View
749
Download
16
Category
Preview:
DESCRIPTION
Newton Gregory backward
Citation preview
BAB I
PENDAHULUAN
I.1 Latar Belakang
Berkembangnya ilmu pengetahuan diiringi dengan teknologi yang semakin
membooming menuntut mahasiswa teknik harus mengetahui asal muasal rumus-rumus utama
yang digunakan di aplikasi komputer.
Sebagai contoh adalah ketika kita berhadapan dengan permasalahan yang ada di dalam
penelitian di laboratorium. Polinom interpolasi sangat bermanfaat dalam menghitung nilai
fungsi untuk semua x, atau nilai fungsi pada x yang tidak terdapat pada hasil percobaan
pengamatan misalnya dari hasil pengamatan di lapangan atau laboratorium. Dalam proses
kerjanya, menentukan koefisienkoefisien polinom interpolasi merupakan pekerjaan yang
rumit.
Untuk itu, peneliti mengembangkan metode-metode baru agar perhitungannya menjadi
lebih sederhana dan teratur. Salah satu metode pengkonstruksian polinom interpolasi, yaitu
polinom interpolasi Lagrange dan polinom interpolasi bagi beda Newton. Secara analitik,
kedua polinom ini akan menghasilkan polinom yang sama karena dijamin oleh sifat
ketunggalan yang telah dikemukakan. Perbedaanya hanya terletak pada cara penulisan
polinom tersebut.
Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinom Newton untuk titik-
titik yang berjarak sama. Pada kebanyakan aplikasi, nilai-nilai berjarak sama, misalnya
pada tabel nilai fungsi atau pada pengukuran yang dlakukan dalam selang waktu yang teratur.
[1]
II.2 Tujuan
Tujuan dari pembuatan laporan ini adalah untuk:
Memahami bentuk Polinom Newton-Gregory Mundur.
Memahami langkah – langkah penyelesaian Newton-Gregory Mundur.
Mempermudah mahasiswa dalam memahami intisari dari Polinom Newton-Gregory
Mundur
Menyelesaikan tugas Mata Kuliah Analisa Numerik dan Pemrograman Komputer.
[2]
BAB II
ISI
II.1 Penjelasan Umum
Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinomial Newton untuk
titik-titik yang berjarak sama. Pada aplikasi nilai-nilai x berjarak sama, misal pada tabel
nilai fungsi , atau pengukuran pada selang waktu yang teratur. Untuk titik-titik yang
berjarak sama, rumus polinom Newton menjadi lebih sederhana, selain itu tabel selisih
menjadi lebih mudah dibentuk. Disini kita menanamkan tabel tersebut sebagai tabel
selisih. Ada dua macam tabel selisih, yaitu tabel selisih maju (foward difference) dan
tabel selisih mundur (backward difference).
Karena itu, ada dua macam polinom Newton-Gregory, yaitu polinom Newton-
Gregory maju, dan polinom Newton-Gregory mundur.
Polinom interpolasi sangat bermanfaat dalam menghitung nilai fungsi untuk semua
x, atau nilai fungsi pada x yang tidak terdapat pada hasil percobaan pengamatan misalnya
dari hasil pengamatan di lapangan atau laboratorium. Dalam proses kerjanya, menentukan
koefisienkoefisien polinom interpolasi merupakan pekerjaan yang rumit. Untuk itu, peneliti
mengembangkan metode-metode baru agar perhitungannya menjadi lebih sederhana dan
teratur. Salah satu metode pengkonstruksian polinom interpolasi, yaitu polinom interpolasi
Lagrange dan polinom interpolasi bagi beda Newton. Secara analitik, kedua polinom ini akan
menghasilkan polinom yang sama karena dijamin oleh sifat ketunggalan yang telah
dikemukakan. Perbedaanya hanya terletak pada cara penulisan polinom tersebut.
[3]
Kelebihan Polinom Newton adalah sebagai berikut :
1. Polinom Newton dibentuk dengan menambahkan satu suku tunggal dengan polinom
derajat yang lebih rendah, maka ini memudahkan perhitungan polino derajat yang
lebih tinggi dalam program yang sama. Karena alasan itu, polinom Newton sering
digunakan pada kasus dengan derajat polinom tidak diketahui.
2. Penambahan suku-suku polinom secara beruntun dapat dijadikan kriteria untuk
menentukan tercapainya titik berhenti, yaitu bilamana penambahan suku-suku yang
lebih tinggi tidak lagi secara berarti memperbaiki nilai interpolasi (bahkan
memperburuk).
3. Tabel selisih terbagi dapat dipakai berulang-ulang untuk memperkirakan nilai fungsi
dengan nilai yang berlainan.
Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak
dapat digunakan. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya hubungan antara p(n-1) x dan pn(x)
pada polinom Lagrange. Pada polinom Newton, polinom yang dibentuk sebelumnya dapat
dipakai untuk membuat polinom derajat yang lebih tinggi.
Karena polinom Newton dibentuk dengan menambahkan satu suku tunggal dengan
polinom derajat yang lebih rendah, maka ini memudahkan perhitungan polinom derajat
yang lebih tinggi dalam program yang sama. Karena alasan itu, polinom Newton sering
digunakan khususnya pada kasus yang derajat polinomnya tidak diketahui terlebih dahulu.
Selain itu dapat digunakan untuk menentukan apakah jika derajatnya ditambahkanakan
menambah atau justru mengurangi ketepatan nilai interpolasi.
[4]
II.2 Polinom Newton - Gregory Mundur
Polinom Newton-Gregory Mundur (Newton-Gregory backward) didasarkan
pada table selisih mundur. Titik-titik yang berjarak sama
yaitu dalam hal ini
dan nilai x yang diinterpolasikan adalah:
x0 , x1 , x2 ,....,
xn
yang
[5]
Sebagai contoh tabel selisih mundur diperlihatkan oleh tabel sebagai berikut:
Polinom Newton-Gregory Mundur didasarkan pada tabel selisih
mundur. Penurunan rumus Polinom Newton-Gregory Mundur sama dengan
penurunan rumus Polinom Newton-Gregory Maju,
[6]
Secara umum Newton gregory maju dan mundur itu sama, bedanya hanya pada
rumus s saja, pada gregory maju kita menggunakan tanda (-) sedangkan gregory
maju kita menggunakan (+)
karena dipengaruhi oleh bentuk tabelnya.
Rumus newton gregory maju :
Rumus newton gregory mundur:
[7]
BAB III
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
III.1 Contoh Soal
Buatlah tabel selisih untuk fungsi f(x) = 1 / (x+1) pada selang (0,000, 0,625)
dan h = 0,125. Hitung dengan newton gregory maju dan newton gregory
mundur, Jelaskan apakah ada perbedaan?
III.2 Penyelesaian
Dengan Newton Gregory maju :
[8]
Dengan newton gregory mundur :
x f(x) Δf Δ2f Δ3f
0,000 1,000
0,125 0,889 -0,111
0,250 0,800 -0,089 0,022
0,375 0,727 -0,073 0,016 - 0,006
0,500 0,667 -0,060 0,013 -0,003
0,625 0,615 - 0,052 0,008 -0,005
• X0 = 0,625
• X1 = 0,500
• X2 = 0,375
• X3 = 0,250 dst
[9]
Karena 0,300 terletak di sekitar pertengahan selang (0,500 ; 0,125) dan h = 0,125,
Maka nilai s adalah
X = x0 + sh
Nilai s =
S = (x-x0) / h
= (0,300-0,500) / 0,125
= -1,6
Dimasukkan ke rumus newton gregory mundur :
f (x)=f 0+s
1!∇ f 0+
s (s+1 )2!
∇2 f 0+s ( s+1 )(s+2)
3 !∇3 f 0
f (x)=0,667+−1,61
(−0,06)+−1,6 (−0,6 )
2(0,013)+
−1,6 (−0,6 ) (0,4 )6
(−0,003)
f ( x )=0,667+0,096+0,00624−0,000192
f ( x )=¿ 0,769
Dan hasil NGB dan NGF adalah sama.
[10]
BAB IV
KESIMPULAN
IV.1 Kesimpulan
1. Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinom Newton untuk titik-
titik yang berjarak sama
2. Polinom interpolasi sangat bermanfaat dalam menghitung nilai fungsi untuk semua x,
atau nilai fungsi pada x yang tidak terdapat pada hasil percobaan pengamatan
misalnya dari hasil pengamatan di lapangan atau laboratorium
3. Fungsi interpolasi polinom diantaranya ada 2 yaitu:
1. Menghampiri fungsi rumit jadi lebih sederhana2. Menggambar kurva
[11]
DAFTAR PUSTAKA
Bambang Triadmojo. 2002. Metode Numerik. Beta Offset: Yogyakarta
Rinaldi Munir. 2003. Metode Numerik. Informatika: Bandung.
S.S. Sastry. 1984. Introductory Methods of Numerical Analysis. Makhija at India
Offset Press: New Delhi.
Sahid. 2005. Komputasi Numerik dengan Matlab. Andi: Yogyakarta
Wahyudin. 1990. Metode Numerik. Universitas Terbuka: Jakarta
http://erwin2h.wordpress.com/2011/05/13/tugas-polinom-newton-gregory-dengan-matlab/
10111941.blog.unikom.ac.id/landasan-teori.547
risqi.blog.com/2010/12/18/rumus-polinom-newton-gregory-mundur/
[12]
Recommended