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Multiplicacion de polinomios por binomios monicos
Egor Maximenkohttp://www.egormaximenko.com
Instituto Politecnico Nacional, ESFM, Mexico
29 de diciembre de 2014
Contenido
Algoritmo en accion
Justificacion
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo
(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)
= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.
5 −2 3 −4
3 15 −1 7 −9 −4
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo
(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)
= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.
5 −2 3 −4
3 15 −1 7 −9 −4
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo
(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)
= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.
5 −2 3 −4
3 15 −1 7 −9 −4
3 · 5 = 15
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo
(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)
= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.
5 −2 3 −4
3 15 −1 7 −9 −4
3 · 5 = 15
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo
(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)
= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.
5 −2 3 −4
3 15 −1 7 −9 −4
3 · (−2) + 5 = −1
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo
(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)
= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.
5 −2 3 −4
3 15 −1 7 −9 −4
3 · (−2) + 5 = −1
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo
(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)
= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.
5 −2 3 −4
3 15 −1 7 −9 −4
3 · 3 + (−2) = 7
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo
(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)
= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.
5 −2 3 −4
3 15 −1 7 −9 −4
3 · 3 + (−2) = 7
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo
(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)
= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.
5 −2 3 −4
3 15 −1 7 −9 −4
3 · (−4) + 3 = −9
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo
(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)
= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.
5 −2 3 −4
3 15 −1 7 −9 −4
3 · (−4) + 3 = −9
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo
(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)
= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.
5 −2 3 −4
3 15 −1 7 −9 −4
−4 = −4
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo
(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)
= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.
5 −2 3 −4
3 15 −1 7 −9 −4
−4 = −4
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo
(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x) = 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.
5 −2 3 −4
3 15 −1 7 −9 −4
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo
(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)
= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.
2 −3 1 0 −3
−2 −4 8 −5 1 6 −3
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo
(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)
= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.
2 −3 1 0 −3
−2 −4 8 −5 1 6 −3
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo
(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)
= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.
2 −3 1 0 −3
−2 −4 8 −5 1 6 −3
(−2) · 2 = −4
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo
(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)
= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.
2 −3 1 0 −3
−2 −4 8 −5 1 6 −3
(−2) · 2 = −4
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo
(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)
= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.
2 −3 1 0 −3
−2 −4 8 −5 1 6 −3
(−2) · (−3) + 2 = 8
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo
(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)
= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.
2 −3 1 0 −3
−2 −4 8 −5 1 6 −3
(−2) · (−3) + 2 = 8
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo
(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)
= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.
2 −3 1 0 −3
−2 −4 8 −5 1 6 −3
(−2) · 1 + (−3) = −5
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo
(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)
= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.
2 −3 1 0 −3
−2 −4 8 −5 1 6 −3
(−2) · 1 + (−3) = −5
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo
(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)
= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.
2 −3 1 0 −3
−2 −4 8 −5 1 6 −3
(−2) · 0 + 1 = 1
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo
(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)
= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.
2 −3 1 0 −3
−2 −4 8 −5 1 6 −3
(−2) · 0 + 1 = 1
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo
(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)
= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.
2 −3 1 0 −3
−2 −4 8 −5 1 6 −3
(−2) · (−3) + 0 = 6
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo
(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)
= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.
2 −3 1 0 −3
−2 −4 8 −5 1 6 −3
(−2) · (−3) + 0 = 6
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo
(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)
= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.
2 −3 1 0 −3
−2 −4 8 −5 1 6 −3
−3 = −3
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo
(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)
= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.
2 −3 1 0 −3
−2 −4 8 −5 1 6 −3
−3 = −3
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo
(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x) = −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.
2 −3 1 0 −3
−2 −4 8 −5 1 6 −3
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo
(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x)
= −8 + 8x + x3 + 2x4.
−4 6 −3 22
− 8 8 0 1 2
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo
(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x)
= −8 + 8x + x3 + 2x4.
−4 6 −3 22
− 8 8 0 1 2
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo
(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x)
= −8 + 8x + x3 + 2x4.
−4 6 −3 22 − 8
8 0 1 2
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo
(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x)
= −8 + 8x + x3 + 2x4.
−4 6 −3 22 − 8 8
0 1 2
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo
(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x)
= −8 + 8x + x3 + 2x4.
−4 6 −3 22 − 8 8 0
1 2
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo
(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x)
= −8 + 8x + x3 + 2x4.
−4 6 −3 22 − 8 8 0 1
2
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo
(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x)
= −8 + 8x + x3 + 2x4.
−4 6 −3 22 − 8 8 0 1 2
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo
(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x) = −8 + 8x + x3 + 2x4.
−4 6 −3 22 − 8 8 0 1 2
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo
(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x)
= 3x − 4x2 + x3 − 7x4.
3 −4 1 −70
0 3 − 4 1 − 7
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo
(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x)
= 3x − 4x2 + x3 − 7x4.
3 −4 1 −70
0 3 − 4 1 − 7
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo
(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x)
= 3x − 4x2 + x3 − 7x4.
3 −4 1 −70 0
3 − 4 1 − 7
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo
(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x)
= 3x − 4x2 + x3 − 7x4.
3 −4 1 −70 0 3
− 4 1 − 7
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo
(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x)
= 3x − 4x2 + x3 − 7x4.
3 −4 1 −70 0 3 − 4
1 − 7
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo
(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x)
= 3x − 4x2 + x3 − 7x4.
3 −4 1 −70 0 3 − 4 1
− 7
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo
(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x)
= 3x − 4x2 + x3 − 7x4.
3 −4 1 −70 0 3 − 4 1 − 7
Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo
(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x) = 3x − 4x2 + x3 − 7x4.
3 −4 1 −70 0 3 − 4 1 − 7
Ejercicios
(−5 + 4x2 + 2x3 + x4)(3 + x) =
− 15 − 5x + 12x2 + 10x3 + 5x4 + x5
Se recomienda parar la presentacion y escribir la solucion en papel.
−5 0 4 2 13
− 15 −5 12 10 5 1
(4 − 3x − 3x2 − 5x3)(−1 + x) = − 4 + 7x + 2x3 − 5x4.
Se recomienda detener la presentacion y escribir la solucion en papel.
4 −3 −3 −5−1 −4 7 0 2 −5
Ejercicios
(−5 + 4x2 + 2x3 + x4)(3 + x) =
− 15 − 5x + 12x2 + 10x3 + 5x4 + x5
Se recomienda parar la presentacion y escribir la solucion en papel.
−5 0 4 2 13
− 15 −5 12 10 5 1
(4 − 3x − 3x2 − 5x3)(−1 + x) = − 4 + 7x + 2x3 − 5x4.
Se recomienda detener la presentacion y escribir la solucion en papel.
4 −3 −3 −5−1 −4 7 0 2 −5
Ejercicios
(−5 + 4x2 + 2x3 + x4)(3 + x) = − 15 − 5x + 12x2 + 10x3 + 5x4 + x5
Se recomienda parar la presentacion y escribir la solucion en papel.
−5 0 4 2 13 − 15 −5 12 10 5 1
(4 − 3x − 3x2 − 5x3)(−1 + x) = − 4 + 7x + 2x3 − 5x4.
Se recomienda detener la presentacion y escribir la solucion en papel.
4 −3 −3 −5−1 −4 7 0 2 −5
Ejercicios
(−5 + 4x2 + 2x3 + x4)(3 + x) = − 15 − 5x + 12x2 + 10x3 + 5x4 + x5
Se recomienda parar la presentacion y escribir la solucion en papel.
−5 0 4 2 13 − 15 −5 12 10 5 1
(4 − 3x − 3x2 − 5x3)(−1 + x) =
− 4 + 7x + 2x3 − 5x4.
Se recomienda detener la presentacion y escribir la solucion en papel.
4 −3 −3 −5−1 −4 7 0 2 −5
Ejercicios
(−5 + 4x2 + 2x3 + x4)(3 + x) = − 15 − 5x + 12x2 + 10x3 + 5x4 + x5
Se recomienda parar la presentacion y escribir la solucion en papel.
−5 0 4 2 13 − 15 −5 12 10 5 1
(4 − 3x − 3x2 − 5x3)(−1 + x) = − 4 + 7x + 2x3 − 5x4.
Se recomienda detener la presentacion y escribir la solucion en papel.
4 −3 −3 −5−1 −4 7 0 2 −5
Contenido
Algoritmo en accion
Justificacion
Deduccion de las formulas para un caso particular
(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )
= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.
Igualemos los coeficientes:
x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 = a4
Deduccion de las formulas para un caso particular
(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )
= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.
Igualemos los coeficientes:
x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 = a4
Deduccion de las formulas para un caso particular
(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )
= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.
Igualemos los coeficientes:
x0 : c0 =
a0bx1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 = a4
Deduccion de las formulas para un caso particular
(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )
= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.
Igualemos los coeficientes:
x0 : c0 = a0b
x1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 = a4
Deduccion de las formulas para un caso particular
(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )
= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.
Igualemos los coeficientes:
x0 : c0 = a0bx1 : c1 =
a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 = a4
Deduccion de las formulas para un caso particular
(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )
= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.
Igualemos los coeficientes:
x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 = a4
Deduccion de las formulas para un caso particular
(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )
= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.
Igualemos los coeficientes:
x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 =
a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 = a4
Deduccion de las formulas para un caso particular
(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )
= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.
Igualemos los coeficientes:
x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 = a4
Deduccion de las formulas para un caso particular
(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )
= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.
Igualemos los coeficientes:
x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 =
a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 = a4
Deduccion de las formulas para un caso particular
(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )
= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.
Igualemos los coeficientes:
x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 = a4
Deduccion de las formulas para un caso particular
(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )
= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.
Igualemos los coeficientes:
x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 =
a4b + a3
x5 : c5 = a4
Deduccion de las formulas para un caso particular
(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )
= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.
Igualemos los coeficientes:
x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 = a4
Deduccion de las formulas para un caso particular
(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )
= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.
Igualemos los coeficientes:
x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 =
a4
Deduccion de las formulas para un caso particular
(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )
= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.
Igualemos los coeficientes:
x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 = a4
De las formulas a la tabla
Aquı estan las formulas deducidas en la pagina anterior:
x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 = a4
Las podemos escribir en una tabla:
a0 a1 a2 a3 a4b a0b a1b + a0 a2b + a1 a3b + a2 a4b + a3 a4
c0 c1 c2 c3 c4 c5
De las formulas a la tabla
Aquı estan las formulas deducidas en la pagina anterior:
x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 = a4
Las podemos escribir en una tabla:
a0 a1 a2 a3 a4b a0b a1b + a0 a2b + a1 a3b + a2 a4b + a3 a4
c0 c1 c2 c3 c4 c5
De las formulas a la tabla
Aquı estan las formulas deducidas en la pagina anterior:
x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0
x2 : c2 = a2b + a1
x3 : c3 = a3b + a2
x4 : c4 = a4b + a3
x5 : c5 = a4
Las podemos escribir en una tabla:
a0 a1 a2 a3 a4b a0b a1b + a0 a2b + a1 a3b + a2 a4b + a3 a4
c0 c1 c2 c3 c4 c5
Ejercicio: deducir las formulas para otro caso particular
Multiplicar un polinomio de grado 3 por un binomio monico.Expresar c0, . . . , c4 a traves de a0, . . . , a3 y b:
(a0 + a1x + a2x2 + a3x3)(b + x) = c0 + c1 + c2x2 + c3x3 + c4x4.
c0 =?
c1 =?
c2 =?
c3 =?
c4 =?
Demostracion formalUsamos la siguiente notacion para los datos iniciales y para el resultado:
f (x) =n−1∑j=0
ajx j , g(x) = b + x , h(x) = f (x)g(x) =n∑
j=0cjx j .
f (x)g(x) =n−1∑j=0
(ajb)x j +n−1∑j=0
ajx j+1 =n−1∑j=0
(ajb)x j +n∑
k=1ak−1xk
= a0b +n−1∑j=1
(ajb)x j +n−1∑j=1
aj−1x j + an−1xn
= a0b +n−1∑j=1
(ajb + aj−1)x j + an−1xn.
Obtenemos las siguientes formulas para los coeficientes del producto:
c0 = a0b, cj = ajb + aj−1 (1 ≤ j ≤ n − 1), cn = an−1.
Demostracion formalUsamos la siguiente notacion para los datos iniciales y para el resultado:
f (x) =n−1∑j=0
ajx j , g(x) = b + x , h(x) = f (x)g(x) =n∑
j=0cjx j .
f (x)g(x) =n−1∑j=0
(ajb)x j +n−1∑j=0
ajx j+1
=n−1∑j=0
(ajb)x j +n∑
k=1ak−1xk
= a0b +n−1∑j=1
(ajb)x j +n−1∑j=1
aj−1x j + an−1xn
= a0b +n−1∑j=1
(ajb + aj−1)x j + an−1xn.
Obtenemos las siguientes formulas para los coeficientes del producto:
c0 = a0b, cj = ajb + aj−1 (1 ≤ j ≤ n − 1), cn = an−1.
Demostracion formalUsamos la siguiente notacion para los datos iniciales y para el resultado:
f (x) =n−1∑j=0
ajx j , g(x) = b + x , h(x) = f (x)g(x) =n∑
j=0cjx j .
f (x)g(x) =n−1∑j=0
(ajb)x j +n−1∑j=0
ajx j+1 =n−1∑j=0
(ajb)x j +n∑
k=1ak−1xk
= a0b +n−1∑j=1
(ajb)x j +n−1∑j=1
aj−1x j + an−1xn
= a0b +n−1∑j=1
(ajb + aj−1)x j + an−1xn.
Obtenemos las siguientes formulas para los coeficientes del producto:
c0 = a0b, cj = ajb + aj−1 (1 ≤ j ≤ n − 1), cn = an−1.
Demostracion formalUsamos la siguiente notacion para los datos iniciales y para el resultado:
f (x) =n−1∑j=0
ajx j , g(x) = b + x , h(x) = f (x)g(x) =n∑
j=0cjx j .
f (x)g(x) =n−1∑j=0
(ajb)x j +n−1∑j=0
ajx j+1 =n−1∑j=0
(ajb)x j +n∑
k=1ak−1xk
= a0b +n−1∑j=1
(ajb)x j +n−1∑j=1
aj−1x j + an−1xn
= a0b +n−1∑j=1
(ajb + aj−1)x j + an−1xn.
Obtenemos las siguientes formulas para los coeficientes del producto:
c0 = a0b, cj = ajb + aj−1 (1 ≤ j ≤ n − 1), cn = an−1.
Demostracion formalUsamos la siguiente notacion para los datos iniciales y para el resultado:
f (x) =n−1∑j=0
ajx j , g(x) = b + x , h(x) = f (x)g(x) =n∑
j=0cjx j .
f (x)g(x) =n−1∑j=0
(ajb)x j +n−1∑j=0
ajx j+1 =n−1∑j=0
(ajb)x j +n∑
k=1ak−1xk
= a0b +n−1∑j=1
(ajb)x j +n−1∑j=1
aj−1x j + an−1xn
= a0b +n−1∑j=1
(ajb + aj−1)x j + an−1xn.
Obtenemos las siguientes formulas para los coeficientes del producto:
c0 = a0b, cj = ajb + aj−1 (1 ≤ j ≤ n − 1), cn = an−1.
Demostracion formalUsamos la siguiente notacion para los datos iniciales y para el resultado:
f (x) =n−1∑j=0
ajx j , g(x) = b + x , h(x) = f (x)g(x) =n∑
j=0cjx j .
f (x)g(x) =n−1∑j=0
(ajb)x j +n−1∑j=0
ajx j+1 =n−1∑j=0
(ajb)x j +n∑
k=1ak−1xk
= a0b +n−1∑j=1
(ajb)x j +n−1∑j=1
aj−1x j + an−1xn
= a0b +n−1∑j=1
(ajb + aj−1)x j + an−1xn.
Obtenemos las siguientes formulas para los coeficientes del producto:
c0 = a0b, cj = ajb + aj−1 (1 ≤ j ≤ n − 1), cn = an−1.
Tareas y aplicaciones
Ejercicio de programacion.En algun lenguaje de programacion escribir una funcionque realice el algoritmo explicado en esta presentacion.
Aplicaciones del algoritmo:Construir polinomios con raıces dadas.Construir el polinomio interpolante(formulas de Lagrange, Neville y Newton).
¡Gracias por su atencion!
Tareas y aplicaciones
Ejercicio de programacion.En algun lenguaje de programacion escribir una funcionque realice el algoritmo explicado en esta presentacion.
Aplicaciones del algoritmo:Construir polinomios con raıces dadas.Construir el polinomio interpolante(formulas de Lagrange, Neville y Newton).
¡Gracias por su atencion!
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