidad del agenterepresentativo.

Equivalencia de soluciones

4 Bienestar social

Índice

El equilibrio de estado estacionario es definido como la sendade equilibrio en la que el ratio capital-trabajo, el consumo y laproducción son constantes.• Si c(t) = 0:

f ′(k∗) = ρ+ δ (39)

De aquí se deriva, siguiendo el supuesto 4, la siguientecondición de EE para la tasa de interés real:

r∗ = f ′(k)− δ > n (40)

Además, el salario real de EE también está acotado:

w∗ = f (k∗)− k∗f (k∗) <∞ (41)

La riqueza del hogar es finita.

Análisis del estado estacionario

• Si k(t) = 0:c∗ = f (k∗)− (n + δ)k∗ (42)

• Si el supuesto 4 se mantiene y con un ratio capital-trabajoconstante en EE, entonces la condición de transversalidadtambién se satisface en EE.

Proposición 2

En el modelo neoclásico de crecimiento, con los supuestos 1,2, 3 y 4, el ratio capital-trabajo en el equilibrio de estadoestacionario, k∗, está únicamente determinado por la ecuación39 y es independiente de la función de utilidad instantánea. Elconsumo per cápita de estado estacionario está dado por laecuación 42.

Definiendo f (k) = Af (k), entonces:

Proposición 3

En el modelo neoclásico de crecimiento, con los supuestos 1,2, 3 y 4, s consideramos que f (k) = Af (k), el nivel de estadoestacionario del ratio capital-trabajo k∗(A, ρ, δ,n) y el nivel deestado estacionario del consumo per cápita c∗(A, ρ, δ,n),entonces:

∂k∗

∂A> 0,

∂c∗

∂A> 0,

∂k∗

∂ρ< 0,

∂c∗

∂ρ< 0,

∂k∗

∂δ< 0,

∂c∗

∂δ< 0,

∂k∗

∂n= 0;

∂c∗

∂n< 0.

4 Bienestar social

Índice

Tres ecuaciones rigen el modelo:

k(t) = f (k(t))− c(t)− (δ + n)k(t) (43)

c(t)c(t)

εu(c(t))(f ′(k(t))− δ − ρ) (44)

l«ımt→∞

[−∫ t

0(f ′(k(ν))− δ − n)dν

]× k(t)

}= 0 (45)

Sistema de ecuaciones diferenciales. Resolución analítica ygráfica. Optamos por la segunda (diagrama de fases).

Diagrama de fases del modelo

(c > 0) (c < 0)

Diagrama de fases del modeloComportamiento del consumo

(k < 0)

(k > 0)

Diagrama de fases del modeloComportamiento del capital

Diagrama de fases del modeloComportamiento del consumo y del capital

k∗k(0)

c′′(0)

c′(0)

Proposición 4

En el modelo neoclásico de crecimiento, con los supuestos 1,2, 3 y 4, existe una única senda de equilibrio que inicia enk(0) > 0 y converge monotónicamente a un únicoestado-estacionario (k∗, c∗), con k∗ dada por la ecuación 39.Además, si k(0) < k∗, entonces k(t) ↑ k∗ y c(t) ↑ c∗,mientras que, si k(0) > k∗, entonces k(t) ↓ k∗ y c(t) ↓ c∗.Esta senda de equilibrio es idéntica a la senda de crecimientoóptima.

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