Paraboloida dan Hiperboloida.pdf

MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014

19 Maret 2014

Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu

10.1‐2 Parabola, Elips, dan Hiperbola0. a abo a, ps, da pe bo a10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang10.5 Sistem Koordinat Polar10.5 Sistem Koordinat Polar11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3

11.2‐4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang11.2 4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva

11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang11.8 Permukaan di Ruang11.8 Permukaan di Ruang

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini

11 8 Permukaan di Ruang11.8 Permukaan di Ruang

dan

12.1 Fungsi Dua (atau Lebih) Peubah

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 3

11.8 PERMUKAAN DI RUANGMA1201 MATEMATIKA 2A

11.8 PERMUKAAN DI RUANG• Menggambar permukaan di ruang

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 4

Bola dan Bidang di Ruang zBola dan Bidang di Ruang

Ingat persamaan bola yang ber‐P

pusat di P(a,b,c) dan berjari‐jari R:P

y

d bid di R3

,)()()( 2222 Rczbyax z

x

dan persamaan umum bidang di R3:

.0, 222 CBADCzByAx

Seperti apa grafiknya?

.0, CBADCzByAx

yOSepe t apa g a ya

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 5

x

ElipsoidaElipsoida

Lebih umum daripada bola, kitamempunyai persamaan elipsoida:

)()()( 222 czbyaxz

P h tik jik k

.1)()()(222

rcz

qby

pax

P

yPerhatikan jika p = q = r, makapersamaan di atas menjadi

x

y

yang merupakan persamaan bola.,)()()( 2222 rczbyax

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 6

Permukaan di RuangPermukaan di Ruang

Bidang dan elipsoida merupakan contohBidang dan elipsoida merupakan contohpermukaan di ruang.

Secara umum, grafik persamaan F(x,y,z) = Cmerupakan permukaan di ruang.p p g

Namun, tidak semua persamaan mudahdigambar grafiknya.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 7

Paraboloida dan HiperboloidaParaboloida dan Hiperboloida

Grafik persamaanz

2

2

2

2

by

axz

merupakan paraboloida eliptik.

bay

Sementara itu, grafik persamaan22 yx

x

merupakan paraboloida hiperbolik

22 by

az Seperti apa

bentuknya?merupakan paraboloida hiperbolik.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 8

SilinderSilinder

Grafik persamaan x2 + y2 = 1, z  R, z

p y , ,merupakan silinder lingkaran yang sejajar dengan sumbu‐z.j j g

Bagaimana dengan persamaan x

y

Bagaimana dengan persamaan?0,sin xyz

x

Seperti apabentuknya?

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 9

Hiperboloida Satu LembarHiperboloida Satu Lembar

Grafik persamaanGrafik persamaan

12

2

2

2

2

2

z

byx z

merupakan hiperboloida satulembar

222 cba

lembar. Irisannya dengan:Bid k li

x

y

‐Bidang z=k elips‐bidang‐xz hiperbola‐bidang‐yz hiperbola3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 10

Hiperboloida Dua LembarHiperboloida Dua Lembar

Grafik persamaanGrafik persamaan

12

2

2

2

2

2

z

byx

z

merupakan hiperboloida dualembar

222 cbay

lembar.Irisannya dengan:bid hi b l

x

‐bidang‐xy hiperbola‐bidang x=k elips, titik, Ǿ‐bidang‐yz himp. kosong3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 11

Kerucut EliptikKerucut Eliptik

Grafik persamaanz

2

2

2

22

by

axz

berbentuk kerucut eliptik( d )

bay

(ganda). x

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 12

SoalSoal

Diketahui persamaanDiketahui persamaan

.1 22 yxz

Gambarlah grafiknya. 

y

Permukaan apakah itu? 

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 13

12.1 FUNGSI DUA (ATAU LEBIH) PEUBAHMA1201 MATEMATIKA 2A

( )• Menentukan daerah asal dan menggambargrafik fungsi dua peubahgrafik fungsi dua peubah

• Menentukan kurva ketinggian dan meng‐gambar peta kontur fungsi dua peubahgambar peta kontur fungsi dua peubah

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 14

Fungsi Dua (atau Lebih) PeubahFungsi Dua (atau Lebih) Peubah

Setelah mempelajari fungsi satupeubah, baik yang bernilai skalarmaupun yang bernilai vektor, sekarang kita akan mempelajarifungsi dengan dua (atau lebih) peubah.

Sebagai contoh, foto atau citra 2DSebagai contoh, foto atau citra 2D merupakan fungsi dua peubah. Demikian juga suhu T pada suatu T(x,y)e a juga su u pada suatukeping datar. 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 15

Fungsi Dua PeubahFungsi Dua Peubah

Di sini kita akan membahas ( )Di sini kita akan membahassecara khusus fungsi duapeubah yang bernilai skalar

(x,y)

peubah yang bernilai skalar, yakni fungsi f yang memetakansetiap titik (x y) dalam suatu

fsetiap titik (x,y) dalam suatudaerah D di R2 ke suatubilangan z = f(x y) R z =f(x y)bilangan z   f(x,y) R. z =f(x,y)

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 16

CatatanCatatan

Himpunan D disebut sebagai daerah asal fHimpunan D disebut sebagai daerah asal f, sedangkan himpunan {z = f(x,y)| (x,y)  D} disebut daerah nilai fdisebut daerah nilai f.

Bila tidak dinyatakan secara spesifik, makadaerah asal fungsi f adalah himpunan bagiandaerah asal fungsi f adalah himpunan bagianterbesar dari R2 yang membuat f terdefinisi.

S b i h d h l f( ) /Sebagai contoh, daerah asal f(x,y) = x/y adalah semua titik (x,y) dengan y ≠ 0.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 17

ContohContoh

Tentukan daerah asal 221),( yxyxf dan gambarlah daerah tsb pada R2.

Jawab:

),( yyf

Jawab:

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 18

Grafik Fungsi Dua PeubahGrafik Fungsi Dua Peubah

Diberikan fungsi dua peubah Contoh:Diberikan fungsi dua peubahdengan persamaan z = f(x,y), dengan (x y) D kita dapat z

Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2

dengan (x,y)  D, kita dapatmenggambar grafiknya, yaituhimpunan

z

himpunan

{(x,y,z) | z = f(x,y), (x,y)  D} 

di R3di ruang R3.

x

y

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 19

x

LatihanLatihan

Sketsalah grafik fungsi f yang diberikan dengang g f y g gpersamaan

22:)( yxyxfz :),( yxyxfz

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 20

Kurva Ketinggian dan Peta KonturKurva Ketinggian dan Peta KonturKadang kita dapat mempelajari Contoh: 

2 2fungsi dua peubah fmelaluikurva‐kurva ketinggian‐nya,  z

z = f(x,y) := x2 + y2

yakni kurva‐kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) dengan z = kbidang z = k.

Bila kita gambar kurva‐kurvay

ketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh peta

xKurva ketinggian: x2 + y2 = k (bila k ≥ 0)

kontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 21

( )

Kurva Ketinggian dan Peta KonturKurva Ketinggian dan Peta KonturKadang kita dapat mempelajari Contoh: 

z = f(x y) := x2 + y2fungsi dua peubah fmelaluikurva‐kurva ketinggian‐nya, 

zz = f(x,y) := x + y

yakni kurva‐kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) dengan

y

z = k

bidang z = k.

Bila kita gambar kurva‐kurva

xy

Petakontur

y

ketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh peta

o tu

x

kontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 22

LatihanLatihan

Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsiTentukan persamaan kurva ketinggian fungsiz = f(x,y) := xy, untuk ketinggian k = ‐2, ‐1, 0, 1 2; kemudian gambarlah peta konturnya1, 2; kemudian gambarlah peta konturnya.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 23