View
92
Download
7
Category
Preview:
DESCRIPTION
Paklaidų analizė. 3 paskaita. Absoliučiosios paklaidos. Apibr ėžimas. Apytiksliu skaičiumi a vadinamas skaičius, labai mažai tesiskiriantis nuo tikslaus skaičiaus A ir pakeičiantis šį skaičių skaičiuojant. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Paklaidų analizė
3 paskaita
Absoliučiosios paklaidosApibrėžimas. Apytiksliu skaičiumi a vadinamas skaičius, labai mažai tesiskiriantis nuo tikslaus skaičiaus A ir pakeičiantis šį skaičių skaičiuojant.
Apibrėžimas. Tikslaus ir apytikslio skaičių skirtumo modulį vadiname apytikslio skaičiaus absoliučiąja paklaida ir žymime ∆, t.y.:
|A-a|= ∆.
Daugeliu atvejų galima nustatyti tokį teigiamą kiek galima mažą skaičių ∆a, nemažesnį už absoliučiąją paklaidą, t.y. ∆≤ ∆a.
Skaičius ∆a vadinamas skaičiaus a ribine absoliučiąja paklaida.
Santykinės paklaidos
Absoliučioji paklaida nepakankamai apibūdina matavimo arba skaičiavimo tikslumą. Norint tiksliau apibūdinti matavimo arba skaičiavimo tikslumą, vartojama santykinė paklaida.
Apibrėžimas. Skaičiaus a santykinė paklaida lygi jo absoliučiosios paklaidos bei tikslaus skaičiaus A modulio santykiui ir žymima δ, t.y.
Čia taip pat įvedame ribinę santykinę paklaidą δa, kuri nemažesnė už santykinę paklaidą, t.y. δ ≤ δa.
Santykinė paklaida yra normuotas dydis ir dažniausiai išreiškiamas procentais.
A
Funkcijos absoliučioji ir santykinė paklaidos
Sakykime, kad turime kelių kintamųjų funkciją:
čia x1, x2, . . ., xn – nepriklausomi kintamieji. Kuriuo nors būdu apibrėždami jų skaitines reikšmes, padarome paklaidas Šių argumentų ribines absoliučiąsias paklaidas žymime
Funkcijos absoliučioji paklaida įvertinama tokiu sąryšiu:
Funkcijos santykinė paklaida:
).,..,,( 21 nxxxfu
nxxx .,..,, 21
nxxx .,..,,21
)1(;...21
21nx
nxxu x
f
x
f
x
f
)2(....21
21nx
nxx
uu f
xf
f
xf
f
xf
f
Paklaidų kaupimas, atliekant aritmetinius veiksmus
Imkime du apytikslius teigiamus skaičius: x ir y, jų absoliučiosios ribinės paklaidos atitinkamai lygios ∆x ir ∆y.
Šių skaičių sumos absoliučioji paklaida: ∆x+y= ∆x+ ∆y;
Skirtumo absoliučioji paklaida: ∆x-y= ∆x+ ∆y;
Daugybos absoliučioji paklaida: ∆xy= y∆x+ x∆y;
Santykio absoliučioji paklaida:;
2y
xy yx
y
x
Paklaidų kaupimas, atliekant aritmetinius veiksmus
Sumos santykinė paklaida:
Skirtumo absoliučioji paklaida:
Daugybos absoliučioji paklaida:
Santykio absoliučioji paklaida:
Visos šios palaidų formulės gautos naudojantis (1) ir (2) lygtimis.
;yx
y
x
yxyx yx
y
yx
x
yxyx yx
y
yx
x
yxxy
PavyzdysTurime du apytikslius skaičius ir
Nustatykite skaičiaus absoliučiąją ir santykinę paklaidas.
Sprendimas. Sakykime, kad ieškomas skaičius yra dviejų kintamųjų
funkcija:
Raskime dalines išvestines:
Išreiskę (1) ir (2) formules turėsime absoliučiąją ir santykinę paklaidas:
Įstačius į šias formules turimas reikšmes x1=0,56, Δx1=0,05, x2=1,28,
Δx2=0,03, gauname, kad ∆f=0,077 ir δf=0,053.
05,056,01 x 03,028,12 x2
31 xx
23121 ),( xxxxf
;1;32
21
1
x
fx
x
f
;13 2121 xxxf ;
132
231
12
31
21 x
xxx
xx
xf
Apytikslis lygčių sprendimas
Apytikslis lygčių sprendimas
Sakykime turime lygtį:
Apytikslė šaknis randama dviem etapais:
1. išskiriama šaknis, t.y. nustatomas izoliacijos intervalas [a, b], kuriame yra viena ir tik viena šaknis;
2. apytikslė šaknis tikslinama, t.y. pasiekiamas reikalaujamas tikslumas ε, kai |c-xn|< ε, čia xn yra apytikslė šaknis, o c lygties šaknis
Pirmas etapas dažniausiai įvykdomas sprendžiant lygtį grafiniu būdu, o šaknie tikslinimas atliekamas naudojant stygų, liestinių, kombinuotą ir kitu metodus.
0)( xf
Grafinis lygčių sprendimas
Šaknis išskiriame arba randame šaknų izoliacijos intervalus remdamiesi tolydžios funkcijos uždarame intervale savybe: jei funkcija f(x) yra tolydi uždarame intervale [a, b], ir intervalo galuose įgyja priešingų ženklų reikšmes, t.y. tai tame intervale yra nors viena reikšmė c, kai
Šaknis c bus vienintelė intervale [a, b], jei egzistuoja ir tame intervale ji turi pastovų ženklą.
Apytikslę šaknį gauname parinkę
Realiąsias lygties šaknis galima rasti kaip funkcijos
grafiko susikirtimo su 0x ašimi taškų abscises.
0)()( bfaf0)( cf
)(xf
2
bac
0)( xf)(xfy
Pavyzdys
Raskime bent vieną realiąją lygties šaknį grafiniu
būdu 0,1 tikslumu.
Sprendimas. Pirmiausia susitvarkome lygtį:
Braižome kairės pusės funkcijos grafiką:
Matome , kad funkcija kerta Ox ašį daug sykių. Pasirinkime vieną
susikirtimo tašką. Tegu tai bus teigiama mažiausia šaknis.
2)1,055,0( xxtg
0)1,055,0( 2 xxtg
Pavyzdys (tęsinys)
Dar siauriname x intervalą:
Grafike matosi, kad šiame intervale Ox ašiskertama ne vieną sykį
Taigi jau aiškiai matosi, kokiam intervale yra funkcijosšaknis.Pasirenkame kairį intervalo galą a=0,67 (kirtimo taškui iš kairės) ir dešinį intervalo galą b=0,83.
Pavyzdys (tęsinys)
a 0.67 b 0.83
0.67 0.71 0.75 0.79 0.83
0.1
0.05
0.05
0.1
f x( )
xa b 0.16
Patikslintame intervale šaknis matosi, tačiau tikslumas 0,1dar nėra pasiektas.
Vėl patikslinus intervalo galus, gauname norimo tikslumo izoliacijos intervalą [0,71; 0,79].
a 0.71 b 0.79
0.71 0.73 0.75 0.77 0.79
0.04
0.02
0.02
0.04
f x( )
xa b 0.08
Pavyzdys (tęsinys)
f a( ) 0.03 f b( ) 0.032
Patikrinkime ar nustatytame intervale yra vienintelė šaknis:
Intervalo galuose funkcijos ženklas skiriasi;Skaičiuojame išvestinę
f1 x( )xf x( )d
d
f1 x( ) simplify0.55
cos 0.55x 0.1( )2
2 x
f1 a( ) 0.713 f1 b( ) 0.837
0.72 0.74 0.76 0.78
0.85
0.8
0.75
0.7
f1 x( )
x
Išvestinė visame intervale nekeičia ženklo. Taigi nustatytame intervale šaknis yra vienintelė.
Kombinuotas stygų-liestinių metodas
Duota lygtis . Intervalas [a, b] yra lygties izoliacijos intervalas, t.y. , funkcija yra tolydi intervale ir yra pastovays ženklo. Šaknies intervalo tikslinimui naudosime kombinuotą stygų-liestinių metodą. Rasta šaknis tikslinama tol, kol pasiekiamas norimas tikslumas |a-b|<ε. Tuomet sprendinys bus
Galimi keturi šaknies tikslinimo atvejai.
0)()( bfaf )(),( xfxf 0)( xf
2
bac
PavyzdysDabar raskime vieną realiąją lygties šaknį
kombinuotu metodu 0,001 tikslumu.
Sprendimas. Mes jau nagrinėjome šią lygtį prieš tai. Dabar laikykime,
kad šaknies izoliacijos intervalas yra [0,5; 1].
Tikrinkime ar tenkinamos izoliacijos intervalo sąlygos:
Funkcijos ženklas intervalo galuose skiriasi. Tikriname ar tame intervale
šaknis yra vienintelė:
f1 x( )xf x( )d
d
f1 x( ) simplify0.55
cos 0.55x 0.1( )2
2 x
f1 a( ) 0.365 f1 b( ) 1.132
2)1,055,0( xxtg
0 0.17 0.33 0.5 0.67 0.83 1
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
f x( )
xa 0.5 b 1
f a( ) 0.144 f b( ) 0.24
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
f1 x( )
x
Pavyzdys
Išvestinės ženklas visada vienodas . Taigi [0.5; 1] yra
izoliacijos intervalas. Dar patikrinkime grafiką ir ženklą:
Antros išvestinės ženklas taip pat
nesikeičia intervale ir yra neigiamas
(žemiau Ox ašies):
Taigi turime trečią kombinuoto metodo atvejį. Iš kairės pusės šaknį
tikslinsime stygų formule, o iš dešinės liestinių formule.
f2 x( )xf1 x( )d
d f2 x( ) simplify 0.605tan 0.55x 0.1( )
3 0.605tan 0.55x 0.1( ) 2.0
0)( xf
)(xf
f2 a( ) 1.725 f2 b( ) 1.274 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
f2 x( )
x0)( xf
Stygu metodas Liestiniu metodas
1 iteracija
a1 af a( )
f b( ) f a( )b a( ) b1 b
f b( )
f1 b( )
a1 0.687 b1 0.788
Tikslumas a1 b1 0.101 nepasiektas. Tæsiame toliau
2 iteracija
a a1 b b1
a2 af a( )
f b( ) f a( )b a( ) b2 b
f b( )
f1 b( )
a2 0.748 b2 0.752
Tikslumas a2 b2 0.004 nepasiektas. Tæsiame toliau
3 iteracija
a a2 b b2
a3 af a( )
f b( ) f a( )b a( ) b3 b
f b( )
f1 b( )
a3 0.75 b3 0.75
Tikslumas a3 b3 0 pasiektas.
Ðaknis ca3 b3
2 c 0.750 f c( ) 0.0000006
Recommended