{ задача Коши - геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка - уравнения с разделенными и разделяющимися переменными - однородные дифференциальные уравнения - линейные дифференциальные уравнения - метод Бернулли - метод Лагранжа - уравнение Бернулли - уравнения, не разрешенные относительно производной – пример }

Задача отыскания решения дифференциального уравнения

Огюстен Луи Коши (Augustin Louis Cauchy)

1789 – 1857

Если функция f - правая часть дифференциального уравнения

dy/dx = f(x,y) непрерывна в некоторой замкнутой области D плоскости xoy и имеет в

этой области ограниченную частную производную дf(x,y)/дy, то каждой внутренней

точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее

заданным начальным условиям.

),( yxfdxdy

удовлетворяющего заданным начальным условиям y(x0 ) = y0 , называется задачей Коши.

Теорема

Геометрически это означает, что через каждую точку M0 (x0,y0) области D проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого уравнения.

Данная теорема называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения

M0 (x0,y0)D

x

y

o

),( yxfdxdy

00 yxy )(

)( xy )()( 00 xxy

)( xy

))(,()(

xxfdx

xd

@@ Решить дифференциальное уравнение первого порядка, при заданных начальных условиях

xydxdy

10y )(

xdxy

dy xy

dxdy

Решение

xdxy

dy

C2x

y2

ln||ln 2x 2

Cey

1Ce10y 0 )( 2x2

ey

M(0,1)x

y

o

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной dy/dx = f(x,y). Это уравнение для каждой точки

M(x,y) определяет значение производной dy/dx, т.е. определяет угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, рассматриваемое дифференциальное уравнение дает совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направлений (поле линейных элементов). Задача интегрирования такого уравнения, с геометрической точки зрения, заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля линейных элементов в соответствующих точках. ),( yxf

dxdy

),( ooo yxftg

M

Уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида:

0dyyNdxxM )()(

Решение: прямое интегрирование - CdyyNdxxM )()(

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

0dyyNxMdxyNxM 2211 )()()()(

Решение: приведение к виду уравнения с разделенными переменными путем деления обеих его частей на произведение N1 (y) M2 (x)

CdyyNyN

dxxMxM

1

2

2

1 )()(

)()(

@@ Решить дифференциальное уравнениеxy2y1

dxdy 2

x

dxy1

ydy22

Решение

xy2y1

dxdy 2

xdx

y1

ydy22

Cxy1 x

dx

y1

y1d 22

2

ln||ln||ln)(

Cxy1

12

Cy1x 2 )(

Уравнение M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функции M(x,y) и N(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения:

),(),(),,(),( yxNttytxN yxMttytxM nn Если уравнение может приведено к виду: dy/dx = F(x,y) = F(v) ,

где v = y/x, то оно называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Решение: для приведения к уравнению с разделяющимися переменными используется подстановка

xvy xy

v vdxdv

xdxdy )(vFv

dxdv

x

xdx

vvFdv

)(

xdx

vvFdv)(

C xvvF

dv

||ln)(

@@ Решить дифференциальное уравнение

21y 0xydy2dxx3y 22 )(,)(

Решение

vdxxdvdyxy

v

2 2 2x (v 3 )dx 2x v( xdv vdx ) 0

2(3v 3 )dx 2v( xdv) 0

0xdx3

1vvdv2

2 Cx

dx3

1vvdv2

2

ln( ) ln ln2v 1 3 x C Cxxy 22 )(

3C

3xxy 32

C112 22 )(

Частное решение

Общий интеграл

Если функция Q(x) = 0, то уравнение называется линейным однородным, в противном случае - линейным неоднородным.

Метод Бернулли

Якоб Бернулли (Jacob Bernoulli)

1654 - 1705

Применим подстановку y = u(x) v(x), где u(x) – новая неизвестная функция, v(x) – произвольная функция, которую подчиним некоторому условию

vuvuuvy )( ( ( ) ) ( )uv u v P x v Q x

Уравнение , где P(x) и Q(x) - заданные непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

)()( xQyxPy

( )v P x v 0 dxxPvdv

)( dxxPev )(

cdxexQuxQedxdu dxxPdxxP )()( )()(

))(( )()( cdxexQey dxxPdxxP

Жозеф Луи Лагранж (Joseph-Louis Lagrange)

1736 - 1813

Сначала решаем однородное уравнение

Метод Лагранжа решения линейного уравнения – метод вариации произвольной постоянной

)()( xQyxPy

dxxPCey 0yxPy )()(Полученное решение подставляем в исходное неоднородное дифференциальное уравнение, варьируя (считая переменной) постоянную C .

)()()())(( )(

)(

xQexCxPdxexCd dxxP

dxxP

( ) ( ) ( )'

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

P x dx P x dx P x dx

P x dx

C e P x C x e P x C x e

dCQ x e Q x

dx

CdxexQxC dxxP ~)()( )( ))(( )()( CdxexQey dxxPdxxP

@@ Решить дифференциальное уравнение 22 x1

x1

xy2dxdy

Решение

x1

xdx2y

dy 0

x1

xy2dxdy

22 x1

xdx2

ydy

2 )( 2x1Cy

))(( 2x1xCy CxxC x1x1dxdC 22 ~

)()(

))(( 2x1Cxy 32 xxx1Cy )(

Метод Лагранжа

При n = 0 и n = 1 – уравнение становится линейным (неоднородным или однородным)

Уравнением Бернулли называется уравнение вида:nyxQyxPy )()(

)()( xQy

1xP

dxdy

y1

1nn Уравнение можно представить в виде:

zy

11n

Уравнение Бернулли приводится к линейному с использованием подстановки

dxdy

yn1

dxyd

dxdz

n

n1

)()()()( xQn1zxPn1dxdz

Другой способ решения (Бернулли): ищем решение в виде U(x)V(x), на одну из функций накладываем условие:

0vxPdxdv

)(

@@ Решить дифференциальное уравнение xyydxdy

x 2 ln

Решение

uvy 0vdxdv

x x

dxvdv

x1

v x

dxvdv

xxu

xu

dxx1

udx

2

2 ln)(

xxu

xu

x1

xudxdu

x1

x 2

2

2 ln

dxx

xudu

22

lnx

cx1xu1

ln

cx1x1

y

ln

Метод Бернулли

Дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно имеют вид:y

0dxdy

yxF ),,(

Если в некоторой точке M(xo,yo) уравнение F(xo,yo,p) = 0, где p = y’, имеет n действительных корней, причем F(x,y,p) со своими первыми производными непрерывна при x = xo, y = yo p = pi и дF / дx не обращается в ноль, то через точку M проходит n интегральных кривых.Если данное уравнение возможно разрешить относительно производной, то оно распадается на n уравнений рассмотренного ранее вида, решив которые, получим уравнения n семейств интегральных кривых.

Если уравнение можно представить в виде или , то обозначая y’ = p, и рассматривая p как вспомогательную переменную, после дифференцирования по y или x получим уравнение относительно dp/dy или dp/dx , разрешенные относительно производной. Искомое решение получим в параметрической форме.

),( yyx ),( yxy

@@ Решить дифференциальное уравнение

2

dxdy

dxdy

yx

Решение

pdxdy

2ppyx p1

dydx

dydp

p2ypp1

)(

2

2

2 p1

p2

p1

pydpdy

2p1

pCpy

arcsin

2ppyx

Линейное неоднородное уравнение