Дифференциальные уравнения в частных ... · 2017-05-12 ·...

Дифференциальные уравнения в частных производных

Лекция № 4

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики

2Введение

Уравнения в частных производных в отличие от обыкновенных дифференциальныхуравнений содержат более одной независимой переменной.Такими переменными могут быть, например, одновременно пространственныекоординаты и время или только пространственные координаты для статическойзадачи.В уравнениях производные от функций по любой из независимых переменныхявляются частными. Также уравнения могут содержать смешанные производные.Уравнение в частных производных может быть представлено в виде:

( , ,...; , , ,...; , ,...) 0x y xx xyF x y u u u u u ,где x, y,… – независимые переменные; u=u(x, y,…) – искомая функция; x

duudx

,

yduudy

2

2xxd uudx

2

xyd uudxdy

, , , …

Далее будем понимать, что все фигурирующие функции по умолчанию являютсянепрерывными и имеющими непрерывные производные соответствующих порядков.

3Введение

Любое дифференциальное уравнение в частных производных имеет бесконечноемножество решений.На практике наибольший интерес представляют решения, удовлетворяющиедополнительным условиям. Как правило, задачи, описывающие физические илихимические процессы в рамках дифференциальных уравнений в частных производных,включают в себя краевые условия.

Принято различать начальные и граничные условия.Граничные условия – характеризуют поведение решения задачи на некоторойграничной линии (поверхности) или в ее окрестности.Начальные условия – представляют собой краевые условия во времени, которые,например, характеризуют распределение искомой функции в начальный моментвремени.

4Дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных

Пусть дан стержень (или любое другое тело, в котором теплопередача по одной изкоординат является определяющей для исследуемого процесса, теплопередачей же подвум другим координатам можно пренебречь) длиной l. Границы стержня имеюткоординаты x=0, x=l. Обозначим через S площадь сечения стержня с плоскости,перпендикулярной оси x. Будем полагать S настолько малой, что все точки одногосечения имеют идентичную температуру. Обозначим T=T(x, t) температуру точек всечении стержня с координатой x в момент времени t. Будем считать, что стерженьтеплоизолирован вдоль боковой поверхности, а внутри стержня нет источников илистоков тепла.Рассмотрим элементы стержня между двумя соседними сечениями с координатами x иx+dx (рис. 1).

На примере задачи кондуктивной теплопередачи в твердом телерассмотрим вывод дифференциального уравнения теплопроводности вчастных производных.

Рис. 1. Элемент стержня

5Дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных

Найдем количество тепла dQ, которое аккумулируется выделенным элементом за времяdt. Согласно закону Фурье интенсивность q(x, t) теплового потока в сечении x:

( , )( , ) ( ) T x tq x t xx

,

где λ(x) – коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К).В этом выражении знак минус означает, что тепло распространяется из области сбольшей температурой в область с меньшей температурой, т.к. градиент температуры∂T/∂x характеризует направление роста температуры.Через левое сечение к элементу стержня (рис. 1) за время dt будет подведено количествотепла:

1( , )( ) T x tdQ x S dtx

Через правое сечение от выделенного элемента стержня вовне за время dt отводитсяколичество тепла:

2( , )( ) T x dx tdQ x dx S dtx

.

.

6

Для преобразования последнего выражения воспользуемся формулой Тейлора, согласнокоторой функцию p(x+dx) можно представить в виде:

Дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных

2 2

2( ) ( )( ) ( ) ...

1! 2!p x dx p x dxp x dx p xx x

Представляя λ(x+dx) и ( , )T x dx tx

по формуле Тейлора и отбрасывая бесконечно малые

слагаемые порядка (dx)2, получим:

( )x dx dxx

,

2

2( , )T x dx t T T dxx x x

,

2

2 2T T TdQ S dx dx dtx xx

.

Здесь λ, λ’, Tx

2

2Tx

, вычисляются на границе x.

7Дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных

Количество тепла, аккумулированное элементом стержня за время dt:2

1 2 2( , ) ( , )( ) ( )T x t T x tdQ dQ dQ S x x dxdt

xx

.

Выражение в скобках представляет производную от произведения функций λ(x) и ( , )T x tx

,тогда получим:

( , )( ) T x tdQ S x dxdtx x

.

С другой стороны, в результате притока энергии температура в элементе стержня завремя dt повышается на величину:

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )T x t T x tT x t dt T x t T x t dt T x t dtt t

.

Количество тепла, аккумулированное элементом стержня за время dt, также можнопредставить в виде:

( , )T x tdQ CSdx dtt

,

где ρ – плотность материала стержня, кг/м3; С – теплоемкость, Дж/кг·К; Sdx – объемэлемента стержня, м3.

(1)

(2)

(3)

8Дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных

Приравняв правые части выражений (2) и (3), получим:

( )T TC xt x x

.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных являетсяуравнением параболического типа.Если стержень однороден, то значения ρ, С, λ постоянны.Уравнение теплопроводности можно записать в виде:

2

2T Tat x

,

где a C – коэффициент температуропроводности, м2/с.

Если в стержне происходит выделение или поглощение тепла, например, вследствиехимических реакций, тогда количество тепла, аккумулированное элементом стержня завремя dt за счет источника тепла, будет равно:

0 ( , )dQ SdxF x t dt ,где F(x, t) – плотность тепловыделения внутри стержня, Вт/м3.

(4)

9Дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных

Суммируя выражения (2) и (4) и приравнивая эту сумму к выражению (3), получимнелинейное дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных,учитывающее тепловыделение за счет внутренних источников:

( ) ( , )T TC x F x tt x x

.

Для однородного стержня это уравнение можно записать в виде:2

2( , )T T F x ta

t Cx

. (5)

Аналогично выводятся уравнения, описывающие теплопередачу в двумерных итрехмерных задачах:

2 2

2 2( , , )T T T F x y ta

t Cx y

,

2 2 2

2 2 2( , , , )T T T T F x y z ta

t Cx y z

.

10Дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных

В операторной форме записи последнее уравнение можно представить в виде:

div( ( , , )grad ) ( , , , )TC x y z T F x y z tt

.

При теплопередачи в движущейся жидкости или газе уравнение теплопроводности сучетом конвективного теплообмена принимает вид:

2 2 2( ) ( ) ( )

2 2 2 ( , , , )x y zT T T T T T TC V V V F x y z tt x y z x y z

,

где V(x), V(y), V(z) – проекции вектора скорости жидкости или газа на соответствующиеоси декартовой системы координат, м/с.

Слагаемые ( )x TVx

( )y TVy

( )z TVz

характеризуют перенос тепла жидкостью или газом, ,

при движении среды.

11Дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных

В случае идеальной несжимаемой жидкости проекции скоростей V(x), V(y), V(z)

определяются из системы уравнений:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

,

,

,

x x x xx y z

y y y yx y z

z z z zx y z

x y z

V V V V PV V Vt x y z x

V V V V PV V Vt x y z y

V V V V PV V Vt x y z z

V V Vx y z

0,

где ρ – плотность жидкости кг/м3; P(x, y, z, t) – гидродинамическое давление, Н/м2.

12Дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных

Первое уравнение (векторное) представляет собой второй закон динамики и выражаетзакон движения жидкости под действием сил давления, второе – уравнениенеразрывности (сплошности) среды.

При решении задачи теплопередачи в цилиндрической (r, φ) и сферической (r, Θ, φ)системах координат уравнение теплопроводности имеет вид:

2 2 2

2 2 2 21 1T T T T TC

t r rr r z

,

2 2

2 2 2 2 2

sin

sin sin2 1

TT T T TCt r rr r r

.

13Дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных

Изображение радиус-вектора в цилиндрической и сферической системах координатприведено на рис. 2.

Рис. 2. Радиус-вектор

Для перехода от декартовой к цилиндрической исферической системам координат использованывыражения:

2 2r x y cosx r siny r z=z,, , ,

2 2 2r x y z sin cosx r sin siny r cosz r , , , .

Уравнение теплопроводности, например (5), описываетбесконечное число вариантов развития процессакондуктивной теплопередачи.

Условия однозначности (геометрические, физические, начальные, граничные)позволяют из множества вариантов выделить один и дать его полное математическоеописание.

14Условия однозначности

Геометрические условия определяют форму и размеры тела, в котором протекаетизучаемый процесс.

Физические условия определяют теплофизические характеристики материала λ, ρ, C.

Временные (начальные) условия характеризуют распределение температуры в теле вначальный момент времени:

t=0: T=f(x, y, z).

При равномерном распределении температуры в теле начальное условие упрощается:t=0: T=T0=const.

Граничные условия определяют особенности протекания процесса на поверхности телаи могут быть заданы несколькими способами в зависимости от условий теплопередачина границе.

15Граничные условия

Граничные условия первого рода – задается распределение температуры на поверхности(или границе) тела для каждого момента времени:

T=Tw(x, y, z, t),где Tw – температура на поверхности тела, К (как правило, ее значение постоянноTw=const).

Граничные условия второго рода – задается значение теплового потока для каждойточки поверхности (или границы) тела в любой момент времени:

( , , , )ww

x y z tT qn

,

где n – нормаль к поверхности тела. Как правило, используется условие qw=const.

16

Граничные условия третьего рода – задается взаимосвязь между потоком тепла за счеттеплопроводности от твердой стенки и тепловым потоком из окружающей среды за счетконвективного потока тепла:

( )w ew

T T Tn

,

где α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2·К); Te – температура источника, К.

Граничные условия четвертого рода характеризуют условия взаимодействия награнице между телами с отличающимися теплофизическими характеристиками. По обестороны от границы раздела задаются условия равенства тепловых потоков итемператур:

1 21 2

1 2

,

( , , , ) ( , , , ),b b

b b b b b b

T Tn n

T x y z t T x y z t

где xb, yb, zb – координаты границы контакта тел.

Граничные условия

17Основных методы численного решения дифференциальных уравнений в частных производных

На практике численное решение дифференциальных уравнений в частныхпроизводных (в том числе теплопроводности), как правило, реализуется врамках одного из методов: конечных разностей; конечных элементов; конечных объемов.

18Метод конечных разностей (МКР)

Тело, в котором исследуется процесс теплопередачи, представляют в видесовокупности узлов. В дифференциальном уравнении производныеаппроксимируются в виде конечно-разностных аналогов. Полученная системалинейных алгебраических уравнений совместно с разностными аналогамиграничных условий решается численными методами с помощью ЭВМ.

Достоинствами МКР являются: высокая эффективность и простота реализации,а также наглядность процедуры дискретизации области решения, дающаявозможность построения схем относительно высокого порядка точности. Этидостоинства реализуются лишь при использовании достаточно регулярнойпространственной сетки с плавно меняющимися размерами ячеек. Какследствие, подавляющее большинство приложений МКР ограничено случаямисравнительно простых по геометрии расчетных областей.

19Метод конечных элементов (МКЭ)

Данный метод основан на идеях дискретизации исследуемого объекта наконечное множество элементов и кусочно-элементной аппроксимацииисследуемых функций. Конечные элементы могут иметь различную формуи различные размеры. В результате дискретизации объекта создается сетка изграниц элементов. Пересечения этих границ образуют узлы. На границах ивнутри элементов могут быть созданы дополнительные узловые точки.Совокупность всех конечных элементов и узлов является основой конечно-элементной модели. В каждом из элементов произвольно выбирается видаппроксимирующей функции. Вне своего элемента аппроксимирующаяфункция равна нулю. Значения функций в узлах (на границах элементов)являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициентыаппроксимирующих функций ищутся из условия равенства значениясоседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем этикоэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов.

20Метод конечных элементов (МКЭ)

Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количествоуравнений равно числу неизвестных значений в узлах, на которых ищетсярешение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов иограничивается возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан сограниченным числом соседних, система линейных алгебраических уравненийимеет разреженный вид, что достаточно существенно упрощает ее решение.Метод конечных элементов сложнее в реализации по сравнению с методомконечных разностей. Однако МКЭ имеет преимущества, проявляющиеся прирешении реальных задач: произвольная форма области исследования – криволинейная область может

быть аппроксимирована с помощью прямолинейных элементов или описанаточно с помощью криволинейных элементов;

переменные размеры элементов – можно укрупнить или измельчить сетьразбиения области на элементы, если в этом есть необходимость.

21Метод конечных объемов (МКО)

Данный метод основан на интегральной формулировке законов сохраненияэнергии, импульса, массы и др. Балансовые соотношения составляются длянебольшого контрольного объема. Их дискретный аналог получаетсясуммированием по всем граням выделенного объема потоков энергии,импульса, массы и т.д., вычисленных по каким-либо квадратурным формулам.Т.к. интегральная формулировка законов сохранения не накладываетограничений на форму контрольного объема, то МКО пригоден длядискретизации уравнений теплопроводности как на структурированных, так ина неструктурированных сетках с различной формой ячеек, что решаетпроблему сложной геометрии расчетной области. К недостаткам методаконечных объемов следует отнести сложность повышения порядкааппроксимации, особенно в случае неравномерной сетки. Однако МКО имеетпреимущества по сравнению с МКР: разностная схема заведомо консервативна; результирующие конечно-разностные формулы более просты и наглядны; меньше геометрических величин нужно хранить в памяти ЭВМ.

22Примеры решения уравнений

Метод конечных разностей

Рассмотрим численное решение линейного уравнения теплопроводности с краевымиусловиями. Анализируется теплопередача через плоскую бесконечную пластину (рис. 3).На левой границе поддерживается постоянная температура Tl, на правой границе – Tr.Начальная температура равна T0, источники тепловыделения в пластине отсутствуют.

Рис. 3. Схема области решения задачи

В рассматриваемых условиях температура будет изменятьсятолько в направлении, перпендикулярном границе пластины. Еслиось x направить, как показано на рис. 3, то температуру внаправлении y и z можно считать постоянной. Такжепредположим, что теплофизические характеристики материала независят от температуры.Уравнение теплопроводности имеет вид:

2

2T TCt x

, 0<x<L. (6)

23

Начальные и граничные условия:t=0: T=T0, 0≤x≤L;x=0: T=Tl, t>0; (7)x=L: T=Tr, t>0.

Примеры решения уравнений

Метод конечных разностей

Зададим геометрические и физические условия однозначности.

Толщина пластины L=0,1 м, теплофизические характеристики материала (сталь) λ=46Вт/(м·К); ρ=7800 кг/м3; С=460 Дж/(кг·К).

Начальная температура T0=300 К, температура на левой границе Tl=600 К, температурана правой границе Tr=400 К.

Необходимо определить распределение температуры по толщине пластины через 60 спосле начала процесса нагрева.

24Примеры решения уравнений

Метод конечных разностей

Сформулированную задачу будем решать методом конечных разностей на равномернойпространственной сетке. В уравнении (6) заменим дифференциальные операторы на ихконечно-разностные аналоги. Возможно применение явной и неявной разностных схем(рис. 4).

а) б)

Рис. 4. Шаблоны явной (а) и неявной (б) четырехточечных разностных схем

25Примеры решения уравнений

Метод конечных разностей

Явными схемами называются такие разностные схемы для эволюционных уравнений,когда данные на следующем слое по времени находятся непосредственно из данных напредыдущем слое без решения алгебраических систем уравнений. В такой схеме явноопределяется поле температуры и не нужно решать систему уравнений для определенияпрогоночных коэффициентов (αi и βi).

Если же на верхнем временном слое для определения значений сеточной функциинеобходимо решать систему алгебраических уравнений, то схема называется неявной.

Явная разностная схема является условно устойчивой и требует специальныхмероприятий по оценке возможности ее использования, например выбора шагаинтегрирования по времени. Неявная же схема всегда является устойчивой.

Заменим дифференциальные операторы в (6) на их конечно-разностные аналоги.

26Примеры решения уравнений

Метод конечных разностей

Явная схема Неявная схема

В результате аппроксимации частных производных соответствующими конечнымиразностями получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

1n ni iT TT

t

,

21 1

2 22n n nii iT T TT

x h

,

1 1 121 1

2 22n n nii iT T TT

x h

,

11 1

22n n nn nii i i iT T TT TCh

i=2, … , N–1, n≥0.

,

i=2, … , N–1, n≥0.

1 1 111 1

22n n nn nii i i iT T TT TCh

,

27Примеры решения уравнений

Метод конечных разностей

Отличие явной схемы от неявной заключается в аппроксимации диффузионногослагаемого, а именно, во временном слое, на котором рассматривается неизвестное полетемпературы.

Для определения неизвестного поля температуры по явной схеме не требуется решатьникакой системы уравнений для прогоночных коэффициентов (αi и βi). Решениенаходится из уравнения:

1 1 12

2n n nn n ii ii i

T T TT TC h

, i=2, … , N–1, n≥0

и разностных аналогов краевых условий:Ti0=T0, i=2, … , N–1;

T1n=Tl, n>0;

TNn=Tr, n>0.

28Примеры решения уравнений

Метод конечных разностей В рамках неявной разностной схемы полученную систему уравнений

1 1 111 1

22n n nn nii i i iT T TT TCh

, i=2, … , N–1, n≥0

можно свести к наиболее общему виду:1 1 1

1 1n n n

i i i i ii iAT BT CT F , i=2, … , N–1, (8)

где 2i iA Ch

22

iCB

h

ni i

CF T

, , .

Уравнение (7) решается методом прогонки.Положим, что существуют такие наборы чисел αi и βi (i=1, 2, … , N–1), при которых

1 11

n ni i iiT T

(9)т.е. трехточечное уравнение второго порядка (8) преобразуется в двухточечное уравнениепервого порядка (9).

29Примеры решения уравнений

Метод конечных разностей

Уменьшим в связи (9) индекс на единицу и полученное выражение 1 11 1 1n n

ii i iT T

подставим в уравнение (8):1 1 1

1 1 1n n n

i i i i i i ii i iAT BT C T C F ,

откуда получаем:1 1 1

11 1

n n i ii ii i

i i i ii i

C FAT TB C B C

.

Полученное выражение имеет вид (9) и будет с ним совпадать, если при всех i=2, … ,N–1 выполняются соотношения:

1

ii

i i i

AB C

, 1

1

i iii

i i i

C FB C

.

Для определения αi и βi по выражениям (10) необходима информация о значениях α1 и β1,которые находятся из левого граничного условия.

(10)

30Примеры решения уравнений

Метод конечных разностей

Далее по формулам (9) последовательно находятся значения 11

nNT

12

nNT

12nT … ,, ,

при условии, что ,

1nNT найдено из правого граничного условия.

Определим прогоночные коэффициенты:

при x=0: T=Tl, тогда 1 1

1 1 2 1n n

lT T T , отсюда для выполнения равенства

11 2 1n

lT T , : α1=0, β1=Tl,

при x=L: T=Tr, тогда 1n

rNT T .

Прогоночные коэффициенты при i=1, 2, … , N–1 вычисляются по выражениям (10).

Разностные соотношения, аппроксимирующие дифференциальную задачу (6) и (7),имеют вид:

1 1 111 1

22n n nn nii i i iT T TT TCh

, i=2, … , N–1, n≥0; (11)

31Примеры решения уравнений

Метод конечных разностей

00iT T , i=2, … , N–1;

1n

lT T , n>0;

nrNT T , n>0.

(12)

Аппроксимация дифференциальной задачи (6, (7) конечно-разностной (11), (12)выполнена с первым порядком точности по времени t и вторым по пространственнойкоординате h. При этом неявная разностная схема является абсолютно устойчивой, т.е.можно проводить интегрирование краевой задачи (6), (7) с любым разностным шагом повремени. Шаг по времени выбирается таким образом, чтобы весь интервал времениразбивался хотя бы на 10 шагов, а при дроблении шага пополам полученные результатыотличались не более чем на 0,1–1 %.

32Пример программной реализации решения дифференциального уравнения в частных производных на языке MATLAB

Блок-схема алгоритма численного решения рассматриваемой задачи:

33Пример программной реализации решения дифференциального уравнения в частных производных на языке MATLAB

34

Листинг программы численного решения рассматриваемой задачи (наязыке программирования MATLAB).

clc; clear all;

%Ввод данныхTl=600; %Температура на левой границеTr=400; %Температура на правой границеTo=300; %Начальная температураL=0.1; %Толщина пластиныlm=46; %Теплопроводность материалаp=7800; %Плотность материалаc=460; %Теплоемкость материалаtk=60; %Время расчетаN=100; %Количество пространственных узлов

Пример программной реализации решения дифференциального уравнения в частных производных на языке MATLAB

35

%Характеристика внутренних переменных для MATLABA = zeros(100);B = zeros(100);C = zeros(100);F = zeros(100);T = zeros(100);a = zeros(100);b = zeros(100);x = zeros(100);

%Решение%Шаг разностной сетки по пространственной координатеh=L/(N-1);

Пример программной реализации решения дифференциального уравнения в частных производных на языке MATLAB

36

%Шаг сетки по времениdt=tk/100;

%Поле температуры в начальный момент времениfor i=2:N-1

T(i)=To;end;%Температура на левой границеT(1)=Tl;%Температура на правой границеT(N)=Tr;

%Начало отсчета времениt=0;

Пример программной реализации решения дифференциального уравнения в частных производных на языке MATLAB

37

%Цикл с предусловием, прямая прогонкаwhile t<=tk

%Начальные прогоночные коэффициенты на основе левого граничного условия

a(1)=0;b(1)=Tl;

%Цикл для определения прогоночных коэффициентов по выражениям (28)

for i=2:N-1%Коэффициенты канонического

представления СЛАУ с трехдиагональной матрицей

A(i)=lm/(h^2);B(i)=2*lm/(h^2)+p*c/dt;C(i)=lm/(h^2);F(i)=-p*c*T(i)/dt;

Пример программной реализации решения дифференциального уравнения в частных производных на языке MATLAB

38

%Прогоночные коэффициентыa(i)=A(i)/(B(i)-C(i)*a(i-1));b(i)=(C(i)*b(i-1)-F(i))/(B(i)-C(i)*a(i-1));

end;

%Текущая координатаx(N)=L;i=N-1;

%Обратная прогонкаwhile i>=1

T(i)=a(i)*T(i+1)+b(i);x(i)=x(i+1)-h;i=i-1;

end;

%Счетчик по времениt=t+dt;

end;

Пример программной реализации решения дифференциального уравнения в частных производных на языке MATLAB

39

%Вывод графикаplot(x(1:N),T(1:N))

Результаты расчета приведены на рис. 5.

Рис. 5. Распределение температуры потолщине пластины в момент времени t=60 с

Пример программной реализации решения дифференциального уравнения в частных производных на языке MATLAB

Спасибо за внимание!

40