BAB I

PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang

Berkembangnya ilmu pengetahuan diiringi dengan teknologi yang semakin

membooming menuntut mahasiswa teknik harus mengetahui asal muasal rumus-rumus utama

yang digunakan di aplikasi komputer.

Sebagai contoh adalah ketika kita berhadapan dengan permasalahan yang ada di dalam

penelitian di laboratorium. Polinom interpolasi sangat bermanfaat dalam menghitung nilai

fungsi untuk semua x, atau nilai fungsi pada x yang tidak terdapat pada hasil percobaan

pengamatan misalnya dari hasil pengamatan di lapangan atau laboratorium. Dalam proses

kerjanya, menentukan koefisienkoefisien polinom interpolasi merupakan pekerjaan yang

rumit.

Untuk itu, peneliti mengembangkan metode-metode baru agar perhitungannya menjadi

lebih sederhana dan teratur. Salah satu metode pengkonstruksian polinom interpolasi, yaitu

polinom interpolasi Lagrange dan polinom interpolasi bagi beda Newton. Secara analitik,

kedua polinom ini akan menghasilkan polinom yang sama karena dijamin oleh sifat

ketunggalan yang telah dikemukakan. Perbedaanya hanya terletak pada cara penulisan

polinom tersebut.

Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinom Newton untuk titik-

titik yang berjarak sama. Pada kebanyakan aplikasi, nilai-nilai   berjarak sama, misalnya

pada tabel nilai fungsi atau pada pengukuran yang dlakukan dalam selang waktu yang teratur.

[1]

II.2 Tujuan

Tujuan dari pembuatan laporan ini adalah untuk:

Memahami bentuk Polinom Newton-Gregory Mundur.

Memahami langkah – langkah penyelesaian Newton-Gregory Mundur.

Mempermudah mahasiswa dalam memahami intisari dari Polinom Newton-Gregory

Mundur

Menyelesaikan tugas Mata Kuliah Analisa Numerik dan Pemrograman Komputer.

[2]

BAB II

ISI

II.1 Penjelasan Umum

Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinomial Newton untuk

titik-titik yang berjarak sama. Pada aplikasi nilai-nilai x berjarak sama, misal pada tabel

nilai fungsi , atau pengukuran pada selang waktu yang teratur. Untuk titik-titik yang

berjarak sama, rumus polinom Newton menjadi lebih sederhana, selain itu tabel selisih

menjadi lebih mudah dibentuk. Disini kita menanamkan tabel tersebut sebagai tabel

selisih. Ada dua macam tabel selisih, yaitu tabel selisih maju (foward difference) dan

tabel selisih mundur (backward difference).

Karena itu, ada dua macam polinom Newton-Gregory, yaitu polinom Newton-

Gregory maju, dan polinom Newton-Gregory mundur.

Polinom interpolasi sangat bermanfaat dalam menghitung nilai fungsi untuk semua

x, atau nilai fungsi pada x yang tidak terdapat pada hasil percobaan pengamatan misalnya

dari hasil pengamatan di lapangan atau laboratorium. Dalam proses kerjanya, menentukan

koefisienkoefisien polinom interpolasi merupakan pekerjaan yang rumit. Untuk itu, peneliti

mengembangkan metode-metode baru agar perhitungannya menjadi lebih sederhana dan

teratur. Salah satu metode pengkonstruksian polinom interpolasi, yaitu polinom interpolasi

Lagrange dan polinom interpolasi bagi beda Newton. Secara analitik, kedua polinom ini akan

menghasilkan polinom yang sama karena dijamin oleh sifat ketunggalan yang telah

dikemukakan. Perbedaanya hanya terletak pada cara penulisan polinom tersebut.

[3]

Kelebihan Polinom Newton adalah sebagai berikut :

1. Polinom Newton dibentuk dengan menambahkan satu suku tunggal dengan polinom

derajat yang lebih rendah, maka ini memudahkan perhitungan polino derajat yang

lebih tinggi dalam program yang sama. Karena alasan itu, polinom Newton sering

digunakan pada kasus dengan derajat polinom tidak diketahui.

2. Penambahan suku-suku polinom secara beruntun dapat dijadikan kriteria untuk

menentukan tercapainya titik berhenti, yaitu bilamana penambahan suku-suku yang

lebih tinggi tidak lagi secara berarti memperbaiki nilai interpolasi (bahkan

memperburuk).

3. Tabel selisih terbagi dapat dipakai berulang-ulang untuk memperkirakan nilai fungsi

dengan nilai yang berlainan.

Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak

dapat digunakan. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya hubungan antara p(n-1) x dan pn(x)

pada polinom Lagrange. Pada polinom Newton, polinom yang dibentuk sebelumnya dapat

dipakai untuk membuat polinom derajat yang lebih tinggi.

Karena polinom Newton dibentuk dengan menambahkan satu suku tunggal dengan

polinom derajat yang lebih rendah, maka ini memudahkan perhitungan polinom derajat

yang lebih tinggi dalam program yang sama. Karena alasan itu, polinom Newton sering

digunakan khususnya pada kasus yang derajat polinomnya tidak diketahui terlebih dahulu.

Selain itu dapat digunakan untuk menentukan apakah jika derajatnya ditambahkanakan

menambah atau justru mengurangi ketepatan nilai interpolasi.

[4]

II.2 Polinom Newton - Gregory Mundur

Polinom Newton-Gregory Mundur (Newton-Gregory backward) didasarkan

pada table selisih mundur. Titik-titik yang berjarak sama

yaitu dalam hal ini

dan nilai x yang diinterpolasikan adalah:

x0 , x1 , x2 ,....,

xn

yang

[5]

Sebagai contoh tabel selisih mundur diperlihatkan oleh tabel sebagai berikut:

Polinom Newton-Gregory Mundur didasarkan pada tabel selisih

mundur. Penurunan rumus Polinom Newton-Gregory Mundur sama dengan

penurunan rumus Polinom Newton-Gregory Maju,

[6]

Secara umum Newton gregory maju dan mundur itu sama, bedanya hanya pada

rumus s saja, pada gregory maju kita menggunakan tanda (-) sedangkan gregory

maju kita menggunakan (+)

karena dipengaruhi oleh bentuk tabelnya.

Rumus newton gregory maju :

Rumus newton gregory mundur:

[7]

BAB III

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN

III.1 Contoh Soal

Buatlah tabel selisih untuk fungsi f(x) = 1 / (x+1) pada selang (0,000, 0,625)

dan h = 0,125. Hitung dengan newton gregory maju dan newton gregory

mundur, Jelaskan apakah ada perbedaan?

III.2 Penyelesaian

Dengan Newton Gregory maju :

[8]

Dengan newton gregory mundur :

x f(x) Δf Δ2f Δ3f

0,000 1,000

0,125 0,889 -0,111

0,250 0,800 -0,089 0,022

0,375 0,727 -0,073 0,016 - 0,006

0,500 0,667 -0,060  0,013  -0,003

0,625 0,615 - 0,052 0,008  -0,005

• X0 = 0,625

• X1 = 0,500

• X2 = 0,375

• X3 = 0,250 dst

[9]

Karena 0,300 terletak di sekitar pertengahan selang (0,500 ; 0,125) dan h = 0,125,

Maka nilai s adalah

X = x0 + sh

Nilai s =

S = (x-x0) / h

= (0,300-0,500) / 0,125

= -1,6

Dimasukkan ke rumus newton gregory mundur :

f (x)=f 0+s

1!∇ f 0+

s (s+1 )2!

∇2 f 0+s ( s+1 )(s+2)

3 !∇3 f 0

f (x)=0,667+−1,61

(−0,06)+−1,6 (−0,6 )

2(0,013)+

−1,6 (−0,6 ) (0,4 )6

(−0,003)

f ( x )=0,667+0,096+0,00624−0,000192

f ( x )=¿ 0,769

Dan hasil NGB dan NGF adalah sama.

[10]

BAB IV

KESIMPULAN

IV.1 Kesimpulan

1. Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinom Newton untuk titik-

titik yang berjarak sama

2. Polinom interpolasi sangat bermanfaat dalam menghitung nilai fungsi untuk semua x,

atau nilai fungsi pada x yang tidak terdapat pada hasil percobaan pengamatan

misalnya dari hasil pengamatan di lapangan atau laboratorium

3. Fungsi interpolasi polinom diantaranya ada 2 yaitu:

1. Menghampiri fungsi rumit jadi lebih sederhana2. Menggambar kurva

[11]

DAFTAR PUSTAKA

Bambang Triadmojo. 2002. Metode Numerik. Beta Offset: Yogyakarta

Rinaldi Munir. 2003. Metode Numerik. Informatika: Bandung.

S.S. Sastry. 1984. Introductory Methods of Numerical Analysis. Makhija at India

Offset Press: New Delhi.

Sahid. 2005. Komputasi Numerik dengan Matlab. Andi: Yogyakarta

Wahyudin. 1990. Metode Numerik. Universitas Terbuka: Jakarta

http://erwin2h.wordpress.com/2011/05/13/tugas-polinom-newton-gregory-dengan-matlab/

10111941.blog.unikom.ac.id/landasan-teori.547

risqi.blog.com/2010/12/18/rumus-polinom-newton-gregory-mundur/

[12]