MACROECONOMÍA- MODELO DE RAMSEY

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  • Macroeconoma Avanzada II

    Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

    Daniela Hauser

    Universitat Autnoma de Barcelona - Programa Universidad - Empresa

    Abril 2013

    Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 1 / 26

  • Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

    Modelo Ramsey-Cass-Koopmans (RCK) (1)

    Extensin lgica del modelo de Solow: los agentes econmicos deciden la parte

    de sus ingresos dedicado al consumo en el periodo actual y la parte que

    ahorran para el consumo en periodos ms avanzados. Los supuestos basicos

    del modelo RCK:

    Ilos agentes econmicos trabajan y reciben salarios, prestan capital a las

    empresas y reciben tipo de inters, compran el bien de consumo

    producido por las empresas y ahorran

    Ilos agentes econmicos toman en cuenta el bienestar de las futuras

    generaciones (interaccin intergeneracional) asumimos un horizonteinnito, es decir, asumimos que los agentes econmicos tienen una vida

    nita, pero que la familia extendida tiene una vida eterna y cada

    miembro es altrustico

    Ilos agentes econmicos esperan que el tamao de su familia crezca a una

    tasa constante, n > 0, (crecimiento de la poblacin)

    Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 2 / 26

  • Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

    Modelo Ramsey-Cass-Koopmans (RCK) (2)

    En el modelo RCK trabajamos en tiempo continuo, tal que cada

    variable es una funcin del tiempo. Ejemplo: La poblacin, L(t)

    I L(t) crece a una tasa constante, n > 0, normalizando L(0) = 1tenemos

    L(t) = entL(0) = ent

    ILa tasa de crecimiento de la poblacin viene denido por

    n =L(t)

    L(t)

    L(t) =L(t)

    t= nent L(t)

    L(t)=nent

    ent= n

    IEn tiempo discreto:

    Lt+1 LtLt

    = n Lt+1 = (1 + n)Lt

    Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 3 / 26

  • Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

    Modelo Ramsey-Cass-Koopmans (RCK) (3)

    IAgregamos todos los agentes econmicos en un agente econmico

    representativo.

    INo hay incertidumbre tal que el agente econmico tiene una

    previsin perfecta del futuro ("perfect foresight" en ingls).

    IProduccin a travs de una tecnologa con rendimientos constantes

    a escala Y (t) = A(t)F [K(t), L(t)] con A(t) = egt

    Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 4 / 26

  • Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

    Agente econmico (1)

    Los agentes econmicos deciden en cada momento del tiempo como dividir sus

    ingresos entre consumo y ahorro, tal que su utilidad sea mxima. En

    particular, el agente econmico representativo resuelve el problema siguiente:

    maxU0 =

    0

    etu [c(t)]L(t)dt

    donde U0 es la sume de utilidades instantneas entre 0 y , es la tasa dedescuento, L(t) = ent es el crecimiento de la poblacin y c(t) es el consumoper cpita en t.

    Con u [c(t)] = c(t)1

    1 siendo cncava (agente econmico alisa su consumo a lolargo del tiempo)

    maxU0 =

    0

    etc(t)1

    1 L(t)dt

    sujeto a la restriccin presupuestara.

    Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 5 / 26

  • Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

    Agente econmico (2)

    ILos agentes econmicos ofrecen una unidad de trabajo en el

    mercado laboral en cada momento del tiempo. La oferta de trabajo

    es exgena y no tomamos en cuenta el desempleo (cada agente

    econmico siempre trabaja).

    IFuncin de utilidad con aversin al riesgo constante (constant

    relative risk aversion utility function, CRRA, en ingls). Cuando converge a uno la funcin de utilidad converge a una funcin

    logartmica.

    Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 6 / 26

  • Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

    Agente econmico (3)

    En tiempo discreto tenemos:

    U0 = u(c0) + (1 + n)u(c1) + (1 + n)22u(c2) + ...

    =

    t=0

    t(1 + n)tu(ct)

    con 11+ (relacin entre tasa y factor de descuento)

    U0 = u(c0) +

    (1 + n

    1 +

    )u(c1) +

    (1 + n

    1 +

    )2u(c2) + ...

    =

    t=0

    (1 + n

    1 +

    )tu(ct) =

    t=0

    t (1 + n)t u(ct)

    Fijarse, que

    et=(

    1

    1 +

    )t= t

    Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 7 / 26

  • Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

    Agente econmico (4)

    Activos nancieros:

    B(t) > 0 activo (prstamo a otro)

    B(t) < 0 pasivo (deuda)

    con Bt siendo la variacin al largo del tiempo, es decir B(t) =B(t)t que

    en tiempo discreto sera 4Bt = Bt Bt1 por cada periodo t Larestriccin presupuestara:

    B(t) = W (t)L(t) + r(t)B(t) C(t)

    El agente econmico es competitivo, es decir toma como dado el tipo de

    inters, r(t), y el salario, W (t). Para simplicar la notacin nosabstraemos de la dependencia de las variables del tiempo (t):

    B = WL+ rB C

    Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 8 / 26

  • Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

    Agente econmico (5)

    Queremos expresar la restriccin presupuestaria en terminos per cpita

    tal que b(t) = B(t)L(t)

    b =b

    t=BLt

    =BLBL

    L2

    =B

    L BL

    L

    L=B

    L nb

    con lo que

    B = WL+ rB Cen trminos per cpita es

    b = w + rb c nb

    Los activos nancieros per cpita aumentan con el ingreso per cpita,

    w + rb, disminuyen con el consumo per cpita, c, y disminuyen por elcrecimiento de la poblacin, nb.Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 9 / 26

  • Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

    Agente econmico (6)

    El agente econmico resuelve el problema siguiente:

    maxU0 =

    0

    e(n)tc1

    1 dt

    sujeto a

    b = w + rb c nb (1)= w + (r n) b casumimos que > n

    Denicin:

    Ivariable de estado (informacin que tenemos en t, variable conun b): activos nancieros b

    Ivariable de control (variable que se elige de manera ptima):

    consumo c

    Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 10 / 26

  • Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

    CPO del Hamiltoniano (1)

    Para resolver este problema por el mtodo del Hamiltoniano simplemente hay que seguir las instrucciones

    siguientes:

    1. Denir la funcin hamiltoniania al aadir a la funcin de utilidad (funcin objetivo) un

    multiplicador de Lagrange () multiplicando la parte derecha de la funcin de transicin (1):

    H = e(n)tc1

    1 + [w + (r n) b c]2. Derivar la funcin hamiltoniana respecto a la variable de control (la que queremos maximizar, es

    decir c) e igualando esta derivada a cero:

    H

    c= e(n)tc = 0 (2)Interpretacin econmica: valor marginal del consumo es igual al valor marginal de la inversin

    3. Derivar la funcin hamiltoniana respecto a la variable de estado (variable que aparece con b en lafuncin de transicin) e igualando esta derivada al valor negativo de la derivada del multiplicador

    respecto al tiempo:

    H

    b= (r n) =

    t= (3)Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 11 / 26

  • Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

    CPO del Hamiltoniano (2)

    Condicin de transversalidad:

    limt(t)b(t) = 0

    Interpretacin econmica:

    Los agentes econmicos no quieren dejar nada que tenga valor positivo

    para despus de su muerte, ya que dejaran de obtener rendimiento por

    ello. Si dejasen algo de valor para el nal, podran haberlo consumido

    antes y obtener utilidad. Si pudiesen haber obtenido ms utilidad

    antes, la solucin no era la ptima.

    O dicho de otra maera: En el caso que b(t) se queda positivo en ellimite, entonces su precio, (t), tiene que converger a cero.

    Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 12 / 26

  • Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

    CPO del Hamiltoniano (3)

    Para analizar las CPO en ms detalle, seguimos las siguientes

    instrucciones (para combinar (2) y (3) y eliminar el multiplicador ):

    1. Tomamos logaritmos de la CPO respecto al consumo (2):

    ( n)t log c(t) = log (t)

    2. Derivamos respecto al tiempo:

    ( n) cc

    =

    3. Sustituimos esta expresin en la CPO de los activos nancieros (3):

    c =c

    c=r

    Y ya tenemos la ecuacin de Euler!

    Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 13 / 26

  • Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

    Ecuacin de Euler (1)

    Interpretacin de la ecuacin de Euler:

    c =c

    c=r La ecuacin de Euler dene la decisin ptima del consumo a lo largo del

    tiempo, donde

    I es el aumento en la utilidad por consumir en el presente y no en elfuturo

    I r es el tipo de inters asociado a los activos nancieros, es decir elrendimiento neto del ahorro (precio del mercado de consumir en el

    presente y no en el futuro)

    Ipor = r tenemos cc = 0 tal que no hay alisamiento en el consumo (seconsume la misma cantidad en cada periodo)

    Ipor > 0 el consumidor desea avanzar el (acordarse que 1 denota laelasticidad de sustitucin intertemporal tal que ms bajo el valor de ,

    menos el consumidor quiere alisar su consumo y ms se trasladen

    cambios en r en cambios en c). consumo

    Quera el agente econmico bajar su consumo hoy para aumentar su

    consumo de maana?

    Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 14 / 26

  • Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

    Ecuacin de Euler (2)

    Quera el agente econmico bajar su consumo hay para aumentar su

    consumo de maana? Depende de r...

    IDisminuir el consumo hoy implica que

    cc aumenta y por lo tanto el

    ahorro aumenta

    IEl agente econmico solo har esto si la compensacin por el ahorro

    adicional es suciente

    + c

    c= r

    Para que la ecuacin se siga cumpliendo r debe aumentarIel a