TS. Ngô Văn Thanh, - Viện Vật lýnvthanh/cours/numerical_methods/Chuong4_(slides).pdf · 4.2. Phương pháp bình phương tối thiểu. 4.2.1. Làm khớp dữ liệu cho

TS. Ngô Văn Thanh,Viện Vật lý.

Cao học vật lý – chuyên ngành Vật lý lý thuyết.

Chương 4. Các phương pháp cho hàm rời rạc.

4.1. Đa thức nội suy (Polynomial interpolation)4.1.1. Nội suy Lagrangian.4.1.2. Nội suy Newton.4.1.3. Nội suy bậc 3 (Cubic spline interpolation).

4.2. Phương pháp bình phương tối thiểu.4.2.1. Làm khớp dữ liệu cho các hàm tuyến tính.4.2.2. Làm khớp dữ liệu cho các hàm phi tuyến.

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

4.1. Đa thức nội suy (Polynomial interpolation).4.1.1. Nội suy Lagrangian.

Xét N điểm dữ liệu (xi, yi), i =1, N: Đa thức nội suy bậc N - 1 có dạng:

Đa thức nội suy chỉ có thể tính được các giá trị của



Thuật toán Neville :P1, P2, …, PN là đa thức bậc 0 qua mỗi một điểm

P12, P23, …, P(N-1)N là đa thức bậc 1 qua từng cặp điểm

Đa thức bậc N – 1 : P123…N

Ví dụ với N = 4: xây dựng dạng bảng các đa thức nội suy

x1:

x2:

x3:

x4:

Biểu thức liên hệ giữa hai đa thức bậc thấp hơn gần nhất:


Thuật toán Neville (tiếp theo) :

Định nghĩa :


Chương trình:*********************************************************INTEGER,FUNCTION iminloc(arr)REAL, INTENT(IN) :: arrINTEGER, DIMENSION(1) :: iminimin=minloc(arr(:))iminloc=imin(1)END FUNCTION iminloc*********************************************************SUBROUTINE polint(xa,ya,x,y,dy)IMPLICIT NONEREAL, DIMENSION(:), INTENT(IN) :: xa,yaREAL, INTENT(IN) :: xREAL, INTENT(OUT) :: y,dyINTEGER :: m,n,nsREAL, DIMENSION(size(xa)) :: c,d,den,hon=size(xa)


c=ya !Initialize the tableau of c's and d's.d=yaho=xa-xns=iminloc(abs(x-xa)) !Find index ns of closest table entry.y=ya(ns) !This is the initial approximation to y.ns=ns-1do m=1,n-1 !For each column of the tableau,

den(1:n-m)=ho(1:n-m)-ho(1+m:n) if(any(den(1:n-m)==0.0)) write(6,*)'calculation failure'den(1:n-m)=(c(2:n-m+1)-d(1:n-m))/den(1:n-m)d(1:n-m)=ho(1+m:n)*den(1:n-m)c(1:n-m)=ho(1:n-m)*den(1:n-m)if (2*ns < n-m) then

dy=c(ns+1)else

dy=d(ns)ns=ns-1

endify=y+dy

enddoEND SUBROUTINE polint


4.1.2. Nội suy NewtonBiểu thức Newton

Xác định hệ số c người ta sử dụng biểu thức:

Dạng tính kiểu truy hồi

Dạng tổng quát:


4.1.3. Cubic spline interpolationXét N điểm dữ liệu (xi, yi), i =1, N.

Xét điểm x nằm trong khoảng hai điểmTa có:

Nếu ta có các giá trị đạo hàm bậc hai thì ta có thể viết

Với

Các đạo hàm:


Chương trình:*********************************************************SUBROUTINE spline(x,y,yp1,ypn,y2)IMPLICIT NONEREAL, DIMENSION(:), INTENT(IN) :: x,yREAL, INTENT(IN) :: yp1,ypnREAL, DIMENSION(:), INTENT(OUT) :: y2INTEGER :: nREAL, DIMENSION(size(x)) :: a,b,c,rn=size(x)c(1:n-1)=x(2:n)-x(1:n-1) !Set up the tridiagonal equations.

r(1:n-1)=6.0*((y(2:n)-y(1:n-1))/c(1:n-1))r(2:n-1)=r(2:n-1)-r(1:n-2)a(2:n-1)=c(1:n-2)b(2:n-1)=2.0*(c(2:n-1)+a(2:n-1))b(1)=1.0b(n)=1.0


if (yp1 > 0.99e30) then

r(1)=0.0c(1)=0.0

else r(1)=(3.0/(x(2)-x(1)))*((y(2)-y(1))/(x(2)-x(1))-yp1)c(1)=0.5

end if if (ypn > 0.99e30) then

r(n)=0.0a(n)=0.0

else r(n)=(-3.0/(x(n)-x(n-1))) &*((y(n)-y(n-1))/(x(n)-x(n-1))-ypn)

a(n)=0.5end ifcall tridag(a(2:n),b(1:n),c(1:n-1),r(1:n),y2(1:n))END SUBROUTINE spline


SUBROUTINE tridag(a,b,c,r,u) …bet=b(1)if(bet==0.) write(6,*) 'Error 1 in tridag'allocate(gam(n))u(1)=r(1)/betdo j=2,n

gam(j)=c(j-1)/betbet=b(j)-a(j-1)*gam(j)if(bet==0.) write(6,*) 'Error 2 in tridag'u(j)=(r(j)-a(j-1)*u(j-1))/bet

enddodo j=n-1,1,-1

u(j)=u(j)-gam(j+1)*u(j+1)enddodeallocate(gam)


FUNCTION splint(xa,ya,y2a,x)IMPLICIT NONEREAL, DIMENSION(:), INTENT(IN) :: xa,ya,y2aREAL, INTENT(IN) :: xREAL :: splintINTEGER :: khi,klo,nREAL :: a,b,hn=size(xa)klo=max(min(locate(xa,x),n-1),1)khi=klo+1 h=xa(khi)-xa(klo)if (h == 0.0) write(6,*) 'The xa must be distinct'a=(xa(khi)-x)/h b=(x-xa(klo))/hsplint=a*ya(klo)+b*ya(khi)& +((a**3-a)*y2a(klo)+(b**3-b)*y2a(khi))*(h**2)/6.0END FUNCTION splint


4.2. Phương pháp bình phương tối thiểu.Xét N điểm dữ liệu (xi, yi), i =1, N với M tham số hiệu chỉnh a1, a2, … aM.Hàm làm khớp có dạng:

Định nghĩa hàm bình phương tối thiểu

Trong đó độ lệch chuẩn

Cực tiểu của hàm bình phương tối thiểu


4.2.1. Làm khớp dữ liệu cho các hàm tuyến tính.Xét N điểm dữ liệu (xi, yi), i =1, N: Làm khớp dữ liệu cho một hàm tuyến tính bậc nhất có dạng:

Hàm bình phương tối thiểu

Cực tiểu của hàm bình phương tối thiểu

Định nghĩa các tổng


Nghiệm của hệ là

Sai số:Định nghĩa

Viết lại nghiệm a, b và các sai số:


Xét N điểm dữ liệu (xi, yi), i =1, N: Làm khớp dữ liệu cho một hàm tuyến tính có dạng:

Trong đó Xk(x) gọi là hàm cơ sởHàm bình phương tối thiểu

Định nghĩa ma trận design A

Các hệ số làm khớp cũng là một ma trận a


Lấy đạo hàm của hàm bình phương tối thiểu

Viết lại dạng phương trình ma trận

Trong đó

Phương trình ma trận có thể viết dưới dạng:


Các hệ số a

Độ lệch:


SUBROUTINE lfit(x,y,sig,a,maska,covar,chisq,funcs)IMPLICIT NONEREAL, DIMENSION(:), INTENT(IN) :: x,y,sigREAL, DIMENSION(:), INTENT(INOUT) :: aLOGICAL, DIMENSION(:), INTENT(IN) :: maskaREAL, DIMENSION(:,:), INTENT(INOUT) :: covarREAL, INTENT(OUT) :: chisqINTERFACE

SUBROUTINE funcs(x,arr)…

END SUBROUTINE funcsEND INTERFACEINTEGER :: i,j,k,l,ma,mfit,nREAL :: sig2i,wt,ymREAL, DIMENSION(size(maska)) :: afuncREAL, DIMENSION(size(maska),1) :: betan=size(x)ma=size(maska)mfit=count(maska)


if (mfit == 0) write(6,*) 'no parameters to be fitted'covar(1:mfit,1:mfit)=0.0 !Initialize the matrix.beta(1:mfit,1)=0.0do i=1,n

call funcs(x(i),afunc) !the normal equations.ym = y(i)if (mfit< ma) ym=ym-sum(a(1:ma) &*afunc(1:ma),mask=.not. maska)sig2i=1.0/sig(i)**2; j = 0do l=1,ma

if (maska(l)) thenj=j+1wt=afunc(l)*sig2ik=count(maska(1:l))covar(j,1:k)=covar(j,1:k)&

+wt*pack(afunc(1:l),maska(1:l))beta(j,1)=beta(j,1)+ym*wt

end ifenddo

enddo@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

call diagmult(covar(1:mfit,1:mfit),0.5)covar(1:mfit,1:mfit)= covar(1:mfit,1:mfit) &

+transpose(covar(1:mfit,1:mfit))call gaussj(covar(1:mfit,1:mfit),beta(1:mfit,1:1a(1:ma)=unpack(beta(1:ma,1),maska,a(1:ma))chisq=0.0 !Evaluate \chi^2 of the fit.do i=1,n

call funcs(x(i),afunc)chisq=chisq+((y(i)dot_product(a(1:ma),afunc(1:ma)))/sig(i))**2

end docall covsrt(covar,maska)END SUBROUTINE lfit


4.2.2. Làm khớp dữ liệu cho các hàm phi tuyến.


Documents

TS. Ngô Văn Thanh, - Viện Vật lýnvthanh/cours/numerical_methods/Chuong4_(slides).pdf · 4.2. Phương pháp bình phương tối thiểu. 4.2.1. Làm khớp dữ liệu cho