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ii
Resume : Les methodes statistiques multivariees de projection en sous espace
ont ete largement developpees et utilisees dans le domaine de surveillance et de
diagnostic, parce quel les nont pas besoin de connaissances prealables sur les meca-nismes du processus. Lanalyse en composantes principales (ACP) en tant quoutil
danalyse de donnees tres repandu consiste a partitionner lespace de mesure en
deux sous espaces : un sous espace de composantes principales de variations nor-
males, et un sous espace residuel qui peut reveler les variations anormales. Pour le
suivi dun processus, deux statistiques, T2 et SPE, sont utilisees pour la detection
des anomalies. Toutefois, pour identifier les variables defectueuses, les algorithmes
de diagnostic les plus utilises tels que le calcul des contributions des variables ont
encore des problemes lorsquils sont appliques sur des processus complexes. Lidee
principale de lapproche de reconstruction consiste a eliminer le defaut en glis-
sant le vecteur dobservation vers le sous espace des composantes principales, et
dutiliser dautres indices de detection. Cependant, dans le cas de systemes non
lineaires, lACP, methode lineaire, est incapable de reveler les relations de redon-
dance non lineaires pour extraire une representation reduite des donnees. Pour les
systemes non lineaires, plusieurs methodes danalyse en composantes principales
non lineaires (ACPNL) ont ete proposees dans la litterature. Dans cette etude,
lACPNL basee sur les reseaux de neurones a ete utilisee pour detecter et localiser
les defauts. Les resultats de simulation obtenus dans ce travail montrent lefficacite
des approches proposees.
Mots-Cles : ACP, sous espace, Indice de detection, limite de Confidence, Re-
construction. Bioprocessus .
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iii
Abstract : Multivariate statistical subspace projection methods have been deve-
loped widely and used in the monitoring and diagnois domain, because they need
no prior knowledge about the process mechanism model. The principal componentanalysis (PCA) as a popular data anlysis tool partitions the measurement space
into a principal component subspace where normal variation occurs, and a residual
subspace that faults may occupy. For the monitoring process, two statistics, T2 and
SPE, are used to detect abnormalities. However to identify the faulty variables,
the existing diagnosis algorithms such as contribution plots still have some troubles
when they applied in real complex processes. Fault reconstruction is accomplished by
sliding the sample vector as close as possible to the principal component subspace.
When the actual fault is assumed, the maximum reduction in the squared predic-
tion error (SPE) is achieved. A fault identification index is defined in terms of the
reconstructed SPE. However, for non linear systems, The linear PCA is inable de
reveal the non linear redundancy relations to extract a reduced representation of
data. For the non linear systems, various nonlinear principal component analysis
(NLPCA) methods have been proposed in the literature. In this study, the neural
network based NLPCA is used as a monitoring tool. The results show clearly the
validity of the proposed approaches.
Mots-Cles : PCA, subspace, detection indices, Control limits, Reconstruction.
Bioprocess .
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REMERCIEMENTS
Je remercie Dieu de mavoir donne la force et la patience necessaire pour mener
a bonne fin mon projet de Master.
Je remercie vivement mon encadreur Dr. Ramdani pour ses conseils constructifs.
Mes remerciements sadressent egalement a ceux qui aide a realiser ce travail dont
je nest pas cite leurs noms.
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Je dedie ce travail a mes parents et a toute ma famille
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TABLE DES MATIERES
REMERCIEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
DEDICACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
TABLE DES MATIERES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
LISTE DES FIGURES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
NOTATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
CHAPITRE 1 : LE TRAITEMENT DES EAUX USEES . . . . . . . 5
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Comment fonctionne une STEP ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Pretraitement : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Traitement primaire (traitement physico-chimique) . . . . . 7
1.2.3 Le traitement biologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Epuration biologique des eaux usees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 principe theorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Clarification et rejet des effluents . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 La mesure des performances de lepuration . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Les matieres en suspension(MES) . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Les matieres organiques presentes sous forme particulaire et
dissoute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.3 Les contaminants biologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 La consequence de lassainissement des eaux usees . . . . . . . . . . 13
1.5.1 Les boues physico-chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2 Les boues dites primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.3 Les boues secondaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
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vii
CHAPITRE 2 : LA MODELISATION EN TRAITEMENT BIOLO-
GIQUE DES EAUX USEES . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Modelisation du reacteur biologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Concepts de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Modelisation du reacteur biologique . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 Les etapes de la modelisation : . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4 Historique de la modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Modele de reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
CHAPITRE 3 : ESTIMATION DE LETAT DES PROC
ED
ES DE
TRAITEMENT DES EAUX USEES . . . . . . . . . 28
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Concepts de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Observateur de Kalman etendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Observateur adaptatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
CHAPITRE 4 : RESULTATS ET DISCUSSIONS . . . . . . . . . . . 38
CONCLUSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
BIBLIOGRAPHIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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LISTE DES FIGURES
1.1 Cycle de leau dans une station depuration . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Schema descriptif dune station depuration par boues activees . . . 6
2.1 Matrice des equations du modele a boues activees IAWQ n 1 [1] . . 24
2.2 Configuration typique dun processus a boues activees . . . . . . . . 27
3.1 Estimation de letat du reacteur chimique par lobservateur de Kal-
man etendu avec la temperature comme mesure. . . . . . . . . . . . 37
3.2 Estimation de letat et des parametres du reacteur chimique parlobservateur adaptatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1 Configuration typique dun processus a boues activees . . . . . . . . 39
4.2 Exemple de scenario de simulation pour les debits et les caracteris-
tiques de leau a traiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Concentration du nitrate dans les deux zones anoxique et aerobie
pour une variation des entrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 Estimation de letat du bioprocede . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
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NOTATION
X nm
matrice de donnees.n nombre dechantillons mesurees.
m nombre de variables a surveiller.
2j (k) indice de validite des capteurs.
AMDEC Analyse des Modes de Defaillance, de leurs Effets et de leurs Criticites.
ADD Arbre De Defaillances.
ER Evenement Redoute.
RDF Reconnaissance De Formes.RBF Radial Basis Function.
ITN Input Training Network.
AAMLP Auto-Assosiative Multi-Layer Perceptron.
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INTRODUCTION
Leau etant une ressource en partie renouvelable, il est necessaire de la pro-
teger de limpact des activites humaines. Les consequences des pollutions sur la
sante publique, notre bien-etre et sur la qualite des milieux naturels, obligent les
pouvoirs publics a reglementer et controler. Pour reduire limpact de la pollution
sur leau, il est necessaire dadopter une demarche globale pour lassainissement et
le traitement des eaux usees domestiques et des rejets industriels. De nos jours, il
existe des lois strictes pour reglementer la qualite de leau provenant des stations
depuration. Respecter les normes de rejet pose, pour les petites collectivites plus
specifiquement, des problemes dordre technique et economique.
Les objectifs fondamentaux des procedes de traitement des eaux usees sont dat-
teindre une concentration de matiere biodegradable et de nutrients, suffissament
basse dans les effluents et une production minimale de boues, avec des couts ope-
ratoires minimaux.
Les procedes de traitement des eaux usees sont de grandes dimensions, non lineaires
et complexes. Il sont aussi sujets a de grandes variations, dans le flux dentree et la
composition de leau a lentree, qui ne sont pas connues. Comme lun des moyens
de traitement biologique, le procede de boues activees est tres repondu dans le
traitement des eaux usees. Le procede est multivariable, avec beaucoup de cou-
plages croises et non linearites importantes. La dynamique depend de la variabilite
des flux dentree et de la complexite des phynomenes physico-chimiques et biochi-
miques. Afin de prendre en consideration ces problemes, lutilisation de modeles
mathematiques prend alors tout son interet pour aider a lelaboration de strategies
de commande performantes et eventuellement au controle en temps reel des unites
de traitement.
Durant les deux dernieres decennies, la commande des procedes biologiques
depuration des eaux usees a ete developpes et est passee de simples automatismes
de base utilisant des relais et des minuteries a des commandes predictives a base de
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modeles [7], [8], [9] . Pour le moment, une nitrification suffisante peut etre mainte-
nue en appliqant un taux daeration constant, en controlant le niveau de loxygene
dissous (OD) a un point pre-selectionne ou en utilisant un controleur OD a consignevariable selon la concentration du nitrate dans le dernier reacteur aerobie du pro-
cede. Par ailleurs, le processus de denitification est souvent controle en manipulant
le taux de dosage de carbone ou le debit de la recirculation interne a base de la
concentration du nitrate dans le dernier reacteur anoxie ou dans le dernier reacteur
aerobie [4], [6].
Lobjectif de ce travail consiste a faire la modelisation de fonctionnement dun
procede depuration biologique des eaux usees a boues activees. Lestimtion des
variables detat revet un interet particulier dans notre etude.
Le manuscrit est structure comme suit : la chapitre 1 presente la problematique de
traitement des eaux usees. Le chapitre 2 decrit la modelisation analytique.
Le chapitre 3 est consacree a letude de lestimation de letat des systemes non
lineaires tout en accordant un interet particulier au procede biologique depuration
des eaux usees a boues activees. Dans le dernier chapitre, on on presente un cas
detude pour monter lapport de la modelisation de fonctionnement du procede
a boues activees pour lindustrie de leau. Enfin, une conclusion accompagnee de
quelques eventuelles pistes de recherches sont dressees dans la section 5.
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CHAPITRE 1
LE TRAITEMENT DES EAUX USEES
1.1 Introduction
Les eaux usees, quelles soient dorigine domestique ou industrielle, sont collec-
tees par un reseau dassainissement complexe pour etre traitees dans une station
depuration avant detre rejetees dans le milieu naturel. En station, les traitements
varient en fonction de la nature de ces eaux usees et de la sensibilite a la pollution
du milieu recepteur.
1.2 Comment fonctionne une STEP ?
Aujourdhui, les usines de traitement des eaux usees sont devenues des usines
de depollution, compactes, couvertes, desodorisees, automatisees. Elles mettent en
uvre des traitements de plus en plus performants, capables deliminer a la fois
la pollution carbonee, lazote et le phosphore. Ces usines sont dimensionnees pour
traiter une certaine charge de pollution et assurer un rejet conforme a larrete pre-
fectoral dautorisation.
Le schema de la figure 1.1 resume les differentes etapes de traitement dans une sta-
tion depuration : De lentree de lusine jusquau rejet dans le milieu naturel, les
differentes etapes du traitement des eaux usees et les principales taches effectuees
sont les suivantes :
1.2.1 Pretraitement :
Degrillage :
A larrivee, leau usee en provenance des egouts passe entre les barreaux me-
talliques dune grille(ou dun tamis) qui retiennent les dechets volumineux
(papiers, feuilles, matieres plastiques, objets divers...) et leffluent est releve
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Fig. 1.1 Cycle de leau dans une station depuration
Fig. 1.2 Schema descriptif dune station depuration par boues activees
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jusquau niveau de lusine a laide de vis dArchimede1 ou de pompes.
Dessablage :
Les sables et graviers susceptibles dendommager les installations en aval
(ensablement de conduites, des bassins, usure des pompes et autres organes
metalliques...) se deposent au fond de bassins concus a cet effet. Ils sont recu-
peres de differentes facons : raclage vers une fosse de collecte, pompe suceuse...
Degraissage-deshuilage :
Linjection de fines bulles dair dans un bassin permet de faire remonter les
huiles et les graisses en surface ou elles sont raclees selon le principe de lecu-
mage.
1.2.2 Traitement primaire (traitement physico-chimique)
La decantation2 primaire seffectue dans des bassins, le plus souvent de forme
cyclonique, mais il existe bien dautres types de decanteurs. Elle permet deliminer
70% environ des matieres minerales et organiques en suspension qui se deposent
au fond du bassin ou elles constituent les boues dites primaire. Celles-ci sontrecuperees par raclage au fond du bassin et envoyees dans des epaississeurs pour y
etre traitees.
Les performances de la decantation peuvent etre ameliorees par ladjonction de
produits chimiques (sulfate dalumine, chlorure ferrique, agents de coagulation...).
Cette technique quon appelle floculation permet de capter 90%des matieres en
suspension.
Le procede de Coagulation/Floculation :
Principe du procede :rassemble les tres fines particules contenues dans leau afin
de crees des flocs, plus grosses particules qui decanteront ou flotteront plus
1vis dArchimede est un systeme de pompage de liquide, et les systemes ayant un rotor qui
permettent de transferer des solides ou dimpulser un mouvement a un liquide2La decantation, permet aux matieres en suspension de se deposer, sous forme de boues, en
utilisant la force de gravite pour separer les particules de densite superieure a celle du liquide.
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facilement.
Action du reactif coagulant :
En melangeant un reactif coagulant permet de rassembler entre elles les fines
matieres contenues dans leau a traiter pour former des flocons appeles :
Flocs.Mais ces flocs sont fragiles, petits et se separent encor lentement de
leau.
Action du reactif floculant :
Lajout a leau dun reactif floculant permet de coller ensemble les particules
deja rassemblees par la coagulation. Laction de ce floculant permet de former
des gros flocs qui vont se separer beaucoup plus rapidement de leau a traiter
par decantation ou bien flottation 3
1.2.3 Le traitement biologique
Les traitements biologiques reproduisent, artificiellement ou non, les pheno-
menes dauto-epuration existant dans la nature. Lauto-epuration regroupe len-semble des processus par lesquels un milieu aquatique parvient a retrouver sa qua-
lite dorigine apres une pollution. Les techniques depuration biologique utilisent
lactivite des bacteries presentes dans leau, qui degradent les matieres organiques.
Ces techniques sont soit anaerobies, cest-a-dire se deroulant en absence doxygene,
soit aerobies, cest-a-dire necessitant un apport doxygene. En Algerie, cest au-
jourdhui le procede des boues activees qui est le plus repandu dans les stations
depuration assurant un traitement secondaire.
3La flottation, visant a separer les phases solides des phases liquides par la poussee dArchi-
mede. En flottation naturelle, les flocs de faible densite remontent librement a la surface. La
flottation assistee sobtient par injection dair.
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1.2.3.1 Les installations a boues activees
Il sagit dun systeme depuration aerobie, cest-a-dire necessitant un apport
doxygene. La culture bacterienne est maintenue dans un bassin aere et brasse. Un
systeme daeration permet a la fois dapporter loxygene necessaire a lepuration
et de brasser les eaux usees. Ce brassage est indispensable pour homogeneiser le
melange et eviter les depots. Les matieres organiques contenues dans leau se trans-
forment en carbone (sous la forme de dioxyde de carbone CO2) sous laction des
bacteries. Les residus ainsi formes, contenant ce stock de bacteries, sont appeles
boues.
Apres un temps de sejour dans ce bassin daeration, leffluent est renvoye dans
un clarificateur, appele aussi decanteur secondaire. Leau epuree est ainsi separee
des boues par decantation. Ensuite, les boues sont soit envoyees dans une unite
de traitement specifique, en vue de leur epandage agricole ou de leur elimination,
soit reinjectees pour partie dans le bassin daeration. On qualifie cette operation
de recirculation des boues. Ce recyclage dune partie des boues produites par le
systeme depuration permet de maintenir la masse de bacteries contenue dans le
bassin daeration a un niveau compatible avec les performances epuratoires atten-
dues.
Les traitements par boues activees eliminent de 85% a 95% de la DBO5 4, selon les
installations.
1.3 Epuration biologique des eaux usees
1.3.1 principe theorique
Le traitement biologique est letape qui conditionne la qualite du rejet au milieunaturel. Les eaux pretraitees sont traitees directement par le procede dit de boues
activees a faible charge pour :
Lelimination de la pollution carbonee.
4La demande biochimique en oxygene
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Lelimination de la pollution azotee (nitrification/denitrification).
Le principe dun systeme de boues activees consiste a mettre les eaux a traiter
en contact avec une biomasse epuratrice.La biomasse assimile ou transforme les
differents polluants et accroit le stock de boues dont une partie sera evacuee vers
le traitement sont donc le stock de biomasse (ou boue) dans les bassins et leurs
conditions de fonctionnement (besoins en air, recirculation, age des boues...).
Les eaux traitees sont ensuite separees des boues par sedimentation (clarification)
dans le clarificateur, cette etape est tres importante car la perte des boues du cla-
rificateur implique la degradation de la qualite en sortie mais aussi la diminution
du stock de boues dans les bassins (les boues ne sont alors plus recerclees par ex-
traction du clarificateur).
Chaque souche de bacteries est specifique dune forme de pollution. La variation
des conditions environnementales dans le bassin permet lelimination de chacune
de ces formes.
1.3.1.1 Aeration processus
Les phases daeration dans le bassin sont necessaires pour la realisation de cer-
taines reactions de biodegradation. En effet,loxygene est indispensable pour cer-
taines bacteries a lorigine de lelimination de la pollution carbonee et une partie
des bacteries impliquees dans une partie du cycle de lazote.
A linverse des phases de non aeration sont indispensables pour dautres organismes.
La fourniture doxygene dans le bassin daeration est donc sequencee. Laeration
du bassin est realisee grace a un groupe de production dair dedie a la fourniture
doxygene dissous pour le traitement biologique. Lair produit est de type fines
bulles.
La pollution azotee contenue dans leau brute arrive tres majoritairement sur lusine
sous la forme dammoniac :N H+4 .Dans le bassin daeration lammoniac est dabord
transforme en nitrates NO23 pendant les phases daeration du bassin. Les nitrates
sont ensuite transformes en azote gazeux N2 pendant les phases de non aeration
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du bassin.
Lalternance des phases daeration et de non aeration est indispensable au trai-
tement complet de la pollution azotee.Il sagit de trouver un compromis entre lanitrification5 et la denitrification6 qui se ammoniaque et en nitrates.La bonne ges-
tion de laeration du bassin conditionne lefficacite de lelimination de la pollution
azotee.
1.3.1.2 Reaction de nitrification
Reaction de transformation de lazote ammoniacal en nitrate en presence doxy-
gene dissous dans leau, phase aerobie.
2NH4 + 3O2 2N O
2 + 4H+ + 2HO2
1.3.1.3 Reaction de denitrification
Reaction de transformation des nitrates des nitrates en azote gazeux en absence
totale doxygene dissous dans leau, phase anaerobie.
NO3 N2
1.3.2 principe de fonctionnement
Les bassins biologiques se decomposent en :
1.3.2.1 Une zone de contact circulaire
Ou les eaux sont mises en contact avec une partie des boues recerclees. Cette
configuration permet dappliquer une charge de pollution importante sur le floc
biologique et dempecher ainsi le developpement de bacteries filamenteuses. Cette
5transformation de lammoniac en nitrates6transformation des nitrates en azote gazeux
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zone sert donc de selecteur bacterien.
1.3.2.2 Un bassin daeration annulaire
Ou la liqueur en provenance de la zone de contact est aeree par un reseau de
diffuseurs.
Deux agitateurs pale banane assurent la circulation du flux au sein de la zone de
aeree. Cest dans cette zone que la pollution carbonee est eliminee, la nitrification
et la denitrification sont gerees par sequensage de laeration.
1.3.2.3 Une zone de degazage
Qui permet deviter lentrainement de bulles dair vers la clarification.
1.3.3 Clarification et rejet des effluents
La clarification permet de separer par decantation leau epuree des boues secon-
daires issues du traitement biologique. Cette decantation se fait dans des ouvrages
speciaux, le plus souvent circulaires, appeles clarificateurs ou decanteurs secon-
daires.
Une partie des boues secondaires est evacuee en aval vers le traitement des boues ;
lautre partie est recyclee vers le bassin daeration pour maintenir la masse biolo-
gique necessaire au fonctionnement de linstallation.
Dans la plupart des cas, leffluent peut etre rejete dans le milieu naturel apres la
clarification. Le rejet se fait par un canal equipe de capteurs de mesure pour lauto-
surveillance de la station.
1.4 La mesure des performances de lepuration
Pour comparer les teneurs en polluants des eaux usees et des eaux epurees, on
utilise plusieurs indicateurs :
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1.4.1 Les matieres en suspension(MES)
matieres minerales ou organiques non dissoutes.
1.4.2 Les matieres organiques presentes sous forme particulaire et dis-
soute
;on les mesure indirectement par :
La demande biochimique en oxygene (DBO).
La demande chimique en oxygene (DCO).
Lazote et le phosphore.
1.4.3 Les contaminants biologiques
bacteries, virus et parasites.
1.5 La consequence de lassainissement des eaux usees
Le traitement des eaux usees en station depuration produit une eau epuree,
rejetee dans le milieu naturel, et un concentrat designe sous le terme de boues ou
boues residuaires.
1.5.1 Les boues physico-chimiques
Sont produites dans les stations physico-chimiques. Les floculants mineraux
ajoutes participent pour une part importante a la quantite de boues produites.
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1.5.2 Les boues dites primaires
Resultent de la simple decantation des matieres en suspension contenues dans
les eaux usees brutes. Elles ne sont pas stabilisees. Les stations ne traitant que la
pollution particulaire sont de plus en plus rares, ou alors associees a des filieres
complementaires de traitement.
1.5.3 Les boues secondaires
Sont formees a partir de la charge polluante dissoute utilisee par les cultures
bacteriennes libres ou fixees en presence doxygene (aeration de surface ou insuffla-
tion dair).
Dans le cas ou il existe des boues primaires et des boues secondaires, elles forment
des boues mixtes fraches qui vont subir un traitement de stabilisation biologique.
Dans le cas ou il nexiste pas de decantation primaire (boues activees en aeration
prolongee), la stabilisation aerobie se fait par sejour prolonge dans les ouvrages
epuratoires.
1.6 Conclusion
Le premier chapitre est une introduction au domaine de depollution des rejets,on
a decrit les differente etapes du traitement. Nous avons interesse au traitement
biologique des eaux usees, plus specifiquement, le procede a boue activee sur lequel
porte notre etude. Dans le chapitre suivant, nous abordons la modelisation dune
station depuration, en se basant sur le modele standard ASM.
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CHAPITRE 2
LA MODELISATION EN TRAITEMENT BIOLOGIQUE DES EAUX
USEES
2.1 Introduction
La modelisation mathematique consiste a creer une representation virtuelle dun
systeme grace a la resolution numerique dequations decrivant son fonctionnement.
Cette representation se prete ensuite a letude et a des simulations tout comme
le systeme reel, en presentant lavantage de multiplier les essais et les tests avecun gain de temps, de moyens et defficacite par rapport a lexperimentation sur site.
Cet outil se developpe dans tous les domaines scientifiques et techniques. Il est
utilise en recherche, mais aussi en industrie. En effet, en plus dameliorer la compre-
hension de divers phenomenes en interpretant lexperience, la modelisation permet
le test de scenarios et doptimisation de procedes.
En traitement des eaux usees, on modelise le fonctionnement dynamique dunestation depuration grace a la mise en equation des phenomenes biologiques, phy-
siques et chimiques qui sy deroulent. Le procede biologique a boues activees est le
plus repandu, mais des modeles pour de nombreux autres procedes existent (bio-
filtration, lagunage, infiltration-percolation sur lits de sable, digestion anaerobie,...).
De nos jous, les principaux modeles les plus utilises sont ceux de la famille ASM
(Activated Sludge Model) elabores et reconnus au niveau international, qui de-
crivent le traitement du carbone, de lazote et du phosphate en boues activeesDans ce chapitre nous presentons le modele de base (Activated Sludge Model)
concernant la modelisation dune STEP a partir de certaines donnees du procede.
Nous nous interessons particulierement aux modeles ASM1.
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Demande chimique en oxygene (DCO) : permet de mesurer la consomma-
tion doxygene (en mgO2/L) dans les conditions dune reaction doxydation
complete. Cest une mesure de la pollution organique. On utilise pour cela unoxydant puissant (le bichromate de potassium) dans un milieu acide (acide
sulfurique). La quantite doxygene cedee par loxydant au cours de la reaction
constitue la demande chimique en oxygene. Celle-ci est dautant plus impor-
tante que leau est polluee. Cette methode qui permet un resultat rapide, est
utilisee surtout pour les eaux tres polluees. On separe generalement la DCO
particulaire de la DCO soluble pour differencier les matieres en suspension
(partie organique) des matieres organiques solubilisees.
Demande biochimique en oxygene (DBO) : represente la consommation doxy-
gene (en mgO2/L) resultant de la metabolisation de la pollution organique
biodegradable par les micro-organismes.
Azote global (NGl) : quantite totale dazote (en mgN/L) correspondant a lazote
organique et ammoniacal (ion ammonium) et aux formes minerales oxydees
de lazote : nitrates et nitrites.
Les matieres biodegradables : affectees par les activites biologiques des micro-
organismes, ces substances sont soumises aux divers processus biochimiques
de conversion. Cette fraction biodegradable peut etre structuree en deux
groupes :
Les matieres aisement degradables : Composees des substances solubles,
ces matieres ont la caracteristique de pouvoir etre directement absorbeespar les bacteries.
Les matieres lentement degradables : Composees des substrats particulaires
formes par un melange de substances organiques solides, collodales et so-
lubles. Ces matieres sont soumises a certains processus intermediaires avant
detre absorbees par les populations bacteriennes.
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Les matieres non-biodegradables : ces substances inertes ne subissent aucun
phenomene biologique de transformation. Ces matieres sont soit presentes
dans les eaux residuaires, comme les metaux lourds, soit issues des pheno-
menes de mortalite des micro-organismes au cours des processus biologique
depuration. Les composants non-biodegradables solubles peuvent traverser
la station depuration sans etre modifies mais les matieres inertes en suspen-
sion peuvent etre eliminees par des mecanismes de decantation.
Les matieres organiques : elles sont constituees dun grand nombre de com-
poses qui ont la particularite commune de posseder au moins un atome de
carbone, dou leur nom de substance carbonees. Ces atomes de carbone sont
oxydes biologiquement par les micro-organismes pour fournir lenergie neces-
saire a leur croissance.
Les matieres inorganiques : sont des substances ne contenant pas de carbone.
La fraction minerale des aux residuaires represente principalement les pro-
duits azotes et phosphores.
2.2.2 Modelisation du reacteur biologique
La simulation consiste a faire des experimentations sur une representation vir-
tuelle de la STEP, a laide dun logiciel et un ou plusieurs modeles dequations,
decrivant les principaux processus biologiques, chimiques et physiques mis en jeu.
Comme nous avons vu dans la chapitre precedent,le traitement biologique se de-
compose en deux etapes :
une depollution biologique de leffluent.
une separation solide-liquide.
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Ces deux etapes ne peuvent etre approchees comme des unites individuelles.Le
modele du reacteur biologique va correspondre a une description des processus de
degradation de la matiere organique et de nitrification-denitrification. Il permettradapprocher la reponse en termes de comportements quaurait un reacteur biolo-
gique suivant la variation dun parametre ou dune donnee dentree.
Le modele de separateur de phases va decrire le principe physique de la separation
et dans le cas des boues activees classiques, le phenomene de decantation.
Les objectifs de ces simulations seront donc denrichir la connaissance et la compre-
hension des reacteurs biologiques a boues activees, de tester diverses hypotheses et
de prevoir les variations qui peuvent etre engendrees, et enfin doptimiser le fonc-
tionnement de ces procedes de facon a en ameliorer les performances epuratoires et
les couts de fonctionnement.
2.2.3 Les etapes de la modelisation :
Letape fondamentale de la modelisation mathematique des procedes de traite-
ment par boues activees consiste a determiner les vitesses de reactions des variables
macroscopiques du systeme a savoir les vitesses de :
croissance de la biomasse.
degradation de substrat.
consommation de loxygene dissous.
La deuxieme etape permet de determiner les equations detats du systeme dont les
variables sont les concentrations en :
micro-organismes.
substrat.
biomasse recyclee.
oxygene dissous.
Ces variables ainsi que les variables dentrees et de sortie sont regroupees dans des
expressions mathematiques constituant ainsi le modele du procede. Ce modele est
etabli a partir de lecriture des bilans matiere relatifs aux differents composes de la
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reaction biochimique pendant un certain intervalle de temps. Ce bilan est base sur
legalite suivante :
Accumulation = Conversion+Alimentation-Soutirage
2.2.4 Historique de la modelisation
En 1982, lassociation internationale sur la recherche et le controle de la pollu-
tion de leau IAWPRC, a cree un groupe de travail sur la modelisation mathe-
matique pour la conception et la mise en uvre des processus a boues activees.
Lobjectif premier de lIAWPRC etait de passer en revue les modeles existants etdatteindre un consensus autour du plus simple. Le resultat a ete le modele a boues
activees N1 (Henze et al.1987) egalement connu sous le nom dASM1 (Activa-
ted Sludge Model N1).Des valeurs par defaut des parametres stchiometriques
et cinetiques ont ete proposees et saverent donner des resultats realistes. Dautres
modeles ont ensuite ete developpes parmi lesquels :
ASM2 : le modele du processus par boues activees N2 complete la modelisation
ASM1 en incluant la description du phosphore biologique.
ASM2d : le modele du processus par boues activees N2d est base sur le modele
ASM2 en y incluant lactivite de denitrification des PAO(Accumulation de
Poly-phosphate organique) pour permettre une meilleur description de la dy-
namique du phosphate et du nitrate.
ASM3 : le modele du processus par boues activees N
3 a ete egalement developpepour lepuration biologique dazote, avec fondamentalement le meme but que
lASM1. La principale difference entre les modeles ASM1 et ASM3 est que ce
dernier identifie limportance des polymeres de stockage dans la conversion
heterotrophe des boues activees.
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2.3 Modele de reference
Le modele ASM 1 [1] est le fruit du travail dune equipe cree par lassociationIAWQ (International Association of Water Quality). Il decrit les mecanismes biolo-
giques de degradation des matieres organiques, de nitrification et de denitrification
et il est essentiellement utilise comme modele de simulation. Il constitue un modele
general capable de representer de facon precise le comportement du procede lors
du traitement dun effluent charge en matieres azotees et carbonees.
Dans le modele ASM1 utilise 11 variables detat (table 2.1). Notons que la lettre
X est proposee pour les composes particulaires et la lettre S pour les composes
solubles. Nous pouvons classer ces variables detat en quatre groupes :
Les substrats : le substrat rapidement biodegradable SS et le substrat lentement
biodegradable XS.
Les biomasses : la biomasse heterotrophe XBH responsable de loxydation des
matieres organiques et de la denitrification, et la biomasse autotrophe XBA,
responsable de la nitrification. La croissance des biomasses est decrite par la
loi Monod : (Ss) = maxSs
Ks+Ss
Avec :
max : est le taux maximum de croissance.
Ks : est la constante daffinite appelee parametre de Michaelis-Menten ; elle
traduit la facilite dassimilation du substrat par la biomasse .
Les composes azotes : sont distingues en fonction de leurs degre doxydation et
repartis en 3 categories :
les formes organiques solubles SND et particulaires XND.
les formes ammoniacales SNH.
les formes oxydees SNO(nitrates-nitrites).
Loxygene dissous : SO.
Nous constatons que certaines variables detat correspondent a des especes chi-
miques existantes(SNH, SNO, SO), alors que dautres sont au contraire plus concep-
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tuelles et ne peuvent pas etre directement mesurees (XBH, XBA).
Compose Symbole Unite
1. Matiere organique soluble inerte SI [gDCO.m3]
2. Substrat facilement biodegradable SS [gDCO.m3]
3. Matiere organique particulaire inerte XI [gDCO.m3]
4. Substrat lentement biodegradable XS [gDCO.m3]
5. biomasse active heterotrophe XB;H [gDCO.m3]
6. biomasse active autotrophe XB;A [gDCO.m3]
7. Azote sous forme de nitrites et de nitrates SNO [gN.m3]
8. Azote sous forme dammoniaque SNH [gN.m3]
9. Azote organique soluble biodegradable SND [gN.m3]
10. Azote organique particulaire biodegradable XND [gN.m3]
11. Oxygene dissous SO [gO2.m3]
Tab. 2.1 Variables detat du modele de degradation biologique
Croissance aerobie des micro-organismes heterotrophes : une fraction de
substrat facilement biodegradable est utilisee pour la croissance de la bio-
masse et a lelimination du substrat. il est ainsi naturellement limite par
lepuisement du substrat SS , mais egalement par le manque doxygene dis-
sous et dammoniaque.
Croissance anoxie des micro-organismes heterotrophes : en labsence doxy-
gene, les organismes heterotrophes vont utiliser le nitrate comme recepteur
terminal delectrons, avec le substrat SS , pour produire la biomasse et de
lazote gazeux (denitrification). Un changement de lalcalinite est associee a
la reaction. Lammoniaque sert de source dazote pour la synthese des micro-
organismes.
Croissance aerobie des micro-organismes autotrophes : lammoniaque est oxyde
en nitrate(nitrification) ce qui donne comme resultat une production de bio-
masse autotrophe et une augmentation de la demande doxygene. Il est aussi
utilise comme source denergie pour la synthese. Leffet sur la quantite de
biomasse produite est tres faible. Par contre, lalcalinite comme la consom-
mation doxygene sont fortement affectees.
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Mortalite des micro-organismes heterotrophes et autotrophes : ces proces-
sus sont modelises selon lhypothese de mortalite- regeneration. Les micro-
organismes meurent a un taux determine, et cette biomasse devient une com-
binaison des produit particulaires et de substrat lentement biodegradable.
Lazote organique associe a XS est disponible comme azote organique parti-
culaire. La DCO (la demande chimique en oxygene) nest pas modifiee. Les
taux de mortalite sont supposes invariants en condition daerobie et danoxie.
Ammonification de lazote organique soluble : lazote organique biodegradable
est transforme en ammonium par laction de la biomasse heterotrophe active.
Lalcalinite est aussi modifiee.
Hydrolyse des matieres organique : le substrat lentement biodegradable cor-
respondant aux substances polluantes est decompose par un mecanisme ex-
tracellulaire, en produisant du substrat facilement biodegradable utilisable
par la biomasse. Ce processus a lieu en aerobie et en anoxie. Le taux dhydro-
lyse en anoxie est reduit par un facteur h(< 0) par rapport aux conditionsdaerobie. Il est lie a la biomasse heterotrophe par une fonction du premier
ordre et sature quand la concentration de substrat absorbe devient grande
par rapport a la biomasse.
Hydrolyse de lazote organique : lazote organique particulaire biodegradable
est decompose en azote organique soluble a un certain taux defini par la re-
action dhydrolyse precedemment ecrite.
La figure 2.1 donne le tableau qui permet une lecture facile des cinetiques mode-
lisees : pour chaque composant soluble (S) ou particulaire (X) qui apparat dans
le haut du tableau, les processus j intervenant sont signales dans la colonne cor-
respondante a travers les parametres stchiometriques. Les processus sont definis
a droite du tableau, alors que les parametres stchiometriques sont definis dans le
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coin inferieur gauche. Le terme de cinetique pour chaque composant (i) du modele
est obtenu en additionnant les produits des cfficients stchiometriques (vi;j) par
la cinetique du processus j. Alors, le taux de conversion (Rj) de chaque composeest donne par la relation suivante :
Rj =8
j=1
Vi;jj; i = 1, , 11 (2.1)
Le modele cinetique resultant comporte 20 parametres cinetiques et stchiome-
Fig. 2.1 Matrice des equations du modele a boues activees IAWQ n 1 [1]
triques. Les equations de bilan de matiere secrivent :
dxidt
=QrecV r
xreci +QinVr
xini Qin + Qrec
Vrxi + Ri (2.2)
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Ou Vr represente le volume reactionnel et xi, xreci et x
ini , les concentrations du com-
pose i dans le bassin daeration, dans le recyclage et dans linfluent respectivement,
cest-a-dire :
xi = [SI , SS, XI, XS, XB,H, XB,A, SNO, SNH, SND, XND, SO]T (2.3)
Le bilan relatif a la concentration en oxygene dissous compte un terme supple-
mentaire kLa(SsatO SO) correspondant a lapport dair exterieur dans le bassin
daeration,cest-a-dire au fonctionnement des aerateurs du bassin daeration.
Remarque : Les phenomenes biologiques presents au sein des phases anoxiques et
aerobies sont simules sous un modele unique. Ceci est possible grace a lutilisationde fonctions de commutation :
les cinetiques ayant lieu uniquement en phase anoxique comporteront le termeKO;H
SO+KO;Hinhibant la reaction en phase aerobie.
les cinetiques ayant lieu uniquement en phase aerobie comporteront le termeSO
SO+KO;Hou le terme SO
SO+KO;Ainhibant la reaction en phase anoxique.
Les vitesses de reaction du modele ASM1 sont egalement resumees dans la table
de la figure 2.1, par exemple :
rXBA = A(SNH
KNH + SNH)(
SOKOA + SO
) bAXBA
Afin dobtenir lensemble complet des equations differentielle pour les differentes
variable detat, les taux de reaction doivent etre completes par les termes des bi-
lans de masse. En considerant un systeme comme celui de la figure qui est divise
en deux zones, (on suppose que chaque zone est a volume constant et parfaitement
melangee). La formule generale du bilan de masse pour chacune des concentrations
est donnee par les equations suivantes :
Pour k = 1 (la premiere zone a lentee du debit de leffluent) :
dZ1dt
= QinZin+QrZr+QintZintQ1Z1V1
+ rz1
Q1 = Qin + Qr + Qint(2.4)
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pour k = 2 a N :
dZkdt =
Qk1Zk1QkZk
Vk + rzkQk = Qk1
(2.5)
ou Vk est le volume de la zone.
Pour le cas particulier de la concentration de loxygene dissous (SO,K) :
dSO,kdt
=Qk1SO,k1 QkSO,k
Vk+ rSO,k + (KLa (Qair))k (SO,sat SO,k) (2.6)
Ou :
KLa est la fonction de transfert doxygene.Qairest le debit dair(a partir des aerations).
SO,satest la concentration de saturation de loxygene.
Chaque zone du bioreacteur est implementee en utilisant le modele ASM1, en sup-
posant :
Les concentration XI et XP sont combinees dans une seule variable (XIP).
Afin de decrire le transfert de loxygene de lair a loxygene dissous dans le reac-
teur comme une fonction du debit dair a partir des compressurs aux aerateurs, le
modele ci-dessous ?? a ete utilise :
KLa (Qair) = k1 (1 exp(k2 Qair)) h1; (2.7)
ou k1 et k2 sont deux constantes.
La concentration de saturation de loxygene SO,sat = 8.65 mg/l
Le taux de respiration des bacteries utilise lequation OU R = rSO .
Ou, rSOest le taux de reaction de la concentration de loxygene dissous.
Dans notre etude on sinteresse a un processus de pre-denitrification par boues ac-tivees, une pratique courante pour la degradation des la matiere organique et le
nitrogene de leffluent domestique. Le schema du processus est montre sur la figure
4.1. La configuration utilisee dans cet exemple est composee dune zone anoxie
(zone 1 de 15 m3), une zone anaerobie (zone 2 de 30 m3 et un clarificateur secon-
daire (20 m3). Dans des conditions statique nominales, la valeur moyenne du debit
de linfluent est Qin = 4.5 m3/h, avec une moyenne de 300 mgCOD/l. Le debit
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Fig. 2.2 Configuration typique dun processus a boues activees
du recyclage interne est Qint = 2Qin, le debit de recyclage externe Qr = 0.5 Qin.
Dans la zone anaerobie, la concentration de loxygen dissous (DO) est controlee
a 2.0 mg/l. Notons que Qext represente le debit de dosage de carbone qui est uti-
lise dans certaines stations pour compenser le deficit en carbone. La simulation du
processus de boues activees est basee sur des modeles largement acceptes par la
communaute scientifique internationale. Chaque zone a ete modelisee par le modele
ASM1 (acronyme de Activated Sludge Process) [1] et le modele du double clarifi-
cateur [2] en prenant une eaux usees possedant les caracteristiques a letat statiqueresumees dans la table 2.2.
Variable ValeurXBH 20 (mg DCO/l)XBA 0 (mg DCO/l)XS 160 (mg DCO/l)
XND 18.28(mg N/l)XIP 40 (mg DCO/l)SO 0 (mg DCO/l)
SNH 12.5 (mg N/l)SND 10.1 (mg N/l)SNO 1 (mg N/l)SS 64 (mg N/l)
SALK 7 (mg N/l)
Tab. 2.2 Condition dalimentation
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CHAPITRE 3
ESTIMATION DE LETAT DES PROCEDES DE TRAITEMENT
DES EAUX USEES
3.1 Introduction
Lapplication des strategies de surveillance et de commande avancee sur le pro-
cede de traitement reside se trouve confrontee avec la difficulte de mesurer des
variables biologiques et chimiques. Bien que des progres considerable ont ete enre-
gistres dans la technologie des capteurs en-ligneces dernieres annees, il est souventdifficile de mesurer plusieurs variables detat telles que la concentration de la bio-
masse, lactivite des bacteries ou des concentrations de produits intermediares.
Lutilisation de modeles mathematiques ou de capteurs soft prend alors tout son
interet pour aider a lelaboration de strategies de gestion performantes en utilisant
des mesures en-ligne (debit, pH, oxygene dissous, etc) avec un modele de processus
pour estimer les valeurs des variables detat (non mesurees).
Dans ce chapitre, on sinteresse aux approches qui sont importantes pour les pro-
cedes de traitement des eaux usees.
3.2 Concepts de base
Un observateur est un developpement mathematique qui permet de reconsti-
tuer les etats internes dun systeme a partir uniquement des donnees accessibles,
cest a dire les entrees et les sorties mesurees. Ainsi, on parle souvent destimation
ou encore de reconstruction detat. La reconstruction de letat seffectue en deux
etapes ; la premiere est une etape destimation et la seconde est une epate de cor-rection. Lestimation se fait par le calcul des grandeurs detat a laide de modeles
approches du systeme, la correction seffectue par laddition ou la soustraction de
la difference entre les etats estimes et ceux mesures (erreur destimation) qui doit
etre multiliee par un certain gain. Ce gain determine la dynamique et la robustesse
de lobservateur, donc son choix est important et doit etre adapte aux proprietes
du systeme dont on veut effectuer lobservation de letat.
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Dans la litterature, il est possible de distinguer deux classes de base dobserva-
teurs detat. La premiere regroupe les observateurs traditionnels de Luenberger etde Kalman qui sont bases sur une connaissance parfaite de la structure du modele.
Notons que les observateurs classiques, et plus particulierement le filtre de Kalman
etendu, ont trouve des applications dans de nombreux domaines. Mais la theorie
des observateurs etendus de Kalman et de Luenberger a ete developpee sur la base
dune connaissance parfaite des parametres du procede, dou la difficulte destimer
des bornes derreur a cause de la presence de large incertitude parametrique. Pour
le moment, lincertitude dans les parametres du modele peut generer probablement
une estimation biaisee.
La seconde classe dobservateurs, appeles observateurs asymptotiques repose sur
lidee que la nature des incertitudes est bien connue (par exemple les termes des
cinetiques dans les processus chimiques et biochimiques). La synthese de ces obser-
vateurs a ete largement basee sur les bilans massique et energetique sans necesiter la
connaissance des cinetiques du processus. Linconvenient potentiel des observateurs
asymptotiques se resume au taux de convergence de lestimation qui depend des
conditions operatoires. Donc, les solutions alternatives destimateurs detat pour
des situations intermediaires sont dune tres grande importance, surtout lorsque
la structure du modele est connue mais ces parametres sont mal connus. En ge-
neral, lapplication des estimateurs detat et de parametres sur des processus non
lineaires est un veritable defi dans lequel il faut gerer les incertitudes du modele et
de mesures.
Ce chapitre montre quil est possible de faire une extention des observateurs
lineaires au cas non lineaire. Considerons la structure generale dobservateur detat
dun modele non lineaire despace detat
dx
dt= f(x, u) (3.1)
Les variables mesurees, designees par y, sont reliees au modele dynamique par la
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relation suivante :
y = h (x) (3.2)
La structure generale dun observateur detat secrit alors comme suit :
dx
dt= f(x, u) + K(x) (y y) (3.3)
ou x et y sont les estimations en-ligne de x et y donnees par lobservateur detat :
y = h (x) (3.4)
ou K est le gain de lobservateur. La synthese de lobservateur detat consiste achoisir un gain approprie K(x).
A lorigine, lobservateur precedent a ete developpe pour les systemes lineaires. Si
on definit, lerreur dobservation e comme suit :
e = x x (3.5)
Les dynamiques de lerreur dobservation sont derivees des equations (3.1) et (3.2) :
dedt
= f(x + e, u) f(x, u)K(x) (h (x + e) h (x)) (3.6)
Le probleme de synthese de lobservateur se resume donc au choix de K(x) de telle
sorte que les dynamiques de lerreur (3.6) possedent les proprietes desirees. Ceci est
a lorigine des divers observateurs tels que le filtre de Kalman etendu et lobserva-
teur de Luenberger etendu. Le terme etendu signifie que ces observateurs sont des
extensions de ceux developpes au cas lineaire. La synthese de la matrice de gain K
est basee sur une version linearisee (le modele de tangente linearisee) du processus
des dynamiques de lerreur dobservation (calcule par un developpement en serie
de Taylor dun modele detat autour dun point dequilibre). Si nous considerons
la linearisation de lequation precedente autour de e = 0, on obtient :
de
dt= A (A (x) K(x) L (x)) e (3.7)
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ou A (x) et L (x) sont definies par :
A (x) =df
dtx=x
, L (x) =dh
dtx=x
(3.8)
Considerons la synthese dun observateur detat pour un modele dun reacteur chi-
mique en continu.
Exemple dun reacteur chimique en continu (CSTR)
Le reacteur chimique en continu (CSTR) est sans doute lexemple typique des sys-
temes non lineaires qui sert a illuster les differents concepts de lestimation de letat
des systemes non lineaires Cest un modele de reacteur chimique non-isothermiquequi opere en continu, designe par CSTR (acronyme de Continous Stirred Tank
Reactor), avec une composante et un produit :
A bB
Ou b est un coefficient de conversion. A partir des bilans massique et energetique,
les dynamiques du modele du processus pour la composante en reaction CA, la
concentration du produit CB et la temperature T sont donnees par les equationssuivantes :
dCAdt
= k0CAe
ERT +
q
V(Cin CA) (3.9)
dCBdt
= bk0CAe
ERT
q
VCB (3.10)
dT
dt=
H
Cpk0CAe
ERT + +
q
V(Tin T) +
hA
CpV(Tw T) (3.11)
ou k0, E, R, V, Cin, Tin, H, , Cp, h, A, Tw representent respectivement la constante
cinetique h1, lenergie dactivation (kJ/kmol), la constante de gaz ideal (kJ/kmol/K),le debit a lentree (l/h), le volume (l), la concentration de la composante en reac-
tion a lentree (mole/l), la temperature a lentree (K), la chaleur de la reaction
(kJ/kmol), la densite (g/l), la chaleur specifique (kJ/kg/K), le coefficient de cha-
leur globale (W/m2/K), la surface de chaleur (m2), la temperature dechange ther-
mique (K). Les valeurs utilisees pour la simulation numerique sont donnees dans
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le tableau 3.1. Afin de reduire la complexite des observateurs, on ne considere que
les dynamiques de CA et T. Dans ce cas, la matrice de sortie L (x) et la matrice
detat A (x) du modele linearise sont donnees par :
L (x) = [0 1] ,
A (x) =
a1
qV
a1a3
a1a2 a1a2a3 qV
hACpV
(3.12)
avec a1 = k0e
ERT , a2 =
HCp
, a3 =ECART2
Les equations de lobservateur sont donnees par :
dCAdt
= k0CAe
ERT +
q
V
Cin CA
(3.13)
dT
dt=
H
Cpk0CAe
E
RT + +q
V
Tin T
+
hA
CpV
Tw T
(3.14)
CA et T representent les estimees de C et T donnees par lobservateur.
Tab. 3.1 Les parametres et les conditions initiales de la simulation numerique
Parametre valeur Parametre valeurk0 7.210
10 /min E 8.3143104 kJ/(kmol K)q 100 l/min V 100 l 103 g/l C p 1 cal/()gK
Cin 1 mol/l T in = Tw 350 KhA 1.0329 105 cal/(minK) H 2 105 kcal/kmol
Variable valeur initiale Variable valeur initialeCA(0) 0.5 mol/l T (0) 300 KCB(0) 0.1 mol/l
3.3 Observateur de Kalman etendu
Bien que le filtre de Kalman a ete propose dans un formalisme stochastique,
il peut etre interprete comme etant la solution dun probleme doptimisation de-
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terministe. Des lors, le probleme de synthese de lobservateur de Kalman etendu,
designee par EKO(acronyme de extended Kalman observer) ou encore EKF(acro-
nyme de extended Kalman filter) consiste a trouver le gain K(x) qui minimiselerreur quadratique dobservation :
E =
t0
eed (3.15)
avec le modele dynamique (3.7). Le modele dynamique R (x) peut etre secrire sous
la forme :
K(x) = R (x) L (3.16)
ou la matrice symetrique R (x) de dimension n n est la solution de lequation
dynamique de Riccati :
dRdt
= RLLR + RA (x) + A (x) R,
R = R, R (0) = R0 = R
0
(3.17)
Notons quil est possible davoir une formulation plus generale en introduisant une
matrice de ponderation W qui permet de ponderer les differents termes de lerreur
de sortie afin de normaliser la norme. Dans ce cas, les equations (3.13) et (3.14)deviennent :
K(x) = R (x) LW (3.18)
dRdt
= RLW LR + RA (x) + A (x) R,
R = R, R (0) = R0(3.19)
Lapplication des equations de lobservateur EKO a lexemple du CSTR, donnees
par (3.13) et (3.14) et les equations (3.16) et (3.17) du gain donne :
R =
r11 r12
r21 r22
(3.20)
K1 = r12 = r21 (3.21)
K2 = r22 (3.22)
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dr11dt
= r212 2
a1 +qV
r11 2a1a3r12
dr22dt
= r222 2a1a2a3 qV
hACpV r22 + 2a1a2r12
dr12dt
= r22r12 +
a1a2a3 qV hA
CpV
r12
a1 +qV
r12 a1a3r22 + a1a2r11
(3.23)
La Fig. (3.1) donne une estimation de letat du reacteur chimique obtenu par lob-
servateur de Kalman etendu dans le cas ou la temperature est la seule mesure
disponible.
3.4 Observateur adaptatif
Cet observateur est dune importance capitale dans le cas ou les modeles sont
connus mais dont les parametres sont mal connus. Il sagit donc dobservateur
estimant letat et les parametres. Comme dans lobservateur de Kalman etendu, les
parametres mal connus (ou inconnus) sont consideres comme des extra etats avec
aucune dynamique. Ainsi, parmi les diverses versions disponibles dans la litterature,
on sinteresse a celle qui considere un modele nominal de processus, cest a dire un
modele de valeurs nominales pour les parametres mal connus.
Si on adopte le modele (3.1) mais en ajoutant les parametres (inconnus), designes
par :dx
dt= f(x,u,) (3.24)
Donc, il est possible decrire :
f(x,u,) = f
x,u,
+ b (x, u) (3.25)
avec = +, ou est la valeur nominale de , et est la deviation de la valeur
nominale. A partir des equations precedentes et des equations de lobservateur (3.3),
lobservateur adaptatif peut etre obtenu (en considerant les parametres mal connus,
ici , comme des etats non mesures mais de dynamiques nulles) :
dxdt
= f(x,u,) + b (x, u)
+ K(y y)
ddt
= (y y)(3.26)
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Si on revient a lexemple du CSTR et on consiere que k0 est mal connu, avec
k0 = k0 + k0, ou k0 est une valeur initiale de k0. Alors, il est possible decrire :
dCAdt
= k0CAe
ERT k0CAe
ERT +
q
V(Cin CA) (3.27)
dTdt
= HCp
k0CAe
ERT
HCp
k0CAe
ERT
+ qV
(Tin T) +hA
CpV(Tw T)
(3.28)
A ce stade, il est possible de deriver les equations de lobservateur adaptatif mais en
profitant de la robustesse de lobservateur asymptotique pour estimer CA puisque
elle figure avec k0 :
dCAdt
= k0CAe
ERT + q
V
Cin CA
CAe
ERT
k0
+K1
T T
(3.29)dTdt
= HCp
k0CAe
ERT + q
V
Tin T
+ hA
CpV
Tw T
HCp
CAe
ERT
k0 + K2
T T
(3.30)d
k0
dt= K3 T T (3.31)
Lanalyse de la stabilite et des proprietes de convergence sont basees sur les dyna-
miques de lerreur destimation. Si on definit :
e1 = CA CA, e2 = T T , e3 = k0 k0 (3.32)
qui peuvent etre reecrite comme suit :
de
dt= Ae + Bee (3.33)
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avec
A =
qV a1 K1 CAe
ERT
a1a2 K2 a2
CAe
ERT
0 K3 0
, B =k0e
ERT
a2k0e
ERT
0
e = CA CA, a1 = k0e
ERT , a2 =
HCp
Puisque e tend asymptotiquement vers zeros et dapres la matrice B est bornee.
De meme, si les matrices de gains K1, K2 et K3 sont bornees, alors A est bornee.
Alors, les dynamiques de lerreur forme un systeme variable dans le temps mais
avec une entree qui tend asymptotiquement vers zeros.
Afin davoir une idee sur les performances de lobservateur adaptatif, la Fig. 3.2
donne les resultats de simulation pour une valeur initiales k0 = 0 lorsque la tem-
perature est disponible pour la mesure. On observe quil est plus rapide par rapport
a lobservateur asymptotique et quil donne une bonne approximation de k0 apres
la convergence.
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
t (min)
C(mol/l)
modleEKF
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5300
310
320
330
340
350
360
t (min)
T
(K)
modleEKF
Fig. 3.1 Estimation de letat du reacteur chimique par lobservateur de Kalmanetendu avec la temperature comme mesure.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
t (min)
C
(mole
/l)
modleobs. adaptatifobs. asymptotique
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5300
320
340
360
t (min)
T(K)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
5
10x 10
9
t (min)
k0
h
1
Fig. 3.2 Estimation de letat et des parametres du reacteur chimique par lob-servateur adaptatif.
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CHAPITRE 4
RESULTATS ET DISCUSSIONS
Afin de montrer les differents aspects de la modelisation dynamique du procede
a boues activees, nous avons utilise le procede de la figure 4.1 qui est composee
dune zone anoxie (zone 1 de 15 m3), une zone anaerobie (zone 2 de 30 m3 et un
clarificateur secondaire (20 m3). Dans des conditions statiques nominales, la va-
leur moyenne du debit de linfluent est Qin = 4.5 m3/h, avec une moyenne de
300 mgCOD/l. Le debit du recyclage interne est Qint = 2Qin, le debit de recyclage
externe Qr = 0.5 Qin. Dans la zone anaerobie, la concentration de loxygen dissous
(DO) est controlee a 2.0 mg/l. La simulation du processus de boues activees est
basee sur des modeles largement acceptes par la communaute scientifique interna-
tionale. Chaque zone a ete modelise par le modele ASM1 (acronyme de Activated
Sludge Process) [1] et le modele du double clarificateur [2].
La figure 4.2 donne lexemple dun scenario de simulation pour les debits et les ca-
racteristiques de leau a traiter. La figure 4.3 montre les concentrations des nitrates
des zones anoxique et aerobie du bioprocede, designees respectivement par Sno1
et Sno2, suite a la variation du debit dent=ree Qin, de recyclage de la boue Qint
et de la concentration des substrats a lentree. Afin de monter limportance de
lestimation de letat du procede a boues activees, nous avons considere le modele
reduit decrit dans [14]. Ce modele consiste en huit variables detat :
oxygene dissout(SpO2,SnO2
), nitrate(SpNO3, SnNO3
), ammoniaque(SpNH4,SnNH4
), substrat
biodegradable (SpS,SnS),avec(p et n denotent pre-denitrification et nitrification, res-
pectivement).
dSpNo3dt
=QinV
SinNO3 +QrV
SnNO3 Qout
VSpNO3 (
1 YH2.86YH
)rp1 + rp2 := f1 (4.1)
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Fig. 4.1 Configuration typique dun processus a boues activees
0 5 10 15 200
5
10
15
20
time (h)
Qint(m3/h)
0 5 10 15 204
4.5
5
5.5
6
6.5
time (h)
Qin(m3/h)
0 5 10 15 2060
65
70
75
80
85
time (h)
Ssin(mgCOD/l)
0 5 10 15 2010
15
20
25
30
35
40
time (h)
Snhin(mgN/l)
Fig. 4.2 Exemple de scenario de simulation pour les debits et les caracteristiquesde leau a traiter
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41
dSpO2dt =
QrV S
nO2
QoutV S
p
O2 + Kp
La(SOST Sp
O2) 4.57rp2 (
1 YHYH )r
p3 := f2 (4.2)
dSpNH4dt
=QinV
SinNH4 +QrV
SnNH4 Qout
VSpNH4 iXB(r
p1 + r
p3) r
p2 + 3 := f3 (4.3)
dSpS
dt
=Qin
V
SinS +Qr
V
SnSQout
V
SpS1
YH
(rp1 + rp3) + r
p4 + r
p5 := f4 (4.4)
dSnNo3dt
=Qout
V(SpNO3 S
nNO3
) (1 YH2.86YH
)rn1 + rn2 := f5 (4.5)
dSnO2dt
=Qout
V(SpO2 S
nO2
) + KnLa(SOST SnO2
) 4.57rn2 (1 YH
YH)rn3 := f6 (4.6)
dSnNH4dt
=Qout
V(SpNH4 S
nNH4
) iXB(rn1 + r
n3 ) r
n2 + 3 := f7 (4.7)
dSnSdt
=Qout
V(SpS S
nS)
1
YH(rn1 + r
n3 ) + r
n4 + r
n5 := f8 (4.8)
Les vitesses des reactions sont donnees par :
rp/n1 = 1(
Sp/nNO3
KNO3 + Sp/nNO3
)(KO2,H
KO2,H + Sp/nO2
)Sp/nS (4.9)
rp/n2 = 2(
Sp/nNH4
KNH4 + Sp/nNH4
)(Sp/nO2
KO2,A + Sp/nO2
) (4.10)
rp/n3 = 1(
Sp/nO2
KO2,H + Sp/nO2
)Sp/nS (4.11)
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42
rp/n4 = 4H(
Sp/nNO3
KNO3 + S
p/n
NO3
)(KO2,H
KO2,H + S
p/n
O2
) (4.12)
rp/n5 = 4(
Sp/nO2
KO2,H + Sp/nO2
) (4.13)
Avec i sont des constantes.
Les seules mesures disponibles sont
y = [y1, y2]T = [SnNO3, S
nO2]
T
La figure 4.4 montre les performances de lestimation des variables detat non me-
surees en utilisant seulment deux mesures y = [y1, y2]T = [SnNO3, S
nO2]
T de la zone
aerobie (zone de nitrification).
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43
0 5 10 15 200
200
400
Sno
time (h)
Zone Arobie (nitrification)
0 5 10 15 200
5
10
So
time (h)
0 5 10 15 200
5
10
Snh
time (h)
0 5 10 15 200
1
2
3
Ss
time (h)
0 5 10 15 200
100
200
300
Sno
time (h)
Zone Anoxique (prdnitrification)
0 5 10 15 200
1
2
3
So
time (h)
0 5 10 15 200
10
20
Snh
time (h)
0 5 10 15 201
2
3
Ss
time (h)
Fig. 4.4 Estimation de letat du bioprocede
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CONCLUSION
Lepuration des eaux usees est aujourdhui indispensable pour faire face a laug-
mentation des concentration en substances polluantes et des volume deffluent re-
jetes. La prise de consience des problemes environnementaux causes par les rejets
des stations depuration et la volonte dameliorer et de preserver lecosysteme.
A lheure actuelle, les installations de bio-epuration sont dimensionnees dans la
plupart des cas a laide de modeles statiques, cest-a-dre de modeles qui ne tiennent
pas compte du facteur temps. Bien que ces modeles permettent toutefois de simuler
des situations complexes, il est des lors possible dajuster la definition des procedes
et de developper des systemes de commande et de regulation adequats.
La bioepuration des eaux usees sest coinsiderablement amelioree durant ces der-
nieres annees. Ces progres naurainet pas ete possible sans le concours de la mo-
delisation. La logique des modeles analytiques permet en effet de decanter la com-
plexite des donnees et de structurer les resultats scientifiques de manieres a en
faciliter lanalyse, la transmission et lutilisation.
Il incombe desormais aux ingenieurs impliquees dans lindustrie de leau dintegrer
la simulation dynamiqueet dinteger ce precieux instrument de maniere productive.
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BIBLIOGRAPHIE
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